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专题 19.2 一次函数的图象【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别一次函数】..........................................................................................................................................2
【题型2 待定系数法求一次函数解析式】..............................................................................................................4
【题型3 求一次函数图象上的点的坐标】..............................................................................................................6
【题型4 画一次函数的图象】..................................................................................................................................8
【题型5 一次函数图象的平移问题】....................................................................................................................14
【题型6 判断一次函数的图象】............................................................................................................................17
【题型7 一次函数与坐标轴的交点问题】...........................................................................................................20
【题型8 从一次函数的图象中获取信息】...........................................................................................................22
【题型9 一次函数中的面积问题】........................................................................................................................25
【题型10 一次函数图象中的规律探究】................................................................................................................31
知识点1：一次函数
概念
形如 （ 常数， ）的函数，叫做一次函数（特别地，当 时， 是正比例函数）
的作用 的符号 函数增减性或图象的倾斜方向； 直线的倾斜程度
的作用 的符号 直线与 轴交点的位置
图象
经过的象限
一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
增减性
随的增大而增大 随的增大而减小
与坐标轴的交点
令 ，求对应的值，与轴的交点坐标为 ；令 ，求对应的 值，与 轴的交点坐标为
【题型1 辨别一次函数】
3 x
【例1】（24-25八年级·山东聊城·阶段练习）下列函数中：①y=x；②y= ；③y=− +2；④
x 51
y= x2+1，其中一次函数的个数是（ ）
2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数．根据一次函数的定义:关于自变量的一次式，一般形式为：
y=kx+b(k≠0)，且k、b都为常数；逐项判断即可求解．
【详解】解：①y=x是一次函数；
3
②y= 不是一次函数；
x
x
③y=− +2是一次函数；
5
1
④y= x2+1不是一次函数，
2
所以一次函数的个数是2个．
故选：C
x −8
【变式1-1】（24-25八年级·上海·课后作业）有下列函数：①y=− ； ②y= ； ③
3 x
y=8x2+x(1−8x)； ④y=x+6；⑤ y=3−4x；⑥y=❑√3x2−5；其中是正比例函数的有
，是一次函数的有 （填代号即可）.
【答案】 ①③ ①③④⑤.
【分析】根据正比例函数与一次函数的定义对各个选项进行判断即可.
x
【详解】解：①y=− 是一次函数，也是正比例函数；
3
−8
②y= 不是一次函数；
x
③y=8x2+x(1−8x)=8x2+x−8x2=x是一次函数，也是正比例函数；
④y=x+6是一次函数，但不是正比例函数；
⑤y=3−4x是一次函数，但不是正比例函数；
⑥y=❑√3x2−5自变量次数是2，故不是一次函数；
故是正比例函数的有①③；是一次函数的有①③④⑤.
故答案为①③；①③④⑤.【点睛】本题主要考查正比例函数与一次函数的定义，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
【变式1-2】（24-25八年级·江苏扬州·期末）规定：[k，b]是一次函数
y=kx+b（k、b为实数，k≠0）的“特征数”．若“特征数”是[4，m−4]的一次函数是正比例
函数，则点（2+m，2−m）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义求出m的值，然后求出点的坐标即可判断．
【详解】解：由题意得：
∵“特征数”是[4，m﹣4]的一次函数是正比例函数，
∴m﹣4＝0，
∴m＝4，
∴2+m＝6，2﹣m＝﹣2，
∴点（6，﹣2）在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【变式1-3】（24-25八年级·甘肃兰州·期中）已知y=(m−1)x2−|m)+n+4．
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
【答案】(1)m=−1，n为任意实数
(2)m=−1，n=−4
【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，形如y=kx+b(k≠0)的是一次函数，形如y=kx的是
正比例函数．
（1）根据一次函数的定义即可解答；
（2）根据正比例函数的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵y=(m−1)x2−|m)+n+4是一次函数，
∴m−1≠0,2−|m)=1，
解得：m=−1，
∴m=−1，n为任意实数；
（2）解：∵y=(m−1)x2−|m)+n+4是正比例函数，
∴m−1≠0,2−|m)=1,n+4=0，解得：m=−1,n=−4．
知识点2：待定系数法求一次函数解析式
（1）设：设所求一次函数的解析式为 ；
（2）代：将图象上的点 的横坐标、纵坐标分别代换
待定系数法
的步骤
，得到方程组
（3）解：解关于 的值代入 中，从而得到函数解析式
（1）两点型：直接运动待定系数法求解；
常见类型
（2）平移型：由平移前后 不变，设出平移后的函数解析式，再代入已知
点坐标即可
【题型2 待定系数法求一次函数解析式】
【例2】（24-25八年级·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象经过A(1,2)
和B(−1,4)两点，求y=kx+b函数的解析式．
【答案】y=−x+3
【分析】本题考查了一次函数解析式．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
{ k+b=2 )
将A(1,2)、B(−1,4)代入y=kx+b得， ，计算求解，进而可得结果．
−k+b=4
{ k+b=2 )
【详解】解：将A(1,2)、B(−1,4)代入y=kx+b得， ，
−k+b=4
{k=−1)
解得， ，
b=3
∴函数的解析式为y=−x+3．
【变式2-1】（24-25八年级·北京房山·期中）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y(cm)与所挂物体
质量x(kg)满足函数关系y=kx+15，下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x 0 1 5
y 15 17 25
（1）写出y与x的函数表达式： ；
（2）当弹簧长度为22cm时，则所挂物体质量为 kg．
【答案】 y=2x+15 3.5
【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，以及求一次函数自变量．
（1）把点(1，17)代入y=kx+15，即可求出k的值．
（2）把y=22，代入y=kx+15，即可求出x的值．
【详解】解：（1）由表格可得，点(1，17)都在函数y=kx+15的图象上，k+15=17，
∴解得k=2，
∴y与x的函数表达式为y=2x+15，
故答案为：y=2x+15；
（2）当y=22时，
即22=2x+15，
解得：x=3.5，
故答案为：3.5．
【变式2-2】（24-25八年级·安徽蚌埠·期中）一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y的值为1≤y≤9，
则kb的值为 ．
【答案】9或1
【分析】本题分情况讨论：①x=-3时对应y=1，x=1时对应y=9；②x=-3时对应y=9，x=1时对应y=1；将
每种情况的两组数代入即可得出答案．
【详解】①当x=−3时，y=1；当x=1时，y=9，
{1=-3k+b
)
则
9=k+b
{k=2)
解得：
b=7
所以k+b=9；
②当x=−3时，y=9；当x=1时，y=1，
{−3k+b=9)
则
k+b=1
{k=−2)
解得：
b=3
所以k+b=1.
