文档内容
19.2 一次函数（单元教学设计）
一、【单元目标】
1．理解正比例函数的概念，并掌握正比例函数图象和性质；(重点)
2．运用正比例函数解决简单的问题．(难点)
3．一次函数的定义及解析式的特点；(重点)
4．一次函数与正比例函数的关系．(难点)
5．会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质；(重
点)
6．能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题．(难点)
7．用待定系数法求一次函数的解析式；(重点)
8．从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件．(难点)
9．根据问题及条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)
10．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，能够将实际问题转化为一次函数的问题．(重点)
11．掌握一次函数与方程、不等式的关系；(重点)
12．综合应用一次函数与方程、不等式的关系解决问题．(难点)
二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】
学生通过学习函数的概念和表示法，初步体会了函数的研究方法;通过学习正比例函数，获得了对一类
具体函数的数形结合的探究经验.一次函数的表达式比正比例函数多了一个常数b，所以函数图象的位置受
到k，b两个常数的共同影响，但是数的增减性仍然只受系数k的影响，在具体的学习过程中，如果学生没
有经历画图、观察、概括的过程，可能只是记住结论;学生在探究性质时，会跟着老师画图、观察、概括，
但在理解、记忆和应用性质时，往往又撇开了图象;学生在观察图象时，往往没有把图象特征通过坐标的意
义转化为函数性质，只停留在语义记忆层次上.基于以上分析，第1课时的难点是:以坐标为中介，把函数图
象特征解释成变量的对应关系和变化规律.
学生已经分别学习过一次函数、一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式，知道它们都是刻
画现实问题中数量关系的重要模型，但没有建立这些知识之间的有效联系，不知道方程(组)、不等式模型
与函数模型的联系,用函数观点理解二元一次方程需要把方程的解(z，y)看作是一对变量工和y，从图象的
角度看，需要把解(，y)看作函数图象上点的坐标，把描述力程的曲线看作以方程的解为坐标的点集.从函数
图象的角度看一元一次方程，实际上是已知一次函数图象上点的纵坐标求与其对应的横坐标;用函数图象的
观点看不等式，需要把不等式的解集看作图象上纵坐标的值在一定范围内的点对应的横坐标的值的集合，
把一次函数图象上点的坐标与方程(组)的解建立联系，这是学习的难点.
四、教学过程设计
1.创设情境，提出问题问题1 如图1，1号探测气球从海拔5m处出发，以1m
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约6课时
教学重点：
1．理解正比例函数的概念，并掌握正比例函数图象和性质；(重点)
2．一次函数的定义及解析式的特点；(重点)
3．会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质；
(重点)
4．用待定系数法求一次函数的解析式；(重点)5．根据问题及条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)
6．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，能够将实际问题转化为一次函数的问题．(重点)
7．掌握一次函数与方程、不等式的关系；(重点)
教学难点：
1．运用正比例函数解决简单的问题．(难点)
2．一次函数与正比例函数的关系．(难点)
3．能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题．(难点)
4．从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件．(难点)
5．综合应用一次函数与方程、不等式的关系解决问题．(难点)
五、【教学问题诊断分析】
第1课时 正比例函数
一、情境导入
鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发
现了它．
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？
(2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？
(3)这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？
二、合作探究
探究点一：正比例函数
【类型一】 辨别正比例函数
下列式子中，表示y是x的正比例函数的是( )
A．y＝ B．y＝x＋2 C．y＝x2 D．y＝2x
解析：选项A，y＝，自变量次数不为1，错误；选项B，y＝x＋2，是和的形式，错误；选项C，y＝
x2，自变量次数不为1，错误；选项D，y＝2x，符合正比例函数的含义，正确．故选D.
方法总结：正比例函数y＝kx成立的条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1.
【类型二】 确定正比例函数中字母的值
若函数y＝(m－3)x|m|－2是正比例函数，则m的值为( )
A．3 B．－3 C．±3 D．不能确定
解析：由题意得|m|－2＝1，且m－3≠0，解得m＝－3.故选B.
方法总结：正比例函数自变量的指数为1，系数不能为0.
探究点二：正比例函数的图象和性质
【类型一】 正比例函数的图象
在下列各图象中，表示函数y＝－kx(k＜0)的图象的是( )
解析：∵k＜0，∴－k＞0，∴函数y＝－kx(k＜0)的值随自变量x的增大而增大，且函数为正比例函数．
故选C.
方法总结：要知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当 k＞0时，图象过第一、三象限；当k＜0
时，图象过第二、四象限．
【类型二】 正比例函数的性质
关于函数y＝x，下列结论中，正确的是( )A．函数图象经过点(1，3)
B．不论x为何值，总有y＞0
C．y随x的增大而减小
D．函数图象经过第一、三象限
解析：A.当x＝1时，y＝，故A选项错误；B.只有当x＞0时，y＞0，故B选项错误；C.∵k＝＞0，∴y
随x的增大而增大，故C选项错误；D.∵k＝＞0，∴函数图象经过第一、三象限，故D选项正确．故选D.
方法总结：解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性．
【类型三】 正比例函数的图象与系数的关系
已知正比例函数y＝(m－1)x的图象上两点A(x ，y)，B(x ，y)，当x ＜x 时，有y ＞y ，那么m
1 1 2 2 1 2 1 2
的取值范围是( )
A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 D．m＞0
解析：根据题意，y随x的增大而减小，则m－1＜0，即m＜1.故选A.
方法总结：直线y＝kx所在的位置与k的符号有直接的关系：k＞0时，直线必经过第一、三象限，y随
x的增大而增大；k＜0时，直线必经过第二、四象限，y随x的增大而减小．
【类型四】 正比例函数图象上点的坐标特征
点A(5，y)和B(2，y)都在直线y＝－x上，则y 与y 的关系是( )
1 2 1 2
A．y≥y B．y＝y C．y＜y D．y＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
解析：∵点A(5，y)和B(2，y)都在直线y＝－x上，∴y＝－5，y＝－2.∵－5＜－2，∴y＜y.故选C.
1 2 1 2 1 2
方法总结：熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
探究点三：求正比例函数的解析式
【类型一】 用定义求正比例函数的解析式
已知y＝y＋y，y 与x2成正比例，y 与x－2成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝－1时，y＝11，
1 2 1 2
求y与x之间的函数表达式，并求当x＝2时y的值．
解析：设y ＝kx2，y ＝a(x－2)，得出y＝kx2＋a(x－2)，把x＝1，y＝5和x＝－1，y＝11代入得出方程
1 2
组，求出方程组的解即可，把x＝2代入函数解析式，即可得出答案．
解：设y ＝kx2，y ＝a(x－2)，则y＝kx2＋a(x－2)，把x＝1，y＝5和x＝－1，y＝11代入得解得∴y与x
1 2
之间的函数表达式是y＝2x2－3(x－2)．把x＝2代入得y＝2×22－3×(2－2)＝8.
方法总结：用定义求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步．
【类型二】 用待定系数法求正比例函数的解析式
已知正比例函数y＝kx图象经过点(3，－6)，求：
(1)这个函数的解析式；
(2)判断点A(4，－2)是否在这个函数图象上；
(3)图象上两点B(x，y)、C(x，y)，如果x＞x，比较y，y 的大小．
1 1 2 2 1 2 1 2
解析：(1)利用待定系数法把(3，－6)代入正比例函数y＝kx中计算出k即可得到解析式；(2)将A点的
横坐标代入正比例函数关系式，计算函数值，若函数值等于－2，则A点在这个函数图象上，否则不在这
个函数图象上；(3)根据正比例函数的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小，即可判断．
解：(1)∵正比例函数y＝kx经过点(3，－6)，∴－6＝3·k，解得k＝－2，∴这个正比例函数的解析式
为y＝－2x；
(2)将x＝4代入y＝－2x得y＝－8≠－2，∴点A(4，－2)不在这个函数图象上；
(3)∵k＝－2＜0，∴y随x的增大而减小．∵x＞x，∴y＜y.
