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专题 19.3 解题技巧专题：求一次函数的表达式之五大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【题型一 已知一点求正比例函数的表达式】................................................................................................1
【题型二 已知一点求一次函数中K值或b值】............................................................................................4
【题型三 已知两点求一次函数的表达式】....................................................................................................8
【题型四 两直线平移，求直线的表达式】..................................................................................................14
【题型五 已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式】................................................................18
【典型例题】
【题型一 已知一点求正比例函数的表达式】
例题：（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知 是关于 的正比例函数，当 时， ．
(1)求 关于 的函数表达式；
(2)若点 是该函数图象上的一点，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、点在图像上求参数等知识，熟练掌
握正比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
（1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）由（1）中所求表达式，将 代入解析式即可得到答案．
【详解】（1）解： 和x成正比例，
设 ，
当 时， ，∴ ，
；
（2）由（1）知 ，
点 是该函数图象上的一点，
把点 代入 ，
得 ，解得 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知正比例函数图像经过点 ．
(1)求此正比例函数的解析式：
(2)点 是否在此函数图像上？请说明理由；
【答案】(1)
(2)点 不在此函数图像上，理由见解析
【分析】本题主要考查了求正比例函数图象的性质，求正比例函数值：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当 时y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设此正比例函数的解析式为 ，
把 代入 中得： ，
∴此正比例函数的解析式为 ；
（2）解：点 不在此函数图像上，理由如下：
在 中，当 时， ，
∴点 不在此函数图像上．2．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知正比例函数 的图象经过点 ，求：
(1)该函数的表达式；
(2)若点 在此函数图象上，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式、正比例函数图象上的点的特征，熟练掌握以上知
识点是解此题的关键．
（1）将 代入 求出 的值即可得出函数的表达式；
（2）将 代入 得： ，求出 的值即可．
【详解】（1）解：将 代入 得： ，
解得： ，
该函数的表达式为： ；
（2）解：将 代入 得： ，
解得： ．
3．（22-23八年级下·吉林长春·期中）已知正比例函数的图象经过点 ．
(1)求这个函数的表达式；
(2)判断点 是否在这个函数的图象上?
【答案】(1)
(2)点B在，点C不在
【分析】（1）直接把点 代入正比例函数 ，求出 的值即可；
（2）把点 和点 代入（1）中函数解析式进行检验即可．
【详解】（1）解： 正比例函数的图象经过点 ，设 ，，解得 ，
这个正比例函数的解析式为 ；
（2） 当 时， ，
点 在该函数的图象上；
当 时， ，
点 不在该函数的图象上．
【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解
析式是解答此题的关键．
【题型二 已知一点求一次函数中K值或b值】
例题：（2024上·安徽六安·八年级统考期末）已知直线 经过点 ．
(1)求a的值；
(2)将该直线向下平移k个单位长度使其成为正比例函数，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求一次函数解析式和一次函数平移，解题关键是熟练运用待定系数法求出解析式；
（1）把 代入即可求出a的值；
（2）根据正比例函数图象经过原点，确定k的值即可．
【详解】（1）解：把 代入 ,
可得 ，
解得 ；
（2）解：因为正比例函数图象经过原点，
所以，将该直线向下平移3个单位长度使其成为正比例函数，
所以， ．
【变式训练】1．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）已知一次函数 的图象经过点 ．
(1)求此一次函数的表达式．
(2)判断点 是否在该函数图象上，并说明理由．
【答案】(1)一次函数表达式为 ；
(2)点 在该函数图象上，理由见解析．
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可求解；
（ ）把 代入（ ）得到的函数表达式中，求出 的值，与点的纵坐标 比较即可判断；
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】（1）解：把点 代入 得： ，
解得 ，
故所求一次函数表达式为 ；
（2）解：当 时， ，
故点 在该函数图象上．
2．（23·24八年级上·浙江金华·阶段练习）已知一次函数 ，当 时， ．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求该一次函数与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】(1) ；
(2)16．
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：将 时， 代入 得： ，