故答案为9或1.
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求一次
函数解析式.
【变式2-3】（2024·四川德阳·模拟预测）在一次数学探索活动中，老师带领同学们研究了一次函数
y=kx+b的系数k，b与图象的关系．为了更直观地理解这一关系，老师给出了直角坐标系中的三个特殊
点：A(0,2),B(2,3),C(3,1)．老师要求同学们尝试画出经过这三个点中任意两个点的一次函数图象．同学
们通过计算得到了三个一次函数的表达式：y =k x+b ，y =k x+b ，y =k x+b ．接着，老师提出
1 1 1 2 2 2 3 3 3了一个有趣的问题：分别探究k +b ，k +b ，k +b 的值，则其中最大的值等于 ．
1 1 2 2 3 3
【答案】5
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．分别求出三个函数解析
式，然后求出k +b ，k +b ,k +b 进行比较即可解答．
1 1 2 2 3 3
【详解】解：设y =k x+b 过A(0,2),B(2,3)，则有：
1 1 1
{ 2=b )
1
，
3=2k +b
1 1
{ k = 1 )
解得： 1 2 ，
b =2
1
1 5
则k +b = +2= ；
1 1 2 2
1 5
同理：k +b =−2+7=5，k +b =− +2=
2 2 3 3 3 3
则分别计算k +b ，k +b ,k +b 的最大值为值k +b =−2+7=5．
1 1 2 2 3 3 2 2
故答案为：5．
【题型3 求一次函数图象上的点的坐标】
【例3】（2024·天津南开·三模）直线y=−2x−4与x轴交点为 ．
【答案】(−2,0)
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．令y=0，求出x的值即可得出结论．
【详解】解：∵y=−2x−4，
∴当y=0时，=−2x−4，
得x=−2，
即直线y=−2x−4与x轴的交点坐标为：(−2,0)，
故答案为：(−2,0)．
【变式3-1】（24-25八年级·吉林·期末）正比例函数y=−10x的图象经过(m,3)，则m的值为（ ）3 10
A．− B．− C．−30 D．30
10 3
【答案】A
【分析】本题主要考查了求正比例函数的解析式．把点(m,3)代入y=−10x，即可求解．
【详解】解：把点(m,3)代入y=−10x，得：
3=−10m，
3
解得：m=− ．
10
故选：A
【变式3-2】（24-25八年级·全国·单元测试）直线y=−2x−3在y轴上的截距是 ．
【答案】−3
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将x=0代入一次函数解析式中求出y值，此题得解．
【详解】解：当x=0时，y=2x−3=−3，
∴直线y=−2x−3在y轴上的截距是−3．
故答案为：−3．
【变式3-3】（24-25八年级·江苏连云港·期中）点A(x ,y ),B(x ,y )在正比例函数y=−3x的图象上，
1 1 2 2
若x +x =−5，则y + y 的值是（ ）
1 2 1 2
A．15 B．8 C．−15 D．−8
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式
y=kx是解题的关键．
利用正比例函数图象上点的坐标特征可得出y =−3x ,y =−3x ，结合x +x =−5即可求出y + y 的
1 1 2 2 1 2 1 2
值．
【详解】解：∵A(x ,y ),B(x ,y )在正比例函数y=−3x的图象上，
1 1 2 2
∴y =−3x ,y =−3x ，
1 1 2 2
又∵x +x =−5，
1 2
∴y + y =−3(x +x )=−3×(−5)=15，
1 2 1 2
故选：A．【题型4 画一次函数的图象】
1
【例4】（24-25八年级·河南·阶段练习）已知一次函数y=− x+2．
2
(1)自变量x的取值范围是_________；
(2)将下面列表表示的部分数值补充完整；
x …… −2 −1 0 1 2 ……
y …… 3 1.5 ……
(3)在下图中画出该函数的图象；
(4)该图象与x轴的交点坐标是_________．
【答案】(1)全体实数
(2)2.5；2；1
(3)见详解
(4)(4,0)
【分析】本题主要考查了一次函数的综合知识．
（1）根据一次函数的性质可得出自变量的取值范围．
（2）求一次函数的函数值并补充表格即可．
（3）利用描点法画出一次函数即可．
（4）另y=0，求出x的值，即可得出该图象与x轴的交点坐标．
1
【详解】（1）解：一次函数y=− x+2自变量x的取值范围是全体实数．
2
故答案为：全体实数．
1 1
（2）当x=−1时，y=− x+2=− ×(−1)+2=2.5，
2 2
1 1
当x=0时，y=− x+2=− ×0+2=2，
2 21 1
当x=2时，y=− x+2=− ×2+2=1，
2 2
列表补充完整如下：
x …… −2 −1 0 1 2 ……
y …… 3 2.5 2 1.5 2 ……
（3）该函数的图象如下：
1
（4）另y=0，则− x+2=0，
2
解得：x=4，
故该图象与x轴的交点坐标是(4.0)．
故答案为：(4.0)．
3
【变式4-1】（24-25八年级·广西南宁·期中）已知一次函数的图像直线l :y = x−6如图所示
1 1 2
(1)在图中的坐标系中画出一次函数y =−3x+3的图像直线l （要求：先列表，再描点，最后连线）；
2 2
x … …
y … …
(2)设直线l 与x轴相交于点A，直线l 与x轴相交于点B，直线l 与l 相交于点C，求△ABC的面积．
1 2 1 2【答案】(1)见解析
9
(2)
2
【分析】（1）利用列表、描点、连线画出函数的图像即可．
（2）利用联立解析式构造方程组的思想，求得交点，后计算面积．
【详解】（1）根据题意，列表如下：
x … 0 1 …
y … 3 0 …
画图如下，
则直线BC即为所求．
（2）∵直线l 与x轴相交于点A，直线l 与x轴相交于点B，直线l 与l 相交于点C，
1 2 1 2
3 { y= 3 x−6 )
