文档内容
专题 19.2 一次函数的图象【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别一次函数】..........................................................................................................................................2
【题型2 待定系数法求一次函数解析式】..............................................................................................................2
【题型3 求一次函数图象上的点的坐标】..............................................................................................................3
【题型4 画一次函数的图象】..................................................................................................................................3
【题型5 一次函数图象的平移问题】......................................................................................................................6
【题型6 判断一次函数的图象】..............................................................................................................................7
【题型7 一次函数与坐标轴的交点问题】..............................................................................................................8
【题型8 从一次函数的图象中获取信息】..............................................................................................................9
【题型9 一次函数中的面积问题】........................................................................................................................10
【题型10 一次函数图象中的规律探究】................................................................................................................11
知识点1：一次函数
概念
形如 （ 常数， ）的函数，叫做一次函数（特别地，当 时， 是正比例函数）
的作用 的符号 函数增减性或图象的倾斜方向； 直线的倾斜程度
的作用 的符号 直线与 轴交点的位置
图象
经过的象限
一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
增减性
随的增大而增大 随的增大而减小
与坐标轴的交点
令 ，求对应的值，与轴的交点坐标为 ；令 ，求对应的 值，与 轴的交点坐标为
【题型1 辨别一次函数】
3 x
【例1】（24-25八年级·山东聊城·阶段练习）下列函数中：①y=x；②y= ；③y=− +2；④
x 51
y= x2+1，其中一次函数的个数是（ ）
2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
x −8
【变式1-1】（24-25八年级·上海·课后作业）有下列函数：①y=− ； ②y= ； ③
3 x
； ④ ；⑤ ；⑥ ；其中是正比例函数的有
y=8x2+x(1−8x) y=x+6 y=3−4x y=❑√3x2−5
，是一次函数的有 （填代号即可）.
【变式1-2】（24-25八年级·江苏扬州·期末）规定：[k，b]是一次函数
y=kx+b（k、b为实数，k≠0）的“特征数”．若“特征数”是[4，m−4]的一次函数是正比例
函数，则点（2+m，2−m）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1-3】（24-25八年级·甘肃兰州·期中）已知y=(m−1)x2−|m)+n+4．
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
知识点2：待定系数法求一次函数解析式
（1）设：设所求一次函数的解析式为 ；
（2）代：将图象上的点 的横坐标、纵坐标分别代换
待定系数法
的步骤
，得到方程组
（3）解：解关于 的值代入 中，从而得到函数解析式
（1）两点型：直接运动待定系数法求解；
常见类型
（2）平移型：由平移前后 不变，设出平移后的函数解析式，再代入已知
点坐标即可
【题型2 待定系数法求一次函数解析式】
【例2】（24-25八年级·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象经过A(1,2)
和B(−1,4)两点，求y=kx+b函数的解析式．
【变式2-1】（24-25八年级·北京房山·期中）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y(cm)与所挂物体
质量x(kg)满足函数关系y=kx+15，下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 1 5
y 15 17 25
（1）写出y与x的函数表达式： ；（2）当弹簧长度为22cm时，则所挂物体质量为 kg．
【变式2-2】（24-25八年级·安徽蚌埠·期中）一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y的值为1≤y≤9，
则kb的值为 ．
【变式2-3】（2024·四川德阳·模拟预测）在一次数学探索活动中，老师带领同学们研究了一次函数
y=kx+b的系数k，b与图象的关系．为了更直观地理解这一关系，老师给出了直角坐标系中的三个特殊
点：A(0,2),B(2,3),C(3,1)．老师要求同学们尝试画出经过这三个点中任意两个点的一次函数图象．同学
们通过计算得到了三个一次函数的表达式：y =k x+b ，y =k x+b ，y =k x+b ．接着，老师提出
1 1 1 2 2 2 3 3 3