1 2 1 2
方法总结：将A点的横坐标代入正比例函数关系式，求出函数值，再进一步判定是解决问题的关键．
三、板书设计
1．正比例函数的图象
2．正比例函数的性质3．正比例函数解析式的确定
第2课时 一次函数的概念
一、情境导入
1．仓库内原有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的
函数关系式．
2．今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米．据介绍，这种树苗在10年内平均每年长高0.35米，求
树高(米)与年数之间的函数关系式，并算一算4年后这些树约有多高．
3．小徐的爸爸为小徐存了一份教育储蓄．首次存入1万元，以后每个月存入500元，存满3万元止．
求存款数增长的规律．几个月后可存满全额？
以上3道题中的函数有什么共同特点？
二、合作探究
探究点一：一次函数的定义
【类型一】 辨别一次函数
下列函数是一次函数的是( )
A．y＝－8x B．y＝－
C．y＝－8x2＋2 D．y＝－＋2
解析：A.它是正比例函数，属于特殊的一次函数，正确；B.自变量次数不为1，不是一次函数，错误；
C.自变量次数不为1，不是一次函数，错误；D.自变量次数不为1，不是一次函数，错误．故选A.
方法总结：一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
【类型二】 一次函数与正比例函数
已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋3.
(1)当m、n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m、n取何值时，y是x的正比例函数？
解析：(1)根据一次函数的定义，m－1≠0，2－|m|＝1，据此求解即可；(2)根据正比例函数的定义，m
－1≠0，2－|m|＝1，n＋3＝0，据此求解即可．
解：(1)根据一次函数的定义得2－|m|＝1，解得m＝±1.又∵m－1≠0即m≠1，∴当m＝－1，n为任意
实数时，这个函数是一次函数；
(2)根据正比例函数的定义得2－|m|＝1，n＋3＝0，解得m＝±1，n＝－3.又∵m－1≠0即m≠1，∴当
m＝－1，n＝－3时，这个函数是正比例函数．
方法总结：一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：k≠0，自变量的次数为1，常数项b可以为任意实
数．正比例函数y＝kx的解析式中，比例系数k是常数，k≠0，自变量的次数为1.
探究点二：根据实际问题求一次函数解析式
【类型一】 列一次函数解析式
写出下列各题中y与x的函数关系式，并判断y是否是x的一次函数或正比例函数？
(1)某村耕地面积为106(平方米)，该村人均占有耕地面积y(平方米)与人数x(人)之间的函数关系；
(2)地面气温为28℃，如果高度每升高1km，气温下降5℃，气温x(℃)与高度y(km)之间的函数关系．
解析：(1)根据人均占有耕地面积y等于总面积除以总人数得出即可；(2)根据高度每升高1km，气温下
降5℃，得出28－5y＝x求出即可．
解：(1)根据题意得y＝，不是一次函数；
(2)根据题意得28－5y＝x，则y＝－x＋，是一次函数．
方法总结：根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．
需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
【类型二】 确定一次函数解析式中系数的值已知一次函数y＝kx＋b中，当自变量x＝3时，函数值y＝5；当x＝－4时，y＝－9.求k和b的值．
解析：把两组对应值分别代入y＝kx＋b得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k和b.
解：(1)∵当自变量x＝3时，函数值y＝5，当x＝－4时，y＝－9，∴解得
方法总结：解决此类问题就是将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关
于待定系数的方程或方程组解答即可．
三、板书设计
1．一次函数的定义
2．一次函数与正比例函数的区别和联系
3．根据实际问题求一次函数解析式
第3课时 一次函数的图象与性质
一、情境导入
做一做：在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
(1)y＝x； (2)y＝x＋2；
(3)y＝3x; (4)y＝3x＋2.
观察函数图象有什么形式？
二、合作探究
探究点一：一次函数的图象
【类型一】 一次函数图象的画法
在同一平面直角坐标中，作出下列函数的图象．
(1)y＝2x－1; (2)y＝x＋3；
(3)y＝－2x; (4)y＝5x.
解析：分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．(1)一次函数y＝2x－1图
象过(1，1)，(0，－1)；(2)一次函数y＝x＋3的图象过(0，3)，(－3，0)；(3)正比例函数y＝－2x的图象过
(1，－2)，(0，0)；(4)正比例函数y＝5x的图象过(0，0)，(1，5)．
解：如图所示．
方法总结：此题考查了一次函数的作图，解题关键是找出两个满足条件的点，连线即可．
【类型二】 判定一次函数图象的位置
已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝x＋k的图象大致是(
)
解析：∵正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0.∵一次函数y＝x＋k的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y＝x＋k的图象经过第一、三、四象限，且与y轴的负半轴相交．故
选B.
方法总结：一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)是一条直线．当k＞0，图象经过第一、三象限，y
随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．图象与y轴的交点坐标为(0，
b)．
探究点二：一次函数的性质
【类型一】 判断增减性和图象经过的象限等
对于函数y＝－5x＋1，下列结论：①它的图象必经过点(－1，5)；②它的图象经过第一、二、三
象限；③当x＞1时，y＜0；④y的值随x值的增大而增大．其中正确的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：∵当x＝－1时，y＝－5×(－1)＋1＝6≠5，∴点(1，－5)不在一次函数的图象上，故①错误；∵k
＝－5＜0，b＝1＞0，∴此函数的图象经过第一、二、四象限，故②错误；∵x＝1时，y＝－5×1＋1＝－4.
又∵k＝－5＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＞1时，y＜－4，则y＜0，故③正确，④错误．综上所述，
正确的只有③.故选B.
方法总结：一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而
减小，函数从左到右下降．
【类型二】 一次函数的图象与系数的关系
已知函数y＝(2m－2)x＋m＋1，
(1)当m为何值时，图象过原点？
(2)已知y随x增大而增大，求m的取值范围；
(3)函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围；
(4)图象过第一、二、四象限，求m的取值范围．
解析：(1)根据函数图象过原点可知，m＋1＝0，求出m的值即可；(2)根据y随x增大而增大可知2m－
2＞0，求出m的取值范围即可；(3)由于函数图象与y轴交点在x轴上方，故m＋1＞0，进而可得出m的取
值范围；(4)根据图象过第一、二、四象限列出关于m的不等式组，求出m的取值范围．
解：(1)∵函数图象过原点，∴m＋1＝0，即m＝－1；
(2)∵y随x增大而增大，∴2m－2＞0，解得m＞1；
(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方，∴m＋1＞0，解得m＞－1；
(4)∵图象过第一、二、四象限，∴解得－1＜m＜1.
方法总结：一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，当k＜0，b＞0时，函数图象过第一、二、四象限．
探究点三：一次函数图象的平移
在平面直角坐标系中，将直线l ：y＝－2x－2平移后，得到直线l ：y＝－2x＋4，则下列平移作
1 2
法正确的是( )
A．将l 向右平移3个单位长度
1
B．将l 向右平移6个单位长度
1
C．将l 向上平移2个单位长度
1
D．将l 向上平移4个单位长度
1
解析：∵将直线l ：y＝－2x－2平移后，得到直线l ：y＝－2x＋4，∴－2(x＋a)－2＝－2x＋4，解得a
1 2
＝－3，故将l 向右平移3个单位长度．故选A.