∴
x−6=0,−3x+3=0,
2 ，
2
y=−3x+3
解得x=4,x=1, { x=2 )
，
y=−3
∴A(4,0),B(1,0),C(2,−3)，
1 1 9
∴S = AB·|y )= ×(4−1)×|−3)= ．
△ABC 2 C 2 2
【点睛】本题考查了一次函数的图像画法，一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握一次函数的图像画
法，一次函数的交点球阀是解题的关键．
【变式4-2】（24-25八年级·江西南昌·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就
已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，从函数角度进行了实验探究，兴趣小组每分钟记录一次水位的读数，得到下
表：
供水时间
0 1 2 3 4 5 6 …
t(min)
水位读数
2 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 4.4 …
ℎ(cm)
(1)建立平面直角坐标系，如图，横轴表示观察时间x，纵坐标表示水位读数y，描出以表1中的数据为坐标
的各点．判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请连接各点，并求出函数表达式，如果不
在同一条直线上，请说明理由．
(2)若观察时间为15min，水位读数为多少？
(3)若本次实验开始记录的时间是上午10:30，当水位读数为14cm时是几点钟？
【答案】(1)描点作图见解析，这些点是在同—条直线上，表达式为y=0.4x+2；
(2)水位读数为8cm；
(3)水位读数为l4cm时是11:00．
【分析】（1）根据表格描点以及用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）令x=15解得y值即可；
（3）令y=14求出x的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：描点作图如下：
这些点是在同—条直线上，设它们所在直线表达式为y=kx+b，把(0,2),(1,2.4)代入得∶{ b=2 )
，
k+b=2.4
{k=0.4)
解得 ，
b=2
∴它们所在直线表达式为y=0.4x+2；
（2）解：在y=0.4x+2中，令x=15，得y=0.4×15+2=8，
∴水位读数为8cm ；
（3）解：在y=0.4x+2中，令y=14得∶0.4x+2=14，
解得x=30，
∵本次实验开始记录的时间是上午10:30，
∴水位读数为14cm时是11:00．
【点睛】本题考查作一次函数的图像，求自变量的值、求函数值以及—次函数的应用，解题的关键是读懂
题意，列出函数关系式．
【变式4-3】（24-25八年级·宁夏固原·期中） 已知一次函数 y=kx−5的图象经过点 A(2,−1)；
(1)求k的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)若将此函数的图象向上平移3个单位后与坐标轴围成一个三角形，求这个三角形的面积．
【答案】(1)k=2
(2)画图见解析
(3)1
【分析】（1）把点A(2,−1)代入函数解析式，利用方程来求k的值；
（2）由“两点确定一条直线”来作图即可；
（3）先根据平移的性质得出平移后的直线，然后根据坐标轴上点的坐标特征得到直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数 y=kx−5的图象经过点 A(2,−1)，
∴2k−5=−1，
解得k=2；
（2）解：由（1）知，该函数是一次函数：y=2x−5，
令x=0，则y=−5；
令y=0，则x=2.5，
所以该直线经过点(0,−5)，(2.5,0)，其图象如图所示：
（3）解：把直线y=2x−5向上平移3个单位长度后，得到y=2x−5+3=2x−2，
当y=0时，x=1，则直线与x轴的交点坐标为(1,0) ，
当x=0时，y=−2，则直线与y轴的交点坐标为(0,−2)；
1
∴三角形的面积为 ×1×2=1．
2
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数图象的平移，求解一次函数与坐
标轴的交点坐标，坐标与图形面积，画一次函数的图象，掌握以上基础知识是解本题的关键．
知识点3：一次函数图象的平移
平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】
（1）简记为“左加右减自变量，上加
向上平移 个单位
下减常数项”；
向下平移 个单位
（2）直线 可以看作由直线
向左平移 个单位 向上或向下平移 个单位得到
向右平移 个单位
【题型5 一次函数图象的平移问题】
【例5】（24-25八年级·湖南长沙·期中）如图，A(1,0)、B(3,0)、M(4,3)，动点P从点A出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向右移动，且过点P的直线y=−x+b也随之平移，设移动时间为t秒，若直线与
线段BM有公共点，则t的取值范围为 ．
【答案】1≤t≤3
【分析】此题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交和平行问题，属于动线型问题，掌握一次函
数的图象与性质，待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．
分别求出直线l经过点B、点M时的t值，即可得到t的取值范围．
【详解】解：由题意得：AP=2t，则P(1+2t,0)，
当直线y=−x+b过点B(3,0)时，0=−3+b，
解得：b=3，
0=−(1+2t)+3，
解得t=1．
当直线y=−x+b过点M(4,3)时，
3=−4+b，
解得：b=7，
0=−(1+2t)+7，
解得t=3．
故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：1≤t≤3，
故答案为：1≤t≤3．