了一个有趣的问题：分别探究k +b ，k +b ，k +b 的值，则其中最大的值等于 ．
1 1 2 2 3 3
【题型3 求一次函数图象上的点的坐标】
【例3】（2024·天津南开·三模）直线y=−2x−4与x轴交点为 ．
【变式3-1】（24-25八年级·吉林·期末）正比例函数y=−10x的图象经过(m,3)，则m的值为（ ）
3 10
A．− B．− C．−30 D．30
10 3
【变式3-2】（24-25八年级·全国·单元测试）直线y=−2x−3在y轴上的截距是 ．
【变式3-3】（24-25八年级·江苏连云港·期中）点 在正比例函数 的图象上，
A(x ,y ),B(x ,y ) y=−3x
1 1 2 2
若x +x =−5，则y + y 的值是（ ）
1 2 1 2
A．15 B．8 C．−15 D．−8
【题型4 画一次函数的图象】
1
【例4】（24-25八年级·河南·阶段练习）已知一次函数y=− x+2．
2
(1)自变量x的取值范围是_________；
(2)将下面列表表示的部分数值补充完整；
x …… −2 −1 0 1 2 ……
y …… 3 1.5 ……
(3)在下图中画出该函数的图象；(4)该图象与x轴的交点坐标是_________．
3
【变式4-1】（24-25八年级·广西南宁·期中）已知一次函数的图像直线l :y = x−6如图所示
1 1 2
(1)在图中的坐标系中画出一次函数y =−3x+3的图像直线l （要求：先列表，再描点，最后连线）；
2 2
x … …
y … …
(2)设直线l 与x轴相交于点A，直线l 与x轴相交于点B，直线l 与l 相交于点C，求△ABC的面积．
1 2 1 2
【变式4-2】（24-25八年级·江西南昌·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就
已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个
简单的漏刻计时工具模型，从函数角度进行了实验探究，兴趣小组每分钟记录一次水位的读数，得到下
表：
供水时间
0 1 2 3 4 5 6 …
t(min)
水位读数
2 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 4.4 …
ℎ(cm)(1)建立平面直角坐标系，如图，横轴表示观察时间x，纵坐标表示水位读数y，描出以表1中的数据为坐标
的各点．判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请连接各点，并求出函数表达式，如果不
在同一条直线上，请说明理由．
(2)若观察时间为15min，水位读数为多少？
(3)若本次实验开始记录的时间是上午10:30，当水位读数为14cm时是几点钟？
【变式4-3】（24-25八年级·宁夏固原·期中） 已知一次函数 y=kx−5的图象经过点 A(2,−1)；
(1)求k的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)若将此函数的图象向上平移3个单位后与坐标轴围成一个三角形，求这个三角形的面积．
知识点3：一次函数图象的平移
平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】
（1）简记为“左加右减自变量，上加
向上平移 个单位
下减常数项”；
向下平移 个单位
（2）直线 可以看作由直线
向左平移 个单位 向上或向下平移 个单位得到
向右平移 个单位
【题型5 一次函数图象的平移问题】
【例5】（24-25八年级·湖南长沙·期中）如图，A(1,0)、B(3,0)、M(4,3)，动点P从点A出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向右移动，且过点P的直线y=−x+b也随之平移，设移动时间为t秒，若直线与
线段BM有公共点，则t的取值范围为 ．
【变式5-1】（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+2)−3经变
换后得到抛物线y=(x−1)+4，则这个变换可以是（ ）
A．先向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度
B．先向上平移7个单位长度，再向右平移3个单位长度
C．先向下平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度
D．先向下平移3个单位长度，再向左平移7个单位长度
【变式5-2】（24-25八年级·山东青岛·期中）如图，将直线OA向上平移2个单位，得到一个一次函数的图
象，则这个一次函数的表达式为 ．
【变式5-3】（24-25八年级·山西晋中·期中）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−6,0)，与y
轴交于点B(0,3)，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移a个
单位长度得到的直线l恰好经过点D．若OD=2，则a的值为 ．【题型6 判断一次函数的图象】
【例6】（24-25八年级·河北保定·期末）若正比例函数y=kx的图象经过第二、第四象限，常数k和b互为
相反数，则一次函数y=kx+b在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
a
【变式6-1】（24-25八年级·湖南株洲·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数y= x+a经过点(1,2)
2
，则该函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（24-25八年级·四川广安·阶段练习）若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则函数
y=bx−k的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【变式6-3】（2024·山东济南·模拟预测）y=(−a+1)x+a−1和y=−3x−2a在同一平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 一次函数与坐标轴的交点问题】
【例7】（24-25八年级·福建泉州·期末）已知直线l 的解析式是y=x，直线l 的解析式是y=kx−k+1，两
1 2
直线交于点A，直线l 交x轴于点B，若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）
2
1 1 1 1 1 1
A．− B． C．− 或 D． 或−
5 3 5 3 5 3
【变式7-1】（24-25八年级·上海宝山·期中）若直线y=mx−2经过点(4,2)，则该直线与两坐标轴围成的
三角形的面积为 ．
