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专题 07 一次函数图像的四种考法全攻略
类型一、图像共存问题
例1．一次函数 与 （k，b是常数，且 ）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数 图象可知 ， ， ；正比例函数 的图象可知 ，矛盾，
故此选项错误；
B、由一次函数 图象可知 ， ；即 ，与正比例函数 的图象可知 ，一
致，故此选项正确；
C、由一次函数 图象可知 ， ；即 ，与正比例函数 的图象可知 ，矛
盾，故此选项错误；
D、由一次函数 图象可知 ， ；即 ，与正比例函数 的图象可知 ，矛
盾，故此选项错误；
故选：B．例2．在同一直角坐标系内作一次函数 和 图象，可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、 反映 ， ， 反映 ， ，则 ，故本选项错误；
B、 反映 ， ， 反映 ， ，则 ，故本选项错误；
C、 反映 ， ， 反映 ， ，则 ，故本选项错误；
D、 反映 ， ， 反映 ， ，则 ，故本选项错误；
故选：D．
【变式训练1】下列图中，表示一次函数 与正比例函数 （其中 、 为常数，且 ）
的大致图像，其中表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】解：A.由一次函数 图像可知 ，则 ；正比例函数的图像可知 不矛
盾，故此选项正确，符合题意；
B. 由一次函数 图像可知 ；正比例函数的图像可知 ，矛盾，故此选项错误，不
符合题意；
C. 由一次函数 图像可知 ；正比例函数的图像可知 ，矛盾，故此选项错误，不
符合题意；
D. 由一次函数 图像可知 ；正比例函数的图像可知 ，矛盾，故此选项错误，不
符合题意；
故选：A．
【变式训练2】一次函数 的图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】解：令x＝0，则y＝k2+1＝0，
所以一次函数y＝kx+k2+1（k≠0）的图像与y轴交于点（0，k2+1），
∵k2+1＞0，
∴图像与y轴的交点在y轴的正半轴上．
故选：C．
【变式训练3】如图， 是平面直角坐标系中的两点，若一次函数 的图象与线段AB
有交点，则k的取值范围是_______．
【答案】k<-1或k>2
【详解】解：当直线y=kx-1过点A时，得-2k-1=1，解得k=-1，
当直线y=kx-1过点B时，得2k-1=3，解得k=2，
∵一次函数 的图象与线段AB有交点，
∴k<-1或k>2，
故答案为：k<-1或k>2．
类型二、一次函数图像与应用问题
例1．如图点 按 的顺序在边长为1的正方形边上运动， 是 边上的中点．设点 经
过的路程 为自变量， 的面积为 ，则函数 的大致图象是（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由点M是CD中点可得：CM= ，
（1）如图：当点P位于线段AB上时，即0≤x≤1时，
y= = x；
（2）如图：当点P位于线段BC上时，即12
【详解】解：当直线y=kx-1过点A时，得-2k-1=1，解得k=-1，
当直线y=kx-1过点B时，得2k-1=3，解得k=2，
∵一次函数 的图象与线段AB有交点，
∴k<-1或k>2，
故答案为：k<-1或k>2．
类型四、规律性问题
例．如图，直线 ： 与直线 ： 相交于动点 ，直线 与y轴交于点A，一动点C
从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，改为垂直于x轴方向运动，到达直
线 上的点A 处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，又改为垂直于x轴的方向运
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动，到达直线 的点 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，．．．，照此规律运动，动点C依次进过点 ，
， ， ， ， ，… ， ，则当动点C到达 处时，运动的总路径的长为（ ）A．22022-1 B．22022-2 C．22023+1 D．22023-2
【答案】D
【详解】解：将 代入解析式，可得 ， ，
由直线 ： 可知， ，
由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线 、 对应的函数表达式可知， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ，…，
由此可得， ，
∴当动点 到达点 处时，运动的总路径的长为 ，
∴当点 到达 处时，运动的总路径的长为 ．
故选：D．
【变式训练1】如图，点 在直线l： 上，点 的横坐标为1，过点 作 轴，垂足为 ，以
为边向右作正方形 ，延长 交直线l于点 ；以 为边向右作正方形 ，延长
交直线l于点 ……按照这个规律进行下去，点 的坐标为__________．【答案】
【详解】解：∵点 在直线l： 上，点 的横坐标为1，过点 作 轴，垂足为 ，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
⋯⋯
∴点 的坐标为 ，故答案为： ．
【变式训练2】如图，点 在直 上，过点作 轴交直线 于点 ，以点 为直角顶点，
为直角边，在 的右侧作等腰直角 ，再过点 作 轴交直线y＝x和直线 于
， 两点，再以点 为直角顶点， 为直角边在 的右侧作等腰直角 ，…，按此规律进
行下去，则等腰直角 的边长 为_____．（用含正整数n的代数式表示）【答案】
【详解】解：∵点 在直线 上，
∴点 横坐标为2，将 代入 得 ，∴点 坐标为 ．
∵ 为等腰直角三角形，∴ ，∴点 坐标为 ． ．
∵过 点作过点 轴，
∴ 的横坐标为3，将 分别代入 与 中得 的纵坐标分别为3， ，
即 ， ， ，∴ ．
同理可得 ， ……，∴ ．
故答案为： ．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点 在直线y=x图象上，过 点作 y 轴平行线，交直
线 于点 ，以线段 为边在右侧作第一个正方形 所在的直线交 的图象于点，交 的图象于点 ，再以线段 为边在右侧作第二个正方形 …依此类推，按照图
中反映的规律，第 3 个正方形的边长是______ ；第 100 个正方形的边长是______ ．
【答案】 18
【详解】解：∵点 ， 轴，
∴点 的横坐标为1，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∴正方形 的边长为2，
∴ ，
∴点 、 的横坐标均为3，
∴ ，
∴ ，
∴正方形 的边长为6，
同理： ，∴ ，
∴正方形 的边长为18，
∴ ，
∴
……，
由此发现， ，
∴ ，
∴第100个正方形的边长为
故答案为：18； ．
【变式训练4】如图，直线 的解析式为 与x轴交于点M，与y轴交于点A，以 为边作正方形
，点B坐标为 ．过B点作直线 交 于点E，交x轴于点 ，过点 作x轴的垂线交
于点 ，以 为边作正方形 ，点 的坐标为 ．过点 作直线 交 于 ，
交x轴于点 ，过点 作x轴的垂线交 于点 ．以 为边作正方形 ，…，则点 的坐
标 _____．
【答案】【详解】解：∵ 的解析式为 ，
∴ ，
即 ，
由题意得： ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上， ，
当 时， ，
∴点 ，
故答案为： ．
