文档内容
专题 19.2 一次函数与正比例函数【七大题型】
【人教版】
【题型1 一次函数、正比例函数的识别】..............................................................................................................1
【题型2 利用一次函数、正比例函数的概念求值或取值范围】.........................................................................2
【题型3 用待定系数法求一次函数解析式】.........................................................................................................3
【题型4 用待定系数法求正比例函数解析式】.....................................................................................................4
【题型5 一次函数解析式与三角形面积问题】.....................................................................................................5
【题型6 求实际问题中的一次函数表达式】.........................................................................................................7
【题型7 与求函数表达式相关的探究性问题】.....................................................................................................9
【知识点1 一次函数和正比例函数的概念】
y=kx+b
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成 （k，b为常数，k¿0）的形式，则称y是x
的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
y=kx+b y=kx
特别地，当一次函数 中的b=0时（即 ）（k为常数，k¿0），称y是x的正比例函
数。
【题型1 一次函数、正比例函数的识别】
8
【例1】（2022春•麻城市校级月考）下列函数：（1）y＝﹣2x；（2）y=− ；（3）y＝2x2；（4）y＝﹣
x
x+1；（5）y＝x2+1，（6）y＝kx+b（k是常数），其中一次函数的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-1】（2022•市北区期中）下列语句中，y与x是一次函数关系的有（ ）个
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系
（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y厘米，y与x的关系；
（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费y元，y与x的关系．
A．1 B．4 C．3 D．2
【变式1-2】（2015春•盱眙县校级期末）下列问题中，是正比例函数的关系的是（ ）
A．矩形面积一定，长与宽的关系B．正方形面积和边长的关系
C．三角形面积一定，底边和底边上的高的关系
D．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系
【变式1-3】（2022春•北京期末）如图，有一个装水的容器，容器内的水面高度是 10cm，水面面积是
100cm2．现向容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加．
容器注满水之前，容器内水面的高度h，注水量V随对应的注水时间t的变化而变化，则h与t，V与t
满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，正比例函数关系
B．正比例函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，正比例函数关系
【题型2 利用一次函数、正比例函数的概念求值或取值范围】
【例2】（2022•平川区校级月考）当m，n为何值时，y＝（m﹣1） n．
xm2+
（1）是一次函数；
（2）是正比例函数．
【变式 2-1】（2022春•新抚区期末）已知函数 y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则 m的值是
（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．任意实数
【变式2-2】（2021春•萝北县期末）若 y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，则常数 m＝
．
【变式2-3】（2022•金牛区校级期中）当m，n为何值时，y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2．
（1）是一次函数；（2）是正比例函数．
【知识点2 正比例函数和一次函数解析式的确定】
y=kx
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k¿0）中的常数k。确定一个一次函数，
y=kx+b
需要确定一次函数定义式 （k¿0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
【题型3 用待定系数法求一次函数解析式】
【例3】（2021春•雄县期末）已知y是z的一次函数，z是x的正比例函数，问：
（1）y是x的一次函数吗？
（2）若当x＝5时，y＝﹣2；当x＝﹣3时，y＝6．则当x＝1时，y的值是什么？
【变式3-1】（2022春•柳州期末）已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求：
（1）这个一次函数的解析式．
（2）当x＝﹣3时，y的值．
【变式3-2】（2022•广陵区校级期末）已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值．【变式3-3】（2022•宜兴市校级月考）已知y＝y+y，其中y 与x成正比例，y 与x﹣2成正比例．当x＝﹣
1 2 1 2
1时，y＝2；当x＝3时，y＝﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．
【题型4 用待定系数法求正比例函数解析式】
【例4】（2022•嘉定区期末）正比例函数的图象经过点（2，﹣4）、（a，4），求这个函数的解析式和a
的值．
9
【变式4-1】（2022•泰兴市期末）已知一个函数的图象是经过原点的直线，并且经过点（﹣3， ），求此