【变式7-2】（24-25八年级·山东潍坊·期末）已知直线y=x+b（b为常数）与两坐标轴围成的三角形面积
为2，则直线y=x+2b与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
【变式7-3】（24-25八年级·安徽安庆·期中）直线y=mx−8与直线y=nx−12分别交y轴于B，C两点，
两直线相交于x轴上同一点A．
（1）m:n=
（2）若S =8，点A的坐标是
△ABC【题型8 从一次函数的图象中获取信息】
【例8】（24-25八年级·上海·阶段练习）直线y=kx+b在坐标系中的位置如图所示，它的函数解析式可能
为（ ）
A．y=2x+1 B．y=−2x+1 C．y=2x−2 D．y=−2x−2
【变式8-1】（24-25八年级·广东惠州·期末）如图，正比例函数y=mx，y=nx在同一平面直角坐标系中
的图象如图所示．则比例系数m，n的大小关系是m n．（填“>”、“<”或“=”）
【变式8-2】（24-25八年级·辽宁铁岭·阶段练习）若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列说法正确
的是（ ）
A．k>0 B．b=3 C．y随x的增大而增大 D．x=3时， y=0
【变式8-3】（24-25八年级·河北邯郸·期末）如图，一次函数y=kx+b的图象与x 轴的交点坐标为
(−2，0) ，则下列说法正确的有（ ）
①y随x 的增大而增大；
②k>0，b<0；③关于x 的方程kx+b=0的解为x=−2；
④当x>−2时，y>0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型9 一次函数中的面积问题】
【例9】（24-25八年级·山东德州·阶段练习）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,2)和点B(a,3)，
C(4,−2)，且点B在正比例函数y=−3x的图象上．
(1)求a的值；
(2)求一次函数的解析式；
(3)求△BOC的面积．
【变式9-1】（24-25八年级·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l :y=−x+b过点M(1,3)
1
，与x轴、y轴分别交于点A，B，过点M的直线l :y=kx+m与x轴、y轴分别交于点C，D．
2
(1)求点A，B的坐标；
(2)若点B，O关于点D对称，求直线l 的解析式；
2
(3)若直线l 将△AOB的面积分为1：3两部分，直接写出k的值．
2
【变式9-2】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正比例函数y=−3x的图象与一次函数y=kx+b
的图象交于点P(m,3)，一次函数的图象与y轴的交点为B，点B的坐标为(0,2)，与x轴的交点为A．(1)求一次函数的解析式；
(2)求△POA的面积．
【变式9-3】（24-25八年级·河南商丘·阶段练习）如图，直线l :y=kx+1与x轴交于点D，直线
1
l :y=−x+b与x轴交于点A且经过点B(−1,7)，直线l 与l 交于点C(4,m)．
2 1 2
(1)求k，b和m的值；
(2)求△ADC的面积；
(3)在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理
由．
【题型10 一次函数图象中的规律探究】
1 1
【例10】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，直线l :y=x+1与直线l :y= x+ 相交于点P(−1,0)．
1 2 2 2
直线l 与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 上的点B 处后，改
1 2 1
为垂直于x轴的方向运动，到达直线l 上的点A 处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 上的点B 处
1 1 2 2
后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l 的点A 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…，照此规律运
1 2
动，动点C依次经过点B ,A ,B ,A ,B ,A ,…,B ,A ,…，则当动点C到达A 处时，运动的总
1 1 2 2 3 3 2023 2023 2023
路径的长为（ ）A．22023−1 B．22024−2 C．22023−2 D．22024−1
【变式10-1】（2024·山东日照·二模）如图，过点A (1,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；点A 与点
1 1 2
O关于直线A B 对称；过点A (2,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；点A 与点O关于直线A B 对
1 1 2 2 3 2 2
称；过点A 作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；按B 此规律作下去，则点B 的坐标为( )
3 3 3 n
A．(2n，2n-1) B．(2n−1，2n) C．(2n+1，2n) D．（2n，2n+1）
【变式10-2】（24-25八年级·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A (2,2)在直线y=x
1
1
上，过点A 作A B ∥y轴，交直线y= x于点B，以A 为直角顶点，A B 为直角边，在A B 的右侧作
1 1 1 2 1 1 1 1 1
1
等腰直角三角形A B C ，再过点C 作A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于A ,B 两点，以A 为直
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
角顶点．A B 为直角边，在A B 的右侧作等腰直角三角形A B C ，按此规律进行下去，点C 的横坐标
2 2 2 2 1 1 1 1
为 ，点C 的横坐标为 ．
2021【变式10-3】（24-25八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A (1,1)在直线y=x图
1
象上，过A 点作y轴平行线，交直线y=−x于点B ，以线段A B 为边在右侧作正方形A B C D ，C D
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所在的直线交y=x的图象于点A ，交y=−x的图象于点B ，再以线段A B 为边在右侧作正方形
2 2 2 2
A B C D …依此类推．按照图中反映的规律，则点A 的坐标是 ；第2020个正方形的边长是
2 2 2 2 n
．
