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专题 07 一次函数图像的四种考法全攻略
类型一、图像共存问题
例1．一次函数 与 （k，b是常数，且 ）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数 图象可知 ， ， ；正比例函数 的图象可知 ，矛盾，
故此选项错误；
B、由一次函数 图象可知 ， ；即 ，与正比例函数 的图象可知 ，一
致，故此选项正确；
C、由一次函数 图象可知 ， ；即 ，与正比例函数 的图象可知 ，矛
盾，故此选项错误；
D、由一次函数 图象可知 ， ；即 ，与正比例函数 的图象可知 ，矛
盾，故此选项错误；
故选：B．例2．在同一直角坐标系内作一次函数 和 图象，可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、 反映 ， ， 反映 ， ，则 ，故本选项错误；
B、 反映 ， ， 反映 ， ，则 ，故本选项错误；
C、 反映 ， ， 反映 ， ，则 ，故本选项错误；
D、 反映 ， ， 反映 ， ，则 ，故本选项错误；
故选：D．
【变式训练1】下列图中，表示一次函数 与正比例函数 （其中 、 为常数，且 ）
的大致图像，其中表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】解：A.由一次函数 图像可知 ，则 ；正比例函数的图像可知 不矛
盾，故此选项正确，符合题意；
B. 由一次函数 图像可知 ；正比例函数的图像可知 ，矛盾，故此选项错误，不
符合题意；
C. 由一次函数 图像可知 ；正比例函数的图像可知 ，矛盾，故此选项错误，不
符合题意；
D. 由一次函数 图像可知 ；正比例函数的图像可知 ，矛盾，故此选项错误，不
符合题意；
故选：A．
【变式训练2】一次函数 的图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】解：令x＝0，则y＝k2+1＝0，
所以一次函数y＝kx+k2+1（k≠0）的图像与y轴交于点（0，k2+1），
∵k2+1＞0，
∴图像与y轴的交点在y轴的正半轴上．
故选：C．
【变式训练3】如图， 是平面直角坐标系中的两点，若一次函数 的图象与线段AB
有交点，则k的取值范围是_______．
【答案】k<-1或k>2
【详解】解：当直线y=kx-1过点A时，得-2k-1=1，解得k=-1，
当直线y=kx-1过点B时，得2k-1=3，解得k=2，
∵一次函数 的图象与线段AB有交点，
∴k<-1或k>2，
故答案为：k<-1或k>2．
类型二、一次函数图像与应用问题
例1．如图点 按 的顺序在边长为1的正方形边上运动， 是 边上的中点．设点 经
过的路程 为自变量， 的面积为 ，则函数 的大致图象是（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由点M是CD中点可得：CM= ，
（1）如图：当点P位于线段AB上时，即0≤x≤1时，
y= = x；
（2）如图：当点P位于线段BC上时，即1<x≤2时，
BP=x－1，CP=2－x，
y= = = ；
（3）如图：当点P位于线段MC上时，即2<x≤ 时，MP= ，y= = = ．
综上所述：
．
根据一次函数的解析式判断一次函数的图像，只有C选项与解析式相符．
故选：C．
例2．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 ， 点 与坐标原点 重合，动点 从
点 出发，以每秒2个单位的速度沿 的路线向终点 运动，连接 、 ，设点 运动的时间
为 秒， 的面积为 ，下列图像能表示 与 之间函数关系的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】∵矩形 的顶点 ， ,
∴OA=BC=6，OC=AB=4，
当点P在OA边上即0 t<3时， ，
≤
当点P在AB边上即3 t 5时， ，
≤ <
当点P在BC边上即5 t 8时， ，
≤ ≤
故选：B .
【变式训练1】如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则函数 的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】解：根据y ,y 的图象可知，k＜0，b＞0，
1 2
且当x=1时，y =0，即k+b=0.
2
∴对于函数 ，有b＞0，
当x=1时，y=k-1+b=0-1=-1＜0.
