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第十九章 一次函数
19.1 函数（8个知识点+8大题型+11道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 常量与变量
考查题型二 函数的概念
考查题型三 函数关系式
考查题型四 函数自变量的取值范围
考查题型五 函数值
考查题型六 函数的图象
考查题型七 动点问题的函数图象
考查题型八 函数的表示方法
【知识梳理】
知识点1．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否
在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如 是常量．
知识点2．函数的概念 π
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，
那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变
化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
知识点3．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
知识点4．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
知识点5．函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应
的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
知识点6．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点
组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所
对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的
值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这
个点就不在函数的图象上．．
知识点7．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，
还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
知识点8．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式
法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；
图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．一．常量与变量（共4小题）
1．（2023春•港南区期末）一本笔记本5元，买 本共付 元，则变量是
A．5 B．5和 C． D． 和
【分析】根据常量、变量的意义进行判断即可．
【解答】解：一本笔记本的单价是5元不变的，因此5是常量，
而购买的本数 ，总费用 是变化的量，因此 和 是变量，
故选： ．
【点评】本题考查了常量、变量，理解在某一变化过程中“常量”“变量”的意义是正确判断的前提．
2．（2023秋•蜀山区期中）在圆周长的计算公式 中，变量有
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．
【解答】解：圆的周长计算公式是 ， 和 是变量，2、 是常量，
故选： ．
【点评】本题主要考查了常量，变量的定义，是需要识记的内容．
3．（2023春•朝天区期末）在圆的周长公式 中，常量是
A． B．2 C． D．
【分析】根据常量是固定不变的量，进行判断即可．
【解答】解：在圆的周长公式 中，固定不变的量是 ，
故选： ．
【点评】本题考查变量和常量．解题的关键是掌握常量是固定不变的量．
4．（2023春•铁岭县期中）在路程 ，速度 ，时间 的相关计算中，若行驶路程 不变，则下列说法正
确的是
A．速度 是变量
B．速度 ，时间 都是变量
C．时间 是变量
D．路程 ，速度 ，时间 都是常量【分析】利用常量和变量定义解答即可．
【解答】解：在进行路程 、速度 和时间 的相关计算中，若保持行驶路程不变，则 、 是变量， 是
常量．
故选 ．
【点评】本题考查了常量与变量，关键是掌握一个变化的过程中，数值发生变化的量叫变量；数值始终不
变的量称为常量．
二．函数的概念（共3小题）
5．（2023•龙湾区模拟）下列图象中，表示 是 的函数的是
A． B．
C． D．
【分析】在一个变化过程中有两个变量 与 ，对于 的每一个确定的值， 都有唯一的值与其对应，那
么就说 是 的函数，由此即可判断．
【解答】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量 与 ，对于 的每一个确定的值， 都有
唯一的值与其对应，那么就说 是 的函数，
因此，选项 中的图象，表示 是 的函数，故 符合题意；
