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第十九章 一次函数
第2课时19.2.2 一次函数
一、温故知新（导）
1. 什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？
一般地，形如 y=k x （ k 是常数， k ≠ 0 ） 的函数，叫做正比例函数；
一般地，形如 y=kx+b( k ， b 是常数， k ≠ 0 ) 的函数，叫做一次函数.
当b=0时，y=kx+b就变成了 y=k x ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
2. 正比例函数的图象及性质？
（1）正比例函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.
（2）当k﹥0时，直线y=kx 经过 第一、三 象限，从左到右 上升 ，即y随x的增大而 增大
；
当k＜0时，直线y=kx 经过 第二、四 象限，从左到右 下降 ，即y随x的增大而 减小
.
一次函数的图象和性质又是怎样的呢？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目
标和重难点。
学习目标
1、会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象理解一次函数的增减性.
2、能从图象角度理解正比例函数与一次函数的关系.
3、能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题.
学习重难点
重点：会画一次函数的图象，理解一次函数的性质；
难点：理解正比例函数与一次函数的关系，灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题.
二、自我挑战（思）
1、问题1 画出函数 y=-6x 、 y=-6x+5 的图象.
解：(1)函数y=-6x与y=- 6x+5中自变量x可为任意实数.
列表如下：
x -2 -1 0 1 2
y =-6x 12 6 0 -6 -12
y =-6x+5 17 11 5 -1 -7
描点、连线（如图19.2-3）（1）你画出的图象与图19.2-3相同吗？
相同
（2）比较上面两个函数的图象的相同点与不同点，填出你的观察结果：
这两个函数的图象形状都是 直线 ， 并且倾斜程度 相同 .函数y=6x的图象经过原点，函
数y= -6x+5的图象与y轴交于点 （ 0, 5 ） 即.函数y=-6x+5可以看作由直线y=-6x向 上 平
移 5 个单位长度而得到.
（3）比较两个函数解析式，你能说出这两个函数图象有平移关系的道理吗？
①这两个函数解析式都是自变量x的 - 6 （常数）倍，与一个常数的和.
②这两个函数解析式仅在 常数项 有区别.
③对于自变量x的任一值，这两个函数相应的y值总相差 5 .
（4）联系上面结果，考虑一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状，它与直线y=kx(k≠0)有什么关
系？
一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=kx(k≠0)的解析式容易得出：
一次函数y=kx+b的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b﹥0时，向上平移；当b＜0
时，向下平移）.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.
2、问题2 画出函数 y=2x-1 与 y=-0.5x+1 的图象.
解：列表表示当 x=0，x=1 时两个函数的对应值.（表19-10）
x 0 1
y=2x-1 -1 1
y=-0.5x+1 1 0.5
表19-10
过点（0，-1）与点（1，1）画出直线y＝2x－1；
过点（0，1）与点（1 ，0.5）画出直线y＝-0.5x+1.（图19.2-4）3、探究：在同一坐标系画出函数y=x+1， y= -x+1， y=2x+1，y= -2x+1的图象．由此联想：一次
函数解析式y=kx+b(k、b是常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响？
解：在同一坐标系画出函数y=x+1， y= -x+1， y=2x+1，y= -2x+1的图象如下图：
由上面一次函数图象可以发现规律：当k＞0时，直线y=kx+b从左至右 上升 ；当k＜0时，直线y=kx+b从左至右 下降 .
4、一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0）具有如下性质：
当k＞0时，y随x的增大而 增大 ；
当k＜0时，y随x的增大而 减小 .
三、互动质疑（议、展）
1、画函数 y=x+1， y= -x+1， y=2x+1，y= -2x+1的图象时，可以先画出函数 y=x 、 y= -x 、
y=2x 、
y= -2 x 的图象，然后再平移.
2、实例：
例 已知一次函数y=2x+4．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象.
（2）图象经过哪些象限？y随着x的变化如何变化？
（3）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标.
（4）一次函数y=2x+4的图象是正比例函数y=2x的图象经过如何变化得到的？
（5）在（3）的条件下，求出△AOB的面积．
解：（1）当x=0时，y=4，
当y=0时，x=-2，
∴一次函数y=2x+4经过（0，4），（-2，0）两点，由此两点画出图象即可；
（2）图象经过一、二、三象限，y随着x的增大而增大.（3）当x=0时，y=4，∴B（0，4），
当y=0时，x=-2，
∴A（-2，0）；
（4）一次函数y=2x+4的图象是正比例函数y=2x的图象经过向上平移4个单位后得到的.
