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19．2 一次函数
19.2.1 正比例函数
【类型二】 确定正比例函数中字母的值
若函数y＝(m－3)x|m|－2是正比例
1．理解正比例函数的概念，并掌握正比 函数，则m的值为( )
例函数图象和性质；(重点) A．3 B．－3 C．±3 D．不能
2．运用正比例函数解决简单的问题． 确定
(难点) 解析：由题意得|m|－2＝1，且m－3≠0，
解得m＝－3.故选B.
方法总结：正比例函数自变量的指数为
1，系数不能为0.
探究点二：正比例函数的图象和性质
一、情境导入 【类型一】 正比例函数的图象
鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套 在下列各图象中，表示函数y＝－
上标志环；大约128天后，人们在2.56万千 kx(k＜0)的图象的是( )
米外的澳大利亚发现了它．
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天
飞行多少千米？
(2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30
天计算)的行程大约是多少千米？
(3)这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞
行时间x(单位：天)之间有什么关系？
二、合作探究
探究点一：正比例函数 解析：∵k＜0，∴－k＞0，∴函数y＝－
【类型一】 辨别正比例函数 kx(k＜0)的值随自变量x的增大而增大，且
下列式子中，表示y是x的正比例 函数为正比例函数．故选C.
函数的是( ) 方法总结：要知道正比例函数的图象是
A．y＝ B．y＝x＋2 C．y＝x2 D．y＝ 过原点的直线，且当k＞0时，图象过第一、
2x 三象限；当k＜0时，图象过第二、四象限．
解析：选项A，y＝，自变量次数不为1， 【类型二】 正比例函数的性质
错误；选项B，y＝x＋2，是和的形式，错误； 关于函数y＝x，下列结论中，正确
选项C，y＝x2，自变量次数不为1，错误；选 的是( )
项D，y＝2x，符合正比例函数的含义，正确． A．函数图象经过点(1，3)
故选D. B．不论x为何值，总有y＞0
方法总结：正比例函数y＝kx成立的条 C．y随x的增大而减小
件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1. D．函数图象经过第一、三象限
第 1 页 共 3 页解析：A.当x＝1时，y＝，故A选项错误； 把x＝2代入函数解析式，即可得出答案．
B.只有当x＞0时，y＞0，故B选项错误； 解：设y＝kx2，y＝a(x－2)，则y＝kx2＋
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C.∵k＝＞0，∴y随x的增大而增大，故C选 a(x－2)，把x＝1，y＝5和x＝－1，y＝11代
项错误；D.∵k＝＞0，∴函数图象经过第一、 入得解得∴y与x之间的函数表达式是y＝
三象限，故D选项正确．故选D. 2x2－3(x－2)．把x＝2代入得y＝2×22－
方法总结：解题的关键是了解正比例函 3×(2－2)＝8.
数的比例系数的符号与正比例函数的关系 方法总结：用定义求函数解析式，设出
及其增减性． 解析式是解题的关键一步．
【类型三】 正比例函数的图象与系数的 【类型二】 用待定系数法求正比例函数
关系 的解析式
已知正比例函数y＝(m－1)x的图 已知正比例函数y＝kx图象经过
象上两点A(x，y)，B(x，y)，当x＜x 时，有 点(3，－6)，求：
1 1 2 2 1 2
y＞y，那么m的取值范围是( ) (1)这个函数的解析式；
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A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 (2)判断点A(4，－2)是否在这个函数图
D．m＞0 象上；
解析：根据题意，y随x的增大而减小， (3)图象上两点B(x，y)、C(x，y)，如果
1 1 2 2
则m－1＜0，即m＜1.故选A. x＞x，比较y，y 的大小．
1 2 1 2
方法总结：直线y＝kx所在的位置与k 解析：(1)利用待定系数法把(3，－6)代
的符号有直接的关系：k＞0时，直线必经过 入正比例函数y＝kx中计算出k即可得到解
第一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时， 析式；(2)将A点的横坐标代入正比例函数关
直线必经过第二、四象限，y随x的增大而减 系式，计算函数值，若函数值等于－2，则A
小． 点在这个函数图象上，否则不在这个函数图
【类型四】 正比例函数图象上点的坐标 象上；(3)根据正比例函数的性质：当k＜0时，
特征 y随x的增大而减小，即可判断．
点A(5，y)和B(2，y)都在直线y＝ 解：(1)∵正比例函数y＝kx经过点(3，
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－x上，则y 与y 的关系是( ) －6)，∴－6＝3·k，解得k＝－2，∴这个正比
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A．y≥y B．y＝y C．y＜y D．y 例函数的解析式为y＝－2x；
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＞y (2)将x＝4代入y＝－2x得y＝－8≠－
2
解析：∵点A(5，y)和B(2，y)都在直线y 2，∴点A(4，－2)不在这个函数图象上；
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＝－x上，∴y＝－5，y＝－2.∵－5＜－2， (3)∵k＝－2＜0，∴y随x的增大而减小．
1 2
∴y＜y.故选C. ∵x＞x，∴y＜y.
1 2 1 2 1 2
方法总结：熟知一次函数图象上各点的 方法总结：将A点的横坐标代入正比例
坐标一定适合此函数的解析式是解答此题 函数关系式，求出函数值，再进一步判定是
的关键． 解决问题的关键．
探究点三：求正比例函数的解析式 三、板书设计
【类型一】 用定义求正比例函数的解析 1．正比例函数的图象
式 2．正比例函数的性质
已知y＝y＋y，y 与x2成正比例， 3．正比例函数解析式的确定
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y 与x－2成正比例，当x＝1时，y＝5；当x
2
＝－1时，y＝11，求y与x之间的函数表达
式，并求当x＝2时y的值． 本节课在教师引导下使学生通过自己
解析：设y＝kx2，y＝a(x－2)，得出y＝ 的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发
1 2
kx2＋a(x－2)，把x＝1，y＝5和x＝－1，y＝ 现问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结
11代入得出方程组，求出方程组的解即可， 进行知识归纳，理论提升的教学方法．由学
第 2 页 共 3 页生亲自来发现事物的特征和规律，更能使学
生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生
自主学习的内在动力，更有利于发展学生的
创造性思维能力．
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