文档内容
第十九章 一次函数
19.2 一次函数（13个知识点+13大题型+24道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 一次函数的定义 考查题型二 正比例函数的定义
考查题型三 一次函数的图象 考查题型四 正比例函数的图象
考查题型五 一次函数的性质 考查题型六 正比例函数的性质
考查题型七 一次函数图象与系数的关系 考查题型八 一次函数图象上点的坐标特征
考查题型九 一次函数图象与几何变换 考查题型十 待定系数法求一次函数解析式
考查题型十一 待定系数法求正比例函数解析式 考查题型十二 一次函数与一元一次方程
考查题型十三 一次函数与一元一次不等式
【知识梳理】
知识点1．一次函数的定义
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数 其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量⇔的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．
知识点2．正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是
正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y
＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
知识点3．一次函数的图象（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣ ，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、
纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过
原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是
一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
知识点4．正比例函数的图象
正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例
函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线．
知识点5．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当
b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
知识点6．正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
知识点7．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当
b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
⇔③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
知识点8．一⇔次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣ ，0）；与
y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
知识点9．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
知识点10．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数 y＝kx+b，则
需要两组x，y的值．
知识点11．待定系数法求正比例函数解析式
步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解
方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式．
知识点12．一次函数与一元一次方程
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为 0时，
自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
知识点13．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣ ，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞ ，不等式kx+b＜0的解为：x＜ ；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜ ，不等式kx+b＜0的解为：x＞ ．
一．一次函数的定义（共3小题）
1．（2023春•那曲市期末）当 时，函数 的值等于
A．2 B． C． D．
【分析】把 代入 ，再求出答案即可．
【解答】解：当 时， ．
故选： ．
【点评】本题考了一次函数的定义，能得出 是解此题的关键．
2．（2023秋•海州区校级期中）下列函数：① ；② ；③ ；④ ，其中一次函数
的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据形如 ， 、 是常数）的函数，叫做一次函数进行分析即可．
【解答】解：① ；③ 是一次函数，共2个．
故选： ．
【点评】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如 ， 、 是常数），一次函数解析式的结构特征： ；自变量的次数为1；常数项 可以为任意实数．
3．（2023春•兴城市期末）若函数 是一次函数，则 的值为
A． B． C．2 D．0
【分析】根据一次函数 的定义可知， 、 为常数， ，自变量的次数为1，即可求解．
【解答】解： 是关于 的一次函数，
且 ，
且 ，
且 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义和性质是解题的关键．
二．正比例函数的定义（共3小题）
4．（2023春•湖南期末）函数是刻画变量之间对应关系的数学模型．下列函数中， 是 的正比例函数
的是
A． B． C． D．
【分析】根据函数的概念逐项分析判断即可．
【解答】解： 、 ， 是 的一次函数，不符合题意；
、 ， 是 的正比例函数，符合题意；
、 ， 是 的二次函数，不符合题意；
、 ， 是 的反比例函数，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，形如 其中 是常数 的函数是正比例函数．5．（2022秋•烟台期末）若 关于 的函数 是正比例函数，则 ， 应满足的条件是
A． B． C． 且 D． 且
【分析】直接利用正比例函数的定义分析求出答案．
【解答】解： 是 关于 的正比例函数，
， ，
解得： ， ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握正比例函数一般形式是解题关键．
6．（2023春•鼓楼区校级期末）若 是正比例函数，则 的值为 ．
【分析】根据正比例函数的定义，令 ， 即可．
【解答】解：由题意得： ， ，
解得： ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数 的定义条件是： 为常数且 ，自变量
次数为1．
三．一次函数的图象（共3小题）
7．（2023春•博兴县期末）两个 关于 的一次函数 和 在同一平面直角坐标系中的图
象可能是
A． B．C． D．
【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定 、 的
符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．
