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专题 19.2 一次函数图象与坐标轴的交点问题
◆ 典例分析
4
【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=− x+8分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点
3
B作BC⊥AB交x轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）点D为直线AB上一点，且∠DCA=∠DAC，求直线CD的解析式；
（3）若点Q是x轴上一点，连接BQ，将ΔABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y轴上时，求点Q的坐
标．
【思路点拨】
4
（1）设C(−m,0)，m>0，由直线AB:y=− x+8分别交x轴、y轴于点A，B可得A(6,0)，B(0,8)，
3
利用面积法即可求解；
（2）过点D作DE⊥x轴于E，由∠DCA=∠DAC得CD=AD，根据等腰三角形的性质得AE=CE，则
( 7 ) ( 7 100)
E − ，0 ，点D − ， ，利用待定系数法即可得直线CD的解析式；
3 3 9
（3）分点A落在y轴负半轴和y轴正半轴上两种情况分类讨论，利用折叠的性质以及勾股定理求解即可．
【解题过程】
（1）解：设C(−m,0)，m>0，
4
∵直线AB:y=− x+8分别交x轴、y轴于点A，B，
3
∴A(6,0)，B(0,8)，， ， ， ， ，
∴OA=6 OB=8 AB=❑√OA2+OB2=10 BC=❑√m2+82 AC=m+6
1 1
∴S = AB⋅BC= AC⋅OB，
ΔABC 2 2
32
∴10×❑√m2+82=8(m+6) ，解得m= ，
3
( 32 )
∴点C的坐标为 − ,0 ；
3
（2）解：过点D作DE⊥x轴于E，
∵∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD，
∴AE=CE，
( 32 )
∵A(6,0)，C − ，0 ，
3
( 7 )
∴E − ，0 ，
3
∵点D为直线AB上一点，
( 7 100)
∴点D的坐标为 − ， ，
3 9
设直线CD的解析式为y=sx+t，
32 4
{ − s+t=0 ) { s= )
3 3
∴ ，解得 ，
7 100 128
− s+t= t=
3 9 9
4 128
∴直线CD的解析式为y= x+ ；
3 9
（3）解：设点Q的坐标为(q,0)．
将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y轴负半轴上时，设点A落在y轴负半轴的点A′处，如图所
示：根据折叠的性质可得：QA=QA′，AB=A′B=10，B(0,8)，
，
∴A′ (0,−2)
∴QA′=2，
在Rt△OA′Q中，A′Q2=OA′2+OQ2，
8
∴(6−q) 2=22+q2，解得q= ，
3
(8 )
∴点Q的坐标为 ，0 ；
3
将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y轴正半轴上时，设点A落在y轴正半轴的点A′处，如图所
示：
′
根据折叠的性质可得：QA=QA′，A′B=AB=10，B(0,8)，
，
∴A′ (0,18)
∴QA′=QA=6−q，
在Rt△OA′Q中，A′Q2=OA′2+OQ2，
，解得 ，
∴(6−q) 2=182+q2 q=−24
∴点Q的坐标为(−24,0)；(8 )
综上，点Q的坐标为 ，0 或(−24,0)．
3
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，一次函数y =x+n的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两
1
点，且与正比例函数y =−2x的图象交于点B(−2,m)．
2
（1）求m，n的值；
（2）当y >y 时，直接写出自变量x的取值范围；
1 2
（3）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求点P的坐标．2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，已知点M(1,4)，N(5,2)，P(0,3)，Q(3,0)，过P、
Q两点的直线的函数表达式为y=−x+3，动点P从现在的位置出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向
上移动，设移动时间为ts．
（1）若直线PQ随点P向上平移，则：
①当t=3时，求直线PQ的函数表达式．
②当点M，N位于直线PQ的异侧时，确定t的取值范围．
（2）当点P移动到某一位置时，△PMN的周长最小，试确定t的值．3．（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数解析式为y=x−1，
1
与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线l 的函数解析式为y=kx+b，与x轴，y轴分别交于点C(6,0)，点
2
8
D，直线l 与l 交于点E，已知点E的横坐标为 ．
1 2 3
（1）求直线l 的函数解析式；
2
（2）若直线l 上存在点P，使得S =6，请求出点P的坐标；
2 △OCP
（3）已知M是线段BE上的动点，过点M作直线MN平行于y轴，交直线l 于点N，过点M作y轴的垂
2
线，交y轴于点Q，是否存在点M，使Rt△MNQ的两条直角边之比为1:2？若存在，请求出满足条件的所