1
方法总结：求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律
是：左加右减，上加下减．
探究点四：一次函数的图象与性质的综合运用一次函数y＝－2x＋4的图象如图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求A、B两点坐标；
(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积．
解析：(1)x轴上所有的点的纵坐标均为0，y轴上所有的点的横坐标均为0；(2)利用(1)中所求的点A、
B的坐标可以求得OA、OB的长度．然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB的面积．
解：(1)对于y＝－2x＋4，令y＝0，得－2x＋4＝0，∴x＝2.∴一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴的交
点A的坐标为(2，0)；令x＝0，得y＝4.∴一次函数y＝－2x＋4的图象与y轴的交点B的坐标为(0，4)；
(2)由(1)中知OA＝2，OB＝4.∴S ＝·OA·OB＝×2×4＝4.∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4.
△AOB
方法总结：求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一般地应先求出一次函数图象与 x轴、y轴的
交点坐标，进而求出三角形的底和高，即可求面积．
三、板书设计
1．一次函数的图象
2．一次函数的性质
3．一次函数图象的平移规律
第4课时 用待定系数法求一次函数解析式
一、情境导入
已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x(千克)的一次函数．现已测得不挂重物时弹
簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．
一次函数解析式怎样确定？需要几个条件？
二、合作探究
探究点：用待定系数法求一次函数解析式
【类型一】 已知两点确定一次函数解析式
已知一次函数图象经过点A(3，5)和点B(－4，－9)．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若点C(m，2)是该函数图象上一点，求C点坐标．
解析：(1)将点A(3，5)和点B(－4，－9)分别代入一次函数y＝kx＋b(k≠0)，列出关于k、b的二元一次
方程组，通过解方程组求得k、b的值；(2)将点C的坐标代入(1)中的一次函数解析式，即可求得m的值．
解：(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k、b是常数，且k≠0)，则∴∴一次函数的解析式为y＝2x－
1；
(2)∵点C(m，2)在y＝2x－1上，∴2＝2m－1，∴m＝，∴点C的坐标为(，2)．
方法总结：解答此题时，要注意一次函数的一次项系数k≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下．
【类型二】 由函数图象确定一次函数解析式如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2，0)，且OA＝
OB，试求一次函数的解析式．
解析：先求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式．
解：∵OA＝OB，A点的坐标为(2，0)，∴点B的坐标为(0，－2)．设直线AB的解析式为y＝kx＋
b(k≠0)，则解得∴一次函数的解析式为y＝x－2.
方法总结：本题考查用待定系数法求函数解析式，解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而
求得函数解析式．
【类型三】 由三角形的面积确定一次函数解析式
如图，点B的坐标为(－2，0)，AB垂直x轴于点B，交直线l于点A，如果△ABO的面积为3，求
直线l的解析式．
解析：△AOB面积等于OB与AB乘积的一半．根据OB与已知面积求出AB的长，确定出A点坐标．
设直线l解析式为y＝kx，将A点坐标代入求出k的值，即可确定出直线l的解析式．
解：∵点B的坐标为(－2，0)，∴OB＝2.∵S ＝OB·AB＝3，∴×2×AB＝3，∴AB＝3，即A(－2，
△AOB
－3)．设直线l的解析式为y＝kx，将A点坐标代入得－3＝－2k，即k＝，则直线l的解析式为y＝x.
方法总结：解决本题的关键是根据直线与坐标轴围成三角形的面积确定另一个点的坐标．
【类型四】 利用图形变换确定一次函数解析式
已知一次函数y＝kx＋b的图象过点(1，2)，且其图象可由正比例函数y＝kx向下平移4个单位得
到，求一次函数的解析式．
解析：根据题设得到关于k，b的方程组，然后求出k的值即可．
解：把(1，2)代入y＝kx＋b得k＋b＝2.∵y＝kx向下平移4个单位得到y＝kx＋b，∴b＝－4，∴k－4＝
2，解得k＝6.∴一次函数的解析式为y＝6x－4.
方法总结：一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移
m个单位，则平移后直线的解析式为y＝kx＋b＋m.
【类型五】 由实际问题确定一次函数解析式
已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，
其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．
水银柱的长度x(cm) 4.2 … 8.2 9.8
体温计的读数y(℃) 35.0 … 40.0 42.0
(1)求y关于x的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围)；
(2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．
解析：(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，由统计表的数据建立方程组求出k，b即可；(2)当x＝
6.2时，代入(1)的解析式就可以求出y的值．解：(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得解得∴y＝1.25x＋29.75.∴y关于x的函数关
系式为y＝1.25x＋29.75；
(2)当x＝6.2时，y＝1.25×6.2＋29.75＝37.5.
答：此时体温计的读数为37.5℃.
方法总结：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的
运用，解答时求出函数的解析式是关键．
【类型六】 与确定函数解析式有关的综合性问 题
如图，A、B是分别在x轴上位于原点左右侧的点，点P(2，m)在第一象限内，直线PA交y轴于
点C(0，2)，直线PB交y轴于点D，S ＝12.
△AOP
(1)求点A的坐标及m的值；
(2)求直线AP的解析式；
(3)若S ＝S ，求直线BD的解析式．
△BOP △DOP
解析：(1)S ＝S ＋S ，根据三角形面积公式得到×OA×2＋×2×2＝12，可计算出OA＝10，
△POA △AOC △COP
则A点坐标为(－10，0)，然后再利用S ＝×10×m＝12求出m；(2)已知A点和C点坐标，可利用待定系
△AOP
数法确定直线AP的解析式；(3)利用三角形面积公式由S ＝S 得PB＝PD，即点P为BD的中点，则
△BOP △DOP
可确定B点坐标为(4，0)，D点坐标为(0，)，然后利用待定系数法确定直线BD的解析式．
解：(1)∵S ＝S ＋S ，∴×OA×2＋×2×2＝12，∴OA＝10，∴A 点坐标为(－10，0)．
△POA △AOC △COP
∵S ＝×10×m＝12，∴m＝；
△AOP
(2)设直线AP的解析式为y＝kx＋b，把A(－10，0)，C(0，2)代入得解得∴直线AP的解析式为y＝x＋
2；
(3)∵S ＝S ，∴PB＝PD，即点P为BD的中点，∴B点坐标为(4，0)，D点坐标为.设直线BD的
△BOP △DOP
解析式为y＝k′x＋b′，把B(4，0)，D代入得解得∴直线BD的解析式为y＝－x＋.
三、板书设计
1．待定系数法的定义
2．用待定系数法求一次函数解析式
第5课时 一次函数与实际问题
一、情境导入
联通公司手机话费收费有A套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元，通话费每
分钟0.15元)两种．设A套餐每月话费为y(元)，B套餐每月话费为y(元)，月通话时间为x(分钟)．
1 2
(1)分别表示出y 与x，y 与x的函数关系式；
1 2
(2)月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？
(3)什么情况下A套餐更省钱？
二、合作探究
探究点：一次函数与实际问题【类型一】 利用一次函数解决最值问题
广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价(元/千克) 售价(元/千克)
甲种 5 8
乙种 9 13
(1)若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
(2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店
在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
解析：(1)根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000
元，列出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值
即可．
解：(1)设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x)＝1000，
解得x＝65，∴140－x＝75(千克)．
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；
(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得
W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560.∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的 3倍，∴140
－x≤3x，解得x≥35.∵－1<0，∴W随x的增大而减小，则x越小W越大．∴当x＝35时，W ＝－35＋
最大
560＝525(元)，140－35＝105(千克)．
答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．
方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．
【类型二】 利用一次函数解决有关路程问题
为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地
出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1h后，恰有一辆邮政车从甲
地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2h装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行
驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的 2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲
地的路程y(km)与自行车队离开甲地的时间x(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：
(1)自行车队行驶的速度是________km/h；
(2)邮政车出发多久与自行车队首次相遇？
(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？
解析：(1)由“速度＝路程÷时间”就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再
由追及问题设邮政车出发ah与自行车队首次相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B
的坐标和C的坐标，由自行车的速度就可以求出D的坐标，由待定系数法求出BC，ED的解析式就可以求
出结论．
解：(1)由题意得自行车队行驶的速度为72÷3＝24(km/h)．
(2)由题意得邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发ah与自行车队首次相遇，由题意得
24(a＋1)＝60a，解得a＝.