解得∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：令 ，则 ， ，
令 ，则 ，
．
3．（2023上·安徽安庆·八年级统考期末）已知一次函数 ．
(1)若该一次函数图像经过点 ，求该一次函数表达式；
(2)若将该一次函数图像向左平移两个单位长度后经过点 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的平移;
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据平移的性质得出 ，将点 代入，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，得：
解得： ，
∴ ；
（2）解：依题意，平移后的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ．
4．（2023上·浙江杭州·八年级杭州育才中学校考阶段练习）已知一次函数 ，其中 ．
(1)若点 在y的图象上，求k的值．
(2)当 时，若函数有最大值9，求y的函数表达式．
【答案】(1)
(2) 或【分析】本题考查了一次函数图象上的点，一次函数的性质；
（1）将点 代入关系式，求出 ，即可求解；
（2）①当 时，即： ，利用一次函数的增减性得当 时， ，将此代入即可求解；②当
时，即： ，利用一次函数的增减性得当 时， ，将此代入即可求解；
掌握一次函数的性质中的增减性，并利用其确定取得最值的条件是解题的关键．
【详解】（1）解： 点 在 的图象上，
，
解得： ；
故答案为： ；
（2）解：①当 时，即： ，
当 时，函数的最大值为9，
当 时， ，
，
解得： ，
一次函数解析式为 ；
②当 时，即： ，
当 时，函数的最大值为9，
当 时， ，
，
解得： ，
一次函数解析式为 ；
综上所述：一次函数解析式为 或 ；
5．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）已知一次函数 ，当 时， ．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点 在该函数的图象上，求a的值；
(3)将该函数的图象向上平移7个单位，求平移后的图象与坐标轴的交点坐标．【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的平移．解题的关键是待定系数法求
函数解析式．
（1）根据待定系数法解出解析式即可；
（2）把 ， 代入解析式解答即可；
（3）根据一次函数的几何变换得出解析式，再求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 中，
可得： ，
解得： ，
所以一次函数的解析式为： ；
（2）解：把 ， 代入 中，
可得： ，
解得： ；
（3）解：一次函数 的图象向上平移7个单位后的解析式为： ，
把 ，代入 ，得
把 代入 ，得 ，
∴图象与坐标轴的交点坐标为 ，
【题型三 已知两点求一次函数的表达式】
例题：（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知：一次函数 ， 是常数， 的图象过 ，
两点．(1)求该函数的表达式；
(2)试判断点 是否在直线 上？并说明理由．
【答案】(1)该函数的表达式为
(2)点 在直线 上，理由见详解．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征．
（1）把 ， 分别代入 ，用待定系数法即可求出该函数的表达式；
（2）通过计算自变量为 所对应的函数值可判断点 是否在直线 上．
【详解】（1）解：把 ， 分别代入
得∶ ，
解得 ，
该函数的表达式为 ；
（2）点 在直线 上．
理由如下：
当 时， ，
点 在直线 上．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）在直角坐标系内，一次函数 的图象经过三点
．
(1)求这个一次函数解析式；
(2)求m的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了求一次函数及求自变量的值，熟练掌握待定系数法求一次函数是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）把 代入一次函数即可得解．
【详解】（1）解：把 代入 中得：
，解得： ，
∴这个一次函数解析式为： ；
（2）解：把 代入： 中得：
，
∴ ；
2．（23·24八年级上·江苏宿迁·期末）已知一次函数的图象经过点 ， ．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题．
（1）待定系数法求出函数解析式；
（2）求出一次函数与坐标轴的两个交点，利用面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为 ，
∵一次函数的图象经过点 ，
∴ ，解得： ，
∴ ；（2）∵ ，
∴当 时， ，当 时， ；
∴一次函数与坐标轴的两个交点为 ，
∴一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为 ．
3．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知一次函数 ，它的图象经过 ， 两点．
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)当 时，求函数值y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法
求函数表达式的方法．
（1）把点 ， 的坐标分别代入 ，得到二元一次方程组，然后求得k、b的值，即可得到
答案；
（2）根据 ，y随x的增大而增大，即可得出对应自变量取值范围函数值y的取值范围．
【详解】（1）解：把点 ， 的坐标分别代入 ，
得： ，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为： ．
（2）当 时， ；当 时， ，
∵ ，y随x的增大而增大，∴当 时， ．
4．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知y是x的一次函数，且当 时， ；当 时， ．
求：
(1)这个一次函数的表达式．
(2)当 时，函数y的值．
(3)当 时，自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数解析式的值，一次函数的性质．
（1）设 ，利用待定系数法求解即可；
（2）将 代入一次函数解析式，即可求解；
（3）根据 的值，可知 随 的增大而减小，分别求出 和 对应的 的取值，即可求解．
【详解】（1）解：设 ，