【解答】解： 、对于 ，当 ，图象经过第一、三象限，则 ， 也要经过第一、
三象限，所以 选项不符合题意；
、对于 ，当 ，图象经过第一、三象限，则 ， 经过第二、四象限，与 轴的
交点在 轴上方，所以 选项符合题意；
、对于 ，当 ，图象经过第一、三象限，则 ， 也要经过第一、三象限，所
以 选项不符合题意；
、对于 ，当 ，图象经过第二、四象限，若 ，则 经过第一、三象限，所以
选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数 、 为常数， 是一条直线，当 ，图象
经过第一、三象限， 随 的增大而增大；当 ，图象经过第二、四象限， 随 的增大而减小；图象
与 轴的交点坐标为 ．
8．（2023春•桥西区校级期中）已知 ，则一次函数 的图象可能是
A． B．C． D．
【分析】判断一次函数 的图象经过象限即可．
【解答】解： ，
，
一次函数 的图象经过第一、二、四象限；
故选： ．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数 ，当 ， 时，图象过一、二、
三象限；当 ， 时，图象过一、三、四象限； ， 时，图象过一、二、四象限； ，
时，图象过二、三、四象限．
9．（2023•金凤区校级开学）函数 的图象是
A． B．
C． D．
【分析】先判断出函数中一次项系数和常数项的正负，再得到函数的图象即可得到答案．
【解答】解： ，
函数 中的 ， ，
图象经过二、三、四象限，故选： ．
【点评】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是根据一次函数的一次项系数和常数项的正负来判断图
象．
四．正比例函数的图象（共3小题）
10．（2023春•西吉县期末）一次函数 与 、 为常数，且 在同一平面直角坐
标内的图象可能是
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解： 、由一次函数的图象可知， ， ，故 ；由正比例函数的图象可知 ，
两结论一致，故本选项符合题意；
、由一次函数的图象可知， ， ，故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一致，
故本选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知， ， ，故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一致，
故本选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知， ， ，故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一致，
故本选项不符合题意．
故选： ．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数 的图象有四种情况：
①当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、三象限；②当 ， 时，函数 的图象经过第一、三、四象限；
③当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、四象限；
④当 ， 时，函数 的图象经过第二、三、四象限．
11．（2023春•荣昌区期末）已知函数 的图象如图所示，那么函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
【分析】根据正比例函数 的图象经过第二、四象限可判断出 的符号，进而可得出结论．
【解答】解： 正比例函数 的图象经过第二、四象限，
，
，
一次函数 的图象经过第一、二、四象限．故选： ．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出 的符号是
解答此题的关键．
12．（2023春•盐山县期末）在同一直角坐标系中，一次函数 与正比例函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定 的符号，根据 的符号来判定一次函数图象所经过的象限．
【解答】解： 、正比例函数 与一次函数 的自变量系数都是 ，则两直线相互平行．故选
项 不符合题意；
、正比例函数图象经过第一、三象限，则 ，则一次函数 的图象应该经过第一、二、三象
限．故本选项不符合题意；
、正比例函数图象经过第二、四象限，则 ，则一次函数 的图象应该经过第二、三、四象
限．故本选项不符合题意；
、正比例函数图象经过第二、四象限，则 ，则一次函数 的图象应该经过第二、三、四象
限．故本选项符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答．
五．一次函数的性质（共3小题）
13．（2023春•会同县期末）已知一次函数 图象上的三点 ， ， ，则， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】由 ，利用一次函数的性质可得出 值随着 值的增大而减小，再结合 ，
即可得出 ．
【解答】解： ，
值随着 值的增大而减小．
又 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“ ， 随 的增大而增大； ， 随 的增大而减小”
是解题的关键．
14．（2023春•兰陵县期末）关于一次函数 ，下列说法不正确的是
A．图象不经过第三象限 B． 随着 的增大而减小
C．图象与 轴交于 D．图象与 轴交于
【分析】由 ， ，可得图象经过一、二、四象限， 随 的增大而减小，再分别求解一次
函数与坐标轴的交点坐标，从而可得答案．
【解答】解： ， ， ，
图象经过一、二、四象限， 随 的增大而减小，
故 ， 不符合题意；
当 时， ，解得 ，
图象与 轴交于 ，故 符合题意；
当 时， ，
图象与 轴交于 ，故 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与增减性，一次函数与坐标轴的交点坐标，熟记一次函数的性质是解本题的关键．
15．（2023春•新华区校级期末）若点 和 都在一次函数 为常数）的图象上，且
，则 的值可能是
A．0 B． C．2 D．3
【分析】由点 ， 的横坐标及 ，可得出 随 的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出 ，
再对照四个选项，即可得出结论．
【解答】解： 点 和 都在一次函数 为常数）的图象上，且 ，
随 的增大而减小，
，
的值可能是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“ ， 随 的增大而增大； ， 随 都增大而减小”
是解题的关键．
六．正比例函数的性质（共3小题）
16．（2023春•江津区期末）已知函数 是正比例函数，且 随 的增大而减小，则
．
【分析】根据正比例函数定义可得 ，再根据正比例函数的性质可得 ，再求解．
【解答】解：由题意得： ，且 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了正比例函数的性质和定义，熟记基础知识点是解题的关键．
17．（2023春•新宾县期末）正比例函数 的图象经过 象限．
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限
【分析】根据正比例函数 的符号即可确定正比例函数 的图象经过的象限．【解答】解：在正比例函数 中，
，
正比例函数 的图象经过第二、四象限，
故选： ．
【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，熟记“当 时，正比例函数 的图象经过第二、
四象限”是解决问题的关键．
18．（2023春•兴隆县期中）已知点 在 轴负半轴上，则函数 的图象经过
A．二、四象限 B．一、三象限 C．一、二象限 D．三、四象限
【分析】根据题意得出 ，继而根据正比例函数图象的性质即可求解．