【变式5-1】（24-25八年级·海南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+2)−3经变
换后得到抛物线y=(x−1)+4，则这个变换可以是（ ）
A．先向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度
B．先向上平移7个单位长度，再向右平移3个单位长度
C．先向下平移7个单位长度，再向左平移3个单位长度
D．先向下平移3个单位长度，再向左平移7个单位长度
【答案】B【分析】本题考查了一次函数的平移变化，根据一次函数平移变化的规律“左加右减，上加下减”结合题
目既可得出答案，牢记平移变化的规律是解题的关键．
【详解】根据抛物线平移变化的规律“左加右减，上加下减”知y=(x+2)−3先向上平移n个单位长度，
得y=(x+2)−3+n，
再向右平移m个单位长度，得y=(x+2−m)−3+n
即y=(x+2−m)−3+n=(x−1)+4
∴x+2−m=x−1，−3+n=4
∴m=3，n=7
故抛物线y=(x+2)−3先向上平移7个单位长度，再向右平移3个单位长度．
故选B．
【变式5-2】（24-25八年级·山东青岛·期中）如图，将直线OA向上平移2个单位，得到一个一次函数的图
象，则这个一次函数的表达式为 ．
【答案】y=−2x+2
【分析】利用待定系数法求出直线OA的解析式，根据一次函数图象的平移规律求出平移后的一次函数的
表达式．
【详解】设直线OA的解析式为y=kx,
∵直线OA经过点A(−2,4)，
∴4=−2k,
解得：k=−2，
∴直线OA的解析式为y=−2x,
直线y=−2x向上平移2个单位，得到一次函数的表达式为y=−2x+2．
故答案为：y=−2x+2．
【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移、待定系数法求一次函数解析式的一般步骤，掌握一次函数图
象的平移规律是解题的关键．
【变式5-3】（24-25八年级·山西晋中·期中）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−6,0)，与y轴交于点B(0,3)，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移a个
单位长度得到的直线l恰好经过点D．若OD=2，则a的值为 ．
【答案】4
1 1
【分析】先求出一次函数的表达式y= x+3，根据平移可知平移后的解析式y= x+3−a，最后把点D
2 2
代入即可．
【详解】
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点B(0,3)，
∴b=3，
∴一次函数表达式为y=kx+3，
∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(−6,0)，
1
∴−6k+3=0，解得k= ，
2
1
∴一次函数的表达式为y= x+3，
2
由直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长度得到的直线l，
1
∴直线l的函数表达式为y= x+3−a，
2
∵OD=2，且点D位于x轴的正半轴，
∴点D的坐标为(2,0)，
∵直线l恰好经过点D，
1
∴ ×2+3−a=0，解得a=4，
2
故答案为：4．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，掌握待定系数法求解析式是解题的
关键．
【题型6 判断一次函数的图象】
【例6】（24-25八年级·河北保定·期末）若正比例函数y=kx的图象经过第二、第四象限，常数k和b互为相反数，则一次函数y=kx+b在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由正比例函数y=kx的图象经过第二、第四象限，得出k<0
，结合题意得出b>0，即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过第二、第四象限，
∴k<0，
∵常数k和b互为相反数，
∴b>0，
∴一次函数y=kx+b经过第一、二、四象限，
故选：C．
a
【变式6-1】（24-25八年级·湖南株洲·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数y= x+a经过点(1,2)
2
，则该函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
a
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．把(1,2)代入y= x+a，求出a的值，根据图象解答即
2
可．a
【详解】解：y= x+a，经过(1,2)，
2
a
∴把(1,2)代入y= x+a，
2
a 3
2= +a= a，
2 2
4
∴a= ，
3
2 4
∴y= x+ ，
3 3
∴图象过P(1,2)且与y轴交于正半轴．
故选：A．
【变式6-2】（24-25八年级·四川广安·阶段练习）若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则函数
y=bx−k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，可以得到k和b的正负，然后根据一次函
数的性质，即可得到一次函数y=bx−k图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．本题考查一次函数的性
质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∴b>0，−k>0，
∴一次函数y=bx−k图象第一、二、三象限，故选：B．
【变式6-3】（2024·山东济南·模拟预测）y=(−a+1)x+a−1和y=−3x−2a在同一平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象，根据一次函数图象的性质分别根据01进行判断即
可．
【详解】解：当0−2，−a+1>0，−10，−a+1>0，a−1<−1，