4
函数的关系式．
【变式4-2】（2022春•衡阳县期中）已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x＝﹣6时，求对应的函数值y；
2
（3）当x取何值时，y= ．
3
【变式4-3】（2022•黄浦区期中）若正比例函数图象上一点到y轴与到x轴距离之比是3：1，则此函数的解析式为 ．
【题型5 一次函数解析式与三角形面积问题】
【例5】（2022春•江夏区校级月考）已知一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（4，0），交y轴于点B
（0，2）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）若在第一象限有一点C（2，m），且△ACB的面积为4，求m的值．
【变式5-1】（2022春•鞍山期末）如图，一次函数y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点M（1，m）
5
是直线AB上一点，直线MC交x轴于点C（ ，0）；
2
（1）求直线MC的函数解析式；
（2）若点P是线段AC上一动点，连接BP，MP，若△ABP的面积是△MPC面积的2倍，求P点坐标．
【变式5-2】（2022春•凤庆县期末）如图，直线AB过点A（﹣1，5），P（2，a），B（4，﹣5）．
（1）求直线AB的函数解析式和a的值；（2）求△AOP的面积．
【变式5-3】（2022•肃州区校级期中）如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为
（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．
（1）求直线EF的关系式；
（2）求△OEF的面积；
（3）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，当点P运动到什么位
置时，△OPA的面积为12，并说明理由．
【题型6 求实际问题中的一次函数表达式】
【例6】（2022•东方校级期末）为了保护学生的视力，课桌的高度）ycm与椅子的高度xcm（不含靠背）
都是按y是x的一次函数关系配套设计的，如表列出了两套课桌椅的高度：
第一套 第二套
椅子高度xcm 40.0 38.0课桌高度ycm 75.0 71.8
（1）请确定y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）现有一把高42.0cm的椅子和一张高79.8cm的课桌，它们是否配套？请通过计算说明理由．
【变式6-1】（2022•嘉定区二模）某种型号的家用车在高速公路上匀速行驶时，测得部分数据如下表：
行驶路程x（千米） … 100 150 …
油箱内剩余油量y（升） … 52 48 …
（1）如果该车的油箱内剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，求y 关于x的函
数解析式（不需要写出它的定义域）；
（2）张老师租赁该型号的家用车也在该高速公路的相同路段以相同的速度匀速行驶 300千米（不考虑
小轿车载客的人数以及堵车等因素）．假如不在高速公路上的服务区加油，那么在上高速公路之前，张
老师这辆车的油箱内至少需要有多少升汽油？请根据题目中提供的相关信息简要说明理由．
【变式6-2】（2022•崇明县二模）温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：℉）与摄氏度（单位：℃），
已知华氏度数y 与摄氏度数x 之间是一次函数关系，下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：
摄氏度数x （℃） … 0 … 35 … 100 …
华氏度数y （℉） … 32 … 95 … 212 …
（1）选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式；
（2）有一种温度计上有两个刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，那么在多少摄氏度时，温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56？
【变式6-3】（2022•河南模拟）某种计时“香篆”在0：00时刻点燃，若“香篆”剩余的长度h（cm）与
燃烧的时间x（h）之间是一次函数关系，h与x的一组对应数值如表所示：
燃烧的时间x … 3 4 5 6 …
（h）
剩余的长度h … 210 200 190 180 …
（cm）
（1）写出“香篆”在0：00时刻点然后，其剩余的长度h（cm）与燃烧时间x（h）的函数关系式，并
解释函数表达式中x的系数及常数项的实际意义；
（2）通过计算说明当“香篆”剩余的长度为125cm时的时刻．
【题型7 与求函数表达式相关的探究性问题】
【例7】（2022春•成华区期末）将长为20cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘
合部分宽为2cm．
（1）根据题意，将表格补充完整．
白纸张数 1 2 3 4 5 …
纸条长度 20 56 74 …（2）设x张白纸粘合后的总长度为ycm，则y与x之间的关系式是什么？请求出50张白纸粘合后的总
长度；
（3）若粘合后的总长度为2018cm，问需要多少张白纸？
【变式7-1】（2022春•玉门市期末）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为
0.8cm．
（1）观察图形，填写下表：
链条的节数/节 2 3 4 …
链条的长度/cm …
（2）如果x节链条的长度为y，那么y与x之间的关系式是什么？
（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（
安装后）总长度是多少？
【变式7-2】（2022蚌山区校级月考）用大小相同的黑白两种颜色的菱形纸片按照黑色纸片逐渐增加 1的
规律拼成如图图案．
（1）第4个图案中白色纸片的个数是 ；
（2）如果第n（n为正整数）个图案中有y个白色纸片，写出y与n的函数关系式．x 1
【变式7-3】（2022春•巴中期末）如图，直线l ：y＝x+1与直线l ：y= + 相交于点P，直线l 与y轴
1 2 1
2 2
交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 上的点B 处后，改为垂直于
2 1
x轴的方向运动，到达直线l 上的点A 处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l 上的点B 处后，
1 1 2 2
又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l 上的点A 处后，仍沿平行于x轴的方向运动…照此规律运动，
1 2
动点C依次经过点B，A，B，A，B，A，B ，A ……则A B 的长度为（ ）
1 1 2 2 3 3 2020 2020 2022 2022
A．22021 B．22022 C．2022 D．4044