∴符合条件的是A选项.
故选：A.
【变式训练2】如图，点 是菱形 边上的一动点，它从点 出发沿在 路径匀速运动
到点 ，设 的面积为 ， 点的运动时间为 ，则 关于 的函数图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设菱形的高为h，有三种情况：
①当P在AB边上时，如图1，y= AP•h，
∵AP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，
故选项C不正确；
②当P在边BC上时，如图2，
y= AD•h，
AD和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项A不正确；
③当P在边CD上时，如图3，
y= PD•h，
∵PD随x的增大而减小，h不变，
∴y随x的增大而减小，
∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，
∴P在三条线段上运动的时间相同，
故选项D不正确，故选：B．
【变式训练3】如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰
Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示，
由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y， ∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOD=180°，
∴∠DAO=90°，
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠OAB=∠DAC，
在△OAB和△DAC中， ，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB=CD，
∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y=x+1（x＞0）．
【变式训练4】如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰
Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示，
由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y， ∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOD=180°，
∴∠DAO=90°，
∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠OAB=∠DAC，
在△OAB和△DAC中， ，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB=CD，∴CD=x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y=x+1（x＞0）．
【变式训练5】如图，在直角梯形ABCD中，AB=2，BC=4，AD=6，M是CD的中点，点P在直角梯形的边
上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系用图象表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：当点P运动到点B时，如图1，
作AB边上的高MH，
∵AB=2，BC=4，AD=6，M是CD的中点，∴MH是梯形的中位线．∴MH= ×（6+4）=5．
∴△APM的面积= ×2×5=5．
∴当x=2时，y=5．从而可排除A，B选项．
当点P运动到点C时，如图2，
分别作△ACD和△AMD的AD边H的高CE和MF，
∵AB=2，BC=4，AD=6，M是CD的中点，
∴MF是△CDE的中位线．∴MF= ×2=1．
∴S = = ×6×2- ×6×1=3
APM
△
∴当x=6时，y=3．从而可排除C选项．
故选：D．
类型三、参数问题
例．直线 与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象进行以下
探究：① ；② ；③当 时， ；④若 ， ，则 ，其中正确结论的
个数共有（）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C【详解】解：由图像可得 经过二、三、四象限，
∴ ， ，①正确
由图象可得： 经过一、三、四象限，
∴ ，
∴ ，②正确；
由图象可得，当 时， ，③正确；
由题意可得， 和 经过点
则 ，
又∵ ，
解得 ，
则： ，
将 代入 ， ，解得 ，
即 ， ，
，④错误
正确的个数为3
故选：C
【变式训练1】一次函数 与 的图像如图所示，下列说法：①对于函数 来说，y
随x的增大而增大；②函数 不经过第二象限；③不等式 的解集是 ；④
，其中正确的是（ ）A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】B
【详解】解：由图像可知，对于函数 来说，y随x的增大而增大，故①正确；
根据题意可知：a＞0，d＞0，则函数 经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由 可得 ，故不等式 的解集是 ，故③不正确；
可以得到 ，故④正确；
故正确的有①④；