∴y=−3x−2a的图象经过一、二、四象限，y=(−a+1)x+a−1的图象经过一、三、四象限，没有符合
要求的选项；
当a>1时，−2a<−2，−a+1<0，a−1>0，
∴y=−3x−2a的图象经过一、三、四象限，y=(−a+1)x+a−1的图象经过一、二、四象限，没有符合
要求的选项；
故选：C．
【题型7 一次函数与坐标轴的交点问题】
【例7】（24-25八年级·福建泉州·期末）已知直线l 的解析式是y=x，直线l 的解析式是y=kx−k+1，两
1 2
直线交于点A，直线l 交x轴于点B，若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）
2
1 1 1 1 1 1
A．− B． C．− 或 D． 或−
5 3 5 3 5 3【答案】D
【分析】根据y=kx−k+1=k(x−1)+1可确定交点A的坐标，进一步即可求解．
【详解】解：∵y=kx−k+1=k(x−1)+1，
∴直线l 经过点(1,1)，
2
且点(1,1)也在直线l : y=x上，
1
故点A(1,1)，
1 1
S = ×OB×y = OB=2，
△OAB 2 A 2
∴OB=4,B(±4,0)；
①当点B(4,0)时，则4k−k+1=0，
1
解得：k=− ；
3
②当点B(−4,0)时，则−4k−k+1=0，
1
解得：k= ．
5
故选：D
【点睛】本题考查一次函数的交点问题．将y=kx−k+1适当变形是解题关键．
【变式7-1】（24-25八年级·上海宝山·期中）若直线y=mx−2经过点(4,2)，则该直线与两坐标轴围成的
三角形的面积为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一次函数；先将点(4,2)代入解析式，求出m的值，再分别求出直线与两坐标轴的交
点，即可求出三角形的面积．
【详解】将点(4,2)代入y=mx−2，得4m−2=2，解得：m=1
∴y=x−2
当x=0时，y=−2
当y=0时，x=2
1
∴该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ×2×2=2
2
故答案为：2．
【变式7-2】（24-25八年级·山东潍坊·期末）已知直线y=x+b（b为常数）与两坐标轴围成的三角形面积
为2，则直线y=x+2b与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8【答案】D
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线y=x+b与两坐标轴的交点坐标，结合直线y=x+b与
两条坐标轴围成的三角形面积为2，即可求出b2=4，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线y=x+2b
与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出结论．
【详解】解：当x=0时，y=0+b=b，
∴直线y=x+b与y轴交于点（0，b）；
当y=0时，x+b=0，
解得：x=-b，
∴直线y=x+b与x轴交于点（-b，0）．
1
∴直线y=x+b与两条坐标轴围成的三角形面积= ×|b|×|-b|=2，
2
∴b2=4．
同理，直线y=x+2b与y轴交于点（0，2b），与x轴交于点（-2b，0），
1
∴直线y=x+2b与两条坐标轴围成的三角形面积= ×|2b|×|-2b|=2b2=2×4=8．
2
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积计
算公式，求出b2的值是解题的关键．
【变式7-3】（24-25八年级·安徽安庆·期中）直线y=mx−8与直线y=nx−12分别交y轴于B，C两点，
两直线相交于x轴上同一点A．
（1）m:n=
（2）若S =8，点A的坐标是
△ABC
【答案】 2:3 (4,0)或(−4,0)
【分析】根据两直线相交同一点，则横坐标相同，即可；设A的坐标为：(a，0)，根据S =8，则
△ABC
1
S = ×BC×|a)，解出a，即可．
△ABC 2
【详解】∵直线y=mx−8和直线y=nx−12相交x轴上同一点A
∴0=mx−8，0=nx−12
(8 ) (12 )
∴直线y=mx−8与x轴的交点为 ,0 ，直线y=nx−12与x轴的交点为 ,0
m n
8 12
∴ =
m n∴m:n=2:3；
设A的坐标为：(a，0)
∵S =8
△ABC
1
∴S = ×BC×|a)
△ABC 2
∵直线y=mx−8与直线y=nx−12分别交y轴于B，C两点
∴点B(0,−8)，C(0,−12)
1
∴S = ×4×|a)=8
△ABC 2
∴|a)=4
∴a=±4
∴点A的坐标为(4,0)或(−4,0)．
故答案为：2:3；(4,0)或(−4,0)．
【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数图象与性质．
【题型8 从一次函数的图象中获取信息】
【例8】（24-25八年级·上海·阶段练习）直线y=kx+b在坐标系中的位置如图所示，它的函数解析式可能
为（ ）
A．y=2x+1 B．y=−2x+1 C．y=2x−2 D．y=−2x−2
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线
y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限．k<0时，直线必经
过二、四象限．b>0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相
交．
根据一次函数经过的图象即可判断；
【详解】解：根据图象可得y=kx+b经过第一、二、四象限，
故k<0,b>0，只有B符合题意，
故选：B．
【变式8-1】（24-25八年级·广东惠州·期末）如图，正比例函数y=mx，y=nx在同一平面直角坐标系中
的图象如图所示．则比例系数m，n的大小关系是m n．（填“>”、“<”或“=”）
【答案】>
【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据直线越靠近y轴|k)越大，即可判定求解，掌握正比例函数的
