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专题 19.2 一次函数图象与坐标轴的交点问题
◆ 典例分析
4
【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=− x+8分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点
3
B作BC⊥AB交x轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）点D为直线AB上一点，且∠DCA=∠DAC，求直线CD的解析式；
（3）若点Q是x轴上一点，连接BQ，将ΔABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y轴上时，求点Q的坐
标．
【思路点拨】
4
（1）设C(−m,0)，m>0，由直线AB:y=− x+8分别交x轴、y轴于点A，B可得A(6,0)，B(0,8)，
3
利用面积法即可求解；
（2）过点D作DE⊥x轴于E，由∠DCA=∠DAC得CD=AD，根据等腰三角形的性质得AE=CE，则
( 7 ) ( 7 100)
E − ，0 ，点D − ， ，利用待定系数法即可得直线CD的解析式；
3 3 9
（3）分点A落在y轴负半轴和y轴正半轴上两种情况分类讨论，利用折叠的性质以及勾股定理求解即可．
【解题过程】
（1）解：设C(−m,0)，m>0，
4
∵直线AB:y=− x+8分别交x轴、y轴于点A，B，
3
∴A(6,0)，B(0,8)，∴OA=6，OB=8，AB=❑√OA2+OB2=10，BC=❑√m2+82，AC=m+6，
1 1
∴S = AB⋅BC= AC⋅OB，
ΔABC 2 2
32
∴10×❑√m2+82=8(m+6)，解得m= ，
3
( 32 )
∴点C的坐标为 − ,0 ；
3
（2）解：过点D作DE⊥x轴于E，
∵∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD，
∴AE=CE，
( 32 )
∵A(6,0)，C − ，0 ，
3
( 7 )
∴E − ，0 ，
3
∵点D为直线AB上一点，
( 7 100)
∴点D的坐标为 − ， ，
3 9
设直线CD的解析式为y=sx+t，
32 4
{ − s+t=0 ) { s= )
3 3
∴ ，解得 ，
7 100 128
− s+t= t=
3 9 9
4 128
∴直线CD的解析式为y= x+ ；
3 9
（3）解：设点Q的坐标为(q,0)．
将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y轴负半轴上时，设点A落在y轴负半轴的点A′处，如图所
示：根据折叠的性质可得：QA=QA′，AB=A′B=10，B(0,8)，
∴A′ (0,−2)，
∴QA′=2，
在Rt△OA′Q中，A′Q2=OA′2+OQ2，
8
∴(6−q) 2=22+q2，解得q= ，
3
(8 )
∴点Q的坐标为 ，0 ；
3
将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y轴正半轴上时，设点A落在y轴正半轴的点A′处，如图所
示：
′
根据折叠的性质可得：QA=QA′，A′B=AB=10，B(0,8)，
∴A′ (0,18)，
∴QA′=QA=6−q，
在Rt△OA′Q中，A′Q2=OA′2+OQ2，
∴(6−q) 2=182+q2，解得q=−24，
∴点Q的坐标为(−24,0)；(8 )
综上，点Q的坐标为 ，0 或(−24,0)．
3
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，一次函数y =x+n的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两
1
点，且与正比例函数y =−2x的图象交于点B(−2,m)．
2
（1）求m，n的值；
（2）当y >y 时，直接写出自变量x的取值范围；
1 2
（3）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求点P的坐标．
【思路点拨】
（1）先把点B(−2,m)代入y =−2x求得B(−2,4)，再把点B(−2,4)代入y =x+n求n得值即可；
2 1
（2）根据图象求解即可；
（3）作点A关于y轴的对称点A′ (6,0)，连接A′B，交y轴于点P，此时，PA+PB的值最小，利用待定系
数法全等直线A′B的解析式，令x=0，求得y的值即可．
