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第十九章 一次函数
19.1 函数（8个知识点+8大题型+11道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 常量与变量
考查题型二 函数的概念
考查题型三 函数关系式
考查题型四 函数自变量的取值范围
考查题型五 函数值
考查题型六 函数的图象
考查题型七 动点问题的函数图象
考查题型八 函数的表示方法
【知识梳理】
知识点1．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否
在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如 是常量．
知识点2．函数的概念 π
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，
那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变
化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
知识点3．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
知识点4．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
知识点5．函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应
的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
知识点6．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点
组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所
对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的
值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这
个点就不在函数的图象上．．
知识点7．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，
还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
知识点8．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式
法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；
图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．一．常量与变量（共4小题）
1．（2023春•港南区期末）一本笔记本5元，买 本共付 元，则变量是
A．5 B．5和 C． D． 和
2．（2023秋•蜀山区期中）在圆周长的计算公式 中，变量有
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（2023春•朝天区期末）在圆的周长公式 中，常量是
A． B．2 C． D．
4．（2023春•铁岭县期中）在路程 ，速度 ，时间 的相关计算中，若行驶路程 不变，则下列说法正
确的是
A．速度 是变量
B．速度 ，时间 都是变量
C．时间 是变量
D．路程 ，速度 ，时间 都是常量
二．函数的概念（共3小题）
5．（2023•龙湾区模拟）下列图象中，表示 是 的函数的是
A． B．
C． D．
6．（2023春•内江期末）下列曲线中不能表示 是 的函数的是A． B．
C． D．
7．（2023春•泸州期中）下列图象中， 不是 的函数的是
A． B．
C． D．
三．函数关系式（共3小题）
8．（2023春•章丘区期中）一粒石子落入湖面，形成一个如圆周样的涟漪，在圆周长 与半径 的关系式
中，变量是
A． ， B． ， C． ， D． ，
9．（2023春•开福区校级期末）今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车
平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为 辆次，停车的总收入为 元，则 与 的关系式为
A． B． C． D．
10．（2023春•中阳县期末）小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所
示，小明用 个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的
总长度 与图形个数 之间的关系式为
A． B． C． D．
四．函数自变量的取值范围（共3小题）
11．（2024•邹城市校级一模）函数 中自变量 的取值范围是
A． B． C． D．
12．（2024•湖南模拟）若函数 有意义，则自变量的取值范围为： ．
13．（2024•宁江区校级开学）函数 的自变量 的取值范围是 ．
五．函数值（共3小题）
14．（2023秋•皇姑区校级期中）一条观光船沿直线向码头游览前进，到达码头后立即原路返回，全程保
持匀速行驶．下表记录了4个时间点对应的观光船与码头的距离，其中 表示时间， 表示观光船与码头
的距离．
0 6 12 18
200 80 40 160
根据表格中数据推断，观光船到达码头的时间 是
A．8 B．10 C．14 D．16
15．（2023春•许昌期末）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中 是 的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组 与 的对应值．
输入 0 2
输出 2 6 16
根据以上信息，解答下列问题：当输出的 值为0时，则输入的 值为
A．0 B． C．6 D．
16．（2023春•宝清县校级期末）变量 与 之间的关系式为 ；当自变量 时，因变量 的值
是
A． B．2 C．0 D．1
六．函数的图象（共3小题）
17．（2023春•大同期末）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内现用一个注
水管沿大容器内壁匀速注水，如图，则大圆柱形容器水面的高度 与注水时间 的函数图象大致
A． B．C． D．
18．（2023春•平泉市期末）甲、乙、丙、丁四个人步行的路程 和所用时间 如图所示，按平均速度
计算，四人中走得最慢的人是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
19．（2023春•栾城区校级期中）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度 （米 与火车行驶时间
（秒 之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的速度为30米 秒；
②火车的长度为120米；
③火车整体都在隧道内的时间为35秒；
④隧道长度为1200米．
正确的结论是
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．③④
七．动点问题的函数图象（共3小题）
20．（2023春•叙州区期末）如图①，在长方形 中，动点 从点 出发，沿 方向匀速运动至点 停止，已知点 的运动速度为 ，设点 的运动时间为 ， 的面积为 ，若