故选B．
【变式训练2】如图，一次函数 与 的图象交于点 ．下列结论中，正确的有（ ）
① ；② ；③当 时， ；④ ；⑤ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解：由图象可知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，
故①选项不符合题意；
由图象可知一次函数y=cx+d的图象经过一、二、三象限，∴c＞0，d＞0，∴ac＜0，
故②选项不符合题意；由图象可知，当x＞1时，ax+b＜cx+d，故③选项不符合题意；
∵一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，且P的横坐标为1，∴a+b=c+d，故④选项符合题意；∵函数y=cx+d=0时，x=- ，由图象可知，- ＞-1，
∵c＞0，∴d＜c，故⑤选项不符合题意；
综上，正确的选项有：④共1个，
故选：A．
【变式训练3】如图， 是平面直角坐标系中的两点，若一次函数 的图象与线段AB
有交点，则k的取值范围是_______．
【答案】k<-1或k>2
【详解】解：当直线y=kx-1过点A时，得-2k-1=1，解得k=-1，
当直线y=kx-1过点B时，得2k-1=3，解得k=2，
∵一次函数 的图象与线段AB有交点，
∴k<-1或k>2，
故答案为：k<-1或k>2．
类型四、规律性问题
例．如图，直线 ： 与直线 ： 相交于动点 ，直线 与y轴交于点A，一动点C
从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，改为垂直于x轴方向运动，到达直
线 上的点A 处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，又改为垂直于x轴的方向运
1
动，到达直线 的点 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，．．．，照此规律运动，动点C依次进过点 ，
， ， ， ， ，… ， ，则当动点C到达 处时，运动的总路径的长为（ ）A．22022-1 B．22022-2 C．22023+1 D．22023-2
【答案】D
【详解】解：将 代入解析式，可得 ， ，
由直线 ： 可知， ，
由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线 、 对应的函数表达式可知， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ，…，
由此可得， ，
∴当动点 到达点 处时，运动的总路径的长为 ，
∴当点 到达 处时，运动的总路径的长为 ．
故选：D．
【变式训练1】如图，点 在直线l： 上，点 的横坐标为1，过点 作 轴，垂足为 ，以
为边向右作正方形 ，延长 交直线l于点 ；以 为边向右作正方形 ，延长
交直线l于点 ……按照这个规律进行下去，点 的坐标为__________．【答案】
【详解】解：∵点 在直线l： 上，点 的横坐标为1，过点 作 轴，垂足为 ，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
⋯⋯
∴点 的坐标为 ，故答案为： ．
【变式训练2】如图，点 在直 上，过点作 轴交直线 于点 ，以点 为直角顶点，
为直角边，在 的右侧作等腰直角 ，再过点 作 轴交直线y＝x和直线 于
， 两点，再以点 为直角顶点， 为直角边在 的右侧作等腰直角 ，…，按此规律进
行下去，则等腰直角 的边长 为_____．（用含正整数n的代数式表示）【答案】
【详解】解：∵点 在直线 上，
∴点 横坐标为2，将 代入 得 ，∴点 坐标为 ．
∵ 为等腰直角三角形，∴ ，∴点 坐标为 ． ．
∵过 点作过点 轴，
∴ 的横坐标为3，将 分别代入 与 中得 的纵坐标分别为3， ，
即 ， ， ，∴ ．
同理可得 ， ……，∴ ．
故答案为： ．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点 在直线y=x图象上，过 点作 y 轴平行线，交直
线 于点 ，以线段 为边在右侧作第一个正方形 所在的直线交 的图象于点，交 的图象于点 ，再以线段 为边在右侧作第二个正方形 …依此类推，按照图
中反映的规律，第 3 个正方形的边长是______ ；第 100 个正方形的边长是______ ．
【答案】 18
【详解】解：∵点 ， 轴，
∴点 的横坐标为1，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∴正方形 的边长为2，
∴ ，
∴点 、 的横坐标均为3，
∴ ，
∴ ，
∴正方形 的边长为6，
同理： ，∴ ，
∴正方形 的边长为18，
∴ ，
∴
……，
由此发现， ，
∴ ，
∴第100个正方形的边长为
故答案为：18； ．
【变式训练4】如图，直线 的解析式为 与x轴交于点M，与y轴交于点A，以 为边作正方形
，点B坐标为 ．过B点作直线 交 于点E，交x轴于点 ，过点 作x轴的垂线交
于点 ，以 为边作正方形 ，点 的坐标为 ．过点 作直线 交 于 ，
交x轴于点 ，过点 作x轴的垂线交 于点 ．以 为边作正方形 ，…，则点 的坐
标 _____．
【答案】【详解】解：∵ 的解析式为 ，
∴ ，
即 ，
由题意得： ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上， ，
当 时， ，
∴点 ，
故答案为： ．