【解答】解： 点 在 轴负半轴上，
，
函数 的图象经过二、四象限，
故选： ．
【点评】本题考查了正比例函数图象的性质，掌握正比例函数图象的性质是解题的关键．
七．一次函数图象与系数的关系（共3小题）
19．（2023•蜀山区校级一模）若直线 经过一、二、四象限，则直线 的图象只能是图中
的
A． B． C． D．
【分析】由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．
【解答】解： 直线 经过一、二、四象限，
， ，
，选项 中图象符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“ ， 的图象在一、二、四象
限”是解题的关键．
20．（2023春•唐县期末）已知一次函数 的图象如图所示，则下列判断中不正确的是
A．方程 的解是 B． ，
C．当 时， D． 随 的增大而增大
【分析】一次函数 的图象在 轴上方时， ，再根据图象解答即可．
【解答】解：由图象可得：方程 的解是 ，当 时， ， ， ， 随 的增
大而增大，
故 错误．
故选： ．
【点评】此题主要考查了一次函数与图象的关系，关键是能正确利用数形结合的方法解决问题．
21．（2023春•明水县期末）如果直线 经过第二、四象限，则 的取值范围是 ．
【分析】根据反比例函数的性质得 ，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数 中，当 时函
数的图象在二、四象限是解答此题的关键．八．一次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
22．（2023春•集贤县期末）若正比例函数 的图象经过点 ，且经过第二、四象限，则 的值
是
A． B． C．3 D． 或3
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 值，结合正比例函数图象经过第二、四象限，即可确
定 的值．
【解答】解： 正比例函数 的图象经过点 ，
，
．
又 正比例函数 的图象经过第二、四象限，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标
特征，找出关于 的方程是解题的关键．
23．（2023春•汉阴县期末）若点 在一次函数 的图象上，则 的值为
A． B． C．1 D．2
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出 ，变形后即可得出 ．
【解答】解： 点 在函数 的图象上，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式
是解题的关键．24．（2024•海州区校级自主招生）已知直线 上横、纵坐标都是整数的点的个数是
A．0个 B．1个
C．不少于2个但有限个 D．无数个
【分析】由直线 ，可得 ，如果直线 上存在横、纵坐标都是整数的点，
可得 ， 都是整数，即可得 ， 都是偶数，与 中13为奇数矛盾，故应选： ．
【解答】解：由直线 ，
得 ，
如果直线 上存在横、纵坐标都是整数的点，
得 ， 都是整数，
得 ， 都是偶数，
与 中13为奇数矛盾，
故选： ．
【点评】本题主要考查了不定方程问题，解题关键是反证法的应用．
25．（2023春•红山区期末）在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，如图所示，依次作正
方形 ，正方形 ， ，正方形 ，使得点 ， ， ， 在直线 上，点 ，
， ， ，在 轴正半轴上，则点 的坐标为A． ， B． ，
C． ， D． ，
【分析】罗列 、 、 、 、 ，找到对应的 、 、 、 、 ，得到规律 ， ，再
用这规律解决问题即可．
【解答】解：当 时，有 ，解得 ，
，
四边形 是正方形，
，
同理可得出： ， ， ， ，
对应的点 ， ． ， ，
， ，
， ．
故选： ．
【点评】本题考查了符合一定条件下点的坐标规律，找规律常用的方法就是罗列符合条件的式子找到规律，
再用规律解决问题．
九．一次函数图象与几何变换（共3小题）26．（2024•子洲县校级三模）若直线 与直线 关于 轴对称，则直线 与 轴的交点坐标是
A． B． C． D．
【分析】先求出直线 与 轴的交点，再求出此点关于 轴的对称点即可．
【解答】解：直线 中，当 时， ，
此直线与 轴的交点为 ，
点 关于 轴的对称点为 ，
直线 与 轴的交点坐标是 ．
故选： ．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于 轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
27．（2024•高新区校级二模）在平面直角坐标系中，若将一次函数 的图象向下平移2个单位长
度后经过点 ，则 的值为
A．1 B． C．5 D．
【分析】一次函数 根据平移规律得到 ，把点 代入求解即可．
【解答】解：将一次函数 的图象向下平移2个单位得到 ，
把点 代入 得， ，
解得 ．
故选： ．
【点评】此题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移规律是解题的关键．
28．（2023春•雨花区期末）在平面直角坐标系中，把直线 向左平移2个单位长度，平移后的直线
解析式是A． B． C． D．
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把直线 向左平移2个单位长度所得的直线的解析式是
．即 ，
故选： ．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键．
一十．待定系数法求一次函数解析式（共5小题）
29．（2024•陕西二模）已知一次函数 ，当 时，函数值 的取值范围是 ，则
的值为
A． B．1 C． 或1 D．1或2
【分析】由一次函数的性质，分 和 时两种情况讨论求解即可．
【解答】解：当 时， 随 的增大而增大，即一次函数为增函数，
当 时， ，当 时， ，
代入一次函数解析式 得：
，
解得： ，
；
当 时， 随 的增大而减小，即一次函数为减函数，
当 时， ，当 时， ，
代入一次函数解析式 得：，
解得： ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是分两种情况来讨论．
30．（2024•新乡一模）若一次函数的图象不经过第三象限，则其表达式可以为 （答案不唯
一） ．
【分析】利用一次函数的性质得到当 ， 时，图象经过第一、二、四象限，然后 、 各取一个确
定的值得到满足条件的一个一次函数解析式．
【解答】解：对于一次函数 ，当 ， 时，图象经过第一、二、四象限，
所以 可以取 ， 可以取1，
此时一次函数解析式为 ．
故答案为： ．（答案不唯一）
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键．
31．（2023春•南开区期末）一次函数 的图象经过点 ，则 ．
【分析】因为一次函数的图象经过点 ，所以 能使 左右相等，把点的坐标代入函数关
系式可以求得 的值．
【解答】解；把 代入 中，
，
解得： ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了待定系数法求函数关系式，是一个常规题，比较基础．32．（2023春•平桥区期末）表格中的两组对应值满足一次函数 ．现画出了它的图象为直线 ，
如图．数学兴趣小组为观察 、 对图象的影响，将上面函数中的 、 交换位置后得另一个一次函数，设
其图象为直线 ．
0
1
（1）求直线 的解析式．
（2）请在图中画出直线 （不要求列表计算），并求出直线 和 的交点坐标．
（3）求出直线 和 与 轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）首先写出直线 的解析式，再根据一次函数的性质画出直线 ，将两个函数的解析式联立组成方程组，