选项 、 、 中的图象，不表示 是 的函数，故 、 、 不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
6．（2023春•内江期末）下列曲线中不能表示 是 的函数的是
A． B．C． D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量 与 ，对于 的每一个确定的值， 都有唯一的值与其对应，
那么就说 是 的函数， 是自变量．由此即可得出结论．
【解答】解：当 取一个值时， 有唯一的值与其对应，就说 是 的函数， 是自变量．
选项 中的曲线，当 取一个值时， 的值可能有2个，不满足对于自变量的每一个确定的值，函数值有
且只有一个值与之对应．
故 中曲线不能表示 是 的函数，
故选： ．
【点评】本题考查了函数的概念，对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．
7．（2023春•泸州期中）下列图象中， 不是 的函数的是
A． B．
C． D．
【分析】在一个变化过程中有两个变量 与 ，对于 的每一个确定的值， 都有唯一的值与其对应，那
么就说 是 的函数，由此即可判断．
【解答】解： 中的图象， 不是 的函数，故 符合题意；
、 、 中的图象， 是 的函数，故 、 、 不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
三．函数关系式（共3小题）
8．（2023春•章丘区期中）一粒石子落入湖面，形成一个如圆周样的涟漪，在圆周长 与半径 的关系式中，变量是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】在某一变化过程中，数值发生改变的量叫做变量，数值不发生改变的量叫做常量，依据定义即可
判断．
【解答】解：关系式 中，常量是2和 ，变量是 ， ，
故选： ．
【点评】本题考查了常量和变量的定义；熟练理解变量的定义是解题的关键．
9．（2023春•开福区校级期末）今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车
平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为 辆次，停车
的总收入为 元，则 与 的关系式为
A． B． C． D．
【分析】已知两轮电动车停车辆数为 辆次，则小汽车停车辆数为 辆次，结合已知条件，根据停
车总收入等于两种车的停车收入之和即可得出答案．
【解答】解： 两轮电动车停车辆数为 辆次，
小汽车停车辆数为 辆次，
两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，
，
整理得： ，
故选： ．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，根据题干已知条件，找到等量关系是解题的关键．
10．（2023春•中阳县期末）小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用 个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的
总长度 与图形个数 之间的关系式为
A． B． C． D．
【分析】当1个图形时，总长度为 ；当2个图形拼接时，总长度为 ；当3个图形拼接时，
总长度为 ．依此类推，当 个图形拼接时，总长度为 ，由此可得 与 的关系
式．
【解答】解：当1个图形时，总长度为 ；当2个图形拼接时，总长度为 ；当3个图形拼接
时，总长度为 ；
当 个图形拼接时，总长度为 ．
．
故选： ．
【点评】本题考查函数关系式，用列举法找规律，从而写出其函数关系式．
四．函数自变量的取值范围（共3小题）
11．（2024•邹城市校级一模）函数 中自变量 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据被开方数大于等于0，即可求解．
【解答】解：根据题意得： ，
，
故选： ．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．12．（2024•湖南模拟）若函数 有意义，则自变量的取值范围为： 且 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：由题意得： 且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是
解题的关键．
13．（2024•宁江区校级开学）函数 的自变量 的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的
关键．
五．函数值（共3小题）
14．（2023秋•皇姑区校级期中）一条观光船沿直线向码头游览前进，到达码头后立即原路返回，全程保
持匀速行驶．下表记录了4个时间点对应的观光船与码头的距离，其中 表示时间， 表示观光船与码头
的距离．
0 6 12 18
200 80 40 160
根据表格中数据推断，观光船到达码头的时间 是
A．8 B．10 C．14 D．16
