文档内容
专题02 一次函数重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 正比例函数的定义
题型二 正比例函数的图象
题型三 正比例函数的性质
题型四 根据一次函数的定义求参数
题型五 求一次函数自变量或函数值
题型六 列一次函数解析式并求值
题型七 一次函数的图象问题
题型八 已知函数经过的象限求参数范围
题型九 一次函数图象与坐标轴交点问题
题型十 一次函数的平移问题
题型十一 一次函数的增减性求参数
题型十二 比较一次函数值的大小
题型十三 一次函数的规律探究问题
题型十四 求一次函数解析式
【知识梳理】
知识点一：正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
知识点二：正比例函数图像和性质
正比例函数图象与性质用表格概括下：
k的符号 图像 经过象限 性质
k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增
大
k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较
少
知识点三：待定系数法求正比例函数解析式
1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自
变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达
式．
2.确定正比例函数表达式的一般步骤：(1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；
(2)代——；
(3)求——k；
(4)写——
知识点四：一次函数的定义
如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。
注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。
知识点五：一次函数图像和性质
一次函数图象与性质用表格概括下：
k＞0 k＜0
增减
性
从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而
而增大 较少
b=0 b＜0 b=0 b＜0
b＜0
b＞0
图像
（草
图）
经 过
一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
象限
与y
轴的
b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上
交点
位置
【提分要点】：
1. 若 两直线平行，则 ；
2. 若 两直线垂直，则
知识点六：一次函数的平移
1、一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平
移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。
口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。
2、一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；
向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。
口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数）知识点七：求一次函数解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
基本步骤：设、列、解、写
⑴设：设一般式y=kx+b
⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组）
⑶解：解出k、b；
⑷写：写出一次函数式
【经典例题一 正比例函数的定义】
【例1】已知函数 ，（m ，n是常数）是正比例函数， 的值为（ ）
A． 或0 B． C．0 D．
【变式训练】
1．规定： 是一次函数 的“特征数”．若“特征数”是 的一
次函数是正比例函数，则点 所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若y与 成正比例，且当 时 ，则当 时 ．
3．已知 与 的关系如下表．
0 1 2 3
15 10 5 0
(1)根据上表写出 与 的关系式，并判断 是否为 的正比例函数；
(2)当 时，求 的值．
【经典例题二 正比例函数的图象】【例2】七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线 将这七个正方形分成面积相等
的两部分，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式训练】
1、下列关于函数 的结论正确的是（ ）
A．函数图象经过点
B．函数图象经过第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．不论x为何值，总有
2．如图，在平面直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 、 ．若正比例函数 与线段 有
交点，写出一个可能的 值为
3．已知正比例函数 ．
(1)k为何值时，函数的图象经过第一、三象限；
(2)k为何值时，函数值y随自变量x的增大而减小．【经典例题三 正比例函数的性质】
【例3】如图，点 在直线 上，过点 作 轴于点 ，作 轴与直线 交于点
，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、平面直角坐标系内有两点 ，如果正比例函数 的图象与线段 有交点，那么k的
取值范围是( )
A． B． 或
C． D． 或
2．对于正比例函数 ，y的值随x的值增大而增大，则m的值为 ．
3．已知正比例函数 的图象过点 ，求：
(1)求正比例函数关系式；
(2)画出正比例函数 的图象；
(3)当自变量x满足 时，直接写出对应函数值y的取值范围．
【经典例题四 根据一次函数的定义求参数】
【例4】若点 在函数 的图象上，则 的值是（ ）A．2 B． C．3 D．
【变式训练】
1．若直线 经过点 和 ，且 ，则n的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．点 在直线 上，则代数式 的值是 ．
3．已知一次函数 ．
(1)当m、n为何值时，函数的图像过原点?
(2)当m、n满足什么条件时，函数的图像经过二、三、四象限?