求出方程组的解即可得到两直线的交点坐标；
（3）根据三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：（1） 直线 中，当 时， ；当 时， ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）依题意可得直线 的解析式为 ，
图象如图所示，由 ，解得 ，
所以直线 和 的交点坐标为 ；
（3）直线 和 与 轴围成的三角形的面积是 ．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，两直线相交问题，三角形
的面积，求出直线 的解析式是解题的关键．
33．（2022秋•玉门市期末）如图，在平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相交于点
，动点 沿路线 运动．
（1）求直线 的解析式．
（2）求 的面积．
（3）当 的面积是 的面积的 时，求出这时点 的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求得 的坐标，即 的长，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当 的面积是 的面积的 时，根据面积公式即可求得 的横坐标，然后代入解析式即可
求得 的坐标．
【解答】解：（1）设直线 的解析式是 ，
根据题意得： ，
解得： ，
则直线的解析式是： ；
（2）在 中，令 ，解得： ，
；
（3）设 的解析式是 ，则 ，
解得： ，
则直线的解析式是： ，
当 的面积是 的面积的 时，
的横坐标是 ，
在 中，当 时， ，则 的坐标是 ；
在 中， 则 ，则 的坐标是 ．
则 的坐标是： 或 ．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求
解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．
一十一．待定系数法求正比例函数解析式（共3小题）34．（2023春•樊城区期末）已知 是正比例函数，且 随 的增大而减小，那么这个函数
的解析式为
A． B． C． D．
【分析】根据正比例函数的定义和性质列出关于 的不等式组，求出 的值即可．
【解答】解：由题意知 且 ，
解得 ，且 ，
．
．
故选： ．
【点评】本题考查的是正比例函数的定义和性质，熟记形如 的函数叫正比例函数是关键．
35．（2023春•湖北月考）根据下列条件分别确定函数的解析式：
（1） 与 成正比例，当 时， ；
（2）直线 经过点 与点 ．
【分析】（1）将 ， 代入正比例函数 进行计算即可；
（2）把点 与点 代入一次函数的解析式，列出方程组，求出未知数便可求出其解析式．
【解答】解：（1）设正比例函数的解析式为 ，
将 ， 代入正比例函数 ，得 ，
，
函数的表达式为 ；（2）根据题意，得 ．
解得 ．
函数的解析式为 ．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
36．（2023春•茅箭区期中）已知 ， 与 成正比例， 与 成正比例，当 时， ；
当 时， ．
（1）求 与 的函数解析式；
（2）当 时，求 的值．
【分析】（1）设 ， ，由当 时， ．当 时， 可得关于 、 的两个等
式联立方程组即可求出 ， ，可得出 的表达式与 的函数关系式；
（2）然后把 代入（1）的关系式中，求解即可．
【解答】解：（1）设 ， ，则 ，依题意，得 ，
解得 ，
，
是 的一次函数为 ；
（2）把 代入 ，得 ．
当 时， 的值为 ．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式以及求函数值，熟练掌握正比例函数的性质是关键．
一十二．一次函数与一元一次方程（共4小题）37．（2023春•凤山县期末）如图，直线 与 相交于点 ，则关于 的方程
的解是 ．
【分析】首先利用函数解析式 求出 的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于 的方程
的解可得答案．
【解答】解： 直线 与 相交于点 ，
，
，
，
关于 的方程 的解是 ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
38．（2023秋•高州市期末）如图，直线 与 相交于点 ，则关于 的方程 的
解是 ．
【分析】根据方程 的解，即为直线 与 的交点的横坐标的值解答即可．
【解答】解： 直线 与 相交于点 ，方程 的解，即为直线 与 的交点的横坐标的值，
方程 的解为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了一元一次方程与一次函数的关系，利用数形结合的思想解题是解答本题的关键．
39．（2023•本溪开学）如图，直线 与直线 相交于点 ，则关于 的方程
的解为 ．
【分析】首先把 代入函数解析式 求出 的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关
于 的方程 的解可得答案．
【解答】解： 直线 与直线 相交于点 ，
，
，
，
关于 的方程 的解是 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
40．（2023秋•广饶县期末）如图，已知一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ，点 ，
有下列结论：①图象经过点 ；②关于 的方程 的解为 ；③关于 的方程 的解
为 ；④当 时， ．其是正确的是 ②③④ ．【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：把点 ，点 代入 得， ，
解得： ，
一次函数的解析式为 ，
当 时， ，
图象不经过点 ；故①不符合题意；
由图象得：关于 的方程 的解为 ，故②符合题意；
关于 的方程 的解为 ，故③符合题意；
当 时， ，故④符合题意；
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形
结合是求解的关键．
一十三．一次函数与一元一次不等式（共3小题）
41．（2024•沈阳模拟）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，则不等式 的解集为A． B． C． D．
【分析】根据一次函数的性质得出 随 的增大而增大，当 时， ，即可求出答案．
【解答】解： 一次函数 的图象与 轴交于点 ，且 随 的增大而增大，
当 时， ，即 ，
不等式 的解为 ．
故选： ．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的
关键．
42．（2023春•曲阜市期末）在平面直角坐标系 中，一次函数 和 的图象如图所示，则
关于 的一元一次不等式 的解集是 ．
【分析】写出直线 在直线 下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：由 得到： ．
根据图象可知：两函数的交点为 ，
所以关于 的一元一次不等式 的解集是 ，即关于 的一元一次不等式 的解集是，
故答案为： ．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大
于（或小于）0的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在 轴上（或下）
方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
43．（2024春•碑林区月考）如图所示，在同一个坐标系中一次函数 和 的图象，分别
与 轴交于点 、 ，两直线交于点 ，已知点 坐标为 ，点 坐标为 ，观察图象并回答下列
问题：
（1）关于 的方程 的解是 ；关于 的不等式 的解集是 ；
（2）直接写出关于 的不等式组 解集是 ；
