文档内容
19.1 函数（单元教学设计）
一、【单元目标】
1．了解常量、变量的概念；
2．掌握在简单的过程中辨别常量和变量的方法，感受在一个过程中常量和变量是相对存在的．(重点)
3．了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系；(重点)
4．确定函数中自变量的取值范围．(难点)
5．理解函数图象的意义；(重点)
6．能够结合实际情境，从函数图象中获取信息并处理信息．(难点)
7．了解函数的三种不同的表示方法并在实际情境中，会根据不同的需要，选择函数恰当的表示方法；(重
点)
8．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(难点)
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
学生在小学阶段学习过正比例关系和反比例关系，知道具有正(或反)比例关系的两个量中，一个量随
着另一个量的增大而增大(或减小);在字母表示数中，接触过当字母取值变化时，代数式的值随之变化.学生
在生活中也具有对两个量之间存在依存关系的体验，如气温随时间的变化而变化，单价固定时总价随着数
量的变化而变化，尽管这些学习经验和生活经验可以帮助学生理解函数的含义，但初次接触函数概念，学
习中还是会遇到较大困难，其中主要困难在于难以概括出“个变量的值的确定导致另一个变量取值的唯一
确定”这一函数概念的核心，当一个变量的值取定时，另一个变量怎样才算“唯一确定”?学生容易认为，
函数关系中的“唯一确定”仅指通过公式求出的唯一的值，对不能用公式求出值的单值对应关系难以理解.
因此，本节的难点是对函数概念中的“单值对应”含义的理解。
四、【教学设计思路/过程】课时安排： 约4课时
教学重点：
1.了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系；(重点)
2.理解函数图象的意义；(重点)
3.了解函数的三种不同的表示方法并在实际情境中，会根据不同的需要，选择函数恰当的表示方法；
(重点)
教学难点：
1.确定函数中自变量的取值范围．(难点)
2.能够结合实际情境，从函数图象中获取信息并处理信息．(难点)
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(难点)
五、【教学问题诊断分析】
第1课时 常量与变量
一、情境导入
大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？
数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化．
二、合作探究
探究点一：常量与变量
【类型一】 指出关系式中的常量与变量
设路程为skm，速度为vkm/h，时间为th，指出下列各式中的常量与变量：
(1)v＝；
(2)s＝45t－2t2；
(3)vt＝100.
解析：根据变量和常量的定义即可解答．
解：(1)常量是8，变量是v，s；
(2)常量是45，2，变量是s，t；
(3)常量是100，变量是v，t.
方法总结：常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量．
【类型二】 几何图形中动点问题 中的常量与变量
如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直
线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2
与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
解析：根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据 MA的长度可得出y与x的关系．再根据变量和常量的定义得出常量与变量．
解：由题意知，开始时 A 点与 M 点重合，让△ABC 向右运动，两图形重合的长度为 AM＝
xcm.∵∠BAC＝45°，∴S ＝·AM·h＝AM2＝x2，则y＝x2，0≤x≤10.其中的常量为，变量为重叠部分的面
阴影
积ycm2与MA的长度xcm.
方法总结：通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可
根据其定义判别．
探究点二：确定两个变量之间的关系
【类型一】 区分实际问题中的常量与变量
分析并指出下列关系中的变量与常量：
(1)球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S＝4πR2；
(2)以固定的速度v 米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝
0
vt－4.9t2；
0
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离 hm与它下落的时间ts的关系式是h＝gt2(其中g取
9.8m/s2)；
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x千克与所付款W元之间的关系式是W＝1.8x.
解析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．
解：(1)S＝4πR2，常量是4π，变量是S，R；
(2)h＝vt－4.9t2，常量是v，4.9，变量是h，t；
0 0
(3)h＝gt2(其中g取9.8m/s2)，常量是g，变量是h，t；
(4)W＝1.8x，常量是1.8，变量是x，W.
方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：
一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．
【类型二】 探索规律性问题中的常量与变量
按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．
(1)题中有几个变量？
(2)你能写出两个变量之间的关系式吗？
解析：由图形可知，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放4把椅子．
x张餐桌共有6＋4(x－1)＝4x＋2.
解：(1)有2个变量；
(2)能，关系式为y＝4x＋2.
方法总结：解答本题关键是依据图形得出变量x的变化规律．
三、板书设计
1．常量与变量
数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量为常量．
2．常量与变量的区分
第2课时 函 数
一、情境导入
运动会开幕式上，火炬手以3米／秒的速度跑步前进传递火炬，传递路程为s米，传递时间为t秒,怎
样用含t的式子表示 s？二、合作探究
探究点一：函数
【类型一】 函数的定义
下列变量间的关系不是函数关系的是( )
A．长方形的宽一定，其长与面积
B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边长与面积
D．圆的周长与半径
解析：A中，长方形的宽一定．它是常量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面
积也改变，故A选项是函数关系；B中，面积＝()2，正方形的周长与面积是两个变量，16是常量，故B选
项是函数关系；C中，面积＝×底边上的高×底边长，底边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底
边上的高，而这里高也是变量，有三个变量，故C选项不是函数关系；D中，周长＝2π×半径，圆的周长
与其半径是函数关系．故选C.