∵当 时， ；当 时， ，
∴ ，
解得 ，
函数解析式为 ；
（2）解：将 代入 得， ；
（3）解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
把 代入得， ，
解得： ，∴当 时， ，
∴当 时，自变量x的取值范围为 ．
5．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数 的图象经过点 和点 ．
(1)求此一次函数的表达式；
(2)若点 向右平移3个单位后恰好落在直线 上，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，
先设 ，将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程
或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数图象上点的坐
标特征．
（1）把 和点 分别代入 得到关于k、b的方程组，然后解方程求出k与b的值，从
而得到一次函数解析式；
（2）先求出点 向右平移3个单位后坐标为 ，然后把 代入一次函数解析式，求出结
果即可．
【详解】（1）解：将点 和点 代入 ，
得 ，
解得： ， ，
∴一次函数的表达式为
（2）解：点 向右平移3个单位后坐标为 ，
∵点 在直线 上，
∴ ，解得： ．
6．（23·24八年级上·江西吉安·期末）一次函数 的图象与x、y轴分别交于点 ， ．
(1)求该函数的解析式，并说明点 是否在函数图象上；
(2)O为坐标原点，设OB、AB的中点分别为C、D．P为OA上一动点，求 的最小值．并求取得最
小值时P点的坐标．
【答案】(1) ，在
(2)存在，最小值为 ，
【分析】（1）用待定系数法求解即可；把横坐标的值代入函数解析式中，求出函数值，是否等于点的纵
坐标，即可判断；
（2）取点C关于x轴的对称点 ，连接 ，则 的最小值为 长度；求出直线 的解
析式，即可求得它与x轴的交点，此点即为点P的坐标；由勾股定理可求得 的长度，从而求得
的最小值．
【详解】（1）解：∵ 过 ，
∴将点A，B的坐标代入 得 ，解得： ，
∴解析式为： ；
当 时， ，所以点在函数图象上
（2）解：存在一点P，使 最小；
∵ ， ，且C为BO的中点，∴点C的坐标为 ，
如图，作C关于x轴对称点 ，则 ，连接 ，
则 ，
即当 三点共线时， 取得最小值，且最小值为 长度；
又∵ ， 且D为AB的中点，
∴点D的坐标为
连接 ，设 的解析式为 ，
把点 代入 得 ，
把点 代入 ，得 ，
∴ 是 的解析式，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ 的最小值 ，
∴由勾股定理得 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，最短距离，对称性，勾股定理，直线与坐标轴的交点等知
识，正确求出函数解析式是关键．
【题型四 两直线平移，求直线的表达式】例题：（2024上·陕西宝鸡·八年级统考期末）直线 与 轴交于点 ，且与直线
平行，则直线 的表达式为
【答案】 /
【分析】本题考查了两直线的平行问题，利用好平行直线的解析式中的 值相等是解题的关键．
根据两平行直线的解析式中 值相等，再把点 代入进行计算求出 值，即可得到解析式．
【详解】解：∵直线 与直线 平行，
∴ ，
∵直线 与 轴交于点 ，
∴
∴这个一次函数的解析式为 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点 在直线 上，分别
过点A、B作x轴，y轴的平行线交于点C．
(1) ， ；
(2)求过点C且平行于 的直线 的解析式．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，求出 ， 的值是解题的
关键．
（1）把点 分别代入函数解析式即可得到答案；
（2）写出点A和点B的坐标，根据题意求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线 的解析式即可．
【详解】（1）∵点 在直线 上，
∴ ， ，
解得 ， ，故答案为： ， ，
（2）由（1）可得，点 ，
分别过点A、B作x轴，y轴的平行线交于点C．
∴点C的坐标是 ，
∵直线 平行于 ，
∴可设直线 的解析式为 ，
把点 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）根据下列条件，分别确定一次函数的解析式：
(1)图象过 ， ；
(2)直线 与直线 平行，且过点 ；
(3)在坐标系中画出以上两函数图象，与x轴交点分别为A、B，两直线的交点C，求 的面积
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题考查了待定系数法求直线解析式，两直线平行的问题，根据两平行直线的解析式的 值相等
求解是解题的关键．
（1）设直线解析式为 ，把点 、 的坐标代入解析式得到关于 、 的二元一次方程组，求解得
到 、 的值，即可得解；
（2）根据平行直线的解析式的 值相等求出 ，然后把经过的点代入求出 的值，即可得解；
（3）根据题意画出图象，利用三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：设直线解析式为 ，
图象过 ， ，
，
解得 ，
故一次函数解析式为 ；
（2）解： 直线 与直线 平行，
，
直线过点 ，
，
解得 ，
故直线解析式为 ；
（3）解：令 ，则 ， ，
解得 ， ，
∴ ， ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
画出图象如图，∴ ．
3．（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数图象是由直线 平移得
到的，且经过点 ，交y轴于点B．
(1)求此一次函数的表达式；
(2)若点P为此一次函数图象上一点，且 的面积为10，求点P的坐标．
【答案】(1)y＝－x＋5．
(2) 或 ．
【分析】（1）由该一次函数是由直线 平移得到的可是此一次函数的表达式为 ，再根据
点A的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设点P的坐标为 ，将 代入一次函数解析式中求出y值，由此即可得出 的长度，再
根据三角形的面积公式结合 的面积为10即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可
得出m值，将其代入点P的坐标中即可得出结论．
【详解】（1）设此一次函数的表达式为 ，
将 代入 ，
，
解得： ．
∴此一次函数的表达式为 ．（2）设点P的坐标为 ，
当 时， ，
∴点 ，
∴ ．
∴ ，
解得： 或 ．