答：邮政车出发h与自行车队首次相遇；
(3)由题意得邮政车到达丙地的时间为135÷60＝(h)，∴邮政车从丙地出发返回甲地前共用时为＋2＋1＝(h)，∴B(，135)，C(7.5，0)．自行车队到达丙地的时间为135÷24＋0.5＝＋0.5＝(h)，∴D(，135)．设直
线BC的解析式为y ＝k ＋b ，由题意得解得∴y ＝－60x＋450.设ED的解析式为y ＝kx＋b ，由题意得解
1 1 1 1 2 2 2
得∴y＝24x－12.当y＝y 时，－60x＋450＝24x－12，解得x＝5.5.y＝－60×5.5＋450＝120.
2 1 2 1
答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.
方法总结：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函
数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
【类型三】 利用一次函数解决图形面积问题
如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向
容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？
(2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．
解析：(1)根据图象，分三个部分：注满“几何体”下方圆柱需18s；注满“几何体”上方圆柱需24－
18＝6(s)，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)．再设匀速注水的水流速度为xcm3/s，根
据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为acm，根据圆柱的体积公式得
a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm，设“几何体”上方圆柱的底面
积为Scm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．
解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，
水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设
匀速注水的水流速度为xcm3/s，则18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；
(2)由图②知“几何体”下方圆柱的高为acm，则a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体”上
方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－
18)，解得S＝24，即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2.
方法总结：本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中
的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．
【类型四】 利用一次函数解决销售问题
某社区活动中心准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民
免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为 30
元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y (元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y (元)．
A B
请解答下列问题：
(1)分别写出y 、y 与x之间的关系式；
A B
(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
解析：(1)根据购买费用＝单价×数量建立关系就可以表示出y 、y 的解析式；(2)分三种情况进行讨论，
A B当y ＝y 时，当y ＞y 时，当y ＜y 时，分别求出购买划算的方案；(3)分两种情况进行讨论计算求出需要
A B A B A B
的费用，再进行比较就可以求出结论．
解：(1)由题意得y ＝(10×30＋3×10x)×0.9＝27x＋270；y ＝10×30＋3(10x－20)＝30x＋240；
A B
(2)当 y ＝y 时，27x＋270＝30x＋240，得 x＝10；当 y ＞y 时，27x＋270＞30x＋240，得 x＜
A B A B
10.∵x≥2，∴2≤x＜10；当y ＜y 时，27x＋270＜30x＋240，得x＞10；∴当2≤x＜10时，到B超市购买
A B
划算，当x＝10时，两家超市一样划算，当x＞10时，在A超市购买划算；
(3)由题意知x＝15，15＞10，∴只在一家超市购买时，选择A超市划算，y ＝27×15＋270＝675(元)．
A
在两家超市购买时，先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球：
(10×15－20)×3×0.9＝351(元)，共需要费用10×30＋351＝651(元)．∵651元＜675元，∴最佳方案是先
选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球．
方法总结：本题考查了一次函数的解析式的运用，分类讨论的数学思想的运用，方案设计的运用，解
答时求出函数的解析式是关键．
【类型五】 利用图表信息解决实际问题
某工厂生产甲、乙两种不同的产品，所需原料为同一种原材料，生产每吨产品所需原材料的数量
和生产过程中投入的生产成本的关系如表所示：
产 品 甲 乙
原材料数量(吨) 1 2
生产成本(万元) 4 2
若该工厂生产甲种产品m吨，乙种产品n吨，共用原材料160吨，销售甲、乙两种产品的利润y(万元)
与销售量x(吨)之间的函数关系如图所示，全部销售后获得的总利润为200万元．
(1)求m、n的值；
(2)该工厂投入的生产成本是多少万元？
解析：(1)求出甲、乙两种产品每吨的利润，然后根据两种原材料的吨数和全部销售后的总利润，列出
关于m、n的二元一次方程组，求解即可；(2)根据“生产成本＝甲的成本＋乙的成本”，列式计算即可得
解．
解：(1)由图可知，销售甲、乙两种产品每吨分别获利 6÷2＝3(万元)、6÷3＝2(万元)．根据题意可得解
得
(2)由(1)知，甲、乙两种产品分别生产20吨、70吨，所以投入的生产成本为20×4＋70×2＝220(万元)．
答：该工厂投入的生产成本为220万元．
方法总结：本题考查了一次函数的应用，主要利用了列二元一次方程组解决实际问题，根据表格求出
两种产品每吨的利润，然后列出方程组是解题的关键．
三、板书设计
1．利用一次函数解决最值问题
2．利用一次函数解决有关路程问题
3．利用一次函数解决图形面积问题4．利用一次函数解决销售问题
5．利用图表信息解决实际问题
第6课时 一次函数与方程、不等式
一、情境导入
1．下面三个方程有什么共同点和不同点？你能进行解释吗？
(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.
能从函数的角度解这三个方程吗？
2．下面三个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对这三个不等式进行解释吗？
(1)3x＋2＞2；(2)3x＋2＜0；(3)3x＋2＜－1.
二、合作探究
探究点一：一次函数与一元一次方程
一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx
＋b＝0的解为( )
A．x＝－1 B．x＝2
C．x＝0 D．x＝3
解析：∵y＝kx＋b经过点(2，3)、(0，1)，∴解得∴一次函数解析式为y＝x＋1.令x＋1＝0，解得x＝－1.
故选A.
方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋
b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．
探究点二：一次函数与一元一次不等式
对照图象，请回答下列问题：
(1)当x取何值时，2x－5＝－x＋1?
(2)当x取何值时，2x－5＞－x＋1?
(3)当x取何值时，2x－5＜－x＋1?
解析：(1)直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点横坐标的值即为方程2x－5＝－x＋1的解；(2)直线y
＝2x－5在直线y＝－x＋1上方的部分对应的x的取值范围即为不等式2x－5＞－x＋1的解集；(3)直线y＝
2x－5在直线y＝－x＋1下方的部分对应的x的取值范围即为不等式2x－5＜－x＋1的解集．解：(1)由图象可知，直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点的横坐标是2，所以当x取2时，2x－5＝
－x＋1；
(2)由图象可知，当x＞2时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x＋1的上方，即2x－5＞－x＋1；
(3)由图象可知，当x＜2时，直线y＝2x－5落在直线y＝－x＋1的下方，即2x－5＜－x＋1.
方法总结：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
探究点三：一次函数与二元一次方程(组)
直角坐标系中有两条直线：y＝x＋，y＝－x＋6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第
二条直线交x轴于点B.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)用图象法解方程组
(3)求△PAB的面积．
解析：(1)分别令y＝0，求出x的值即可得到点A、B的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直
线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：(1)令y＝0，则x＋＝0，解得x＝－3，所以点A的坐标为(－3，0)．令－x＋6＝0，解得x＝4，所
以点B的坐标为(4，0)；
(2)如图所示，方程组的解是
(3)AB＝4－(－3)＝4＋3＝7，S ＝×7×3＝.