方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个
是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应关系．
【类型二】 确定实际问题中函数解析式以及自变量
下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．
(1)一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂
重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；
(2)设一长方体盒子高为30cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm3)也随
之改变．
解析：(1)根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；(2)根据长方体的体积公式列出函数式．
解：(1)y＝10＋x(0＜x≤10)，其中x是自变量，y是自变量的函数；
(2)V＝30a2(a>0)，其中a是自变量，V是自变量的函数．
方法总结：函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变
量的函数．
探究点二：自变量的值与函数值
【类型一】 根据解析式求函数值
根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为，则输出的函数值为( )
A. B. C. D.
解析：∵x＝时，在2≤x≤4之间，∴将x＝代入函数y＝，得y＝.故选B.
方法总结：根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函
数关系式，再代入计算．
【类型二】 根据实际问题求函数值
小强想给爷爷买双鞋，爷爷说他的脚长25.5cm，若用x(单位：cm)表示脚长，用y(单位：码)表示
鞋码，则有2x－y＝10，根据上述关系式，小强应给爷爷买________码的鞋．
解析：∵用x表示脚长，用y表示鞋码，则有2x－y＝10，而x＝25.5，则51－y＝10，解得y＝41.
方法总结：当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程．
探究点三：确定自变量的取值范围
【类型一】 确定函数解析式中自变量的取值范围
写出下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝2x－3；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝.
解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变
量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
解：(1)全体实数；
(2)分母1－x≠0，即x≠1；
(3)被开方数4－x≥0，即x≤4；
(4)由题意得解得x≥1且x≠2.
方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为 0，有根号的要满足被开
方数为非负数．
【类型二】 确定实际问题中函数解析式的取值范围
水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t分钟时，水箱内存水y
升．
(1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)7：55时，水箱内还有多少水？
(3)几点几分水箱内的水恰好放完？
解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于 0列不
等式求出t的取值范围；(2)当7：55时，t＝55－30＝25(分钟)，将t＝25分钟代入(1)中的关系式即可；(3)
令y＝0，求出t的值即可．
解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0，∴200－2t≥0，解得t≤100，
∴0≤t≤100，∴y关于t的函数关系式为y＝200－2t(0≤t≤100)；
(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25分钟时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水
箱内还有水150升；
(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9
点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．
三、板书设计
1．函数的概念
2．函数自变量的取值范围
使函数有意义的自变量取值的全体，叫做函数自变量的取值范围．
3．函数值
第3课时 函数的图象
一、情境导入
在太阳和月球引力的影响下，海水定时涨落的现象称为潮汐．如图是我国某港某天 0时到24时的实时
潮汐图．图中的平滑曲线，如实记录了当天每一时刻的潮位，揭示了这一天里潮位 y(m)与时间t(h)之间的函数
关系．本节课我们就研究函数图象．
二、合作探究
探究点一：函数的图象
【类型一】 函数图象的意义
下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是( )
解析：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，选项A对于x的每一个取值，y都有两个值，故
A错误；选项B对于x的每一个取值，y都有两个值，故B错误；选项C对于x的每一个取值，y都有两个
值，故C错误；选项D对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故D正确．故选D.
方法总结：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而
发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．
【类型二】 判断函数的大致图象
3月20日，小彬全家开车前往铜梁看油菜花，车刚离开家时，由于车流量大，行进非常缓慢，十
几分钟后，汽车终于行驶在高速公路上，大约三十分钟后，汽车顺利到达铜梁收费站，停车交费后，汽车
驶入通畅的城市道路，二十多分钟后顺利到达了油菜花基地，在以上描述中，汽车行驶的路程 s(千米)与所
经历的时间t(分钟)之间的大致函数图象是( )
解析：行进缓慢，路程增加较慢；在高速路上行驶，路程迅速增加；停车交费，路程不变；驶入通畅
的城市道路，路程增加但增加的比高速路上慢，故B符合题意．故选B.
方法总结：此类题目，理解题意是解题关键，根据题干中提供的信息，及生活实际判断图象各阶段的
变化情况和特征．
【类型三】 由函数图象判断容器的形状
下雨时在室外放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器水面高度h与时间t的函数
图象如图所示，那么这个容器的形状可能是( )解析：根据图象可以得到，杯中水的高度h随注水时间t的增大而增大，而增加的速度越来越小．则
杯子应该是越向上开口越大．故杯子的形状可能是B.故选B.
方法总结：解决此类问题，要在读懂题意的前提下，结合图象分析问题，并注意一些细节的描述，如
在某段时间内的函数值的增减情况、变化趋势等．
探究点二：函数图象的应用
【类型一】 从函数图象上获取信息
小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书
后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到学校的路程是多少米？
(2)小明在书店停留了多少分钟？
(3)本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
(4)我们认为骑单车的速度超过300米/分就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑
车速度最快，速度在安全限度内吗？
解析：根据图象进行分析即可．
解：(1)根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1500米；
(2)根据题意，小明在书店停留的时间为从8分钟到12分钟，故小明在书店停留了4分钟；
(3)一共行驶的总路程为1200＋(1200－600)＋(1500－600)＝1200＋600＋900＝2700(米)；共用了14分
钟；
(4)由图象可知：0～6分钟时，平均速度为＝200(米/分)；6～8分钟时，平均速度为＝300(米/分)；12
～14分钟时，平均速度为＝450(米/分)．所以，12～14分钟时小明骑车速度最快，不在安全限度内．
方法总结：解读图象反映的信息，关键是理解横轴和纵轴表示的实际意义，解决问题的过程中体现了
数形结合思想．
【类型二】 动点问题的函数图象
如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→B→C→D→A，设P点
经过的路程为x，以点A，P，B为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是
( )解析：当点P由点A向点B运动，即0≤x≤4时，y的值为0；当点P在BC上运动，即4＜x≤8时，y
随着x的增大而增大；当点P在CD上运动，即8＜
x≤12时，y不变；当点P在DA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．故选B.