有点M的坐标；若不存在，请说明理由．5
4．（22-23八年级下·重庆涪陵·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=− x−3与x轴、y轴分
1 4
别交于点A，B，直线l 交x轴、y轴分别于点C(−6,0)，D(0,6)，直线l 与直线l 交于点E，连接BC．
2 2 1
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）求△BCE的面积；
（3）连接OE，若点P是x轴上一动点，连接PE，当△POE为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．5．（22-23八年级下·福建龙岩·期末）直线l:y=kx−3k+3与x轴、y轴分别交于点A、B，无论k取何
值，直线l经过定点M．
（1）请直接写出定点M的坐标；
（2）定义：在平面直角坐标系xOy中，将点P(x，y)变换为P (ax+b，by+a)（a，b为常数），我们
1
1 ( 5 ) ( 1 1 )
把这种变换称为“兔变换”，当k= 时，点B，C m− ，ℎ ，D m− ，m+ n 经过“兔变换”
3 2 2 2
后的对应点分别是 ，若 轴，点 在 轴上，求 ；
B (2，5)，C ，D CC ∥x D x S
1 1 1 1 1 △DC D
1 1
（3）在（2）的条件下，点 在 轴上，连接 ，若 ，求点 的坐标．
Q x MQ S =9S Q
△AMQ △DC D
1 14
6．（22-23八年级上·广东佛山·期中）如图，直线l上y=− x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
3
OM⊥AB于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．
（1）点A坐标为（ ）；点B坐标为（ ）；线段OM的长为________．
（2）当△BOP的面积是6时，求点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与△OMP全等，若存在，请直接写出所有
符合条件的点P的坐标，否则，说明理由．7．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，我们称直线y=ax+b(a，b为常数）
是点P(a,b)的关联直线，点P(a,b)是直线y=ax+b的关联点；特别地，当a=0时，直线y=b的关联点
为P(0,b)．
如图，直线AB:y=−2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．
【定义辨析】
（1）直线AB的关联点的坐标是（ ）
A．(0,0) B．(0,4) C．(2,0) D．(−2,4)
【定义延伸】
（2）点A的关联直线与直线AB交于点C，求点C的坐标；；
【定义应用】
（3）点K(1,m)的关联直线与x轴交于点E，∠ABE=45°，求m的值．
8．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴，y轴分别交于点A,C，经过点C的直线与x轴交于点B(6,0)．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，连接AG，若AG把△ABC分成两个三角形，且满足S :S =1:2，
△ACG △ABG
求点G的坐标；
（3）已知D为AC的中点，点E是平面内一点，当△CDE是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写
出点E的坐标．
9．（23-24八年级下·湖北荆门·阶段练习）如图，直线AB∶y=x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点
A的坐标为(−8,0)，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB∶OC=4∶3．（1）直接写出B、C两点的坐标；
（2）在x轴上方是否存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，求出点D的
坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点P是y轴上的一点，连接CP，将△BCP沿直线CP翻折，当点B的对应点B′恰好落在x轴上时，求
此时直线CP的函数表达式．
10．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x−3与x轴和y轴分别交于
点B，C，与直线y=x相交于点A．（1）求点A的坐标及△AOB的面积．
（2）在线段OA上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线AC交于点D，问在y轴上是否存在点
H，使得△PDH是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存
在，请说明理由．
（3）过点A作y轴的垂线AE，垂足为E，在y轴上找点M，使∠MAE=∠OAB，请直接写出点M的坐
标．
11．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=−x+4
交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B．（1）求∠OAB的度数：
（2）如图1，点C在OA上，点D在OB的延长线上，且AC=BD，连接CD交AB于点E，求证：CE=DE
；
（3）如图2，在（2）的条件下，点F在y轴的负半轴上，OF=BD，点G在BA的延长线上，连接EF，