△PAB
方法总结：本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线
上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方
程组的解．
探究点四：运用一次函数与方程、不等式解决实际问题
某销售公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是付给推销员的月报
酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列
问题：
(1)求每种付酬方案y关于x的函数表达式；
(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x的取值范围．
解析：(1)由图已知两点，可根据待定系数法列方程组，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的相
交点的坐标，即可得选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x的取值范围．
解：(1)设方案一的解析式为y＝kx，把(40，1600)代入解析式，可得k＝40，∴方案一y关于x的解析式为y＝40x；设方案二的解析式为y＝ax＋b，把(40，1400)和(0，600)代入解析式，可得解得∴方案二y关
于x的解析式为y＝20x＋600；
(2)根据两直线相交可得40x＝20x＋600，解得x＝30，故两直线交点的横坐标为30.当x＞30时，选择
方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．
方法总结：解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
三、板书设计
1．一次函数与一元一次方程的关系
2．一次函数与一元一次不等式的关系
3．用图象法求二元一次方程组的解
4．应用一次函数与方程、不等式解决实际问题
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
一、单选题
1．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在同一平面直角坐标系内，直线 与直线 互相平行，则
的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是两条直线相交或平行问题，熟知若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量
系数相同，即 值相同，是解答此题的关键．直接根据两直线平行的条件即可得出结论．
【详解】解： 直线 与直线 互相平行，
．
故选：C．
2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）若一次函数 的函数值 随 的增大而减小，则 的取值
范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的增减性．由 随 的增大而减小知， ，求解即可．
【详解】解： 一次函数 的函数值 随 的增大而减小
．
故选：A．3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象是一条射线 B．图象必经过点
C．图象经过第一、三象限 D．y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可．
【详解】解：A、正比例函数 ，图象是一条直线，不符合题意；
B、当 时， ，图象不经过点 ，不符合题意；
C、 ，图象经过第一、三象限，符合题意；
D、 ，y随x的增大而增大，不符合题意．
故选：C．
4．（2024八年级下·全国·专题练习）已知点 在正比例函数 的图象上，那么点 的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查正比例函数图象上的点的特征，将 代入函数解析式进行求解即可．
【详解】解：把 代入 ，得： ，
∴点 的坐标是 ；
故选A．
5．（23-24八年级上·云南文山·期末）正比例函数 的图像经过（ ）
A．第一、 二象限 B．第二、 四象限
C．第一、 三象限 D．第二、三象限
【答案】B【分析】本题考查正比例函数图像与性质，由正比例函数 中 ，从而得到正比例函数 的
图像经过第二、四象限，熟记正比例函数图像是解决问题的关键．
【详解】解： 正比例函数 中 ，
正比例函数 的图像经过第二、四象限，
故选：B．
6．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． ； B． ； C． ； D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义 逐项验证即可．
【详解】解：由一次函数的定义知， 是一次函数，
故选：A
7．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列函数中是正比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的定义；
根据正比例函数的形式 ，逐项进行判断即可．
【详解】解：A. ，不是正比例函数；
B. 不是正比例函数；
C. ，不是正比例函数；
D. ，是正比例函数；
故选：D．
二、填空题8．（23-24八年级下·福建厦门·期中）直线 上有两点 ， ，则 （填“ ”、
“ ”、“ ”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，熟练地掌握当 时，y随x的增大而增大；当 时，y
随x的增大而减小是解题的关键．根据一次函数的增减性即可进行解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴y随x的增大而减小，
∵ ，
∴
故答案为： ．
9．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若直线 的图象经过第一、三象限，则 的取值范围是
【答案】 /
【分析】本题考查正比例函数图象与系数的关系，正比例函数的性质，根据正比例函数 ，当
时函数图象经过一、三象限，即可得k的取值范围即可．
【详解】解：正比例函数 的图象经过第一、三象限，
∴ ，
故答案为： ．
10．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）若函数 是关于 的正比例函数，则
．
【答案】1
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如 的函数叫做正比例函数，据此求
解即可．
【详解】解：∵函数 是关于x的正比例函数，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：1．11．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于
点 ，与y轴交于点 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在x轴上（或
下）方部分所有的点的横坐标．根据直线 与x轴交于点 ，结合函数图象，即可求出不等式
的解集．
【详解】解：∵直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，
∴根据函数图象可知，不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
12．（23-24八年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系 中，一次函数 和 的图象如图
所示，则关于 的一元一次不等式 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据图象的位置关系和交点坐标写出直线 在
下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为 ，
所以关于x的一元一次不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
13．（23-24八年级下·全国·课后作业）甲乙两车沿直路同向行驶，车速分别为26 m/s和30 m/s．现甲车在
乙车前200 m处，设x s（ ）后两车相距y m．那么y关于x的函数解析式为 ．（写出自
变量取值范围）
【答案】
【分析】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确理解题意是解题关键．根据题意利用两车
相距的距离-速度差×行驶时间=两车距离，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得： ， ．
故答案为： ．
14．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知 是一次函数，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义是本题的关键．根据一次函数的定义作答即可．
【详解】解：根据一次函数的定义，得 ，且 ，
解得 ．
故答案为：2
三、解答题
15．（20-21八年级下·全国·课后作业）（1）当b＞0时，函数y=x+b的图象经过哪几个象限？
（2）当b＜0时，函数y=-x+b的图象经过哪几个象限？
（3）当k＞0时，函数y=kx+1的图象经过哪几个象限？
（4）当k＜0时，函数y=kx+1的图象经过哪几个象限？
【答案】（1）第一、二、三象限；（2）第二、三、四象限；（3）第一、二、三象限；（4）第一、二、
四象限
【分析】根据k、b的符号和一次函数的性质确定其经过的象限即可．
【详解】解：（1）∵k＞0，b＞0，∴函数y=x+b的图象经过一、二、三象限；
（2）∵k＜0，b＜0，
∴函数y=-x+b的图象经过二、三、四象限；
（3）∵k＞0，b＞0，
∴函数y=x+b的图象经过一、二、三象限；
（4）∵k＜0，b＞0，
∴函数y=x+b的图象经过一、二、四象限．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，
b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负
半轴．记住k＞0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0 y=kx+b的图象在一、三、四象限；
k＜0，b＞0 y=kx+b的图⇔象在一、二、四象限；k＜0，b＜0 y=kx+b的图⇔象在二、三、四象限．
16．（21-22⇔八年级下·江西赣州·期末）已知直线y＝kx+b（k⇔≠0）经过点A（4，0），与直线y＝x﹣2交于
点B（3，m）．
(1)求直线y＝kx+b的函数表达式；
(2)直接写出不等式kx+b＞x﹣2的解集．
【答案】(1)
(2)x < 3
【分析】（1）先求出m的值，再用待定系数法即可得答案；
（2）解一元一次不等式可得答案．
【详解】（1）解：将 代入 得： ，
∴ ，
将 ， 代入 得：
，
解得： ，∴直线y＝kx+b的函数表达式 ；
（2）解：由-x +4> x- 2得x < 3，
不等式kx +b> x - 2的解集是x < 3．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是能应用待定系数法求出函数的解析式．
17．（21-22八年级下·山东济南·阶段练习）如图，观察图象回答问题：
(1)x____________时，函数值等于0；
(2)x____________时，函数值大于0．
【答案】(1)=3
(2)＜3