方法总结：解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
三、板书设计
1．函数图象的意义
2．函数图象的应用
第4课时 函数的表示方法
一、情境导入
问题：(1)某人上班由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距单位的
距离看成是关于出发时间的函数，想一想我们用怎样的方法才能更好的表示这一函数呢？
(2)生活中我们经常遇到银行利率、列车时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些问题在实际生活中
又是如何表示的？
二、合作探究
探究点一：函数的表示方法
【类型一】 用列表法表示函数关系
有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些
数据回答下列问题：
质量(克) 1 2 3 4 …
伸长量(厘米) 0.5 1 1.5 2 …
总长度(厘米) 10.5 11 11.5 12 …
(1)要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？
(2)当所挂重物为x克时，用h厘米表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式．
(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克．
解析：(1)根据挂重物每克伸长0.5厘米，要伸长5厘米，可得答案；(2)根据挂重物与弹簧伸长的关系，
可得函数解析式；(3)根据函数值，可得所挂重物质量．
解：(1)5÷0.5×1＝10(克)，
答：要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克；
(2)函数的表达式：h＝10＋0.5x(0≤x≤50)；
(3)当h＝25时，25＝10＋0.5x，x＝30，
答：当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．
方法总结：列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列
表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．
【类型二】 用图象法表示函数关系
如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)
之间的关系，请根据图象回答下列问题：
(1)汽车共行驶的路程是多少？(2)汽车在行驶途中停留了多长时间？
(3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？
(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？
解析：根据图象解答即可．
解：(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240(千米)；
(2)由横坐标看出2－1.5＝0.5(小时)，故汽车在行驶途中停留了0.5小时；
(3)由纵坐标看出汽车到达B点时的路程是80千米，由横坐标看出到达B点所用的时间是1.5小时，由
此算出平均速度80÷1.5＝(千米/时)；由纵坐标看出汽车从B到C没动，此时速度为0千米/时；由横坐标看
出汽车从C到D用时3－2＝1(小时)，从纵坐标看出行驶了120－80＝40(千米)，故此时的平均速度为40÷1
＝40(千米/时)；由纵坐标看出汽车返回的路程是120千米，由横坐标看出用时4.5－3＝1.5(小时)，由此算
出平均速度120÷1.5＝80(千米/时)；
(4)由横坐标看出4.5－3＝1.5小时，返回用了1.5小时．
方法总结：图象法的优点是直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象
来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．
【类型三】 用解析式法表示函数关系
一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩余油量为y(升)，
行驶路程为x(千米)．
(1)写出y与x的关系式；
(2)这辆汽车行驶35千米时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？
(3)这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米？
解析：(1)根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得函数解析式；(2)根据自变量，可得相应的函数值，
根据函数值，可得相应自变量的值；(3)令y＝0，求出x即可．
解：(1)y＝－0.6x＋48；
(2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升；当y＝12时，48－0.6x＝
12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米；
(3)令y＝0，－0.6x＋48＝0，解得x＝80，即这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶80km.
方法总结：解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出
任意一个自变量的值所对应的函数值．
探究点二：函数表示方法的综合运用
【类型一】 分段函数及其表示
为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：(1)若每户居民每月用电
量不超过100度，则按0.50元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计
算(未超过部分仍按每度电0.50元计算)．现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，
则y与x的函数关系用图象表示正确的是( )
解析：根据题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x＞100时，y＝100×0.5＋0.8(x－100)＝50＋0.8x－80＝0.8x－30，所以，y与x的函数关系为y＝纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C.
方法总结：根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表
示的量；②要求关于某个具体点，向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标；③在实际问题中，要注意图象与
x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．
【类型二】 函数与图形面积的综合运用
如图①所示，矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运
动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示．
(1)求矩形ABCD的面积；
(2)求点M、点N的坐标；
(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的，求满足条件的x的值．
解析：(1)点P从点B运动到点C的过程中，运动路程为4时，面积发生了变化且面积达到最大，说明
BC的长为4；当点P在CD上运动时，△ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且运动路
程由4到9，说明CD的长为5.然后求出矩形的面积；(2)利用(1)中所求可得当点P运动到点C时，△ABP的
面积为10，进而得出M点坐标，利用AD，BC，CD的长得出N点坐标；(3)分点P在BC、CD、AD上时，
分别求出点P到AB的距离，然后根据三角形的面积公式列式即可求出y关于x的函数关系式，进而求出x
即可．
解：(1)结合图形可知，P点在BC上，△ABP的面积为y增大，当x在4～9之间，△ABP的面积不变，
得出BC＝4，CD＝5，∴矩形ABCD的面积为4×5＝20；
(2)由(1)得当点P运动到点C时，△ABP的面积为10，则点M的纵坐标为10，故点M坐标为(4，
10)．∵BC＝AD＝4，CD＝5，∴NO＝13，故点N的坐标为(13，0)；
(3)当△ABP的面积为矩形ABCD面积的，则△ABP的面积为20×＝4.
①点P在BC上时，0≤x≤4，点P到AB的距离为PB的长度x，y＝AB·PB＝×5x＝，令＝4，解得x＝
1.6；
②点P在CD上时，4≤x≤9，点P到AB的距离为BC的长度4，y＝AB·PB＝×5×4＝10(不合题意，
舍去)；
③点P在AD上时，9≤x≤13时，点P到AB的距离为PA的长度13－x，y＝AB·PA＝×5×(13－x)＝(13
－x)，令(13－x)＝4，解得x＝11.4，
综上所述，满足条件的x的值为1.6或11.4.