【分析】由表格数据列得函数关系式，然后令 时，求得对应的 的值即可．
【解答】解：由表格数据可得，观光船形式 时，行驶路程为 ，
则其速度为 ，那么 关于 的函数关系式为： ，
令 ，即 ，
解得： ，
即观光船到达码头的时间 是10，
故选： ．
【点评】本题考查函数问题，结合已知条件求得 关于 的函数关系式是解题的关键．
15．（2023春•许昌期末）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中 是 的函数．下面表格中，是
通过该“函数求值机”得到的几组 与 的对应值．
输入 0 2
输出 2 6 16
根据以上信息，解答下列问题：当输出的 值为0时，则输入的 值为
A．0 B． C．6 D．
【分析】根据表格中的数据求出 与 的函数关系式，再根据函数关系式，求出当 时相应的 的值即
可．
【解答】解：当 时， 与 满足 ，
由 ， ，当 ， 可得，
，解得 ，
所以 与 的换算关系式为 ，
当 时，即 ，解得 ，
故选： ．
【点评】本题考查函数值，函数关系式，用待定系数法求出函数关系式是解决问题的关键．
16．（2023春•宝清县校级期末）变量 与 之间的关系式为 ；当自变量 时，因变量 的值
是
A． B．2 C．0 D．1
【分析】把自变量 的值代入函数解析式进行计算即可得解．
【解答】解： 时， ．
故选： ．
【点评】本题考查了函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键．
六．函数的图象（共3小题）
17．（2023春•大同期末）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内现用一个注
水管沿大容器内壁匀速注水，如图，则大圆柱形容器水面的高度 与注水时间 的函数图象大致
A． B．C． D．
【分析】根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容
器内壁匀速注水，即可求出大圆柱形容器水面的高度 与注水时间 的函数图象．
【解答】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，开始时大圆柱形容器
水面的高度为0，故选项 不符合题意；
用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间 随 的增大而增大；
当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高后，开始向小杯中流水，这段时间 不变，故选项 不符
合题意；
当水注满小杯后，大圆柱形容器水面的高度 随 的增大而增大，且增加的速度比原来慢，故选项 不符
合题意，选项 符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图
象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
18．（2023春•平泉市期末）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程 和所用时间 如图所示，按平均速度
计算，四人中走得最慢的人是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】当时间一样的时候，分别比较甲、乙和丙、丁的平均速度；当路程都是 3千米的时候，比较甲、
丁的平均速度即可得出答案．
【解答】解： 分钟甲比乙步行的路程多，25分钟丁比丙步行的路程多，甲的平均速度 乙的平均速度，丁的平均速度 丙的平均速度，
步行3千米时，乙比丙用的时间少，
乙的平均速度 丙的平均速度，
四人中走得最慢的人是丙，
故选： ．
【点评】本题考查了函数的图象，通过控制变量法比较平均速度的大小是解题的关键．
19．（2023春•栾城区校级期中）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度 （米 与火车行驶时间
（秒 之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的速度为30米 秒；
②火车的长度为120米；
③火车整体都在隧道内的时间为35秒；
④隧道长度为1200米．
正确的结论是
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．③④
【分析】根据函数的图象即可确定在 段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米 秒，进
而即可确定其它答案．
【解答】解：在 段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米 秒．故①正确；
火车的长度是150米，故②错误；
整个火车都在隧道内的时间是： 秒，故③正确；
隧道长是： （米 ，故④正确．
综上可知正确的有①③④．
故选： ．
【点评】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，解题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意