【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，然后解答各题．
【详解】（1）解：函数与x轴的交点坐标为（3，0），且y随x的增大而减小．
∴当x=3时，函数值等于0；
故答案为：=3；
（2）解：函数与x轴的交点坐标为（3，0），且y随x的增大而减小．
∴当x＜3时，函数值大于0．
故答案为：＜3；
【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观
察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
18．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一次函数 的图象经过点 和点 ．(1)求出这个一次函数的解析式；
(2)直接写出不等式 的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为：
(2)
【分析】（1）根据直线 的图象经过点 和点 ，把 ， 两点的坐标代入 ，
解出 ， ，即可；
（2）由（1）得，函数的解析式： ，根据 ，解出不等式，即可．
【详解】（1）∵一次函数 的图象经过点 和点 ，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为： ．
（2）由（1）得，一次函数的解析式为： ，
∴ ，解得： ．
【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求出解析式，一次函数的图象和性质．
19．（22-23八年级下·广东惠州·期末）已知一次函数 的图像经过点 ，且与正比例函数
的图像相交于点 ，
(1)求点 的坐标；
(2)求一次函数解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接把点 代入正比例函数的解析式 可求出 ；
（2）一次函数 的图像经过点 和 ，利用待定系数法求解析式即可．
【详解】（1）解：∵点 在正比例函数 的图像上，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
（2）∵一次函数 的图像经过点 和 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 一次函数解析式为 ．
【点睛】本题考查两条直线相交问题：若直线 与直线 相交，则交点坐标同时满足两
个解析式；也考查了待定系数法求一次函数解析式．掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．20．（22-23八年级下·四川泸州·期中）已知一次函数 ，当 时， ，当 时，
，求此一次函数的解析式．
【答案】
【分析】根据待定系数法即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，
解得： ，
一次函数的解析式为 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，正确建立二元一次方程组即可．
21．（22-23八年级下·吉林长春·期中）已知一次函数 ，若该函数图象经过第一、二、四
象限，求k的取值范围．
【答案】
【分析】根据一次函数的图象和性质，列出关于 的不等式组，解不等式组即可．
【详解】解： 函数图象经过第一、二、四象限，
，
解得： ，
．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是根据一次函数的图象和性质列出关于 的
不等式组．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
一、单选题1．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，直线 与直线 交于点 ，点 的横坐标为 ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，不等式 的解集，就是指直线y= -直线
在直线 的上方的自变量的取值范围．
【详解】解：由图像可知，当 时，直线 在直线 的上方，
的解集为 ，
故选：A．
2．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点
，则该函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数 的图象与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ，列方程组计算即可；熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是关键．
【详解】解：∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
解得
∴该函数的表达式为
故选：B．
3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）一次函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想求解是解答的关键．根据图象得
到与x轴的交点，求得图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围即可．
【详解】解：由图象可知，函数 的图象与x轴的交点坐标为 ，
∴不等式 的解集是 ，
故选：D．
4．（23-24八年级下·福建福州·期中）一次函数 的图象上任意两点 ， ，当
时， ，若 ，y的值可以是（ ）
A． B． C．2 D．3【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是利用一次函数的增减性求出 的取值范围，结合
选项即可得到答案．
【详解】解： 一次函数 的图象上任意两点 ， ， ， ，当 时， ，
随 的增大而增大，
，
若 ， ，
故选：D．
二、填空题
5．（22-23八年级下·福建福州·期中）已知点 都在函数 （ 为常数）的图象上，
若 ，则 （用“ ”或“ ”填空）．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数值的大小比较，根据一次函数的增减性进行比较即可．
【详解】解：函数 中，
，
随x的增大而减小，
，
，
故答案为： ．
6．（22-23八年级下·福建福州·期中）已知直线 ，则该直线一定经过第 象限．
【答案】一
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，判断点所位于的象限，令k的系数等于0求出x的
值，再求出y的对应值即可求出直线过定点 ，即可判断直线一定经过的象限．
【详解】解：直线 ，可化为： ，即直线过定点 ，
位于第一象限，
则该直线一定经过第一象限，
故答案为：一．
7．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与坐标轴交于A，
B两点．过点 作 ，交 于点 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关
键．
先求A，B两点坐标，再运用勾股定理求出 ，最后对 运用等面积法即可求解．
【详解】解：当 ，则 ，
∴ ，
当 ，则 ，解得 ，
∴ ，
则在 中， ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知y与x成正比例函数，当 时， ，当 时，．
【答案】
【分析】先设出正比例函数解析式，解出k，再代入 即可．
本题考查正比例函数的基本运算，能够运用待定系数法是解题关键．
【详解】设 ，把 时， ，代入得， ，
∴ ，
当 时， ．
故答案为： ．
9．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，直线 与 分别交x轴于点 ， ，
则不等式组 的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了由直线与坐标轴的交点求不等式组的解集．数形结合是解题的关键．
根据 的解集为直线 和 在 轴下方图象对应的 的取值范围，结合图象作答即
可．
【详解】解：由题意知， 的解集为直线 和 在 轴下方图象对应的 的取值范
围，
由图象可得， ，故答案为： ．
10．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知直线 平行于直线 ，且点 在
直线 上，则 的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，代数式取值．熟练掌握一次函数图象的平移是解题的关键．
由一次函数图象的平移，可得 ，则直线 ；将 代入得， ，即 ，
然后代入求解即可．
【详解】解：∵直线 平行于直线 ，
∴ ，
∴直线 ；
将 代入得， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
三、解答题
11．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知y是x的一次函数，下表是列出了几组对应值．
x … 0 2 …
y … m 0 n …
(1)求该函数的解析式：
(2)请在坐标系中画出该函数的图象，并直接写出m，n的大小关系：m______n（填“＞”，“＜”或
“＝”）．【答案】(1)
(2) ，图见解析
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象，熟知待定系数法及一次函数的图象和性
质是解题的关键,
（1）利用待定系数法即可解决问题.
（2）根据（1）中的函数解析式，画出函数图象即可，求出m，n的值，即可比较大小.
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为
依题意得： ，解得
该函数的解析式 ，
（2）因为当 时， ；当 时， ，
该函数的图象如图所示
当 时， ,
当 时， ,12．（23-24八年级下·北京房山·期中）一个一次函数的图象经过 和 两点，求这个一次函数的表
达式．
【答案】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设这个一次函数的表达式为 ，
把 和 代入 中得： ，
解得 ，
∴这个一次函数的表达式为 ．
13．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知y与 成正比例，且它的图象过点 ．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若点 在此函数图象上，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求函数解析式：
（1）设y与x之间的函数解析式为 ，把点 代入，即可求解；（2）把点 代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为 ，
∵它的图象过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴y与x之间的函数解析式为 ；
（2）解：∵点 在此函数图象上，
∴ ，
解得： ，
∴点P的坐标为 ．
14．（23-24八年级下·广东珠海·期中）某种活期储蓄的月利率是 ，存入100元本金，
(1)求本息和y（本金与利息的和，单位：元）随所存月数x变化的函数解析式．
(2)计算存期为4个月时的本息和．
【答案】(1)
(2)100.24元
【分析】本题主要考查一次函数的应用．解题的关键是找好题中的等量关系列出一次函数解析式．
（1）题中的等量关系为：本息和 本金 月利率 所存的月数），根据等量关系列出函数关系式，即可