方法总结：函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型问题，图象应用信息广泛，通过看图获取
信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要
理清图象的含义．
三、板书设计
1．函数的三种表示方法
(1)列表法；
(2)图象法；
(3)解析式法．
2．函数表示方法的综合运用
六、【教学成果自我检测】1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
一、单选题
1．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图所示的图象分别给出了 与 的对应关系，其中能表示 是 的
函数的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数的概念与图象，根据函数的定义判断即可．
【详解】解：∵C图象中对于每一个 的值， 都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义；而A、B、D
图象中对于每一个 的值，并非 都有唯一确定的值与之对应，不符合函数的定义；
∴C符合题意，A、B、D不符合题意．
故选：C．
2．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老
父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，
用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查函数图像，能根据题目中的语句得到父亲与儿子离家距离的变化过程是解答本题的关键.
【详解】解：根据题意可知父亲离家的距离在这个过程中分为 段，先远离后不变最后到家，并且先到达
车站；儿子离家的路程也分为 段，先离家越来越近，再停止，最后到家．
故选A．
3．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）下图是淇淇在超市购买羊排的销售标签，则在单价、重量、总价的
关系中，常量是（ ）
A．单价96元/千克B．重量0.5千克 C．总价48元 D．三个都是常量
【答案】A
【分析】根据常量的意义：保持不变的量称为常量，在这里，单价是常量，其它两个量是一个量随另一个
量的变化而变化的，由此即可解答．
【详解】解：由于重量与总价是一个量随另一个量的变化而变化的，只有单价是不变的，所以单价96
元/千克是常量．
故选：A．
【点睛】本题考查了常量与变量，理解常量与变量的含义是关键．
4．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）某校八年级（4）班用150元购买了某品牌乒乓球 个，该品牌
乒乓球的单价是 元/个，其函数关系式为 ，在这个问题中，变量是（ ）
A．150，x B．150，y C．x，y D． ，
【答案】C
【分析】本题是关于函数的基础题．根据题目中的数量关系与自变量、因变量的定义即可求解．【详解】解：函数关系式为 ，在这个问题中，变量是x，y．
故选：C．
5．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x kg之间有如下关系，则（
）
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 6 6.5 7 7.5 8 8
A．y随x的增大而增大 B．质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
C．不挂物体时，弹簧的长度为6cm D．质量为6kg时，弹簧的长度为8.5cm
【答案】C
【解析】略
6．（21-22八年级下·广西桂林·期末）若等腰三角形的周长为 ，底边长为 ，一腰长为 ，则
与 之间的函数表达式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数表达式，腰三角形的性质，根据等腰三角形的两腰相等，结合三角形的周长
公式即可求解．
【详解】解：等腰三角形的周长为： ，
，
即 ，
故选：D．
7．（22-23八年级下·河北保定·期末）小明从 地到 地（两地相距40千米）的骑车速度为10千米/小时，
则小明离 地的距离 （千米）与骑车时间 （小时）之间的函数解析式（不写自变量的取值范围）为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合路程=速度 时间列方程即可得到答案．【详解】解：由题意可得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查利用函数的表示解实际问题，读懂题意，准确利用表达式表示函数关系是解决问题的关
键．
8．（22-23八年级下·河北秦皇岛·期末）如图（1）在矩形 中，动点P从点C出发，沿路线C→D→A
作匀速运动，图（2）是此运动过程中， 的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象的一部分，则
的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
【答案】C
【分析】由图（2）可知，当 时，点P由点C到达点D，此时 的面积S取最大值，根据面积公式
即可求出 的长．
【详解】解：由图（2）可知，当 时，点P由点C到达点D， 的面积S取最大值6，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是利用函数图象得到当 时， 的面积
S取最大值6．
9．（22-23八年级下·福建厦门·期中）如图，某个函数的图象由线段AB和BC组成．其中点 ，
， ，则此函数的最小值是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】观察函数图象可知B为最低点，由点B的坐标可确定出函数的最小值．
【详解】解：由图象可以看出，B点为最低点，B点的函数值最小，
∴B点的纵坐标即是最小的函数值，为1．
故选A．
【点睛】本题考查函数图象，掌握函数图象的最低点的纵坐标即是最小的函数值是解题关键．
10．（23-24八年级下·福建福州·期中）下列各关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数概念：对于自变量x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，此时称y是x的函
数；根据函数概念逐一进行判断即可．
【详解】解：对于 ，当 时，则 ，表明对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的
函数；
对于 、 、 ，在使得代数式有意义的自变量取值范围内，对于任意x的每一个取值，
都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数；
故选：A．
二、填空题
11．（22-23八年级下·新疆阿克苏·期末）当 时，函数 与函数 有相同的函
数值．
【答案】1【分析】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数
表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相
同．根据两直线相交的问题得到 ，然后解方程即可．
【详解】解：根据题意得
解得 ，
即 时，函数 与函数 有相同的函数值．
故答案为：1．
12．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定．根据分式有意义，分母不为零列出不等式，解不等