【解题过程】
（1）解：把点B(−2,m)代入y =−2x得，m=−2×(−2)=4，
2
∴B(−2,4)，
把点B(−2,4)代入y =x+n得，−2+n=4，
1
解得n=6；（2）解：由图可得，当y >y 时，x>−2；
1 2
（3）解：如图，过点A作关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，
把y=0代入y=x+6得，x+6=0，
解得x=−6，
∴A(−6,0)，
由对称的性质可得， AP=A′P，A′(6,0)，
∴AP+BP=A′P+BP≥A′B，
∴当点A、P、B三点共线时，PA+PB的值最小，
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
把A′(6,0)、B(−2,4)代入得，
{ 6k+b=0 )
，
−2k+b=4
{ k=− 1 )
解得 2 ，
b=3
1
∴直线A′B的表达式为y=− x+3，
2
把x=0代入得，y=3，
∴P(0,3)．
2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，已知点M(1,4)，N(5,2)，P(0,3)，Q(3,0)，过P、
Q两点的直线的函数表达式为y=−x+3，动点P从现在的位置出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向
上移动，设移动时间为ts．（1）若直线PQ随点P向上平移，则：
①当t=3时，求直线PQ的函数表达式．
②当点M，N位于直线PQ的异侧时，确定t的取值范围．
（2）当点P移动到某一位置时，△PMN的周长最小，试确定t的值．
【思路点拨】
（1）①设平移后的函数表达式为y=−x+b，其中b=3+t，即可求解；
②当直线PQ过点M时，将点M的坐标代入y=−x+3+t可得t=2；当直线PQ过点N时可得t=4，即可求
解；
（2）作点N关于y轴的对称点N′(−5,2)，连接M N′交y轴于点P，则点P为所求点，即可求解．
【解题过程】
（1）解：（1）①∵过P、Q两点的直线的函数表达式为y=−x+3，P(0,3)，Q(3,0)，
动点P从现在的位置出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，设移动时间为ts，设平移后的函数
表达式为y=−x+b，
当x=0时，y=b，
∴此时P(0,b)，
∴b=3+t，
∴y=−x+3+t，
当t=3时，直线PQ的函数表达式为y=−x+6；
②当直线PQ：y=−x+3+t过点M(1,4)时，
得：−1+3+t=4，
解得：t=2，
当直线PQ：y=−x+3+t过点N(5,2)时，
得：−5+3+t=2，
解得：t=4，
∴当点M，N位于直线PQ的异侧时，t的取值范围为2OP，即和△OQP≌△OMP矛盾
∴∠OPQ=90°不成立；
( 9 9)
∴在y轴上存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与△OMP全等，点P的坐标为： , 或
10 5
(18 9) (9 3) ( 9 27)
,− 或 , 或 − , ．
5 5 5 5 5 5
7．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，我们称直线y=ax+b(a，b为常数）
是点P(a,b)的关联直线，点P(a,b)是直线y=ax+b的关联点；特别地，当a=0时，直线y=b的关联点
为P(0,b)．
如图，直线AB:y=−2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．【定义辨析】
（1）直线AB的关联点的坐标是（ ）
A．(0,0) B．(0,4) C．(2,0) D．(−2,4)
【定义延伸】
（2）点A的关联直线与直线AB交于点C，求点C的坐标；；
【定义应用】
（3）点K(1,m)的关联直线与x轴交于点E，∠ABE=45°，求m的值．
【思路点拨】
（1）根据题中所给新定义可直接进行求解；
（2）求出点A的坐标为(2,0)，根据题中所给新定义可得点A的关联直线为y=2x，联立直线
AB:y=−2x+4即可求解；
（3）根据题中所给新定义可得点K(1,m)的关联直线为y=x+m，则点E(−m,0)，分两种情况：①当点
E在直线AB左侧时，②当点E在直线AB右侧时，分别求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵直线y=ax+b(a，b为常数），点P(a,b)是直线y=ax+b的关联点，