求得题中所求．
（2）把 代入（1）中所求的函数关系式，求出y值即可．
【详解】（1）解：题中的等量关系为：本息和 本金 月利率 所存的月数），
根据等量关系列出函数解析式为： ，
即 ．
（2）解：将 代入 ，
得 （元）．．答：4个月后的本息和为100.24元．
15．（23-24八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数 与 ．
(1)求这两个函数图象的交点坐标；
(2)直线 与 交于点A、与 交于点B，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数交点坐标，一次函数与几何的综合．
（1）根据两个函数相交于一点，得 ，解出 ，把 代入 或者 ，得到y的
值，即可得到答案．
（2）分别求出点A和点B的坐标，即可求出线段 的长．
【详解】（1）解：由一次函数 与 得到，
，
解得： ，
当 时， ，
∴这两个函数图象的交点坐标为 ．
（2）当 时， ，
当 时， ，
∵直线 与 交于点A、与 交于点B，
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是
∴ ,
即线段 的长为2．
16．（2024八年级下·全国·专题练习）如图是函数 的一部分图象，(1)自变量 的取值范围是 ；
(2)当 取 时， 的最小值为 ．
【答案】(1)
(2)5，2.5
【分析】本题主要考查一次函数的性质；
（1）由点B在函数图象上，将 代入直线方程求得x的值，再结合函数图象可求得x的取值范围；
（2）由图象可知直线 的图象呈下降趋势，在点B处，y有最小值，据此确定y最小时x的取值
和y的最小值．
【详解】（1）观察函数图象，将 代入一次函数 中，可得 ，
所以自变量x的取值范围是 ．
故答案为： ；
（2）由函数图象可知，随着x的增大，y值在变小，
由函数图象可知，y有最小值，即当 时， 为最小值．
故答案为：5，2.5．
17．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图1，直线 与 轴、 轴分别交于 两点，直线
与 轴交于点 ，与 交于点 ．(1)求点 的坐标；
(2)若点 为直线 上一点，若 ，求满足条件的点 的坐标；
(3)如图2，已知 为四边形 内一点，连接 ，记 的面积分别为
，若点 的坐标为 ，则 是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请
说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 是定值，这个定值是
【分析】本题考查了两直线的交点，坐标与图形．熟练掌握两直线的交点，坐标与图形是解题的关键．
（1）联立得， ，计算求解，进而可求 点坐标；
（2）当 时， ，即 ， ；当 时， ，可求 ，则 ，
；设 ，则 ， ，即 ，计算求解，然
后作答即可；
（3）如图2，作 轴，交 于 ，作 轴，交 于 ， 当 时， ，
即 ；当 时， ，可求 ，则 ， ，
，根据 ，求解作答即可．
【详解】（1）解：联立得， ，解得， ，
∴ ；
（2）解：当 时， ，即 ， ；
当 时， ，
解得， ，
∴ ， ；
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得， 或 ，
∴ 或 ；
（3）解：如图2，作 轴，交 于 ，作 轴，交 于 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，，
∵ ，
∴ 是定值，这个定值是 ．
18．（23-24八年级下·福建三明·期中）我们曾探究过“函数 的图象上点的坐标的特征”，了解了
一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现：一元一次不等式 的解集
是函数 图象在 轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式： （或 ）的解集，是函数 图象在 轴上方（或 轴下
方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数 的图象经过点 ，则不等式 的解集是
______．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______；不等式 的解是______；
【拓展延伸】：
（3）如图3，一次函数 和 的图象相交于点 ，分别与 轴相交于点 和点 ．
①结合图象，直接写出关于 的不等式组 的解集是______．
②若 轴上有一动点 ，是否存在点 ，使得 为等腰三角形，若存在，请直接写出 点坐标；
若不存在，请说明理由．【答案】（1） ；（2） ， ；（3）① ；②P点坐标为 或 或 或
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨
论，数形结合是解题的关键．
（1）结合图象即可求解；
（2）通过观察图象求解即可；
（3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标，通过观察图象求解即可；
②分别求出 ， ， ，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即
可．
【详解】解：（1）∵ 的图象经过点 ，
∴观察图象，不等式 的解集是 ，
故答案为： ；
（2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为 ，
∵ 的解为两直线交点的横坐标，
∴由图象可得，当 时， ，
∴不等式 的解是 ，
故答案为： ， ；
（3）①联立方程组 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，∴ ；
由 的图象可知，当 时， ，
当 时， ，
∴关于x的不等式组 的解集为 ，
故答案为： ；
②存在点P，使得 为等腰三角形，理由如下：
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
当 时，则 ，
解得 （舍）或 ，
∴P点坐标为 ；
当 时，则 ，
∴ 或 ，
∴P点坐标为 或 ；
当 时，则 ，
解得 ，
∴P点坐标为 ；
综上所述：P点坐标为 或 或 或 ．3．课后作业
设计意图：巩固提升.
一、单选题
1．（23-24八年级下·福建·期中）已知一次函数 ，且 随 的增大而减小，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查利用一次函数增减性判断参数范围，根据一次函数 ，且 随 的增大而减小，
即可得到答案，熟记一次函数增减性与 的关系是解决问题的关键．
【详解】解： 一次函数 ，且 随 的增大而减小，
，
故选：B．
2．（23-24八年级下·新疆喀什·期末）表示一次函数 与正比例函数 （m、n是常数且
）图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与正比例函数的图象，逐个分析各选项 的符号，进行判断即可．
【详解】解：对于A、B，由一次函数的图象可知， ，所以 ，正比例函数应该经过第二、
四象限，故A正确，B错误；
对于C，由一次函数的图象可知， ，所以 ，正比例函数应该经过第一、三象限，故C错误；
对于D，由一次函数的图象可知， ，所以 ，正比例函数应该经过第二、四象限，故D错
误．
故选A．
3．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如
下：①图象过点 ；②图象与 轴的交点在 轴下方；③ 随 的增大而增大．符合该图象特点的函数
关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．根据一次函数的
图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：A． ， 随 的增大而减小，不符合题意；
B． ，当 时， ，故不经过点 ，不符合题意；
C． ， 随 的增大而减小，不符合题意；
D． ， 随 的增大而增大；当 时， ，故经过点 ；当 时， ，故图象
与 轴的交点在 轴下方，符合题意．
故选D．
4．（23-24八年级下·福建·期中）如果正比例函数的图象经过点 ，那么函数的图象应在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质，将 代入 求出 ，进而求解即可．
【详解】∵正比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，即 ，∴此正比例函数的图象经过第一、三象限．
故选A．
5．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在画某一次函数的图像时，小红列表如右图，则下列各点不在其图
像上的是（ ）
x … 0 1 2 …
y … 4 3 2 1 …
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式．根据表格的数据，先选定两个点求出一次函数的解
析式即可．
【详解】解：设一次函数解析式为 ，将表格中的点 代入得
解得
由 知，点 ， ， 在图象上，点 不在图象上．
故选：D．
6．（23-24八年级下·福建泉州·期中）若直线过 经过点 和 ，且 ，
则b的值可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一元一次不等式组的解法，根据题意列方程组得到 ，
由于 ，于是得到 ，即可得到结论．
【详解】解：依题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴只有D符合题意；
故选D．
二、填空题
7．（23-24八年级下·四川眉山·期中）若直线 经过点 与直线 平行，则其表达式为
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的平移性质，以及求一次函数的解析式．根据直线 经过点 与直
线 平行，得出 ，再把 代入，即可求解．
【详解】解：∵直线 经过点 与直线 平行，
∴ ，
即 ，
∴再把 代入 ，
得出 ，
解得 ，
∴ ，
∴其表达式为 ，
故答案为： ．
8．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知 是关于 的一次函数，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数的定义，熟记定义是解本题的关键，由定义可得 ， ，从而可得答案．
【详解】解：函数 是关于x的一次函数，
则 ， ，
解得 ，
故答案为： ．
9．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，函数 和 的图象相交于点 ，则关于
的不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想．
先利用待定系数法求出A点坐标，结合图象写出不等式 的解集即可．
【详解】解：将点 代入 得， ，
解得， ，
点A的坐标为 ，
由图可知，不等式 即为 ，
的解集为 ．
故答案为： ．
10．（2024八年级下·上海·专题练习）如果点 和点 都在函数 的图象上，那么
．（用“ ”、“ ”或“ ”表示）
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“ ， 随 的增大而增大； ， 随 的增大而减小”是解题的关键．由 ，利用一次函数的性质，可得出 随 的增大而减小，结合 ，即可得出
．
【详解】解： ，
随 的增大而减小，
又 点 和点 都在函数 的图象上，且 ，
．
故答案为： ．