式得到答案．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
13．（22-23八年级·全国·假期作业）设有两个变量x，y，如果对于x的 的值，y都有
的值，那么就说y是x的函数，x叫做 ，表示函数的三种方法是 、 、
．
【答案】 每一个确定 唯一确定 自变量 列表法 解析式法 图象法
【分析】直接根据函数的定义和表示法解答即可．
【详解】如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，表
示函数的三种方法是列表法、解析式法、图象法．
故答案为：每一个确定，唯一确定，自变量，列表法，解析式法，图象法．
【点睛】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念和函数的三种表示法是解答本题的关键．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
一、单选题
1．（23-24八年级下·河北唐山·期中）下列说法正确的是（ ）
A．在圆的面积公式 中，常量是 、 ，变量是
B．加工 个零件，工作效率 与时间 之间的关系式是 ， 、 都是变量C．以固定的速度 向上抛一个小球，小球的高度 与小球运动的时间 （ ）之间的关系式是
，常量是 ，变量是 、
D．在匀速运动公式 中，常量是 ，变量是 、
【答案】B
【分析】本题考查了常量与变量的知识，根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始
终不变的量称为常量，即可答题．
【详解】A. 在圆的面积公式 中，常量是 ，变量是 、 ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 加工 个零件，工作效率 与时间 之间的关系式是 ， 、 都是变量，故该选项正确，符合
题意；
C. 以固定的速度 向上抛一个小球，小球的高度 与小球运动的时间 （ ）之间的关系式是
，常量是 ，变量是 、 ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 在匀速运动公式 中，常量是 ，变量是 、 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
2．（23-24八年级下·福建福州·期中）下列各曲线不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的概念理解，熟悉掌握函数值是一一对应的知识点是解题的关键．
根据函数值是一一对应的，逐一判断即可．【详解】解：∵在A，B，D中， 每取一个值， 都只有唯一一个值与其对应，
∴A，B，D都能表示为函数，
∵在的C图象中， 取一个值时， 不是都只有唯一一个值与其对应，
∴C不能表示为函数，
故选：C．
3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一
边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为 ，设长方形靠墙的一边长为 ，面积为 ，当 在
一定范围内变化时， 随 的变化而变化，则 与 满足的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可．
【详解】由题意得：长方形靠墙的一边长为 ，则平行墙的边长为 ，
∴面积 ，
故选：D．
4．（22-23八年级下·福建福州·期中）荡秋千不仅可以增进健康，而且可以培养勇敢精神，为人们特别是
儿童所喜爱．已知小明某次荡秋千，秋千离地面的高度 与摆动时间 之间的关系如图所示．结合图
象，下列结论正确的有（ ）
①变量 是变量 的函数；②秋千静止时，最低点离地面的高度是 ；
③秋千摆第二个来回需 ；
④秋千离地面的高度 随着摆动时间 的增大而减小．
A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③
【答案】A
【分析】本题考查了由函数图象读取信息，由函数的定义，结合图象逐项分析判断即可.
【详解】解：由函数的定义，结合图象可知，变量 是变量 的函数，故①正确；
有图象可知，秋千静止时，最低点离地面的高度是 ，故②正确；
从最高点开始向前和向后，再返回到最高点，为一个来回，由图象可知，第二个来回需要的时长为
，故③正确；
有图象可知，秋千离地面的高度 随着摆动时间 的变化而周期变化的，不是随着摆动时间的增大而
减小，故④错误；
综上所述，正确的有：①②③，
故选：A.
5．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）若函数 的函数值为0，则自变量 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了解分式方程，求函数自变量的值掌握分式方程的解法是解题的关键．根据函数
的函数值为0，得出 ，解方程即可．
【详解】解：由题意得 ，
∴
解得： ，
检验：当 时， ，
∴自变量 的值为 ，
故选：C．
6．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列各情景分别可以用图中的哪一幅图来近似地刻画？正确的顺序
是（ ）①汽车紧急刹车（速度与时间的关系）；
②人的身高变化（身高与年龄的关系）；
③跳高运动员跳跃横杆（高度与时间的关系）；
④一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，根据描述，确定相应的函数图象，进行判断即可．
【详解】①汽车紧急刹车时速度随时间的增大而减小，最后速度为0，与d符合；
②人的身高随着年龄的增加而增高，到一定年龄就不再变化，与b符合；
③运动员在跳跃横杆的过程中上升到最大高度之后高度减小，与c符合；
④红旗升高的高度随着时间的增加而匀速增大，到一定时间就不再变化，与a符合．
故选C．
二、填空题
7．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）写出一个在函数 图象上的点的坐标 ．
【答案】
【分析】根据所给函数可得该函数自变量的取值范围为 ，在给出一个合适的x值，代入函数解析式中
求出y值，即可得出点的坐标．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即该函数自变量的取值范围为x≠0，
当 时， ，
∴点（1，0）在该函数图象上．
故答案为：（1，0）．
【点睛】本题主要考查函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图象上的任意点
都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判
断点 是否在函数图象上的方法是：将点 的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解
析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
8．（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图1，在矩形 中，动点 从点 出发，沿 、 、 运
动至点 停止，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，如果 关于 的函数图象如图2所示，则矩形
的对角线长为 ．
【答案】
【分析】根据函数的图象、结合图形求出 、 的值，即可得出矩形 的对角线．
【详解】解： 动点 从点 出发，沿 、 、 运动至点 停止，而当点 运动到点 ， 之间时，