∴直线AB:y=−2x+4的关联点的坐标是(−2,4)，
故答案为：D；
（2）直线AB:y=−2x+4，当y=0时，−2x+4=0，解得x=2，
∴点A的坐标为(2,0)，
∵直线y=ax+b(a，b为常数）是点P(a,b)的关联直线，
∴点A的关联直线为y=2x，
{ y=2x ) {x=1)
联立得 ，解得 ，
y=−2x+4 y=2
∴C的坐标为(1,2)；
（3）点K(1,m)的关联直线为y=x+m，
当y=0时，x=−m，∴点E的坐标为(−m,0)，
当x=0时，−2x+4=4，
∴点B的坐标为(0,4)，
①如图1，当点E在直线AB左侧时，过点E作DE⊥BE，交直线AB于点D，过点D作DH垂直x轴于点H
．
∴∠DHE=90°
∵DE⊥BE，
∴∠BED=90°，
∴∠BEO+∠AED=90°，
∵∠BOE=90°，
∴∠BEO+∠OBE=90°，
∴∠OBE=∠AED，
∵∠ABE=45°，∠BED=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE=DE，
∵∠BOE=∠DHE=90°，
∴△BOE≌△DEH(AAS)，
∴OE=DH=m，OB=EH=4，
∴D的坐标为(4−m,−m)，
4
把点D代入y=−2x+4得，m= ；
3
②如图2，当点E在直线AB右侧时，同理可证△BOE≌△EHD(AAS)，
∴OE=DH=−m，OB=EH=4，
∴点D的坐标为(−m−4,m)
把点D代入y=−2x+4得，m=−12，
4
综上所述，m的值为 或−12．
3
8．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴，y轴分别交于
点A,C，经过点C的直线与x轴交于点B(6,0)．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，连接AG，若AG把△ABC分成两个三角形，且满足S :S =1:2，
△ACG △ABG
求点G的坐标；
（3）已知D为AC的中点，点E是平面内一点，当△CDE是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写
出点E的坐标．
【思路点拨】
（1）根据题意，求得点C的坐标，结合B的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出S =27，设G(m,−m+6)，根据S :S =1:2得到S =18，根据三角形的面积即
△ABC △ACG △ABG △ABG
可求得m的值，进而求得G点的坐标；
（3）分类讨论：①当点D为直角顶点时，②当点C为直角顶点时，根据等腰直角三角形以及全等三角形
的性质即可求解．【解题过程】
（1）解：∵直线y=2x+6与x轴，y轴分别交于点A,C，
∴令y=0，则2x+6=0，解得x=−3，
令x=0，则y=6，
∴A(−3,0)，C(0,6)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵直线BC过点B(6,0)，C(0,6)，
{6k+b=0) {k=−1)
∴ ，解得 ，
b=6 b=6
∴直线BC的解析式为y=−x+6，
（2）解：如图，
∵A(−3,0)，B(6,0)，C(0,6)，
∴AB=9，OC=6，
1
∴S = AB⋅OC=27，
ΔABC 2
设G(m,−m+6)(00，
∴m<0，
∴m=−3，经检验，m=−3是原分式方程的根，m(1−m) −3×[1−(−3))
∴当m=−3时， = =6，
1+m 1+(−3)
∴E(6,0)．
18．（22-23八年级下·福建福州·期中）直线y=kx−2k(k<0)交x轴于点B，交y轴于点A．
（1）如图1，若k=−3，则点A坐标为______，点B坐标为______；
k k AD
（2）如图2，若直线CD：y= x− 交AB于点D，点C的横坐标为−1，求 的值；
2 2 AC+BD
（3）当k=−3时，若点Q为x轴上的一点，∠QAB=45°，求点Q坐标．
【思路点拨】
（1）将k=−3，x=0，y=0分别代入y=kx−2k(k<0)求解即可；
（2）求得B、C坐标，过点C作CF∥x轴，交y轴于点E，交AB于点F，即点F的纵坐标与点C相同，可
求得F的横坐标，过点F作FG⊥x轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK∥x轴于点K，
AD AD
通过证明△BFG≌△BDH(SAS)，将 转化成 求解即可；
AC+BD AB