11．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）点 在直线 上，则代数式 的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是一次函数的性质，求解代数式的值，由函数的性质得到 是解本题的关键．
把 代入函数解析式 可得 ，再代入代数式求值即可．
【详解】 点 在直线 上，
，
，
故答案为：4．
12．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）以 对角线的交点 为原点，平行于 边的直线 轴，建立
如图所示的平面直角坐标系．若点 的坐标为 ，点 的横坐标比点 的横坐标小1，则直线 对应
的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质．根据平行四边形中心对称的性质
得到 的坐标，再用待定系数法求解析式即可．
【详解】解： 点 的坐标为 ，点 的横坐标比点 的横坐标小1根据平行四边形中心对称性质得到
设直线 的解析式为： ，则
，解得
直线 的解析式为： ，
故答案为： ．
13．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图，一次函数 为常数且 的图像与 轴交于点
，与y轴交于点 ，那么使 成立的 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握一次函数 的值小于0的自变量
x的取值范围即为直线 在x轴下方部分所有的点的横坐标的取值范围成为解题的关键．
观察图像，找出直线落在x轴的下方所对应的x的取值范围即可．
【详解】解：根据图像可得：当 时， ．
故答案是： ．
14．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知点D与点 ， ， 是平行四边形的四个顶点，
则 长的最小值为 ．
【答案】
【分析】讨论两种情形：① 是对角线，② 是边． 是对角线时 直线 时， 最小．
是边时， ，通过比较即可得出结论．
【详解】解：有两种情况：当 为对角线时，记交于点F，∵ ，设直线 表达式为： ，
则代入点C得： ，
∴ ,
点C在直线 上，
延长 交x轴于点G，取 中点H，连接 ，
∵点F是平行四边形对角线交点，
∴F为 中点， ，∴ 为 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， 最短，
由 可知点C与点O的水平距离和铅锤距离均是 ，
∴ ，∴当 时 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，则 ，
设直线 表达式为： ，代入
得 ，∴ ，
∴直线 表达式为： ，联立得： ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小值为 ；
当 为平行四边形边时，则 ，
综上， 最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、垂线段最短，勾股定理等知识，学会分类讨论
是解题的关键，灵活运用垂线段最短解决实际问题，属于中考常考题型．
三、解答题
15．（23-24八年级下·北京通州·期中）已知函数 ．
(1)如果点 在该函数的图象上，求 的值；
(2)求出这个函数的图象与 轴， 轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)这个函数的图象与 轴的交点为 ，与 轴的交点为
【分析】本题考查了一次函数的性质，求一次函数图象与坐标轴的交点．
（1）将点 代入 ，即可求解．
（2）将 ，代入 ，求出 的值，即得出这个函数的图象与 轴的交点；将 ，代入
，求出 的值，即得出这个函数的图象与 轴的交点，即可求解．【详解】（1）解：将 代入 ，得，
，
解得： ；
（2）当 时， ，
这个函数的图象与 轴的交点为 ；
当 时，即 ，
解得：
这个函数的图象与 轴的交点为 ．
16．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）已知一次函数 的图象如图所示，根据图
象，解决下列问题：
(1)求出函数 与 交点 坐标；
(2)求出 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）由 可得， ，解方程求出 ，即可求出交点 坐标；
（ ）利用一次函数解析式求出 、 的坐标，求出 ，再根据三角形的面积公式计算即可求解；
本题考查了一次函数的交点问题，三角形的面积，通过方程思想求出交点 的坐标是解题的关键．【详解】（1）解：由 可得， ，
解得 ，
∴ ，
∴点 坐标为 ；
（2）解：当 时， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
17．（23-24八年级下·河南郑州·期中）已知，如图，一次函数 的图象经过 ， ．
(1)求一次函数的表达式；
(2)结合图象，请直接写出关于 的不等式 的解集；
(3)若当 时，一次函数 的函数值 恰好满足 ，请直接写出 的关系式中
， 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）求得 时的横坐标，进而观察函数图象即可求解；
（3）分 ， 两种情况讨论，根据 ， ，列出方程组，解方程组，即可求解．
【详解】（1）解：将 ， 代入 得，
解得： ，
∴
（2）当 时， ，
根据函数图象，可得关于 的不等式 的解集为
（3）解：∵当 时，一次函数 的函数值 恰好满足 ，
①当 时，当 时， ，
当 时， ，即
解得：
②当 时，当 时， ，
当 时， ，即
解得：
综上所述： 或
18．（23-24八年级下·北京·阶段练习）已知一次函数 与 的图象都经过点 ．(1)求 的值；
(2)在同一直角坐标系中画出这两个一次函数的图象，并求出这两个一次函数的图象与y轴围成的三角形的
面积．
【答案】(1) ， ．
(2)图象见解析，
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次
函数的性质是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）分别求得两直线与坐标轴的交点坐标，进而画出函数图象，根据三角形的面积即可求解．
【详解】（1）解： 一次函数 的图象经过点 ，
，
．
一次函数 的图象经过点 ，
，
．
故 ， 的值分别为： ， ．
（2）对于 ，当 时， ，当 时， ，对于 ，当 时， ，当 时， ，
画函数图象如图所示，
这两个一次函数的图象与 轴的交点分别为： 与 ，
两个一次函数的图象与 轴围成的三角形的面积为： ．
19．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，平面直角坐标系中， ， ． 为矩形
对角线 的中点，过点 的直线分别与 、 交于点 、 ．
(1)求证： ；
(2)设 ， 的面积为 ，求 与 的函数关系式；
(3)若点 在坐标轴上，平面内存在点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是矩形，请直接写出点 的
坐标．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)点 坐标为 或 或【分析】（1）利用“ ”证明 ，由全等三角形的性质即可证明结论；
（2）连接 ，首先证明四边形 是平行四边形，结合题意可得 ， ，进而可得
，再结合平行四边形的性质可得 ，即可获得答案；
（3）分点 在 轴上、点 在 轴上和点 原点 重合三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如下图，连接 ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 与 的函数关系式为 ；
（3）解：①如图，点 在 轴上，
设点 标为 ，
则 ， ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∵点 相左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到 ，
∴点 相左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，可得 ；
②如下图，点 在 轴上，设点 坐标为 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∵ 相左平移8个单位长度，向下平移16个单位长度得到 ，
∴ 相左平移8个单位长度，向下平移16个单位长度，可得到 ；
③当点 原点 重合时，则点 与点 重合，此时点 坐标为 ．
综上所述，点 坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、
一次函数的应用、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
20．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 交于点
，且分别交x轴于A、C两点．
(1)求a，b的值及点A，C的坐标；
(2)在直线 上找一点D，使得 是 的面积的2倍，求出点D的坐标；
(3)y轴上有一动点P，直线 上有一动点M，点N在平面上，若四边形 是正方形，求出点N的坐
标．
【答案】(1) ， ， ，
(2) 或(3) 或
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、正方形的存在性问
题等；
（1）把 分别代入 与 即可求出a，b的值，分别令 与
即可得到点A，C的坐标；
（2）过 作 交 于 ，则 ，再求出 的面积，根据 是 的
面积的2倍列方程求解即可；
（3）过 作 于 ，过 作 于 ，当四边形 是正方形时，可证得 设
， ，根据全等求出坐标，再根据平移求出点N的坐标．
【详解】（1）把 代入 可得 ，解得 ，
∴ ，
令 ，解得 ，
∴ ，
把 代入 可得 ，解得 ，
∴ ，
令 ，解得 ，
∴ ；
（2）过 作 交 于 ，设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的面积的2倍，
∴ ，
∴ ，解得 或 ，
∴ 或 ；
（3）根据题意设 ， ，
当 在第一象限时，如图，过 作 于 ， 于 ，则∴ ， ， ， ，
当四边形 是正方形时， ， ，从 平移到 与从 平移到 平移规则一致，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，解得
∴ ， ，
∴ 向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到
∴ 向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到 ；
当 在第四象限时，如图，过 作 于 ， 于 ，则
∴ ， ， ， ，
当四边形 是正方形时， ， ，从 平移到 与从 平移到 平移规则一致，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，解得∴ ， ，
∴ 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到
∴ 向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到 ；
当 在第二象限时，如图，过 作 于 ， 于 ，则
∴ ， ， ， ，
当四边形 是正方形时， ， ，从 平移到 与从 平移到 平移规则一致，
∴
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，解得 不合题意；
综上所述， 或 ．
七、【教学反思】