义．七．动点问题的函数图象（共3小题）
20．（2023春•叙州区期末）如图①，在长方形 中，动点 从点 出发，沿 方向匀速
运动至点 停止，已知点 的运动速度为 ，设点 的运动时间为 ， 的面积为 ，若
关于 的函数图象如图②所示，则长方形 的面积为
A． B． C． D．
【分析】根据 的面积只与点 的位置有关，结合图2求出长方形的长和宽，再根据矩形面积公式计
算即可解答．
【解答】解： 动点 从点 出发，沿 、 、 运动至点 停止，
当点 在点 ， 之间运动时， 的面积随时间 的增大而增大，
由图2知，当 时，点 到达点 处，
；
当点 运动到点 ， 之间时， 的面积不变，
由图2可知，点 从点 运动到点 所用时间为 ，
，
长方形 面积 ，
故选： ．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据 与 的函数图象求出长方形的长和宽．
21．（2023•陆河县三模）如图 1，四边形 是平行四边形，连接 ，动点 从点 出发沿折线
匀速运动，回到点 后停止．设点 运动的路程为 ，线段 的长为 ，图2是 与
的函数关系的大致图象，则平行四边形 的面积为A． B． C． D．36
【分析】图1和图2中的点对应：点 对点 ，点 对点 ，点 对点 ，根据点 运动的路程为 ，
线段 的长为 ，依次解出 ，即点 的横坐标， ，即点 的纵坐标，解出
， 的面积 ，可得结论．
【解答】解：在图1中，作 ，垂足为 ，
在图2中，取 ， ，
当点 从点 到点 时，对应图2中 线段，得 ，
当点 从 到 时，对应图2中曲线 从点 到点 ，得 ，解得 ，
当点 到点 时，对应图2中到达点 ，得 ，
在 中， ， ， ，
解得 ，
在 中， ， ，
，解得 ，
的面积 ，
故选： ．
【点评】本题考查动点的移动距离与函数图象的关系，难点在于确定关键点对应关系：点 对点 ，点
对点 ，点 对点 ，关键是当点 到点 时，图2的 点的纵坐标表示的意义： （点
的纵坐标）．
22．（2023春•黄岩区期末）已知动点 在图1所示的多边形（各个角为直角）的边上运动，从点 开
始按顺时针方向走一圈回到点 ，速度为每秒1个单位长度． 的面积随着时间 （秒 的变化如图
2所示，则这个过程中，点 走过的路程为
A．28 B．14 C．20 D．19
【分析】根据多边形的形状，结合图2，可以求出多边形中某些边的长度，据此可求出多边形的周长，
进而解决问题．
【解答】解：由题知，
根据图2，当 时，
即点 在 上运动，又点 的速度为每秒1个单位长度，
所以 ．
由图2可知，当点 在 上运动时， 的面积恒为9，
则 ，
所以 ．
又当 时，即点 在 上运动，
所以 ．
又 ， ，
所以图1中多边形的周长为： ．
即点 走过的路程为28．
故选： ．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，能将图1和图2进行结合是解决问题的关键．
八．函数的表示方法（共3小题）
23．（2023春•栾城区期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 与所挂的物体的质量
间有关系：
0 1 2 3 4 5
10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是
A． 与 都是变量，且 是自变量， 是因变量
B．所挂物体质量为 时，弹簧长度为
C．弹簧不挂重物时的长度为
D． 与 之间的关系式为
【分析】根据挂重物与弹簧伸长的长度，可得答案．
【解答】解： 、 和 都是变量，且 是自变量， 是因变量，正确，不符合题意；
、当 时， ，正确，不符合题意；
、当 时， ，错误，符合题意；
、由挂重物与弹簧伸长的长度，得 ，正确，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了函数关系式，利用挂重物与弹簧伸长的长度得出函数关系式是解题关键．
24．（2023春•雨花区校级月考）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 与所挂的物体的质量问有下面的关系：
0 1 2 3 4 5
10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法一定错误的是
A． 与 都是变量，且 是自变量， 是 的函数
B．弹簧不挂重物时的长度为
C．物体质量每增加 ，弹簧长度 增加
D．所挂物体质量为 时，弹簧长度为
【分析】根据表格中的信息，对各选项进行判断作答即可．
【解答】解：由题意知，
、 与 都是变量，且 是自变量， 是 的函数， 正确，故不符合要求；
、弹簧不挂重物时的长度为 ， 错误，故符合要求；
、物体质量每增加 ，弹簧长度 增加 ， 正确，故不符合要求；
、所挂物体质量为 时，弹簧长度为 ， 正确，故不符合要求．
故选： ．
【点评】本题考查了函数的变量，函数关系式，掌握题意，从表格中获取正确的信息是关键．
25．（2023春•定边县校级期末）如图，在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车从木板顶部下