1 1
（5）△AOB的面积= ×OA×OB= ×2×4=4．
2 2
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、将直线y=2x向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（ ）
A．y=2x-1 B．y=2x+2 C．y=2x+1 D．y=2x-2
1、解：将直线y=2x向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为：y=2x-1，
故选：A．
2、在平面直角坐标系中，直线 y=-2x+b向上平移2个单位长度后过点（3，1），则b的值为
（ ）
7
A．3 B． C．5 D．7
2
2、解：将直线y=-2x+b向上平移2个单位长度后的直线解析式为 y=-2x+b+2，
∵平移后的直线经过点（3，1），
∴-2×3+b+2=1，
∴b=5，
故选：C．
1
3、（2023春•长沙期中）一次函数y＝− x+2的图象（ ）
2
A．经过一、二、三象限 B．经过一、三、四象限
C．经过一、二、四象限 D．经过二、三、四象限
1 1
3、解：∵一次函数y＝− x+2，k=- ＜0，b=2＞0，
2 2
∴该函数图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
4、直线y=kx+b的图象如图所示，则代数式 2k-b的值为 ．
4、解：y=kx+b的图象经过点（-2，3），
∴3=-2k+b,
∴2k-b=-3，
故答案为：-3．5、当常数k、b满足kb＞0时，一次函数y=kx+b的图象必经过的两个象限是 ．
5、解：∵kb＞0，
∴当k＞0，b＞0时，函数图象经过第一、二、三象限；
当k＜0，b＜0时，函数图象经过第二、三、四象限，
∴图象经过第二、三象限．
故答案为：二、三．
6、已知一次函数y=-x+2．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出它的图象；
（2）若图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求△ABO面积．
6、解：（1）当x=0时，y=2；当y=0时，x=2，
如图所示：
（2）由（1）得，OA=2，OB=2，
∵∠AOB=90°，
1
∴S = ×2×2=2．
△AOB 2
六、用
（一）必做题
1
1、将直线y= x-1向下平移3个单位长度得到直线l,则直线l的解析式为（ ）
2
1 1
A．y＝ x−4 B．y＝ x−3
2 2
1 1
C．y＝ x+2 D．y＝− x−3
2 21
1、解：由“上加下减”的原则可知，将直线 y= x-1向下平移3个单位长度得到直线l的解析
2
1 1
式为：y= x-1-3，即y= x-4．
2 2
故选：A．
2、在平面直角坐标系中，将直线 y=2x+1向上平移2个单位长度，平移后的直线与两坐标轴
围成的三角形面积是（ ）
3 9 3
A． B． C． D．2
4 4 2
2、解：设直线y=2x+1与x轴的交点为A，与y轴交点为B，
将直线y=2x+1的图象向上平移2个单位，得到y=2x+3，
令x=0，得y=3，
∴B（0，3），
令y=0，得x=-1.5，
∴A（-1.5，0），
∴OA=1.5，OB=3，
1 1 9
∴S = OA•OB= ×1.5×3= ，
△AOB 2 2 4
故选：B．
3、一次函数y=mx+6（m＜0）的图象经过A（-1，y ）、B（2，y ），则y 与y 的大小关系
1 2 1 2
是（ ）
A．y＞y B．y=y C．y＜y D．y≥y
1 2 1 2 1 2 1 2
3、解：∵m＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵一次函数y=mx+6的图象经过A（-1，y ），B（2，y ），且-1＜2，
1 2
∴y ＞y ．
1 2
故选：A．
4、一次函数y=kx+b的图象如图所示，则b= ．
4、解：∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点为（0，6），
∴b=6，
故答案为：6．
5、把直线y=-2x-3向上平移5个单位长度，平移后的直线与 x轴的交点坐标为 ．
5、解：∵直线y=-2x-3沿向上平移5个单位，
∴平移后的解析式为：y=-2x+2，
当y=0时，则x=1，
∴平移后直线与x轴的交点坐标为：（1，0）．
故答案为：（1，0）．（二）选做题
6、已知正比例函数的图象经过点（2，-4）．
（1）求这个正比例的解析式；
（2）将该正比例函数的图象向上平移 m个单位后恰好经过点（1，1），求m的值．
6、解：（1）设这个正比例函数的解析式为 y=kx（k≠0，k为常数），
将点（2，-4）代入y=kx,
得-4=2k,
解得k=-2，
∴正比例函数的解析式为y=-2x；
（2）正比例函数的图象向上平移 m个单位可得y=-2x+m,
将点（1，1）代入解析式，
得1=-2+m,
解得m=3．
7、已知一次函数y=x+2．
（1）画出函数的图象．
（2）图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ．
（3）当x 时，y＞0．
7、解：（1）列表如下：
x … -2 0 …
y … 0 2 …描点．连线画出函数图象，如图所示；
（2）图象与x轴的交点坐标是（-2，0），与y轴的交点坐标是（0，2）．
故答案为：（-2，0），（0，2）；
（3）由函数图象可得：
当x＞-2时，一次函数y=x+2的图象在x轴上方，
∴当x＞-2时，y＞0．
故答案为：＞-2．
