文档内容
人教版初中数学八年级下册
19.2.1 正比例函数的概念 分层作业
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列函数中，属于正比例函数的有（ ）
① ；② ；③
④ ；⑤ ；⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义判断即可．
【详解】解：① 不是正比例函数，不合题意；
② 是正比例函数，符合题意；
③ ，不是正比例函数，不合题意
④ 是正比例函数，符合题意；
⑤ 不是正比例函数，不合题意；
⑥ 是正比例函数，符合题意．
故正比例函数有3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，其
中k叫做比例系数．
2．在 中，若 是 的正比例函数，则 值为（ ）
A．1 B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】形如 的函数是正比例函数，根据定义列得 ，求解即可．
【详解】解：∵ 是 的正比例函数，∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】此题考查了正比例函数的定义，熟记定义是解题的关键．
3．小王每天记忆10个英语单词，x天后他记忆的单词总量为y个，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝10+x B．y＝10x C．y＝100x D．y＝10x+10
【答案】B
【分析】根据总数=每份数×份数列式即可得答案．
【详解】∵每天记忆10个英语单词，
∴x天后他记忆的单词总量y=10x，
故选：B．
【点睛】本题考查根据实际问题列正比例函数关系式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
4．下列各选项中的 与 的关系为正比例函数的是（ ）
A．正方形周长 （厘米）和它的边长 （厘米）的关系
B．圆的面积 （平方厘米）与半径 （厘米）的关系
C．立方体的体积 （立方厘米）和它棱长 （厘米）的关系
D．一棵树的高度为 厘米，每个月长高 厘米， 月后这棵的树高度为 厘米
【答案】A
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；
如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【详解】解：A、依题意得到y=4x，则 =4，所以正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系成正
比例函．故本选项正确；
B、依题意得到y=πx2，则y与x不是一次函数关系．故本选项错误；
C、依题意得到y=x3，则y与x是一次函数关系．故本选项错误；
D、依题意，得到y=3x+60，则y与x是一次函数关系．故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数及反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y=kx
（k≠0）．
5．若 是正比例函数，则点 所在的象限是（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据求正比例函数的定义求出m的值，即可判断点 所在的象限．
【详解】解∶∵ 是正比例函数，
∴ 且 ，
∴ ，
∴ 即为 ，
∴ 在第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，各象限内点的特征：第一象限中的点的横坐标 大于0，纵坐标
大于0；第二象限中的点的横坐标 小于0，纵坐标 大于0；第三象限中的点的横坐标 小于0，
纵坐标 ）小于0；第四象限中的点的横坐标 大于0，纵坐标 小于0．根据正比例函数的定义求出
m的值是解题的关键．
二、填空题：
6．形如_________的函数叫做正比例函数．其中_______叫做比例系数．
【答案】 （k是常数， ） k
【分析】根据正比例函数的定义直接填空即可．
【详解】形如 （k是常数， ）的函数叫做正比例函数．其中 叫做比例系数．
故答案为： （k是常数， ）；k
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，理解正比例函数的定义是解题的关键．
7．下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中， 是 的正比例函数的有
______个．【答案】2
【分析】根据正比例函数的定义逐项判断即可．
【详解】① 是正比例函数，符合要求；
② 是一次函数，不符合要求；
③ 是反比例函数，不符合要求，
④ 是二次函数，不符合要求，
⑤ 是正比例函数，符合要求；
则是正比例函数的有2个，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义．正比例函数的定义：一般地，形如 （k是常数，k≠0）
的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意
定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数，也可以是分数．
8．经过点 的正比例函数解析式是______．
【答案】
【分析】设正比例函数的解析式为 ，将 代入进行计算，即可得到答案．
【详解】设正比例函数的解析式为 ．
将 代入得， ，
解得 ．
则它的函数解析式为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了正比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解解析式．
9．当 _______时，函数 是正比例函数．【答案】
【分析】直接利用正比例函数的定义得出 ，进而得出答案．
【详解】 函数 是正比例函数，
，
解得： ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．
10．已知y与x成正比例，如果 时， ，那么 时， _____．
【答案】
【分析】根据y与x成正比例，如果 时， ，用待定系数法可求出函数关系式．再将 代入求出
y的值．
【详解】解：∵y与x成正比例，
∴ ，
∵ 时， ，即 ，
∴ ，
故函数的解析式为 ．
时， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，比较简单．
11．在函数 中，当 ______时， 是 的正比例函数．【答案】-2
【分析】根据正比例函数的定义得 ，且 ，进而即可求解．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
解得： ．
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查正比例函数的定义，掌握正比例函数形式： 是关键．
三、解答题：
12．陕西某旅游景点的门票收费标准是：每人30元．某公司计划组织员工去该景点旅游，写出总门票费y
（元）与人数x（人）之间关系式，并判断y是x的正比例函数吗？
【答案】 ；y是x的正比例函数．
