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专题 19.2 一次函数的图象与性质（一）【十大题型】
【人教版】
【题型1 一次函数的概念辨析】..............................................................................................................................1
【题型2 待定系数法求一次函数解析式】..............................................................................................................2
【题型3 一次函数图象上点的坐标特征】..............................................................................................................2
【题型4 一次函数解析式与三角形面积问题】.....................................................................................................2
【题型5 根据实际问题列一次函数解析式】.........................................................................................................3
【题型6 判断一次函数的图象】..............................................................................................................................5
【题型7 判断一次函数的增减性或经过的象限】.................................................................................................7
【题型8 根据一次函数的性质求参数的范围】.....................................................................................................7
【题型9 根据一次函数的增减性求自变量的变化情况】.....................................................................................8
【题型10 根据一次函数的增减性比较函数值大小】.............................................................................................8
【知识点1 一次函数和正比例函数的概念】
y=kx+b
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成 （k，b为常数，k¿0）的形式，则称y是x
的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
y=kx+b y=kx
特别地，当一次函数 中的b=0时（即 ）（k为常数，k¿0），称y是x的正比例函
数。
【题型1 一次函数的概念辨析】
【例1】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
x 2 x-1 x2-1
A． y=- B． y=- C．y=- D．y=
2 x 2 2
【变式1-1】（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）若函数y=(a-2)x|a|-1+4是一次函数，则a的值为
（ ）
A．-2 B．±2 C．2 D．0
【变式1-2】（2023春·全国·八年级期中）在下列函数中，x是自变量，y是因变量，则一次函数有 ，正
比例函数有 ．（将代号填上即可）①y=√3x+1；②y=x2+2x；③y=5x；④y=1-4x；⑤1
y= +√2．
x
【变式1-3】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）已知函数 ．
y=(k-2)x+(k2-4)
(1)若该函数是一次函数，求k的取值范围．
(2)若该函数是正比例函数，求k的值．
【知识点2 正比例函数和一次函数解析式的确定】
y=kx
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k¿0）中的常数k。确定一个一次函数，
y=kx+b
需要确定一次函数定义式 （k¿0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
【题型2 待定系数法求一次函数解析式】
【例2】（2023春·河南新乡·八年级统考期中）已知y与x+3成正比例，且当x=1时，y=-8．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设点(m，2)在（1）中函数的图象上，求m的值．
【变式2-1】（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）已知一次函数的图象过点(6,-4)与(12,4)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)直接写出这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．
【变式2-2】（2023春·江苏南通·八年级校考期中）若y-2与2x+3成正比例，且当x=1时，y=12．
(1)求y与x的函数解析式．
(2)求当y=4时，x的值．
【变式2-3】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）在平面直角坐标系中有A(-1,4)，B(-3,2)，C(0,5)三
点．
(1)求过A，B两点的直线的函数解析式；
(2)判断A，B，C三点是否在同一条直线上？并说明理由．
【题型3 一次函数图象上点的坐标特征】
【例3】（2023春·山西长治·八年级校考期中）如果点P(2,k)在直线y=-2x+2上，那么点P到x轴的距
离为（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【变式3-1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）下面哪个点在函数y=-3x+4的图象上（ ）
A．(5,13) B．(-1,1) C．(3,0) D．(1,1)
【变式3-2】（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）已知点P(a-2,b)在一次函数y=3x-2的图像上，则10-3a+b= ．
【变式3-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）一次函数y=kx+k图象一定经过点
（ ）
A．(1,0) B．(0,1) C．(1,1) D．(-1,0)
【题型4 一次函数解析式与三角形面积问题】