（3）过点B作BR⊥AQ于点R，由已知可得△ARB是等腰直角三角形，则AR=BR，过点R作RM⊥x轴
于点M，过点A作AN⊥RM于点N，设AN=RM=a，NR=MB=b，画出点Q在点B的左侧或右侧的图
形，分类讨论，得到a与b的等量关系建立方程组，求得R的坐标，再利用待定系数法求得直线AR的解析
式，令y=0即可求解．
【解题过程】
（1）解：当x=0，k=−3时，则y=−3×0−2×(−3)=6，
∴A(0,6)，
当y=0，k=−3时，则0=−3x−2×(−3)，
解得：x=2，
∴B(2,0)，故答案为：(0,6)，(2,0)；
（2）解：如图，过点C作CF∥x轴，交y轴于点E，交AB于点F；过点F作FG⊥x轴于点G，过点D作
DH⊥x轴于点H，
∴∠AEC=∠AEF=∠FGB=∠DHB=90°，
∵y=kx−2k=0时，
解得：x=2，
∴B(2,0)，
k k
∵点C横坐标为−1，且在直线y= x− 上，
2 2
k k
∴y =− − =−k，
C 2 2
∴FG= y = y =−k，
F C
当y=kx−2k=−k时，
解得：x=1，
∴F(1,−k)，
∴CE=EF=1，BG=x −x =1，
B F
∴AE垂直平分CF，
∴AC=AF，
{y=kx−2k
)
∵ k k ，
y= x−
2 2
{x=3)
解得： ，
y=k
∴D(3,k)，
∴DH=|k)=FG，BH=x −x =1=BG，
D B
在△BFG与△BDH中，{
FG=DH
)
∠FGB=∠DHB ，
BG=BH
∴△BFG≌△BDH(SAS)，
∴BF=BD，
∴AC+BD=AF+BF=AB，
∵A(0,−2k)，B(2,0)，D(3,k)，
∴AB=❑√(0−2) 2+(−2k−0) 2=❑√4+4k2=2❑√1+k2，AD=❑√(0−3) 2+(−2k−k) 2=❑√9+9k2=3❑√1+k2
，
AD AD 3❑√1+k2 3
∴ = = = ；
AC+BD AB 2❑√1+k2 2
（3）解：过点B作BR⊥AQ于点R，过点R作RM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥RM于点N，
∵∠QAB=45°，∠ARB=90°，
∴ △ARB是等腰直角三角形，
∴AR=BR，
∵∠ANR=∠RMB=90°，
∴∠NAR+∠ARN=∠ARN+∠MRB=90°，
∴∠NAR=∠MRB，
∴△ANR≌△RMB(AAS)，
∴AN=RM，NR=MB，
设AN=RM=a，NR=MB=b，
由（1）知当k=−3时，A(0,6)，B(2,0)，
∴OA=6，OB=2，
①如图，当点Q在点B左侧时，R在第二象限，
∴NR+RM=MN=OA=6，MB−AN=MB−MO=OB=2，{a+b=6)
∴ ，
b−a=2
{a=2)
解得： ，
b=4
∴R(−2,2)，
设直线AR解析式为y=cx+6，
∴−2c+6=2，
解得：c=2，
∴直线AR解析式为y=2x+6，
当y=5x+6=0时，解得x=−3，
∴ Q(−3,0)，
②如图，当点Q在点B右侧时，R在第一象限，
∴NR+RM=MN=OA=6，AN−MB=MO−MB=OB=2，
{a+b=6)
∴ ，
a−b=2
{a=4)
解得： ，
b=2
∴R(4,4)，
设直线AR解析式为y=dx+6，
∴4d+6=3，
3
解得：d=− ，
4
3
∴直线AR解析式为y=− x+6，
4
3
当y=− x+6=0时，解得x=8，
4
∴ Q(8,0)，
综上所述，点Q的坐标为(−3,0)或(8,0)．3
19．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）已知：如图，一次函数y= x−3的图像分别与x轴、y轴相交于点
4
A(4,0)、B(0,−3)，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y=kx+b的图像相交于点D，直线CD与y轴
相交于点E，E与B关于x轴对称，OA=3OC．
（1）求直线CD的函数表达式和点D的坐标；
（2）点P为线段DE上的一个动点，连接BP．
①若直线BP将△ACD的面积分为7:9两部分，试求点P的坐标：
②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存
在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据题意，利用已知条件得到点C，点E坐标，用待定系数法可求出直线CD的解析式，联立直线CD
和直线AB的解析式可求出点D的坐标．