性质是解题的关键．
【详解】解：∵直线越靠近y轴|k)越大，且由图象可知m、n为正数，
∴m>n，
故答案为：>．
【变式8-2】（24-25八年级·辽宁铁岭·阶段练习）若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列说法正确
的是（ ）
A．k>0 B．b=3 C．y随x的增大而增大 D．x=3时， y=0
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形
结合的思想解答．
根据一次函数的图象和一次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可得，
k<0，故选项A错误，不符合题意；
当x=0，时y=b=3，故选项B正确，符合题意；
y随x的增大而减小，故选项C错误，不符合题意；
当x=3时，y<0，故选项D错误，不符合题意；故选：B．
【变式8-3】（24-25八年级·河北邯郸·期末）如图，一次函数y=kx+b的图象与x 轴的交点坐标为
(−2，0) ，则下列说法正确的有（ ）
①y随x 的增大而增大；
②k>0，b<0；
③关于x 的方程kx+b=0的解为x=−2；
④当x>−2时，y>0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．本
题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的
关键．
【详解】解：由图象可得，
y随x的增大而增大，故①正确，符合题意；
k>0，b>0，故②错误，不符合题意；
当x>−2时，y>0，故④正确，符合题意；
关于x的方程kx+b=0的解为x=−2，故③正确，符合题意；
故选：C．
【题型9 一次函数中的面积问题】
【例9】（24-25八年级·山东德州·阶段练习）已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,2)和点B(a,3)，
C(4,−2)，且点B在正比例函数y=−3x的图象上．
(1)求a的值；(2)求一次函数的解析式；
(3)求△BOC的面积．
【答案】(1)a=−1
(2)y=−x+2
(3)5
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求一次函数解析式，坐标与图形，利用数形结合的思
想解决问题是关键．
（1）将B(a,3)代入y=−3x，即可求出a的值；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）根据S =S +S 求解即可．
△OBC △OAB △OAC
【详解】（1）解：将B(a,3)代入y=−3x得：−3a=3，
解得：a=−1．
（2）解：将A(0,2)，C(4,−2)代入y=kx+b得：
{k=−1)
¿，解得： ，
b=2
故一次函数表达式为：y=−x+2．
（3）解：∵A(0,2)，
∴OA=2，
∵B(−1,3)，C(4,−2)，
1 1 1 1
∴S =S +S = OA⋅|x )+ OA⋅|x )= ×2×1+ ×2×4=5．
△OBC △OAB △OAC 2 B 2 C 2 2
【变式9-1】（24-25八年级·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l :y=−x+b过点M(1,3)
1
，与x轴、y轴分别交于点A，B，过点M的直线l :y=kx+m与x轴、y轴分别交于点C，D．
2
(1)求点A，B的坐标；(2)若点B，O关于点D对称，求直线l 的解析式；
2
(3)若直线l 将△AOB的面积分为1：3两部分，直接写出k的值．
2
【答案】(1)A(4,0)，B(0,4)
(2)y=x+2
9
(3)k=− 或3
5
【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，三角形的面积．
（1）把点M(1,3)代入直线l :y=−x+b中，求得b的值，即得到直线l 的解析式，再分别令y=0，x=0
1 1
，即可求得点A，B的坐标；
（2）根据点B，O关于点D对称可得D(0,2)，采用待定系数法，将D(0,2)，M(1,3)代入直线
l :y=kx+m即可求解；
2
1
（3）根据三角形的面积公式求得S =8，连接OM，可求得S =2= S ，满足题意，此时直线
△AOB △BOM 4 △AOB
1
l 过原点O，根据待定系数法求出k的值；当S = S 时，根据三角形面积公式可求出点C的坐
2 △AMC 4 △AOB
标，进而可以待定系数法求出k的值．
【详解】（1）解：将点M(1,3)代入直线l :y=−x+b得，3=−1+b，
1
解得：b=4，
∴直线l :y=−x+4，
1
令x=0，得y=4，令y=0，得x=4，
∴点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,4)；
（2）解：∵点B，O关于点D对称，
∴点D是BO的中点，
∴点D的坐标为(0,2)，
将D(0,2)，M(1,3)代入l :y=kx+m，得
2
{ 2=m ) {m=2)
，解得 ，
3=k+m k=1
∴直线l 的解析式为y=x+2；
2
（3）解：∵A(4,0)，B(0,4)，
1
∴S = ×4×4=8．
△AOB 2连接OM，
1 1
则S = OB·|x )= ×4×1=2，
△BOM 2 M 2
1
∴S = S ，
△BOM 4 △AOB
∴直线l 过原点O时，满足直线l 将△AOB的面积分成1:3两部分，
2 2
将点O(0,0)，M(1,3)代入直线l :y=kx+m，得
2
{ m=0 ) {k=3)
，解得 ；
k+m=3 m=0
1 1
当S = S =8× =2时，
△AMC 4 △AOB 4
1
即 ⋅AC⋅3=2，
2
4
∴AC= ，
3
(8 )
∴点C的坐标为 ,0 ，
3
(8 )
将点C ,0 ，M(1,3)代入直线l :y=kx+m，得
3 2
9
{8
k+m=0)
{ k=−
5
)
3 ，解得 ；
24
k+m=3 m=