的面积不变，
函数图象上横轴表示点 运动的路程， 时， 开始不变，说明 ， 时，接着变化，说明
，
， ，
矩形 的对角线长为 ．
故答案为： ．
9．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）已知等腰三角形的底角为 ，顶角为 ，写出 与 之间函数
关系式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，关键是掌握等腰三角形两底角相等，三角形内角和为 ．根据三角形内角和可得 ，再整理成函数关系式的形式即可．
【详解】解：由题意得： ，
整理得： ．
故答案为： ．
三、解答题
10．（23-24八年级下·北京·阶段练习）“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安
全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后
继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到学校的路程是 米．
(2)小明在书店停留了 分钟．
(3)本次上学途中，小明一共行驶了 米，一共用了 分钟．
(4)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车
速度最快，速度在安全限度内吗？
【答案】(1)1500；
(2)4；
(3) ，
(4)12～14分钟时速度最快，不在安全限度内．
【分析】本题主要考查了函数图象，解决本题的关键是要观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象
的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系．
（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；
（2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案；
（3）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
（4）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度．
【详解】（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0， 故小明家到学校的路程是1500米；
古答案为：1500
（2）根据题意，小明在书店停留的时间为从（8分）到（12分）， 故小明在书店停留了4分钟．
故答案为：4
（3）一共行驶的总路程
（米）
由图象可知，共用了 分钟．
故答案为： ，
（4）由图象可知： 分钟时，平均速度 米/分，
分钟时，平均速度 米/分，
分钟时，平均速度 米/分，
所以， 分钟时速度最快，不在安全限度内．
11．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的
高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示：
碗的数量
1 2 3 4 5 …
（只）
高度（ ） 4 …
(1)h（ ）表示这摞碗的高度，x（只）表示这摞碗的数量，请用含x的代数式表示h；
(2)若这摞碗共有15个，求这摞碗的高度；
(3)若这摞碗的高度为 ，求这摞碗的数量．
【答案】(1)
(2)当这摞碗共有15个时，这摞碗的高度是
(3)当这摞碗的高度为 ，碗的数量为7只【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解变量与常量的意义，根据表格中两个变量的变化规
律得出函数关系式是得出答案的关键．
（1）根据表格中数据变化规律得出答案；
（2）根据函数关系式，当 时，求出相应的 的值即可；
（3）根据函数关系式，当 时，求出相应的x的值即可；
【详解】（1）解：由表格中两个变量的变化关系可得， ，
答： ；
（2）当 时， ，
答：当这摞碗共有15个时，这摞碗的高度是 ；
（3）当 时，即 ，
解得 ，
答：当这摞碗的高度为 ，碗的数量为7只．
12．（23-24八年级下·山西朔州·期中）一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：秒）与开始
落下时的高度h（单位：米）有下面的关系式： ．
(1)已知 米，求落下所用的时间；
(2)一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？（无地下室，每层楼高约3.5米，手拿物体
高为1米）
(3)如果一物体落地的时间为3.6秒，求物体开始下落时的高度．
【答案】(1) 秒
(2) 秒
(3) 米
【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）把 代入公式计算即可求出 的值；
（2）计算出物体离地面的高度，代入公式计算得到 即可；
（3）把 代入公式计算即可求出 的值．【详解】（1）解：把 代入得： （秒）；
（2）根据题意得： （米），
则 （秒）；
（3）把 代入得： ，
解得： ，
则物体开始下落的高度为64.8米．
13．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）一种豆子每千克的售价是2元，豆子的总售价 （元）与售出
豆子的质量 （千克）之间的关系如下表：
售出豆子质量 （千克） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 5
总售价 （元） 0 1 2 3 4 5 6 10
(1)在这个表格中反映的是___________和___________两个变量之间的关系；___________是自变量；
___________是因变量；
(2)随着 的逐渐增大， 的变化趋势是___________；
(3)当豆子售出5千克时，总售价是___________元；
(4)预测一下，当豆子售出20千克时，总售价是多少？
【答案】(1)售出豆子的质量，总售价，售出豆子的质量，总售价；
(2)不断增大
(3)10
(4)40元
【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，常量与变量，理解表格中两个变量的变化规律是正确解答
的前提．
（1）根据表格中的两个变量的变化情况进行判断即可；
（2）从表格中售出豆子的质量与总售价的变化的趋势进行判断即可；
（3）根据表格中的对应值得出答案；
（4）从两个变量的变化规律得出答案．【详解】（1）解：表格中有售出豆子的质量和总售价两个变量，总售价随着售出豆子的质量的变化而变
化，其中售出豆子的质量是自变量，总售价是因变量，
故答案为：售出豆子的质量，总售价，售出豆子的质量，总售价；
（2）从表格中售出豆子的质量与总售价的变化的趋势可知，随着售出豆子质量的增大，总售价也不断增
大；
故答案为：不断增大；
（3）表格中的对应值可知，当豆子售出5千克时，总售价为10元，
故答案为：10；
（4）从表格中售出豆子的质量与总售价的变化规律可知，总售价y与售出豆子的质量x的变化关系式为
，当 时， （元），
答：当豆子售出20千克时，总售价是40元．
14．（23-24八年级下·全国·课后作业）从甲地到乙地的路程为300 km，一辆汽车从甲地到乙地，每小时行
驶50 km，据此回答问题：
(1)汽车行驶1 h后，距离乙地________km，距离甲地________km；
(2)设汽车的行驶时间为t（h），与乙地的距离为s（km），请用含有t的式子表示s，其中哪些是变量？哪