【分析】由总门票费等于单价乘以人数可得函数关系式，再结合正比例函数的定义可得答案．
【详解】解：总门票费y（元）与人数x（人）之间关系式为： ；
∴y是x的正比例函数．
【点睛】本题考查的是列函数关系式，正比例函数的定义，理解题意，列出正确的函数关系式是解本题的
关键．
13．列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为 ，周长为 ；
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元；
（3）一个长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，体积为 ．
【答案】（1） ，是正比例函数；（2） ，是正比例函数；（3） ，是正比例函数．
【分析】（1）根据正方形的周长等于边长的4倍，即可求解；
（2）根据总收入等于月平均收入乘以时间，即可求解；
（3）根据长方体的体积等于长乘以宽乘以高，即可求解．
【详解】解：（1）y与x的函数关系式为 ，是正比例函数；
（2）y与x的函数关系式为 ，是正比例函数；
（3）y与x的函数关系式为 ，是正比例函数．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正比例函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
14．已知函数 是关于 的正比例函数，求当 时 的值．
【答案】8
【分析】利用正比例函数的定义得出m的值，继而得到函数解析式，代入x的值，即可解答．
【详解】解：∵函数 是关于 的正比例函数
∴ ，解得：
当 时， ．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握正比例函数的定义：正比例函数 条件
是 k为常数且 ，自变量的次数为1．
15．如果 与 成正比例，且 时， ．求出y与x之间的函数关系式．
【答案】
【分析】设 ，把 ， 代入，求出 ，再将 代入 ，即可求解．
【详解】设 ，
把 ， 代入得 ，解得 ，
所以 ，
所以y与x之间的函数关系式为
【点睛】本题考查一次函数的关系式，解题的关键是求出正比例函数中 的值．
16．已知关于 的函数 ，当 ， 为何值时，它是正比例函数？
【答案】当 ， 时，函数 是正比例函数．
【分析】根据正比例函数的定义，形如y=kx，k≠0是正比例函数即可求解．
【详解】解： 是正比例函数，
且 且 ，解得 ， ．
即当 ， 时，函数 是正比例函数．
【点睛】本题考查正比例函数定义，解绝对值方程，解一元一次方程，掌握正比例函数定义是解题关键．
能力提升篇
一、单选题：
1． 设点A(a，b)是正比例函数 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（ ）
A．2a+3b=0 B．2a−3b=0 C．3a−2b=0 D．3a+2b=0
【答案】D
【详解】试题分析：把点A（a，b）代入正比例函数 ，可得：﹣3a=2b，可得：3a+2b=0，故选
D．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
2．已知函数 ，（m ，n是常数）是正比例函数， 的值为（ ）
A． 或0 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如 （k是常数，）的函数，叫做正比例函
数．
【详解】∵函数 ，（m ，n是常数）是正比例函数，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．【点睛】本题主要考查了正比例函数等，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，解方程或不等式．
3．对于正比例函数 ，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】当自变量为 时，函数值为 ，代入解析式化简计算即可．
【详解】∵正比例函数 ，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质及其解析式的确定，熟练掌握性质是解题的关键．
二、填空题：
4．下列问题，①某登山队大本营所在地气温为4℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向
上登高 ，他们所在位置的气温是 ；②铜的密度为 ，铜块的质量 随它的体积 的变化
而变化；③圆的面积 随半径 的变化而变化．其中 与 的函数关系是正比例函数的是______（只需填
写序号）．
【答案】②
【分析】分别写出对应函数解析式，再与正比函数定义比较，判断是什么函数即可.
【详解】① ，是一次函数；
② ，是正比例函数；
③ ，是二次函数
故填：②.
【点睛】本题考查正比例函数的定义，正确理解定义是解题的关键.
5．已知 和 成正比例，且 时， ，则y与x之间的函数表达式为_________．【答案】
【分析】根据题意设出函数解析式，把当x=-2时，y=-7代入解析式，便可求出未知数的值，从而求出其解
析式．
【详解】解：∵ 和 成正比例，
∴设
当x=-2时，y=-7代入解析式得，
解得，
∴
整理得 ，
故答案为：
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，注意掌握待定系数法的运用．
三、解答题：
6．已知：y＝y+y，y 与x成正比例，y 与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4．
1 2 1 2
(1)求y与x之间的关系式；
(2)当x＝﹣1时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意分别设出y，y，代入y＝y＋y，表示出y与x的解析式，将已知两对值代入求出
1 2 1 2
k与b的值，确定出解析式；
（2）将x＝－1代入计算即可求出值．
【详解】（1）设y＝ax，y＝k（x﹣2），
1 2
∴y＝ax+k（x﹣2）
由当x＝1时，y＝0．当x＝3时，y＝4可得，
，
解得： ，∴y与x之间的关系式为：y＝2x﹣2；
（2）当x＝﹣1时, ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法．
7．已知：函数 且y是x的是正比例函数，5a＋4的立方根是4，c是 的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b＋c的平方根．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用正比例函数的定义可得 可求解 由5a＋4的立方根是4，可得
解方程可得 由c是 的整数部分，而 可求解 ；
（2）先求解2a﹣b＋c，再利用平方根的含义可得答案.
【详解】解：（1） 函数 且y是x的是正比例函数，
由 可得
由 可得
所以
5a＋4的立方根是4，
c是 的整数部分，而
（2） ，
2a﹣b＋c
而25的平方根是所以2a﹣b＋c的平方根是
【点睛】本题考查的是正比例函数的定义，立方根的含义，平方根的含义，无理数的整数部分，熟悉以上
基础知识是解题的关键.