5
9
综上所述，k=− 或3．
5
【变式9-2】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正比例函数y=−3x的图象与一次函数y=kx+b
的图象交于点P(m,3)，一次函数的图象与y轴的交点为B，点B的坐标为(0,2)，与x轴的交点为A．(1)求一次函数的解析式；
(2)求△POA的面积．
【答案】(1)y=−x+2
(2)3
【分析】本题考查了一次函数的性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先求出P(−1,3)，再运用待定系数法求解析式，即可作答．
1
（2）先求出A(2，0)，再根据面积公式列式△POA的面积= ×OA×y ，代入数值计算，即可作答．
2 P
【详解】（1）解：∵正比例函数y=−3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P(m,3)，
∴3=−3m，
∴m=−1，
∴P(−1,3)，
把点B的坐标(0,2)，P(−1,3)代入y=kx+b，
{ 2=b )
得 ，
3=−k+b
{ b=2 )
解得 ，
k=−1
∴y=−x+2；
（2）解：依题意，把y=0代入y=−x+2，
则0=−x+2，
∴x=2，
∴A(2，0)，
1 1
则△POA的面积= ×OA×y = ×2×3=3．
2 P 2
【变式9-3】（24-25八年级·河南商丘·阶段练习）如图，直线l :y=kx+1与x轴交于点D，直线
1
l :y=−x+b与x轴交于点A且经过点B(−1,7)，直线l 与l 交于点C(4,m)．
2 1 2(1)求k，b和m的值；
(2)求△ADC的面积；
(3)在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理
由．
1
【答案】(1)k= ，b=6，m=2
4
(2)S =10
△ADC
(26 )
(3)存在，点E的坐标是 ,0
9
【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形以及轴对称图形的性质，根据题意作
出轴对称图形是解题的关键．
（1）将直线上点的坐标代入直线的函数解析式即可求得答案．
（2）求出A，D，C的坐标，利用三角形面积公式求解即可．
（3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于点E，则△BCE的周长最短，先求得直线BC′的函数
解析式，即可求得点E的坐标．
【详解】（1）解：将B(−1,7)代入y=−x+b，得：
1+b=7，
解得b=6．
∴直线l 的解析式为y=−x+6．
2
将C(4,m)代入y=−x+6，得：
m=−4+6=2．
∴C(4,2)．
把C(4,2)代入y=kx+1，得：4k+1=2，
1
解得k= ．
4
1
（2）解：由（1）得直线l 的解析式为y= x+1，直线l 的解析式为y=−x+6．
1 4 2
1
令 x+1=0，解得x=−4．
4
∴D(−4,0)
令−x+6=0，解得x=6．
∴A(6,0)．
∴AD=6−(−4)=10．
∵C(4,2)，
1
S = ×10×2=10．
△ADC 2
（3）解：存在．
作点C(4,2)关于x轴的对称点C′(4,−2)，连接BC'交x轴于点E，连接EC，此时△BCE的周长最小．如
图，
设直线BC'的函数解析式是y=ax+c(a≠0)，
将C'(4,−2)和B(−1,7)代入y=ax+c，得¿
解得¿
9 26
∴y=− x+ ．
5 5
9 26 26
令− x+ =0，解得x= ．
5 5 9(26 )
则点E的坐标是 ,0 ．
9
【题型10 一次函数图象中的规律探究】
1 1
【例10】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，直线l :y=x+1与直线l :y= x+ 相交于点P(−1,0)．
1 2 2 2
直线l 与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 上的点B 处后，改
1 2 1
为垂直于x轴的方向运动，到达直线l 上的点A 处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 上的点B 处
1 1 2 2
后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l 的点A 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…，照此规律运
1 2
动，动点C依次经过点B ,A ,B ,A ,B ,A ,…,B ,A ,…，则当动点C到达A 处时，运动的总
1 1 2 2 3 3 2023 2023 2023
路径的长为（ ）
A．22023−1 B．22024−2 C．22023−2 D．22024−1
【答案】B
【分析】本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关
键．点，A ，B 所在直线与y轴平行，横坐标相同，根据变化的情况分析可得：当动点C到达点A 处时，
1 1 n
运动的总路径的长为2+22+23+⋯+2n=2n+1−2，据此即可求解．
【详解】解：由直线l ：y=x+1可知，A(0,1)，
1
由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线l 、l 对应的函数表达式可知，
1 2
B (1,1)，AB =1，A (1,2)，A B =2−1=1，AB +A B =2，
1 1 1 1 1 1 1 1
B (3,2)，A (3,4)，A B =3−1=2，A B =4−2=2，A B +A B =2+2=4=22 ，…，
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
由此可得，A B =2n ，
n−1 n
∴当动点C到达点A 处时，运动的总路径的长为2+22+23+⋯+2n=2n+1−2，
n
∴当点C到达A 处时，运动的总路径的长为22024−2．
2023