（2）①过点D作DF⊥x轴于点F，先求出△ACD的面积，直线BP将△ACD的面积分为7:9两部分，需
7
要分两种情况：当点P在线段CD上时，则有S = S ，由此建立方程求解，得到答案；当点P在
△DBP 16 △ACD
7
线段CE上时，设直线BP与x轴交于点Q，此时有S = S ，由此建立方程求解，得到答案．
△ABQ 16 △ACD
②将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上，需要分三种情况：当点D落在
x轴负半轴上；当点D落在y轴上；当点D落在x轴正半轴上，画出图形，求出答案．
【解题过程】
（1）解：根据题意得：
点A(4,0)、B(0,−3)，
∴ OA=4，
∵ E与B关于x轴对称，OA=3OC，4
∴ E(0，3)，OC= ，
3
( 4 )
∴ C − ，0 ，
3
把点C和点E的坐标代入一次函数y=kx+b，
{ − 4 k+b=0)
∴ 3 ，
b=3
{ k= 9 )
解得 4 ，
b=3
9
∴直线CD的函数表达式为：y= x+3，
4
9 3
令 x+3= x−3，
4 4
解得：x=−4，
3
∴ y= ×(−4)−3=−6，
4
∴点D的坐标为(−4,−6)．
（2）①如图，过点D作DF⊥x轴于点F，连接BC，
∴ DF=6
，
4
∵ OA=4，OC= ，
3
16
∴ AC= ，
3
1 1 16
∴ S = ⋅AC⋅DF= × ×6=16，
△ACD 2 2 3
∵ A(4,0)、B(0,−3)、D(−4,−6)，
∴点B是线段AD的中点，
∴ S =S ，
△DBC △ACB
当点P在线段CD上时，则有7
S = S ，
△DBP 16 △ACD
1
∵ S = (x −x )⋅BE，
△DBP 2 P D
1 7
∴ (x +4)⋅6= ×16，
2 P 16
5
解得：x =− ，
P 3
( 5 3)
∴ P − ,− ；
3 4
当点P在线段CE上时，设直线BP与x轴交于点Q，如图，此时有
7
S = S ，
△ABQ 16 △ACD
1
∵ S = ⋅AQ⋅BO
△ABQ 2
，
1 14
∴ AQ⋅3=7，解得AQ= ，
2 3
14 2
∴ OQ= −3= ，
3 3
( 2 )
∴ Q − ,0 ，
3
9
∴直线BQ的解析式为y=− x−3，
2
9 9
令 x+3=− x−3，
4 2
8
解得：x=− ，
9
( 8 )
∴ P − ,1 ，
9
( 5 3) ( 8 )
综上所述，若直线BP将△ACD的面积分为7:9两部分，点P的坐标为 − ,− 或 − ,1 ．
3 4 9②存在，理由如下：
将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上，分三种情况：
当点D落在x轴负半轴上D 处，如图，
1
由折叠性质可知，∠DBP=∠D BP，BD=BD ，
1 1
由 题意可知，OB=3，OA=4，
则AB=5，
∴ BD=AB=5，
∴ BD =5，
1
∴ OD =4，
1
∴ △ABO≌△D BO(SSS)，
1
∴ ∠OAB=∠OD B，
1
∵ ∠DBD =∠OAB+∠OD B，
1 1
∴ ∠OD B=∠D BP，
1 1
∴ BP∥x轴，
∴点P的纵坐标为−3，
( 8 )
∴ P − ,−3 ；
3
当点D落在y轴上D 处，如图，
2
过点P作PG⊥AD于点G，作PH⊥y轴于点H，过点D作DM⊥y轴于点M，
由折叠性质得：BP平分∠DBD ，
2
∴ PG=PH，
∵ S =S +S ，
△DBP △BEP △BDE
1 1 1
∴ ⋅BE⋅DM= ⋅BD⋅PG+ ⋅BE⋅PH，
2 2 2
1 1 1
即 ×6×4= ×5⋅PG+ ×6⋅PH，
2 2 2
24
解得：PG=PH= ，
11
( 24 21)
∴ P − ,− ；
11 11
当点D落在x轴正半轴上D 处，如图，
3
此时，点A和点D 重合，和符合题意，舍去，
3
综上所述，存在点P，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上，此时点P
( 8 ) ( 24 21)
坐标为 − ,−3 或 − ,− ．
3 11 11
(2 )
20．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+4过点A ,a ，
3
与x轴交于点B．直线y=x+2过点A，交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求点A，B的坐标及k的值；
（2）以AB为边，在直线AB右侧作等腰直角△ABH，求出点H的坐标；
5