【例4】（2023春·江苏南通·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A在x轴上，
顶点B的坐标为（6，4）．若直线l经过点（1，0），且将 OABC分割成面积▱相等的两部分，则直线l的
函数解析式是（ ） ▱
1
A．y＝x+1 B．y= x+1 C．y＝3x﹣3 D．y＝x﹣1
3
【变式4-1】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）一次函数经过点(1，2)、点(-1，6)，
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)求这个一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．
【变式4-2】（2023春·江西上饶·八年级统考期末）一次函数的图象经过点A(-3,5)和B(0,2)两点．
(1)求出该一次函数的表达式；
(2)若直线AB与x轴交于点C，求△AOC的面积．
【变式4-3】（2023春·山东聊城·八年级统考期末）把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系
中，经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是（ ）
9 10
A．y= x B．y= x C．y=x D．y=2x
10 9
【题型5 根据实际问题列一次函数解析式】
【例5】（2023春·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如表关系：
12
销售价/元 90 100 110 130 140
0
销售量/件 90 80 70 60 50 40
设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当x=115时，y的值为（ ）
A．85 B．75 C．65 D．55
【变式5-1】（2023春·山东东营·八年级东营市东营区实验中学校考期末）汽车由北京驶往相距120千米的
天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变
量的取值范围是（ ）
A．S=120-30t(0≤t≤4) B．S=30t(0≤t≤4)
C．S=120-30t(t>0) D．S=30t(t=4)
【变式5-2】（2023春·贵州贵阳·八年级统考期中）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以
80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离．
（1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当x=0.5时，求y的值．
【变式5-3】（2023春·云南文山·八年级期末）艺术节前夕，为了增添节日气氛，某校决定采购大小两种型
号的气球装扮活动场地，计划购买4盒大气球，x盒小气球（x>4）．A、B两个商场中，两种型号的气球
原价一样，都是大气球50元/盒，小气球10元/盒，但给出了不同的优惠方案：
A商场：买一盒大气球，送一盒小气球；
B商场：一律九折优惠；
（1）分别写出在两个商场购买时需要的花费y（元）与x（盒）之间的关系式；
（2）如果学校最终决定购买10盒小气球，那么选择在哪个商场购买比较合算？
【知识点3 一次函数与正比例函数的图象与性质】
1、正比例函数的图象与性质
解析式 y=kx(k≠0)
自变量取值范围 全体实数
形状 过原点的一条直线
图象
k的取值 k>0 k<0y y
示意图
x x
O O
位置 经过一、三象限 经过二、四象限
趋势 从左向右上升 从左向右下降
y随x的增大而增大， y随x的增大而减小
函数增减性
即：当x >x 时，y >y 即：当x >x 时，y 0 k<0
k、b的 O x
取值
图象 b>0 b<0 b>0 b<0
y y y y
示意图
O x O x O x O x
经过一、二、 经过一、三、 经过一、二、 经过二、三、
位置
三象限 四象限 四象限 四象限
趋势 从左向右上升 从左向右下降
y随x的增大而增大， y随x的增大而减小
函数增减性
即：当x >x 时，y >y 即：当x >x 时，y 1时，图象从左向右上升，y随x的增大而增大；
②当k<1时，图象经过第二、三、四象限；
③函数图象一定过点(1,0)．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【题型8 根据一次函数的性质求参数的范围】
【例8】（2023春·湖南永州·八年级校考期中）已知一次函数y=(m+2)x+(m-3)，若y随x的增大而增
大，且此函数图象与y轴的交点在x轴下方，则m的取值范围是 ．【变式8-1】（2023春·江西九江·八年级统考期中）若一次函数y=kx-4的函数值y随x的增大而增大，则
k的值可能是（ ）
A．3 B．-12 C．-4 D．0
【变式8-2】（2023春·湖北咸宁·八年级统考期末）已知A(x ,y )，B(x ,y )是一次函数y=(a-1)x+1
1 1 2 2
图象上不同的两个点，若y - y ，则实数a的取值范围为 ．
1 2<0
x -x
1 2
【变式8-3】（2023春·福建福州·八年级校考期中）若点（x，y）、（x，y）是一次函数y＝ax+2图象上
1 1 2 2
不同的两点，记m＝（x﹣x）（y﹣y），当m＜0时，a的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．a＞0 B．a＜0 C．a＜1 D．a＞1
【题型9 根据一次函数的增减性求自变量的变化情况】
【例9】（2023春·浙江湖州·八年级统考期末）已知点 和点 在直线 上，且
A(2，y ) B(a，y ) y=-x+3
1 2
y >y ，则a的值可能是（ ）
1 2
A．-3 B．-2 C．1 D．3
【变式9-1】（2023春·陕西西安·八年级统考期末）已知点 都在直线 上，则 与
(x ,-5)(x ,2) y=-2x+b x
1 2 1
x 的大小关系为（ ）
2
A．x >x B．x =x C．x 0)上两点，则x ，x 的大小关系是（ ）
2 2 1 2
A．x >x B．x ”，“<”或“=”）
【题型10 根据一次函数的增减性比较函数值大小】
【例10】（2023春·全国·八年级期末）已知点 ， ， 三点在直线 的
A(x ,y ) B(x ,y ) C(x ,y ) y=7x+14
1 1 2 2 3 3
图像上，且x >x >x ，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 3 2 1 2 3A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1
1
【变式10-1】（2023春·河南安阳·八年级统考期末）已知，一次函数y=- x+1．
2
(1)画出这个函数的图象；
(2)若点Q(a+2,2)在这个函数的图象上，求出a的值，写出点Q的坐标；
(3)这个函数的图象上有两个点： ， ，请比较 和 的大小，并说明理由．
A(√17,y ) B(5,y ) y y
1 2 1 2
【变式10-2】（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）已知 ， 是一次函数
M(x ,y ) N(x ,y )
1 1 2 2
y=kx+2(k>0)图象上的点，若x <0