（3）若点 坐标为 ，关于 的不等式 的解集是 ．
【分析】（1）利用直线与 轴的交点即为 时，对应的 的值，进而得出答案；
（2）利用两直线与 轴的交点坐标，结合图象即可得出答案；
（3）利用图象即可求出答案．
【解答】解：（1） 一次函数 和 的图象，分别与 轴交于点 、点 ，
关于 的方程 的解是 ，关于 的不等式 的解集是 ；
故答案为： ．
（2）根据图象可得关于 的不等式组 解集为 ；
故答案为： ．
（3） 点 ，
结合图象可知，不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程，数形结合思想是解题的关
键．
一．选择题（共6小题）
1．（2023春•崇川区校级月考）已知直线 的图象如图所示．若无论 取何
值， 总取 ， ， 中的最大值，则 的最小值是
A．4 B．3 C． D．
【分析】读懂题意，根据图象分段找到 的值应该属于那条直线上的部分，在从范围内找到最低点，求值
即可．
【解答】解：过 、 的交点作 轴的平行线 ，过 、 的交点作 轴的平行线 ，
由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的 的取值如图所示，
的最小值是 、 交点坐标的纵坐标值．联立两直线解析式： ，
解得 ，代入 或 解析式求得 ．
故选： ．
【点评】考查一次函数的图象与性质，关键要能灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况，找到符合
题意的那一种．
2．（2023春•江北区校级期中）一次函数 的图象不经过第三象限；且关于 的分式方程
有整数解，则满足条件的整数 的和为
A．18 B．17 C．12 D．11
【分析】首先根据一次函数的图象不经过第三象限，列不等式组，求出不等式的解集，解分式方程，根据
分式方程有整数解，求出 ，进而得整数 的和．
【解答】解： 一次函数的图象不经过第三象限，
，
，
原分式方程可化为： ，
，
解得 ， ，
分式方程有整数解，
或 或 或 或 或 ，
解得 或 或 或 或 或 ，或 或 不合题意，
舍去，
或 或 ，
整数 的和为：11；
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数的性质、分式方程的解，掌握解分式方程的步骤及一次函数性质的应用，根
据一次函数的图象不经过第三象限，列不等式组，是解题关键．
3．（2023春•青山区期末）如图，已知点 ，点 ， 分别是直线 和直线 上的动
点，连接 ， ．则 的最小值为
A．2 B． C． D．
【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形 ，得点 关于 的对称点 ，连接 ，
，则 ，当且仅当 ， ， 三点共线时， ，即
的最小值为 的长，根据点到直线，垂线段最短，过点 作 垂直直线 于点
，即 于点 ，交直线 于点 ，此时 最小，利用等积法求出 的长即可．
【解答】解：如图，在正方形 中， ，直线 经过点 ， ，
直线 是正方形 的对称轴，
点 在 上，
可得点 关于 的对称点 ，
当 时， ，
即直线 经过点 ，
过点 作 垂直直线 于点 ，即 于点 ，交直线 于点 ，
和 关于关于 对称，
，
，即 的最小值为 的长，
，
，
，
，
解得 ，即 的最小值为 ，
故选： ．
【点评】此题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握
相关性质和数形结合是解题的关键．
4．（2023春•南部县校级期末）如图，已知直线 分别交 轴、 轴于点 、 两点，
， 、 分别为线段 和线段 上一动点， 交 轴于点 ，且 ．当 的值
最小时，则 点的坐标为
A． B． C． D．
【分析】首先证明 ，取点 ，连接 ， ， ．由 ，推出
，推出 ，因为 ，推出 的最小值为线段 的长，推出当
， ， 共线时， 的值最小，求出直线 的解析式即可解决问题．
【解答】解：由题意 ， ， ，
，
取点 ，连接 ， ， ．
，，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
的最小值为线段 的长，
当 ， ， 共线时， 的值最小，
直线 的解析式为： ，
，
当 的值最小时，则 点的坐标为 ，
故选： ．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、最短问题等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决
问题，属于中考选择题中的压轴题．5．（2023春•岚山区期末）如图放置的△ ，△ ，△ ， ，△ ，都是以 ，
， ， ， 为直角 顶点的三角形，点 ， ， ， ， 都在直线 上，
，点 在 轴上， ， ，则点 的坐
标是
A． ， B． C． D．
【分析】由 定理可证明各直角三角形全等，进而证明 ．由三角函数求
出 的横坐标，由 求出其纵坐标，进而求出 的坐标．同理，可求出 、 的坐标，由规律
写出 的坐标，是关于 的代数式，从而求出当 时 的坐标．
【解答】解： ， ，
△ △ △ △ ．
．
．，
，
．
，
点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ， ．
点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ， ．
同理， ， ， ， ； ， ， ， ；
， ， ， ， ， ， ．
当 时， ， ，
， ．
故选： ．
【点评】本题考查一点的坐标及一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键通过点 、 、 的
坐标找到规律，将 坐标表示为 的代数式．
6．（2023•灞桥区校级模拟）已知直线 与直线 在第三象限交于点 ，
若直线 与 轴的交点为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】直线 轴的表达式为 ，则 与 轴交点 在原点和点 之间，即可求解．
【解答】解： 直线 与 轴的交点为 ，
，，
直线 与 轴的交点坐标为 ，
若直线 与 轴的交点为 ，
则 与 轴交点 在原点和点 之间，
即： ，
解得： ，
故选： ．
【点评】本题通过考查一次函数 的图象性质及一元一次不等式的解，本题的关键在于确定， 与
轴交点在原点和点 之间，进而求解．
二．填空题（共6小题）
7．（2023•双流区校级开学）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，直线 与
轴、 轴分别交于 ， 两点，与直线 交于点 ，点 为线段 上一动点．在 轴上有一
动点 ，直线 上有一动点 ，连接 ， ， ，当 面积为 时，则 周长的最小值为
．【分析】过点 作直线 对称的点 ，关于 轴对称的点 ， 交 轴于点 ，连接 ， ， ，
先求出点 ，直线 的解析式 ， ，根据 面积为 可求出点 ，
则点 ，根据轴对称图形的性质得 的周长为 ，再根据“两点
之间线段最短”得： ，故得 周长的最小值为线段 的长，再证 为等边
三角形，且点 为 的中点，进而可证 ， ，由此得点 ，据此可得线
段 ，进而可得 周长的最小值．
【解答】解：过点 作直线 对称的点 ，关于 轴对称的点 ， 交 轴于点 ，连接 ， ，
，如图所示：
点 在直线 上，
，
点 ，
设直线 的解析式为： ，
点 ，点 在直线 上，，解得： ，
直线 的解析式为： ，
对于 ，当 时， ，
点 ，
，
对于 ，当 时， ，
点 ，
，
，
面积为 ，
，
，
，
即点 的横坐标为3，
点 在直线 上，
当 时， ，
点 ，
点 ， 关于 轴对称，
点 ， ，点 ， 关于直线 对称，
，
的周长为： ，
根据“两点之间线段最短”得： ，
的最小值为线段 的长，
即 周长的最小值为线段 的长．
， ， ，
， ， ，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
即点 为 的中点，
， ，
点 ， 关于直线 对称，