【经典例题五 求一次函数自变量或函数值】
【例5】关于直线 ，下列说法不正确的是（ ）
A．点 在 上 B． 经过定点
C． 必定经过第一、三象限 D．当 时， 随 的增大而增大
1．若点 关于y轴的对称点在一次函数 的图象上，则k的值为（）
A． B． C．2 D．
2．已知一次函数 ，原点到直线 的最大距离为 ．
3．如图，画出函数 的图象．(1)列表：
… 0 1 …
… …
(2)描点并连线；
(3)判断点 ， ， 是否在函数 的图象上；
(4)若点 在函数 的图象上，求出 的值．
【经典例题六 列一次函数解析式并求值】
【例6】对于一次函数 （k，b为常数， ）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰
好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）
0 1 2 3
2 5 8 12 14
A．2 B．5 C．8 D．12
【变式训练】
1若一个正比例函数的图像经过 ， 两点，则n的值为（ ）
A．-9 B．1 C．4 D．9
2．点P(a，b)在函数y＝4x＋3的图象上，则代数式12a－3b＋1的值等于 ．3．《国务院关于印发全民健身计划（2021-2025年）的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，建
立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益．某健身中心为答谢新老顾客，举行大型回馈活动，特推出
两种“冬季唤醒计划”活动方案．
方案1：顾客不购买会员卡，每次健身收费30元．
方案2：顾客花200元购买会员卡，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费10元．
设王彬一年内来此健身中心健身的次数为 （次），选择方案1的费用为 （元），选择方案2的费用为
（元）．
(1)分别写出 ， 与 之间的函数关系式；
(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出它们的函数图象；
(3)预计王彬一年内能来此健身中心12次，选择哪种方案比较合算？并说明理由．
【经典例题七 一次函数的图象问题】
【例7】下列图象中，可以表示一次函数 与正比例函数 （k，b为常数，且 ）的图象
不可能的是（ ）
A． B． C． D．【变式训练】
1．两个一次函数 ， （ 为常数），它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A． B． C． D．
2．一次函数 的图象如图所示，化简 ．
3．设一次函数 （ 为常数，且 ），图象过 ， ．(1)求该一次函数的解析式，并画出它的图象；
(2)判断点 是否在该一次函数图象上．
【经典例题八 已知函数经过的象限求参数范围】
【例8】过点 的直线 不经过第三象限，若 ，则p的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如果一个正比例函数 的图象经过不同象限的两点 ，那么一定有（ ）
A． B． C． D．
2若一次函数 的图象不经过第四象限，那么 的取值范围是 ．
3．已知一次函数 为常数，且 ．
(1)当函数图象与y轴的交点在y轴正半轴上时，求m的取值范围．
(2)当函数图象经过第二、三、四象限时，求m的取值范围．
(3)当 时，一次函数的最大值为4，求m的值．
【经典例题九 一次函数图象与坐标轴交点问题】
【例9】若直线 与直线 关于直线 对称，则 值分别为（ ）
A． B． C． D．【变式训练】
1．一次函数 的图象与x轴的交点坐标为 ，且 ，则p的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，若直线 与直线 关于 轴对称，则 的值为 ．
3．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个单位得到．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)直线 上存在 两点，求 的面积；
【经典例题十 一次函数的平移问题】
【例10】在平面直角坐标系中，将正比例函数 的图像向上平移 3个单位长度后得到一次函数
的图像，下列关于一次函数 的说法中，错误的是（ ）
A． B． 随 的增大而减小
C．图像与 轴、 轴均交于正半轴 D．点 在该函数的图像上
【变式训练】
1．如图，在 的方格纸中（每个小正方形的边长均为1）点 ， ， 均为格点（即小正方形的顶点），
其中点 ， 的坐标分别记为 ， ，过点 作直线 ，则点 的坐标可能为（ ）A． B． C． D．
2．若直线l与直线 平行，且l过点 ，则直线l的表达式为 ．
3．已知一次函数 ，其中 ．
(1)若点 在y的图象上，求a的值；
(2)当 时，若函数有最小值 ，求 的函数表达式；
(3)对于一次函数 ，其中 ，若对一切实数x， 都成立，求a，m需满足的数
量关系及a的取值范围．
【经典例题十一 一次函数的增减性求参数】
【例11】21．若一次函数 的图象经过点 和点 ，当 时， ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．若 ，且 ，当 时，关于x的代数式 恰好能取到两个非负整数值，则a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， 是关于x的函数 图象上的两点，当 时， ，则m的取
值范围是 ．
3．已知一次函数 ．
(1)当函数图象经过点 时，求 的值；(2)若函数值 随 的增大而减小，求 的取值范围．
【经典例题十二 比较一次函数值的大小】
【例12】若点 ，点 ，点 都在一次函数 的图象上，则 与 的大小关
系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式训练】
1．已知 ， ， 为直线 上的三个点，且 ，则以下判断正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．若 ， 这两个不同点在y关于x的一次函数 图象上，且 ，
则a的取值范围 ．
3．已知一次函数 的图象经过 ， 两点．
(1)求k、b的值．
(2)若点 ， 在此函数的图象上，且 ，则 ______ 填“>”，“=”或“<”
(3)将一次函数 的图象向下平移3个单位长度，若平移后的图象与x轴的交点为点C，求点C坐标．
【经典例题十三 一次函数的规律探究问题】
【例13】如图，正方形 、正方形 、正方形 、…、正方形 的顶点A、