滑的时间 与支撑物的高度 ，得到如表所示的数据．下列结论不正确的是
木板的 10 20 30 40 50
支撑物
高度
下滑时 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56
间A．这个实验中，木板的支撑物高度是自变量
B．支撑物高度 每增加 ，下滑时间就会减少
C．当 时， 为
D．随着支撑物高度 的增加，下滑时间越来越短
【分析】根据表格中高度 与时间 的数据关系即可求解．
【解答】解： 选项，木板的支撑物高度在增加，时间在减小，故木板的支撑物高度是自变量，故
正确，不符合题意；
选项，支撑物高度 第一次增加 ，下滑时间就会减少 ；第二次增加 ，下滑时间减少
，故 错误，符合题意；
选项，当 时， 为 ，故 正确，不符合题意；
选项，随着支撑物高度 的增加，下滑时间越来越短，故 正确，不符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查常量与变量的关系，反比例关系在实际中的运用，理解表格中常量与变量的关系，
掌握反比例的定义是解题的关键．
一．选择题（共2小题）
1．（2023春•海安市期末）如图1， 中， ，两动点 ， 同时从点 出发，点 在边
上以 的速度匀速运动，到达点 时停止运动，点 沿 的路径匀速运动，到达点
时停止运动． 的面积 与点 的运动时间 的关系图象如图2所示，已知 ，则下
列说法正确的是
① 点的运动速度是 ；
② 的长度为 ；
③ 的值为7；
④ 当 时 ， 的 值 为 或 9 ．A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【分析】由点 的速度和路程可知， 时，点 和点 重合，过点 作 于点 ，求出 的
长，进而求出 的长，得出 点的速度；由图2可得当 时，点 和点 重合，进而可求出 的长；
根据路程除以速度可得出时间，进而可得出 的值；由图2可知，当 时，有两种情况，根据图象
分别求解即可得出结论．
【解答】解： ，点 的速度为 ，
当点 从点 到点 ，用时 ，
当 时，过点 作 于点 ，
，
，
在 中， ，
， ，
，
点的运动速度是 ；故①正确；
点 从 到 ，用时 ，
由图2可知，点 从 到 用时 ，
，故②正确；
，故③正确；
当点 未到点 时，过点 作 于点 ，，
解得 ，负值舍去；
当点 在 上时，过点 作 交 延长线于点 ，
此时 ，
，
，
解得 ，
当 时， 的值为 或9．故④正确；
故选： ．
【点评】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含 直角三角形的性质，熟练掌握各图
形的性质，分别列出关于 的方程是解题的关键．
2．（2023春•陵城区校级月考）如图，在边长为2的正方形 中剪去一个边长为1的小正方形 ，
动点 从点 出发，沿 的路线，绕多边形的边匀速运动到点 时停止，则
的面积 随着时间 变化的函数图象大致是A． B．
C． D．
【分析】用面积公式计算出点 在线段运动的函数表达式，即可求解．
【解答】解：①当点 在 上运动时， ；
②当点 在 上运动时， ；
③当点 在 上运动时， ；
④当点 在 上运动时，同理 ；
⑤当点 在 上运动时，同理可得：函数的表达式为一次函数，图象为线段；
故选： ．
【点评】本题是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意
义，理解动点的完整运动过程．
二．填空题（共2小题）
3．（2023春•栾城区期中）如图（1），在 中， ．动点 从 的顶点 出发，以
的速度沿 匀速运动回到点 ．图2是点 运动过程中，线段 的长度 随时
间 变化的图象．其中点 为曲线部分的最低点．请从下面 、 两题中任选一题作答，我选择
或 题．
． 的面积是 ．
．图2中 的值是 ．
【分析】从图（2）看， ， 的最小值为 4，即 ；在 中，
，则 ，进而求解．
【解答】解：过点 作 于点 ，
，故 ，
从图（2）看，当 时，点 在点 处，即 ，
从图（2）看，点 为曲线部分的最低点，即 的最小值为4，即 ，
在 中， ，则 ，
故 ；
的周长为 ，
则 ，
的面积 ，故答案为 ， ．
【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进
而求解．
4．（2023 春•岳阳县期末）如图①，在矩形 中，动点 从点 出发，沿
方向运动至点 处停止，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，
如果 关于 的函数图象如图②所示，则矩形 的面积是 2 0 ．
【分析】根据图象横坐标的变化，问题可解．
【解答】解：由图象可知， 时，点 到达 ， 时，点 到 点，则 ，
矩形 的面积是20．
【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了动点到达临界点前后图象趋势的趋势变
化．解答时，要注意数形结合．
三．解答题（共7小题）
5．（2023春•泊头市期中）如图，长方形 中，点 沿着四边按 方向运动，开始以
每秒 个单位匀速运动， 秒后变为每秒2个单位匀速运动， 秒后恢复原速匀速运动．在运动过程中，