OG，FG，若∠OFG+∠OFE=90°，且OG=EF，求线段FG的长．
12．（22-23八年级上·山东济南·期末）综合与探究：1
如图1，平面直角坐标系中，一次函数y= x+3图像分别交x轴、y轴于点A、B，一次函数y=−x+b的
2
图像经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．
（1）求直线BC的表达式与点C的坐标；
（2）如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H，试探究直线AB上是否存在点P，使
PQ=BC？若存在，求出点P的坐标，说明理由．
（3）试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出M点的
坐标，若不存在，请说明理由．
13．（23-24八年级上·重庆大渡口·期中）如图，直线y=−2x+4交x轴和y轴于点A和点B，点
C(0,−2)在y轴上，连接AC．（1）求直线AC的解析式；
（2）若点P是直线AB上一点，若△BPC的面积为3，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点D，使得△ABD是等腰三角形，若存在，请直接写出点D坐标，若不存在，
请说明理由．
4
14．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+8与x轴交于点A，与y
3
轴交于点B，点C为y轴上一动点（动点C与点B不重合），点B′是点B关于直线AC的对称点，连接AB′．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求线段AB′的长度；
（3）当点C的坐标是(0,6)时，请直接写出点B′的坐标；
（4）当点B′在x轴上时，请直接写出点C的坐标．
1
15．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）如图1，已知函数y= x+3与x轴交于点A，与y轴交于点
2
B，点C与点A关于y轴对称．（1）请写出点A坐标 ，点B坐标 ，直线BC的函数解析式 ；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
7
①若△PQB的面积为 ，求点Q的坐标；
2
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP=∠BAC，直接写出P的坐标．
16．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线
段AO上，将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若OA=4，OD=2．（1）求直线AB的解析式．
（2）求S :S 的值．
△ABC △OCD
（3）直线CD上是否存在点P使得∠PBC=45°，若存在，请直接写出P的坐标．
17．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=2x+b交x轴
的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，OA=4．（1）求点B的坐标；
（2）如图1，直线y=mx−m交x轴的正半轴于点C，交OB于点D，连接AD，设△ACD的面积为S，求S
与m的函数解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E在OC的延长线上，连接BE，DE，若∠OBE=2∠ODC，
∠OED+∠ODC=∠CDE，求点E的坐标．
18．（22-23八年级下·福建福州·期中）直线y=kx−2k(k<0)交x轴于点B，交y轴于点A．（1）如图1，若k=−3，则点A坐标为______，点B坐标为______；
k k AD
（2）如图2，若直线CD：y= x− 交AB于点D，点C的横坐标为−1，求 的值；
2 2 AC+BD
（3）当k=−3时，若点Q为x轴上的一点，∠QAB=45°，求点Q坐标．
3
19．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）已知：如图，一次函数y= x−3的图像分别与x轴、y轴相交于点
4
A(4,0)、B(0,−3)，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y=kx+b的图像相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA=3OC．
（1）求直线CD的函数表达式和点D的坐标；
（2）点P为线段DE上的一个动点，连接BP．
①若直线BP将△ACD的面积分为7:9两部分，试求点P的坐标：
②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存
在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2 )
20．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+4过点A ,a ，
3
与x轴交于点B．直线y=x+2过点A，交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求点A，B的坐标及k的值；
（2）以AB为边，在直线AB右侧作等腰直角△ABH，求出点H的坐标；
5
（3）如图2，点E为CD中点，点P在直线y=kx+4上，连接DP,EP，当△DEP面积为 时，求点P的
4
坐标．