、 、…、 和O、C、 、 、…、 分别在一次函数 的图象和x轴上，若正比例函数则过点 ，则系数k的值是（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练】
1．如图，直线 与直线 相交于点 ．直线 与 轴交于点 ，一动点 从点
出发，先沿平行于 轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，改为垂直于 轴的方向运动，到达直线
上的点 处后，再沿平行于 轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，又改为垂直于 轴的方向运动，
到达直线 的点 处后，仍沿平行于 轴的方向运动，…，照此规律运动，动点 依次经过点
，则当动点 到达 处时，运动的总路径的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，在△ 内作等边三角形，使它的一边在
轴上，一个顶点在边 上，作出的第 个等边三角形是△ ，第 个等边三角形是△ ，第3个等边三角形是 ，…则第2024个等边三角形的边长等于 ．
3．含 角的菱形 ， ， ，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系
中，点 ， ， ，……，和点 ， ， ， ，……，分别在直线 和 轴上．已知 ，
，
【探究】
(1)点 的坐标是______；
(2)点 的坐标是______；
(3)点 的坐标是______（ 为正整数）．
【经典例题十四 求一次函数解析式】【例14】如图，一次函数 的图像交y轴于点 ，交x轴于点 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．该函数的表达式为
B．点 不在该函数图象上
C．点 ， 在图象上，若 ，则
D．将图象向上平移1个单位得到直线
【变式训练】
1．一个正方形的边长为 ，它的各边边长减少 后，得到的新正方形的周长为 ， 与 之间的函
数解析式是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
2．如图，射线 射线 与 的平分线交于点E， ，点P是射线 上的一动点，
连结 并延长交射线 于点Q．若 ， ，则y关于x的函数表达式为 ．3．在平面直角坐标系中，函数 的图象过点 和点 ．
(1)求 的值；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值，直接写出m的取值
范围．
【拓展培优】
1．（2024八年级·全国·竞赛）七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线 将这七个
正方形分成面积相等的两部分，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点 在直线 上，过点 作 轴于点 ，作
轴与直线 交于点 ，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西·二模）已知一次函数 ，当 时，函数值 的取值范围是 ，则
的值为（ ）A． B． C． 或 D． 或
4．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中有一个等腰 如图放置，
， ，点 ， ，在x轴上找一点P，使 最短，则点P坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线 平行，与x轴，y轴的交点分别为A，
B，并且过点 ，则在线段 上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）对于正比例函数 ，当 时，y的最大值等于 ．
7．（21-22八年级上·安徽六安·期中）如图，若正比例函数 图象与四条直线
相交围成的长方形 有公共点，则k的取值范围是 ．
8．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知 ， 是一次函数 图
像上不同的两点，若 ，则 的取值范围是 ．9．（23-24九年级下·江西上饶·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与y轴交于点A，
点 在直线l上，P为x轴上一动点，当 为直角三角形时，点P的坐标为 ．
10．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 交x轴于点
A，交y轴于点B，若直线 交x轴于点C，且 ，则直线 的解析式为 ．
11．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）已知y与x成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若点 在这个函数的图象上，求a的值．
12．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）己知 与 成正比例关系，并且当 时， ．
(1)写出y与x之间的函数关系式：
(2)当 时，求y的值；
(3)当 时，求x的值．13．（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，
直线 的解析式为 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)求直线 被直线 和y轴所截线段的长．
14．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图直线l： 与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点
B的坐标是 ．(1)求C点坐标；
(2)若点A的坐标为 ，点P在y轴上， 的面积为3，求出此时点P的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点 ，使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
15．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ，且 ， 满足： ．
(1)求： 的值；
(2) 为 延长线上一动点，以 为直角边作等腰直角 ，连接 ，求直线 与 轴交点 的坐
标；
(3)在（2）的条件下，当 时，在坐标平面内是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形
是平行四边形，如果存在，直接写出点 的坐标，若不存在，说明理由．