关于 的函数图象如图②所示，则长方形 的面积为
A． B． C． D．
21．（2023•陆河县三模）如图 1，四边形 是平行四边形，连接 ，动点 从点 出发沿折线
匀速运动，回到点 后停止．设点 运动的路程为 ，线段 的长为 ，图2是 与
的函数关系的大致图象，则平行四边形 的面积为
A． B． C． D．36
22．（2023春•黄岩区期末）已知动点 在图1所示的多边形（各个角为直角）的边上运动，从点 开
始按顺时针方向走一圈回到点 ，速度为每秒1个单位长度． 的面积随着时间 （秒 的变化如图
2所示，则这个过程中，点 走过的路程为A．28 B．14 C．20 D．19
八．函数的表示方法（共3小题）
23．（2023春•栾城区期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 与所挂的物体的质量
间有关系：
0 1 2 3 4 5
10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是
A． 与 都是变量，且 是自变量， 是因变量
B．所挂物体质量为 时，弹簧长度为
C．弹簧不挂重物时的长度为
D． 与 之间的关系式为
24．（2023春•雨花区校级月考）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 与所挂的物体的质量
问有下面的关系：
0 1 2 3 4 5
10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法一定错误的是
A． 与 都是变量，且 是自变量， 是 的函数
B．弹簧不挂重物时的长度为
C．物体质量每增加 ，弹簧长度 增加D．所挂物体质量为 时，弹簧长度为
25．（2023春•定边县校级期末）如图，在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车从木板顶部下
滑的时间 与支撑物的高度 ，得到如表所示的数据．下列结论不正确的是
木板的 10 20 30 40 50
支撑物
高度
下滑时 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56
间
A．这个实验中，木板的支撑物高度是自变量
B．支撑物高度 每增加 ，下滑时间就会减少
C．当 时， 为
D．随着支撑物高度 的增加，下滑时间越来越短一．选择题（共2小题）
1．（2023春•海安市期末）如图1， 中， ，两动点 ， 同时从点 出发，点 在边
上以 的速度匀速运动，到达点 时停止运动，点 沿 的路径匀速运动，到达点
时停止运动． 的面积 与点 的运动时间 的关系图象如图2所示，已知 ，则下
列说法正确的是
① 点的运动速度是 ；
② 的长度为 ；
③ 的值为7；
④当 时， 的值为 或9．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
2．（2023春•陵城区校级月考）如图，在边长为2的正方形 中剪去一个边长为1的小正方形 ，
动点 从点 出发，沿 的路线，绕多边形的边匀速运动到点 时停止，则
的面积 随着时间 变化的函数图象大致是A． B．
C． D．
二．填空题（共2小题）
3．（2023春•栾城区期中）如图（1），在 中， ．动点 从 的顶点 出发，以
的速度沿 匀速运动回到点 ．图2是点 运动过程中，线段 的长度 随时
间 变化的图象．其中点 为曲线部分的最低点．
请从下面 、 两题中任选一题作答，我选择
题．
． 的面积是 ．
．图2中 的值是 ．
4．（2023 春•岳阳县期末）如图①，在矩形 中，动点 从点 出发，沿
方向运动至点 处停止，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，
如果 关于 的函数图象如图②所示，则矩形 的面积是 ．三．解答题（共7小题）
5．（2023春•泊头市期中）如图，长方形 中，点 沿着四边按 方向运动，开始以
每秒 个单位匀速运动， 秒后变为每秒2个单位匀速运动， 秒后恢复原速匀速运动．在运动过程中，
的面积 与运动时间 的函数关系如图所示．
（1）求长方形的长和宽；
（2）求 、 、 的值；
（3）当 点运动到 中点时，有一动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度沿 运动，当
一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点 运动的时间为 秒， 的面积为 ，求 与 之间的
关系式．
6．（2023春•兴隆县期中）如图，自行车每节链条的长度为 ，交叉重叠部分的圆的直径为 ．
（1）观察图形填写下表：
2 3 4
链条节数（节
链条长度
（2）如果 节链条的总长度是 ，求 与 之间的关系式；
（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条完成连接（安装到自行车上）后，总长度是多少 ？
7．（2023春•青秀区校级期中）陈杰骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路时，忽然想起要买某
本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关
系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）陈杰家到学校的距离是 米？本次上学途中，陈杰一共行驶了 米？
（2）在整个上学的途中哪个时间段陈杰骑车速度最快？最快的速度是多少米 分钟？
（3）如果陈杰不买书，以往常的速度去学校，需要多少分钟？本次上学比往常多用多少分钟？
8．（2023春•西岗区期末）如图1，在平面直角坐标系 中，点 ， 分别在 轴和 轴上，直线
与直线 相交于点 ， 为线段 上一动点（不与点 重合），过 作 轴的垂线与直线 相交
于点 ，设 点的横坐标为 ． 与 重叠部分的面积为 ， 关于 的函数图象如图2所示（其中 与 时，函数的解析式不同）．
（1）点 的坐标为 ， 的面积为 ；
（2）求 关于 的函数解析式，并直接写出 的取值范围．
9．（2023春•姑苏区校级月考）如图①，在矩形 中，点 从 边的中点 出发，沿着 匀
速运动，速度为每秒1个单位长度，到达点 后停止运动，点 是 上的点， ，设 的面积
为 ，点 运动的时间为 秒， 与 的函数关系如图②所示．
（1）图①中 ， ，图②中 ．
（2）点 在运动过程中，将矩形沿 所在直线折叠，则 为何值时，折叠后顶点 的对应点 落在矩形
的一边上．
10．（2023•紫金县校级开学）为了了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并
把试验的数据记录下来，制成下表：
0 1 2 3
汽车行驶时间100 94 88 82
油箱剩余油量
（1）根据上表的数据，你能用 表示 吗？试一试；
（2）汽车行驶 后，油箱中的剩余油量是多少？
（3）若汽车油箱中剩余油量为 ，则汽车行驶了多少小时？
（4）若该种汽车油箱只装了 汽油，汽车以 的速度在一条全长700公里的高速公路上匀速行
驶，请问它在中途不加油的情况下能从高速公路起点开到高速公路终点吗，为什么？
11．（2023春•原阳县月考）甲车从 地出发匀速驶往 地，同时乙车从 地出发匀速驶往 地．如图表
示甲、乙两车在全程行驶的过程中，离各自出发地的路程 （千米）与出发时间 （时 的函数图象．
（1） 、 两地相距 千米；甲车的速度为 千米 时；
（2）当乙车距 地的路程为 、 两地距离的 时，甲车刚好行驶80千米．求此时乙车到达 地还需行
驶多长时间．