（3）如图2，点E为CD中点，点P在直线y=kx+4上，连接DP,EP，当△DEP面积为 时，求点P的
4
坐标．
【思路点拨】
(2 )
（1）将点A ,a 代入直线y=x+2求出a得到点A的坐标，将点A坐标代入y=kx+4，求出k得到一次
3
函数解析式，再求出y=0时x的值即可得到点B的坐标；
（2）分三种情况：当△ABH 是等腰直角三角形时，AB=BH ,∠ABH =90°；当△ABH 是等腰直角
2 2 2 1
三角形时，AB=AH ,∠BAH =90°；当△ABD 是等腰直角三角形时，AH =BH ,∠AH B=90°
1 1 3 3 3 3
，根据全等三角形的判定和性质求解即可；
1 5❑√2
（3）根据C(−2,0),D(0,2)，求出DE= CD=❑√2，利用面积求出ℎ = ，过点P作直线l ∥CD，交
2 4 1
5❑√2 5
x轴于Q，过点C作CR⊥l ，得到CR= ，即CD向右平移 个单位得到l ，求出l 的解析式为
1 4 2 1 1
( 5) 1 5
y= x− +2=x− ，求两直线交点即为点P；同理，CD向右平移 个单位得到l ，同理得到点P的坐
2 2 2 2
标．
【解题过程】
(2 ) 2 8
（1）解：将点A ,a 代入直线y=x+2中，得a= +2= ，
3 3 3
(2 8)
∴A , ；
3 3
2 8
将点A坐标代入y=kx+4，得 k+4= ，
3 3
解得k=−2，
∴y=−2x+4，
当y=0时，−2x+4=0，解得x=2，
∴B(2,0)；
（2）当△ABH 是等腰直角三角形时，AB=BH ,∠ABH =90°
2 2 2
∵直线AB的解析式为y=−2x+4，1
∴设直线BH 的解析式是y= x+n，将点B的坐标代入，得n=−1，
2 2
1
∴直线BH 的解析式是y= x−1，
2 2
过点A作AF⊥OB于F，过点H 作H E⊥OB于E，
2 2
∴∠AFB=∠H EB=90°
2
∵∠ABF+∠FAB=∠ABF+∠H BE=90°
2
∴∠FAB=∠H BE
2
又∵AB=BH
2
∴△ABF≌△BH E
2
8
∴BE=AF=
3
8 14
∴OE=OB+BE=2+ =
3 3
14 1 1 14 4
∴当x= 时，y= x−1= × −1=
3 2 2 3 3
(14 4)
∴H , ；
2 3 3
当△ABH 是等腰直角三角形时，AB=AH ,∠BAH =90°，
1 1 1
1
设直线AH 的解析式为y= x+m，
1 2
7
将点A的坐标代入，得m= ，
3
1 7
∴直线AH 的解析式为y= x+ ，
1 2 3
过点H 作H G⊥AF交AF延长线于G，
1 1
可得△AH G≌△BAF，
1
8
∴H G=AF= ，
1 3
2 8 10
∴点H 的横坐标为 + = ，
1 3 3 3
1 10 7
∴点H 的纵坐标为y= × + =4，
1 2 3 3
(10 )
∴H ,4 ；
1 3当△ABH 是等腰直角三角形时，AH =BH ,∠AH B=90°，如图，
3 3 3 3
过点H 作H T⊥AB于T，则H T=AT=BT,∠AT H =90°，
3 3 3 3
(2 8)
∵A , ，B(2,0)，
3 3
(4 4)
∴T , ，
3 3
1 2
∴直线H T的解析式为y= x+ ，
3 2 3
过T作MN∥x轴，过A作AM⊥MN，过点H 作H N⊥MN，
3 3
1 8 4 1 ( 2) 2
同理可得TN=AM= × = ，H N=MT= × 2− = ，
2 3 3 3 2 3 3
(8 )
∴H ,2 ；
3 3(14 4) (10 ) (8 )
综上，点H的坐标为 , 或 ,4 或 ,2 ；
3 3 3 3
（3）∵C(−2,0),D(0,2)，
∴OC=OD=2，
∴CD=2❑√2,
∵点E为CD中点，
1
∴DE= CD=❑√2
2
5
∵△DEP面积为 ，
4
1 1 5
∴ DE⋅ℎ = ×❑√2ℎ = ，
2 2 4
5❑√2
∴ℎ = ，
4
过点P作直线l ∥CD，交x轴于Q，过点C作CR⊥l ，
1 1
5❑√2
∴CR=
4
5
∴CQ=
2
5
∴CD向右平移 个单位得到l ，
2 1
( 5) 1
∴l 的解析式为y= x− +2=x− ，
1 2 2
1
∴x− =−2x+4，
2
3
解得x=
23 1
∴y= − =1，
2 2
(3 )
∴P ,1 ；
2
5
同理，CD向右平移 个单位得到l ，
2 2
( 5) 9
∴l 的解析式为y= x+ +2=x+ ，
2 2 2
9
∴x+ =−2x+4，
2
1
解得x=− ，
6
1 9 13
∴y=− + =
6 2 3
( 1 13)
∴P − ,
6 3