， ，
，
点 的纵坐标与点 的纵坐标相等，均为 ，在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
点 的坐标为 ，
又 点 ，
．
周长的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数图象上的点，等边三角形的判定和性质，轴对称图形
的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，等边三角形的判定和性质，理解一次函数图象上的点
满足一次函数的表达式，以及利用轴对称求最短路线是解决问题的关键．
8．（2023•新都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别交 轴， 轴于 ，
两点，且 ，将直线 绕点 按顺时针方向旋转 ，交 轴于点 ，则直线 的函数表达
式是 ．
【分析】根据已知条件得到 ， ，因为 求得 ，所以一次函数的解析式为
，过 作 交 于 ，过 作 轴于 ，得到 ，根据全等三角形的性质
得到 ， ，求得 ，设直线 的函数表达式为： ，解方程组于是得到结论．
【解答】解： 一次函数 的图象分别交 轴， 轴于 ， 两点，
， ，
，
， ，
， ，
过 作 交 于 ，过 作 轴于 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
， ，
，
直线 的函数表达式为： ，
故答案为： ．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，
正确的作出辅助线是解题的关键．
9．（2023•龙沙区三模）如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ， ，过
点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过
点 作 轴的垂线交 于点 ， 依次进行下去，则点 的坐标为 ， ．
【分析】根据题意，先求得前至少8个点的坐标，然后找到规律即可．
【解答】解：当 时， ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
点 的坐标为 ；
同理可得 ， ， ， ， ， ，
，，
，
为自然数），
，
点 的坐标为 ， ，
即点 的坐标为 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查的是坐标系中点的规律，解题的关键是对前几个点作出分析，找到规律．
10．（2023春•黄石期末）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 为 轴上一点，菱形 的
边长为2， ，点 是 边上一动点（不与点 ， 重合），点 在 边上，且 ，
下列结论：
① ；② 的大小随点 的运动而变化；
③直线 的解析式为 ；④ 的最小值为 ．
其中正确的有 ①③④ ．（填写序号）
【分析】根据菱形 的边长为 2， ，可得 为等边三角形，又 ，可证
；由 ，可以证出 为等边三角形，所以 大小不变；求出 ， 的
坐标可以求出直线 的解析式为 ；根据垂线段最短，当 时有最小值 ．
【解答】解： 菱形 的边长为2， ，
， 为等边三角形， ，， ，
，（故①正确），
， ，
，
为等边三角形，
，
的大小随点 的运动是不变化的，（故②不正确），
设直线 的解析式为 ，
过 ， ，
（故③正确），
根据垂线段最短，
当 时 有最小值 ，
的最小值为 ，（故④正确）．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，解题的关键是明
确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
11．（2023春•崇川区校级月考）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象为直线 ，
在下列结论中：
①无论 取何值，直线 一定经过某个定点；
②过点 作 ，垂足为 ，则 的最大值是 ；
③若 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 为等腰三角形，则 ；
④对于一次函数 ，无论 取何值，始终有 ，则 ， 或 ．
其中正确的是 ①② ．（填写所有正确结论的序号）．
【分析】根据一次函数的图象和性质分别判断．
【解答】解：一次函数 ，当 时， ．
函数图象过定点 ．
①正确．
，垂足为 ，
当点 与点 重合时， 最大．
此时 ．
②正确．
在 中，当 时， ，
当 时， ，
， ， ．
， 是等腰三角形，
．
或 ，
或 （舍去），
③错误．
一次函数 的图象过定点 ，
一次函数 过定点 ，
无论 取何值，始终有 ，
当 时，若 ，两直线平行时，始终有 ，符合题意．
当 时，
经过点 ， 的直线为 ，一次函数 的图象过定点 ，
当 ，若 时，直线 ，不论 取何值，始终有 ，
符合题意．
或 ．
④错误．
故答案为：①②．
【点评】本题考一次函数与一元一次不等式，等腰三角形的性质，充分掌握一次函数的图象和性质是解答
本题的关键．
12．（2023春•清河区校级期末）如图，正方形 的对角线 在直线 上，点 在第一象限．
若正方形 的面积是50，则点 的坐标为 ．
【分析】如图作 ，交 的延长线于 ，作 轴于 ， 轴于 ．首先证明
是等腰直角三角形，可得 ，求出 、 的坐标即可解决问题；
【解答】解：如图作 ，交 的延长线于 ，作 轴于 ， 轴于 ．
四边形 是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，
由 ，可得 ， ，
正方形 的面积是50，
，
点 在直线 上，
， ，
，
，
故答案为
【点评】主要考查了一次函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共12小题）
13．（2023春•江源区期末）在直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长
与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点 分别作 轴， 轴的垂线，与坐标轴围成矩形
的周长与面积相等，则点 是和谐点．
（1）点 不是 和谐点（填“是”或“不是” ；
（2）若点 是和谐点， 的值为 ；
（3）若（2）中和谐点 在 上，求 的值．【分析】（1）根据和谐点的定义求出矩形的周长与面积，然后即可判断；
（2）根据题意列出方程，求出方程的解得到 的值即可；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征得到 ，即 ，然后把 的值分别代入可计算出
对应的 的值．
【解答】解：（1） 点 ，
矩形 的周长 ，
面积 ，
，
则点 不是和谐点；
故答案为：不是；
（2）根据题意得： ，
解得： ；
故答案为： ；
（3） 点 在直线 上，
，即 ，
当 时， ；当 时， ，
的值为18或 ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数 ， ，且 ， 为常数）的图
象是一条直线．它与 轴的交点坐标是 ；与 轴的交点坐标是 ；直线上任意一点的坐标都
满足函数关系式 ．
14．（2023春•长沙期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 ，
两点．以 为边在第二象限内作正方形 ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）在 轴上是否存在点 ，使 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在直角三角形 中，由 与 的长，利用勾股定理求出 的长即可；过 作 轴垂
线，过 作 轴垂线，分别交于点 ， ，可得三角形 与三角形 与三角形 全等，利用全等
三角形对应边相等，确定出 与 坐标即可；