的面积 与运动时间 的函数关系如图所示．
（1）求长方形的长和宽；
（2）求 、 、 的值；
（3）当 点运动到 中点时，有一动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿 运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点 运动的时间为 秒， 的面积为 ，求 与 之间的
关系式．
【分析】（1）由图象可知， 的长度，当 时， ，求出 的长；
（2）当 时， ，则点 此时在 的中点处，从而得出 和 的值，当 时， ，
从而求得 的值；
（3）分 ， ， ， 四种情况讨论．
【解答】解：（1）从图象可知，当 时， 面积不变，
即 时，点 从点 运动到点 ，且这时速度为每秒2个单位，
，
，
当 时（点 运动到点 ，
，
，
，
长方形的长为8，宽为4．
（2）当 时， ，
即点 此时在 的中点处，，
，
，
，
，
当 时， ，
， ，
；
（3）当 时， ；
当 时， ；
时， ；
当 时 ， 点 的 速 度 为 每 秒 1 个 单 位 ， 点 、 都 在 上 运 动 ， 即
，
时， ，
．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了学生观察图象的能力，用待定系数法求一次函数的解析式．
6．（2023春•兴隆县期中）如图，自行车每节链条的长度为 ，交叉重叠部分的圆的直径为 ．
（1）观察图形填写下表：
2 3 4
链条节数（节
4. 2
链条长度（2）如果 节链条的总长度是 ，求 与 之间的关系式；
（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条完成连接（安装
到自行车上）后，总长度是多少 ？
【分析】（1）根据图形找出规律计算4节链条的长度即可；
（2）由（1）写出表示链条节数的一般式；
（3）根据（2）计算时，特别注意自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8．
【解答】解：（1）根据图形可得出：
2节链条的长度为： ，
3节链条的长度为： ，
4节链条的长度为： ．
故答案为：4.2，5.9，7.6；
（2）由（1）可得 节链条长为： ；
与 之间的关系式为： ；
（3）因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短 0.8，故这辆自行车链条的总长为
厘米，
所以80节这样的链条总长度是136厘米．
【点评】此题主要考查了函数关系式，根据题意得出 节链条的长度与每节长度之间的关系是解决问题的
关键．
7．（2023春•青秀区校级期中）陈杰骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路时，忽然想起要买某
本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关
系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）陈杰家到学校的距离是 150 0 米？本次上学途中，陈杰一共行驶了 米？
（2）在整个上学的途中哪个时间段陈杰骑车速度最快？最快的速度是多少米 分钟？
（3）如果陈杰不买书，以往常的速度去学校，需要多少分钟？本次上学比往常多用多少分钟？
【分析】（1）根据图象，路程的最大值即为陈杰家到学校的路程；分开始行驶的路程，折回书店行驶的
路程以及从书店到学校行驶的路程三段相加即可得解；
（2）分别得出各段的平均速度，进而得出骑车最快速度；
（3）利用路程 速度 时间，进而得出答案．
【解答】解：（1）陈杰家到学校的距离是：1500米，
本次上学途中，陈杰一共行驶了： ；
故答案为：1500，2700；
（2）根据题意可得： （米 分）；
（米 分）；
（米 分）；
所以在整个上学的途中12分钟到14分钟时段陈杰骑车速度最快，最快的速度是450米 分；
（3） （分钟），
（分钟），
所以陈杰以往常的速度去学校，需要7.5分钟，本次上学比往常多用6.5分钟．
【点评】此题主要考查了函数图象，利用函数图象图象获取正确信息是解题关键．
8．（2023春•西岗区期末）如图1，在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在 轴和 轴上，直线
与直线 相交于点 ， 为线段 上一动点（不与点 重合），过 作 轴的垂线与直线 相交于点 ，设 点的横坐标为 ． 与 重叠部分的面积为 ， 关于 的函数图象如图2所示（其
中 与 时，函数的解析式不同）．
（1）点 的坐标为 ， 的面积为 ；
（2）求 关于 的函数解析式，并直接写出 的取值范围．
【分析】（1）由图2可知，当 时， ，此时点 与点 重合，可知 的面积为2；由图2可
知， 时，点 与点 重合， ，由此可得出结论；
（2）由上可知， 的面积为2，由此可得出点 的纵坐标，进而求出点 的坐标，由待定系数法可求
出 的解析式，根据点 的运动分别表示出 即可．
【解答】解：（1）由图2可知，当 时， ，此时点 与点 重合，重合面积为 的面积，
的面积为2；