故选：B．
【变式10-1】（2024·山东日照·二模）如图，过点A (1,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；点A 与点
1 1 2
O关于直线A B 对称；过点A (2,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；点A 与点O关于直线A B 对
1 1 2 2 3 2 2称；过点A 作x轴的垂线，交直线y=2x于点B ；按B 此规律作下去，则点B 的坐标为( )
3 3 3 n
A．(2n，2n-1) B．(2n−1，2n) C．(2n+1，2n) D．（2n，2n+1）
【答案】B
【分析】先根据题意求出点A 的坐标，再根据点A 的坐标求出B 的坐标，以此类推总结规律便可求出点
2 2 2
B 的坐标．
n
【详解】∵A (1,0)
1
∴OA =1
1
∵过点A (1,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B
1 1
∴B (1,2)
1
∵A (2,0)
2
∴OA =2
2
∵过点A (2,0)作x轴的垂线，交直线y=2x于点B
2 2
∴B (2,4)
1
∵点A 与点O关于直线A B 对称
3 2 2
∴A (4,0),B (4,8)
3 3
以此类推便可求得点A 的坐标为(2n−1,0)，点B 的坐标为(2n−1,2n)
n n
故答案为：B．
【点睛】本题考查了坐标点的规律题，掌握坐标点的规律、轴对称的性质是解题的关键．
【变式10-2】（24-25八年级·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A (2,2)在直线y=x
1
1
上，过点A 作A B ∥y轴，交直线y= x于点B，以A 为直角顶点，A B 为直角边，在A B 的右侧作
1 1 1 2 1 1 1 1 1
1
等腰直角三角形A B C ，再过点C 作A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于A ,B 两点，以A 为直
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2角顶点．A B 为直角边，在A B 的右侧作等腰直角三角形A B C ，按此规律进行下去，点C 的横坐标
2 2 2 2 1 1 1 1
为 ，点C 的横坐标为 ．
2021
(3) 2021
【答案】 3 2×
2
3 9 (3) 2
【分析】先根据题目中的已知条件求出点C 的横坐标为3=2× ，点C 的横坐标为 =2× ，点C 的
1 2 2 2 2 3
27 (3) 3 81 (3) 4 (3) n
横坐标为 =2× ，点C 的横坐标为 =2× …，由此总结得出点C 的横坐标为2× ，最后
4 2 4 8 2 n 2
求出结果即可．本题主要考查了一次函数的规律探究问题，解题的关键是根据题意总结得出点C 的横坐标
n
(3) n
为2× ．
2
1
【详解】解：∵点A (2，2)，A B ∥y轴交直线y= x于点B，
1 1 1 2
∴B (2,1)，
1
∴A B =2−1=1，即A C =1，
1 1 1 1
∵A C =A B =1，
1 1 1 1
3
∴点C 的横坐标为3=2× ，
1 2
1
∵过点C 作A B ∥y轴，分别交直线y=x和y= x于A ，B 两点，
1 2 2 2 2 2
( 3)
∴A (3，3)，B 3,
2 2 2
3 3
∴A B =3− = ，
2 2 2 2
3
∴A C = ，
2 2 29 (3) 2
∴点C 的横坐标为， =2× ；
2 2 2
以此类推，
9 9
A B = ，即A C = ，
3 3 4 3 3 4
27 (3) 3
∴点C 的横坐标为 =2× ，
3 4 2
27 27
A B = ，即A C = ；
4 4 8 4 4 8
81 (3) 4
点C 的横坐标为 =2× …
4 8 2
(3) n−1 (3) n−1
∴A B = ，即A C = ．
n n 2 n n 2
(3) n
∴点C 的横坐标为2× ，
n 2
(3) 2021
∴点C 的横坐标为2× ．
2021 2
(3) 2021
故答案为：3，2× ．
2
【变式10-3】（24-25八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A (1,1)在直线y=x图
1
象上，过A 点作y轴平行线，交直线y=−x于点B ，以线段A B 为边在右侧作正方形A B C D ，C D
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所在的直线交y=x的图象于点A ，交y=−x的图象于点B ，再以线段A B 为边在右侧作正方形
2 2 2 2
A B C D …依此类推．按照图中反映的规律，则点A 的坐标是 ；第2020个正方形的边长是
2 2 2 2 n
．
【答案】 (3n−1，3n−1) 2×32019【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型问题，根据线段的和即可得出第一个正方形的边
长为2，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为6，依次得出第三个正方形的边长
为18，以此类推，可得A (3n−1，3n−1)，B (3n−1，−3n−1)，从而得到答案．
n n
【详解】解：由题意，A (1,1)，B (1，−1)，
1 1
∴A B =2，
1 1
则第一个正方形的边长为2，
即A D =2，
1 1
∴A (3，3)，B (3，−3)，
2 2
∴A B =6，
2 2
则第二个正方形的边长为6，
即A D =6，
2 2
∴A (9，9)，B (9，−9)，
3 3
∴A B =18，
3 3
则第三个正方形的边长为18，
即A D =18，
3 3
∴A (27，27)，B (27，−27)，
4 4
以此类推，
可得A (3n−1，3n−1)，B (3n−1，−3n−1)，
n n
∴第2020个正方形的边长为2×32019．
故答案为：；．