（2）作出 关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴交于点 ，连接 ， ，此时 周长最小，
求出此时 的坐标即可．
【解答】解：（1）对于直线 ，令 ，得到 ；令 ，得到 ，
， ，
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ；
作 轴， 轴，可得 ，
四边形 是正方形，
， ，
， ，
， ，，
，
， ，
， ，
， ；
（2）存在，
找出 关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴交于点 ，此时 周长最小，
，
，
设直线 的解析式为 ，
把 与 坐标代入得： ，
解得： ，
即直线 的解析式为 ，
令 ，得到 ，
即 ．
【点评】此题考查一次函数图象上点的坐标，掌握待定系数法确定一次函数解析式，正方形的性质，全等
三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理是解本题的关键．15．（2023春•思明区校级期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点 ， 和 ， ，称点 ，
为点 和 的融合点．如 和 的融合点是 ．
（1）点 和 的融合点坐标是 ；
（2）已知点 和直线 ．设点 是直线 上任意一点，点 和 的融合点为点 ．
①求证：当点 在直线 上移动时，点 始终在同一条直线上．
②若 ，求 的面积．
（2）对于点 ， 和直线 ，点 是直线 上任意一点，类似（2），可证明
当点 在直线 上移动时，点 和 的融合点始终在同一条直线上，称该直线为点 和直线 的融合直线．
已知直线 ，点 在直线 上且纵坐标不为0，点 和直线 的融合直线记为 ．点
点 ，若融合直线 与线段 有公共点，请直接写出点 的纵坐标 的取值范围．
【分析】（1）由融合点的定义即可求出答案；
（2）①设 ，求出融合点 ，分别令 ，1，求出 的两个坐标，设这两个点所
在直线为 ，代入坐标求出直线的解析式 ，从而代入 ，求出 ，即可证
明 在同一直线上．
②求出直线 的解析式，从而可判断 与 所在的直线平行，即可知该三角形的高和底长度均不变，
设一个 的特殊位置，如 为直线与 轴的交点，求出三角形的底和高的长，从而求出三角形的面积．
（3）设 ， ，类比（2）求出直线 的解析式为 ．可知该直线恒过 ，分
过 和 两点，分别求出 的最值，从而可得范围．
【解答】解：
（1）由融合点的定义可得， ， ，即 ， 融合点的坐标为 ，
故答案为： ．
（2）①证明：设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
设直线 过 和 ，
则 ，解得 ，即 ，
当 时， ，即 在直线 上．
②设直线 的解析式为 上，
则 ，解得 ，即 解析式为 ，
与 所在的直线平行，
到 的距离为定值，即 的面积为定值，不妨设 为 与 轴的交点，则 ， ，
的面积 ．
（3）设 ， ， ，则 ， 融合点的坐标为 ， ，
当 ，1时，求出融合点坐标为 ， ，
设 ， 在直线 ，则 ，
解得， ，则 ， 所在直线解析式为 ，
当 时， ，即直线 的解析式为 ．
则该直线恒过 ，
当 点在 上时， ，即 ；
当 点在 上时， ，即 ，
当 或 时，融合直线 与线段 有公共点．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、坐标系中三角形面积的求解．本题的关键是结
合待定系数法求出直线的解析式．
16．（2023 春•昌吉市期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．直线
经过点 ， ，与直线 交于点 ．
（1）求直线 的函数关系式；
（2）连接 ，求 的面积；
（3）设点 的坐标为 ，求 的值使得 值最小．【分析】（1）利用待定系数法求出直线 解析式即可；
（2）过 作 ，三角形 面积等于三角形 面积减去三角形 面积，求出即可；
（3）作出 关于 的对称点 ，连接 ，与 交于点 ，此时 最小，利用待定系数法
求出直线 解析式，把 坐标代入求出 的值即可．
【解答】解：（1）设直线 解析式为 ，
把 ， 代入得： ，
解得： ，
则直线 解析式为 ；
（2）对于直线 ，
令 ，得到 ，令 ，得到 ，即 ， ，
， ，
，
联立得： ，
解得： ，即 ， ，，
则 ；
（3）作出 关于 的对称点 ，连接 ，与 交于点 ，此时 最小，
可得 ，
设直线 解析式为 ，
把 与 坐标代入得： ，
解得： ，即直线 解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，以及轴对称 最短线
路问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
17．（2023春•张北县期末）如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，四边形 是菱形，点
的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上，直线 交 轴于点 ， 边交 轴于点 ，连接 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）动点 从点 出发，沿线段 的方向以2个单位 秒的速度向终点 匀速运动，设 的面积为，点 的运动时间为 秒，求 与 之间的函数关系式（要求写出自变量 的取值范围）．
【分析】（1）根据 ，则 的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线 的解析式；
（2）根据 ，计算即可；
【解答】解：（1）解：（1） 中，
，
四边形 是菱形，
，即 ．
设直线 的解析式 ，函数图象过点 、 ，得
，解得 ，
直线 的解析式 ；
（2）当 时， ，即 ， ，
当 时， ，
；
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及菱形的性质，根据三角形的面积关系求得 到直
线 的距离 是关键．
18．（2023春•双辽市期末）如图，已知函数 和 的图象交于点 ，这两个函数的图象与 轴分别交于点 、 ．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求 的面积；
（3）根据图象直接写出不等式 的解集．
【分析】（1）把点 分别代入函数 和 ，求出 、 的值即可；
（2）根据（1）中两个函数的解析式得出 、 两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论．
【解答】解：（1） 将点 代入 ，得 ，解得 ，将点 代入
，得 ，解得 ，
这两个函数的解析式分别为 和 ；
（2） 在 中，令 ，得 ，
， ．
在 中，令 ，得 ，
．
．
（3）由函数图象可知，当 时， ．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的
关键．
19．（2023春•单县期末）已知：如图一次函数 与 的图象相交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）若一次函数 与 的图象与 轴分别相交于点 、 ，求 的面积．
（3）结合图象，直接写出 时 的取值范围．
【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组 ，解此方程组即可求出点 的坐标；
（2）先根据函数解析式求得 、 两点的坐标，可得 的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
（3）根据函数图象以及点 坐标即可求解．
【解答】解：（1）解方程组 ，得 ，
所以点 坐标为 ；
（2）当 时， ， ，则 点坐标为 ；
当 时， ， ，则 点坐标为 ；
，
的面积 ；（3）根据图象可知， 时 的取值范围是 ．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