由图2可知， 时，点 与点 重合， ，
，
故答案为： ；2；
（2） 的面积为2，
，
，
点 在直线 上，
，
设直线 的解析式为 ，，
解得 ，
直线 的解析式为： ；
当 时，设 与 交于点 ，
则 ， ，
， ，
；
当 时，设 与直线 交于点 ，
， ，
，
综上， ．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积等相关知识，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
9．（2023春•姑苏区校级月考）如图①，在矩形 中，点 从 边的中点 出发，沿着 匀
速运动，速度为每秒1个单位长度，到达点 后停止运动，点 是 上的点， ，设 的面积
为 ，点 运动的时间为 秒， 与 的函数关系如图②所示．
（1）图①中 4 ， ，图②中 ．
（2）点 在运动过程中，将矩形沿 所在直线折叠，则 为何值时，折叠后顶点 的对应点 落在矩形
的一边上．
【分析】（1）由图象得： 时， ，当 时，点 在 处， 的面积
，即可求解；
（2）分点 在 边上、点 在 边上、点 在 边上三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1） 点 从 边的中点 出发，速度为每秒1个单位长度，
，
由图象得： 时， ，
， ，
时，
，
当 时，点 在 处， 的面积 ；
故答案为：4，9，5；
（2）分三种情况：①当点 在 边上， 落在 边上时，作 于 ，如图1所示：则 ， ，
四边形 是矩形，
， ， ，
由折叠的性质得： ， ， ，
，
，
在 △ 中， ， ，
由勾股定理得： ，
解得： ；
②当点 在 边上， 落在 边上时，连接 ，如图2所示：
由折叠的性质得： ，
，
，
，，
，
在 中，由勾股定理得： ，
又 ，
，解得： ；
③当点 在 边上， 落在 边上时，连接 、 ，如图3所示：
同理可得： ；
综上所述， 为 或5或 时，折叠后顶点 的对应点 落在矩形的一边上．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、等腰三角
形的判定、以及分类讨论等知识；本题综合性强，难度较大，注意分类讨论．
10．（2023•紫金县校级开学）为了了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并
把试验的数据记录下来，制成下表：
0 1 2 3
汽车行驶时间
100 94 88 82
油箱剩余油量
（1）根据上表的数据，你能用 表示 吗？试一试；
（2）汽车行驶 后，油箱中的剩余油量是多少？
（3）若汽车油箱中剩余油量为 ，则汽车行驶了多少小时？
（4）若该种汽车油箱只装了 汽油，汽车以 的速度在一条全长700公里的高速公路上匀速行
驶，请问它在中途不加油的情况下能从高速公路起点开到高速公路终点吗，为什么？
【分析】（1）由表格可知，开始油箱中的油为 ，每行驶1小时，油量减少 ，据此可得 与 的关
系式；（2）求汽车行驶 后，油箱中的剩余油量即是求当 时， 的值；
（3）求汽车油箱中剩余油量为 ，则汽车行使了多少小时即是求当 时， 的值；
（4）分别求出 汽油，所用的时间，汽车以 的速度在一条全长700公里的高速公路上匀速行
驶需要的时间，比较两个时间即可判断．
【解答】解：（1） ；
（2）当 时， ，
答：汽车行驶 后，油箱中的剩余油量是 ；
（3）当 时，
，
答：若汽车油箱中剩余油量为 ，则汽车行使了8小时；
（4）结论：在中途不加油的情况下不能从高速公路起点开到高速公路终点．
汽油，所用时间为 ，汽车以 的速度在一条全长700公里的高速公路上匀速行驶
需要的时间 ，
，
在中途不加油的情况下不能从高速公路起点开到高速公路终点．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，由表格中数据求函数解析式可以根据等量关系列出或者利用待
定系数法去求，理清 汽油，所用时间为 ，汽车以 的速度在一条全长700公里的高
速公路上匀速行驶需要的时间7小时，是第四个问题的突破点．
11．（2023春•原阳县月考）甲车从 地出发匀速驶往 地，同时乙车从 地出发匀速驶往 地．如图表
示甲、乙两车在全程行驶的过程中，离各自出发地的路程 （千米）与出发时间 （时 的函数图象．
（1） 、 两地相距 18 0 千米；甲车的速度为 千米 时；（2）当乙车距 地的路程为 、 两地距离的 时，甲车刚好行驶80千米．求此时乙车到达 地还需行
驶多长时间．
【分析】（1）由图象信息可以得出 两地的距离，再根据速度 路程 时间就可以求出结论．
（2）由（1）知道甲车的速度，求出甲车行驶的时间，就是乙车行驶的时间，再利用乙车行驶的路程除以
时间就可以求出乙车的速度，从而求出乙车到达 地的时间．
【解答】解：（1）由图象得 两地的路程为：180千米，
甲车的速度为： 千米 时．
故答案为：180，60；
（2）求出乙车的速度是： 千米 时，
则乙车到达 地还需行驶的时间为：
小时．
答：乙车到达 地还需行驶 小时．
【点评】本题考查了根据图象信息求路程．在根据路程 速度 时间的关系求出相应的量，在解答中找准
行程问题的基本关系式是关键．