∴点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及待定系数法
求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据
三角形的面积公式结合△POB的面积为10列出关于m的含绝对值符号的一元一次方程．
【题型五 已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式】
例题：（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知y与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当 时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了正比例函数的定义，求自变量的值；掌握正比例函数定义是关键．
（1）由题意设 ，把x与y的值代入即可求得k的值，从而求得函数解析式；
（2）把 代入所求函数式中，即可求得自变量的值．
【详解】（1）解：∵y与 成正比例，∴设 ，
当 时， ，则 ，
即 ，
∴ ，
即 ；
（2）解：当 时，即 ，
解得： ．
【变式训练】
1．（2023八年级下·全国·专题练习）已知y是x的正比例函数，且当 时， ．
(1)求这个正比例函数的解析式；
(2)若点 在该函数图象上，试比较 ， 的大小．
【答案】(1)正比例函数的解析式是
(2)
【分析】（1）用待定系数法即可得 ；
（2）由正比例函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设正比例函数的解析式是 ，
∵当 时， ，
∴ ，
解得 ，
∴正比例函数的解析式是 ；
（2）解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
又 ，
∴ ．
【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数的解析式和正比例函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．
2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）已知 和 成正比例，当 时， ．
(1)求 关于 的函数表达式；(2)若点 是该函数图象上的一点，求 的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查正比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、点在图像上求参数等知识，熟练掌
握正比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
（1）利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）由（1）中所求表达式，将 代入解方程即可得到答案．
【详解】（1）解： 和 成正比例，
设 ，
代入 得 ，解得 ，
；
（2）解：由（1）知 ，
点 是该函数图象上的一点，
把点 代入 ，得 ，解得 ．
3．（2023八年级下·全国·专题练习）已知 与x成正比例， 与 成正比例，当 时，
；当 时， ．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当 时，求y的值．
【答案】(1)
(2)y的值为
【分析】（1）设 ，得到 ，待定系数法求出解析式即可；
（2）将 代入（1）中解析式，进行求解即可．【详解】（1）解：设 ，则 ，
依题意，得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）把 代入 ，得 ．
∴当 时，y的值为 ．
【点睛】本题考查求函数解析式以及求函数值．熟练掌握正比例函数的定义，求出函数解析式，是解题的
关键．
4．（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）若 与 成正比例，且 时， ．
(1)写出 与 之间的函数表达式；
(2)当 时，求 的值；
(3)当 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查待定系数法求正比例函数解析式：先设出函数的一般形式，如求正比例函数的解析式时，
先设y=kxk≠0；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或
方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．确定函数解析式是解题的关键，也
考查了求自变量的值和函数值．
（1）根据正比例函数的定义，设 ，然后把已知的一组对应值代入求出 即可；
（2）利用（1）中的函数关系式求自变量为 对应的函数值即可；
（3）通过解方程 即可．【详解】（1）解：∵ 与 成正比例，
∴ ，
又∵ 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 之间的函数表达式为 ；
（2）当x=－1时，
，
∴当 时，求 的值为 ；
（3）当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，求 的值为 ．
5．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x之间的函数解析式．
(2)已知点 在该函数的图像上，且 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得： ，再将 代入求解即可；
（2）将点 代入解析式，联立 ，求解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
将 代入得， ，解得即 ，化简得：
即
（2）将点 代入得，
则 ，解得
即
【点睛】此题考查了一次函数，掌握正比例函数的定义是解题的关键，形如 的函数为正比例
函数．
6．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知 与 成正比例函数关系，且当 时， ．
(1)写出 与 之间的函数解析式；
(2)若 的取值范围为 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了正比例函数解析式以及图像，求解一元一次不等式的解集，根据正比例函数的定义求
出正比例函数解析式是解答本题的关键．
（1）根据正比例关系设 ，再根据 ， 求出 的值即可；
（2）分别令 ， ，求出 值即可得到范围．
【详解】（1）解：设 ，
将 ， 代入，得： ，
解得 ，
∴ ，即 ．（2）解：当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，
∴ ．