的值大于（或小于）0的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在 轴上
（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了两直线相交时交点坐标的求法以及三角形的面
积．
20．（2023春•岚山区期末）【问题探究】
某学习小组同学按照以下思路研究不等式组 的解集：
首先令 ，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究．
列表：
0 1 2 3 4
描点与连线：
（1）在列表的空格处填对应的 值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，
并根据描出的点，画出该函数的图象；
（2）若 ， 为该函数图象上不同的两点，则 ；
（3）观察图象，当 时，自变量 的取值范围是 ；【拓展运用】
函数 的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象草图，并求出它
与函数 的图象所围成的图形面积．
【分析】【问题探究】（1）将 值代入 ，求出对应 值即可；在平面直角坐标系中描出表
格中各坐标对应的点，并将它们用平滑的线条连接起来即可；
（2）将 和 分别代入 ，得到关于 和 的二元一次方程组，解出 的值即可
（注意 的取值要符合题意）；
（3）通过观察图象，可直接写出 的取值范围．
【拓展运用】两图象所围成的图形是三角形，可以证明它为直角三角形．两函数联立，求出其交点坐标，
从而求出两直角边，利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：【问题探究】（1）当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
故答案为： ，0，1，2，3，2，1，0， ．
描点并画出该函数的图象：（2）将（1）中的函数图象左右延长，如图．
函数 的图象关于 轴对称，
， 关于 轴对称，
．
故答案为： ．
（3）由图象可知，当 时，自变量 的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．
【拓展运用】函数 与 的图象交于点 、 ， 即为所求．的图象与 轴夹角的正切值为1，
的图象与 轴的夹角为 ，
．
．
由题意，得 ，解得 或 ．
， ．
， ，
．
两图象所围成的图形面积为12．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质和一元一次不等式的应用．这部分内容非常重要，必须能够熟
练掌握、灵活运用．
21．（2023春•如东县月考）定义：形如 的函数称为正比例函数 的“分移函
数”，其中 叫“分移值”．例如，函数 的“分移函数”为 其中“分移值”为1．（1）已知点 在 的“分移函数” 的图象上，则 ；
（2）已知点 ， 在函数 的“分移函数”的图象上，求 的值；
（3）已知矩形 顶点坐标为 ， ， ， ．函数 的“分移函数”的
“分移值”为3，且其图象与矩形 有两个交点，直接写出 的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）将点 ， 代入函数 的“分移函数”的解析式，可得关于 和 的二元一
次方程组，求解即可；
（3）根据函数 的“分移函数”图象与矩形 的性质，通过计算函数图象分别过点 和过点
时 的值，即可确定图象与矩形 有两个交点时 的取值范围．
【解答】解：（1）将点 代入 ，
得 ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）根据题意，将点 代入 ，
得 ①，
将点 代入 ，
得 ②，
① ②得 ，
；
（3） 函数 的“分移函数”的“分移值”为3，
，当 时，函数图象与矩形 没有交点，
当 时，当函数图象经过点 时，如图所示：
此时函数图象与矩形 有一个交点，
将点 代入 ，
得 ，
解得 ，
当函数图象经过点 时，此时函数图象与矩形 有三个交点，
将点 代入 ，
得 ，
解得 ，
当函数图象与矩形 有两个交点时， 的取值范围是 ．
【点评】本题考查了一次函数与新定义的综合，涉及待定系数法求解析式，分段函数，一次函数的图象和
性质，理解“分移函数”的含义并运用数形结合思想是解题的关键．
22．（2023春•和平区校级期末）如图1，一次函数 的图象与坐标轴交于点 ， ， 平分
交 轴于点 ， ，垂足为 ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）求 所在直线的解析式；
（3）如图2，点 是线段 上的一点，点 是线段 上的一点，求 的最小值．【分析】（1）将 ， ，分别代入求解．
（2）通过角平分线的性质证明 ，通过勾股定理求出 ， 及 的长度，再由
求出点 纵坐标，进而求出点 坐标，最后通过待定系数法求解．
（3）由 平分 ， 可得 ， 关于 对称，即 ，由此可得 到 轴
距离即为所求．
【解答】解：（1）将 代入 得 ，
，
将 代入 得 ，
．
（2）设 长为 ，则 ，
平分 ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中，由勾股定理得：，
．
在 中， ，
即 ，
解得 ，
， ．
， ，
，
即 ，
解得 ，
将 代入 得 ，
解得 ，
点 坐标为 ， ．
设 所在直线解析式为 ，将 ， ， 代入得：
，
解得 ，
．
（3）连接 ，平分 ， ，
点 ， 关于 对称，
，
，
即 到 轴距离为 最小值，
的最小值为 ．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，掌握角平分的性质及求线
段和最值的方法．
23．（2023春•临清市月考）如图，已知一次函数 的图象经过 ， 两点，与
轴交于点 ．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点 的坐标；
（3）若点 是一次函数图象上任意一点，设 的面积为 ，试求出 与 的函数关系．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）令 代入解析式可得 的坐标；
（3）分 和 两种情况计算 的面积为 ．
【解答】解：（1）把 ， 代入 得：
，解得 ，
一次函数的解析式为： ；
（2）把 代入 中得： ，
，
；
（3） 点 是一次函数图象上任意一点，
，
又 ，
分两种情况：
①当 时， ；
②当 时，
，
综上所述， ．
【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，三角形的面积的应用，解此题的关键是能求出直线的解析式．
24．（2023春•东源县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴交于点 、
，且与直线 交于点 ．
（1）分别求出点 、 、 的坐标；
（2）直接写出关于 的不等式 的解集；
（3）若 是线段 上的点，且 的面积为12，求直线 的函数表达式．
【分析】（1）两直线有公共点即可求得点 ，与 、 轴交点即为直线 与坐标轴的交点；
（2）找到直线 在直线 上面的部分即为所求；
（3）由题意三角形 的面积为12，并利用列出式子，求得点 的横坐标，代入直线 求得点 的纵坐
标，现在有两点 ， 即能求得直线 ．
【解答】解：（1）直线 ，
当 时， ，
当 时， ，
则 ， ，
解方程组： 得： ，
则 ，故 ， ， ．
（2）关于 的不等式 的解集为： ；
（3）设 ，
的面积为12，
，
解得： ，
，
设直线 的函数表达式是 ，把 ， 代入得： ，
解得： ．
直线 的函数表达式为： ．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线相交即为求两直线方程组，解即为交点，直线与
坐标轴的交点容易求得．同时考查了待定系数法求一次函数．