些是常量？
(3)这辆汽车行驶多长时间即可到达乙地？
【答案】(1)250，50
(2) ．变量是t，s，常量是300，
(3)这辆汽车行驶6 h即可到达乙地
【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系；
（1）利用路程等于速度乘以时间求出汽车行驶的路程，即可得出结果；
（2）根据与乙地的距离等于总路程减去汽车行驶的路程，列出表达式即可；
（3）求出 时， 的值即可．
【详解】（1）解： km， ，
∴汽车行驶1 h后，距离乙地250km，距离甲地50km；
故答案为：250，50；
（2）由题意得： ，其中变量是t，s，常量是300， ；
（3）当 时， ，解得： ；
故这辆汽车行驶6 h即可到达乙地．15．（2024八年级下·全国·专题练习）电业部门每月都按时取居民家查电表，电表读数与上次读数的差就
是这段时间内用电的千瓦时数．上月初小亮家电表显示的度数为 ，本月初电表显示的读数为 ．
(1)小亮家上月用电多少千瓦时？
(2)如果每千瓦时的电费为 元，全月的电费为 （元），那么上月小亮家应缴费电费与本月初电表显示
读数之间的关系式是什么？
(3)在问题（2）中，哪些量是常量？哪些量是变量？y是哪个变量的函数？
【答案】(1) 千瓦时；
(2) ；
(3)常量：0.52，300；变量：y，n；y是n的函数
【分析】本题考查了函数的实际应用，根据电表读数方法得出度数与电费之间的关系是解题关键．
（1）根据电表读数与上次读数的差就是这段时间内用电的千瓦时数，上月初小亮家电表显示的度数为 ，
本月初电表显示的读数为 ，即可得出全月用电量；
（2）用每千瓦时的电费为 元 全月用电量=全月的电费为 （元），即可得到y与n的关系式；
（3）根据函数的相关概念进行作答即可．
【详解】（1）解：∵上月初小亮家电表显示的度数为 ，本月初电表显示的读数为 ，
∴小亮家上月用电量= 千瓦时；
答：小亮家上月用电 千瓦时；
（2）解：∵每千瓦时的电费为 元 全月用电量=全月的电费为 （元），
∴ ；
答：上月小亮家应缴费电费与本月初电表显示读数之间的关系式是 ；
（3）解：根据常量，变量，函数的定义可知：
常量：0.52，300；
变量： ，
是 的函数．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
一、单选题1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）函数 的自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数自变量取自范围，分式的意义的条件．根据分式的意义的条件即可得出 ，
解之即可得出自变量x的取值范围；
【详解】解：由题意，得 ，解得
故选：C．
2．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯
一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义判断即可．
【详解】解：A．满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应的关系，故A符合题意；
B．不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应的关系，故B不符合题意；
C．不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应的关系，故C不符合题意；
D．不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应的关系，故D不符合题意；
故选：A ．
3．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，小颖依据所在城市2023年8月16日连续12
个小时的风力变化情况，画出了风力随时间变化的图象，根据图象进行判断，下列说法正确的是（ ）A．8时风力最小 B．在8时至12时，最大风力为5级
C．风力在5级以上持续时间约为3.5小时D．8时至14时，风力不断增大
【答案】C
【分析】本题考查了由函数图象获取信息．根据函数图象进行判断即可．
【详解】解：由图象可知，
20时风力最小，故A选项错误，不符合题意；
在8时至12时，最大风力为4级，故B选项错误，不合题意；
风力在5级以上持续时间是13时至16.5时，约为3.5小时，故C选项正确，符合题意；
8时至14时，风力先增大，再减小，接着再增大，故D选项错误，不合题意；
故选：C．
4．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图是两个圆柱形连通容器（连通处体积忽略不计）．乙容器的底
面面积是甲容器的底面面积的2倍，甲、乙容器高度相同，若向无水的甲容器匀速注水，则甲容器的水面
高度 与注水时间 之间的函数图象表示正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据两个圆柱形容器的中间连通，得到在一段时间内，甲容器的水面高度会保持不变，且维持不
变的时间是之前时间的2倍，结合图象即可进行判断．本题考查了函数的图象，解题的关键是根据题意，
结合图象来解答．
【详解】解： 两个圆柱形容器的中间连通，
甲容器的水面高度会有保持不变的情况；
又 乙容器的底面面积是甲容器的底面面积的2倍，
维持不变的时间是之前时间的2倍，
故选：B．
5．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图是反映某工程队所挖河渠长度 （米 与挖掘时间 （时 之间
关系的部分图像．下列说法正确的是（ ）
A．该工程队每小时挖河渠 米
B．该河渠总长为50米
C．该工程队挖了30米之后加快了挖掘速度
D．开挖到30米时，用了2小时
【答案】D
【分析】本题主要考查函数图像的理解与运用，从函数图像上获取所需信息成为解题的关键．
先根据函数图像获取信息，然后再根据行程问题进行解答即可．
【详解】解：根据图像：
A、应为该工程队平均每小时挖河渠 米，故A选项不符合题意；B、不知工程完成与否，不能确定河渠总长度，故B选项不符合题意；
C、应为该工程队挖了30米之后放慢了挖掘速度，故B选项不符合题意；
D、开挖到30米时，用了2小时，故D选项符合题意．
故选D．
6．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图 ，在等腰 中， 于点D．动点
从点 出发，沿着 的路径以每秒 个单位长度的速度运动到点 停止，过点 作 于
点 ，作 于 ．在此过程中四边形 的面积 与运动时间 的函数关系图象如图 所示，则
的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图 中拐点的纵坐标 ，得到四边形 的面积 ，此
时点 运动到点 ，可证明四边形 是正方形，面积为 ，那么正方形的边长 为 ，易得
为等腰直角三角形，即得到 长为 ，进而求出 长度为 ，解题的关键理解拐点的纵坐标表示的
意义及动点此时所在的位置．
【详解】解：∵动点 从点 出发，沿着 的路径运动，
∴第一个拐点的位置在点 处，此时点 运动到点 ，
∵图 中拐点的纵坐标 ，
∴四边形 的面积为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 四边形 是矩形，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，∴四边形 是正方形， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵四边形 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
二、填空题
7．（2024八年级下·上海·专题练习）已知函数 ，那么 ．
【答案】4
【分析】将自变量 代入函数关系式进行计算，即可求解，
此题考查了函数值，准确计算是解题的关键．
【详解】解：由于 ，
所以 ，
故答案为：4．
8．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付
费14元；超过3千米且不超过15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了
千米，则乘车费用 （元）关于里程数 （千米）的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查列函数解析式，理解题意，根据题中等量关系列函数解析式即可．
【详解】解：由题意，乘车费用 （元）关于里程数 （千米）的函数解析式为
，
故答案为： ．9．（23-24八年级下·北京通州·期中）学校组织学生到北京天安门广场参观升国旗仪式是培育学生的爱国
情怀．在奏响国歌第一个音符时，旗手将国旗展开抛出，到国歌的最后一个音符终止，时间是2分07秒，
国旗同时到达30米高的旗杆顶端．国旗上升的高度随着演奏国歌时间的变化而变化．下列说法：①旗杆的
高度30米是常量；②国旗上升过程中的时间是常量；③国旗上升过程中的高度是变量，其中正确的是
(只填写序号)．
【答案】 /
【分析】①本题③考③查①了函数的定义；根据常量与变量的定义判断即可．
【详解】解：旗杆的高度30米始终保持不变，是常量；而国旗上升过程中的时间一直在变化，是变量；国
旗上升过程中的高度随时间而改变，是变量，
∴①③正确，②不正确．
故答案为：①③．
10．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知A、B两地是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑
摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离 与运动时间 的函数关
系大致如图所示，则下列结论正确的有 ．
①两人出发 后相遇；②甲骑自行车的速度为 ；③乙比甲提前 到达目的地；④乙到达目的地时
两人相距 ．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，解题的关键在于能够正确读懂函数图象．先根据在一开始
时，两人的距离为 ，得到A、B两地的距离为 ，从而可以求出甲的速度，即可判断②；根据
在出发 后，两人相距为 ，即可判断①；求出两人的合速度，从而求出乙到达目的地的花费时间即可
判断③④．
【详解】解：∵在一开始时，两人的距离为 ，
∴A、B两地的距离为 ，∵乙先到底目的地，
∴甲到目的地花费的时间为 ，
∴甲的速度为 ，故②正确；
∵在出发 后，两人相距为 ，即此时两人相遇，故①正确；
∵两人出发2h相遇，
∴两人的合速度为 ，
∴乙的速度为 ，
∴乙到目的地花费的时间为 ，
∴乙比甲提前 到达目的地，故③错误；
∵ ，
∴乙到达目的地时两人相距 ，故④正确；
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题
11．（23-24八年级下·北京房山·期中）已知等腰三角形的周长为 ，设它的底边长为 ，腰长为
，腰长y 是底边长x 的函数．求此函数的表达式，并写出自变量的取值范围．
【答案】 ，
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解不等式组，求自变量取值范围及函数解析式，根据以上定义，
列出正确的函数解析式是解题的关键．根据等腰三角形的定义及已知周长为 ，得出 ，化简
得y与x的函数关系式为： ；由三角形的存在性，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
有： ， ，化简后得自变量x的取值范围．
【详解】解：依题意有： ，
可得： ，故y与x的函数关系式为： ；
依题意： ，
即 ，
解得 ，
故自变量x的取值范围为 ．
12．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，在矩形 中， ， ，延长 到点E，使
，连接 ．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线 向终点D运动，设点P运
动的时间为t秒．
(1) ________；
(2)连接 ，当四边形 是菱形时，求菱形 的周长；
(3)设以A，B，P，D为顶点的四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(4)直接写出点P到四边形 相邻两边距离相等时t的值．
【答案】(1)10
(2)40
(3)
(4) 或3或
【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）根据菱形的性质：四边相等，可得答案；
（3）分类讨论，当 和 时，分别计算梯形的面积即可；（4）当点P在 上，若点P到 、 的距离相等时，则 ；当点P到 、 距离相等时，则
，利用 证明 ，得 ；当点P在 上时，若P到 、 距离
相等时，则 ，利用面积法求出 ，进而解决问题．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
故答案为：10；
（2）解：∵四边形 是菱形，且 ，
∴菱形 的周长为 ；
（3）解：当 时，由题意知， ，
∴ ，
当 时，则 ，
∴ ，
综上所述： ；
（4）解：当点P在 上，若点P到 、 的距离相等时，则 ，
∴ ；
当点P到 、 距离相等时，则 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点P在 上时，若P到 、 距离相等时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或3或 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，梯形的面积公式，勾股定理，全等三角形的判定与性
质，三角形的面积等知识，运用分类思想是解题本题的关键．
13．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）已知：如图，在矩形 中， ，点E在 的延长线上，
且 ，连接 ，取 的中点F，连接 ．(1)求证： ；
(2)设 ， ，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
(3)当 时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接 ，证明 ，进而推出 ，即可得证；
（2）连接 ，利用矩形的性质，和勾股定理进行求解即可；
（3）根据 ，推出 ，利用（2）中的结论，列出无理方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
由（1）知： ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴
（3）当 时，
∵ ，
∴ ，
由（2）知： ， ，
∴ ，解得： 或 （不合题意，舍去）；
经检验 是原方程的解，
∴ ．
【点睛】本题考查矩形的性质，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用函数关系式表
示变量之间的关系，解无理方程等知识点，综合性强，难度较大，计算量大，属于压轴题，掌握相关知识
点，正确的计算，是解题的关键．
七、【教学反思】
