专题06一次函数（知识串讲+热考题型）（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_期中+期末

专题 06 一次函数（知识串讲+热考题型） 一．常量与变量（共2小题） 二．函数的概念（共1小题） 三．函数关系式（共3小题） 四．函数自变量的取值范围（共2小题） 五．函数的图象（共3小题） 六．动点问题的函数图象（共3小题） 七．函数的表示方法（共2小题） 八．一次函数的定义（共2小题） 九．正比例函数的定义（共2小题） 十．一次函数的图象（共2小题） 十一．正比例函数的图象（共1小题） 十二．一次函数的性质（共3小题） 十三．正比例函数的性质（共2小题） 十四．一次函数图象与系数的关系（共3小题） 十五．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 十六．一次函数图象与几何变换（共3小题） 十七．待定系数法求一次函数解析式（共4小题） 十八．待定系数法求正比例函数解析式（共1小题） 十九．一次函数与一元一次方程（共2小题） 二十．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 二十一．一次函数的应用（共3小题） 二十二．一次函数综合题（共6小题） 一、函数的相关概念 x y x y 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一 x y x 确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数. y x x a y b b a 是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图像法. 二、一次函数的相关概念 y kxb k b k b 一次函数的一般形式为 ，其中 、 是常数， ≠0.特别地，当 ＝0时，一次函数 y kxb y kx k 即 （ ≠0），是正比例函数. 三、一次函数的图像及性质 1、函数的图像 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形， 就是这个函数的图像. 要点诠释： y kxb y kx b b b 直线 可以看作由直线 平移| |个单位长度而得到（当 ＞0时，向上平移；当 ＜0y kxb y kx 时，向下平移）.说明通过平移，函数 与函数 的图像之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图像特征 掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质） 解析式 y kxb （ k 为常数，且 k 0 ） 自变量取值 全体实数 范围 b 形状  过（0， b ）和（ k ，0）点的一条直线 k k 0 k 0 、 b b0 b0 b0 b0 的 取值 图 示 意 像 图 经过一、 经过一、 经过一、 经过二、 位置 二、三象限 三、四象限 二、四象限 三、四象限 趋势 从左向右上升 从左向右下降 函数变化规 y x y x 随 的增大而增大 随 的增大而减小 律 要点诠释： k b ykxb 理解 、 对一次函数 的图像和性质的影响： k y kxb  b y （1） 决定直线 从左向右的趋势（及倾斜角 的大小——倾斜程度）， 决定它与 轴交 k b ykxb 点的位置， 、 一起决定直线 经过的象限． l y k xb l y k xb （2）两条直线 1： 1 1和 2： 2 2的位置关系可由其系数确定： k k l l 1 2  1与 2相交； k k b b l l 1 2，且 1 2  1与 2平行； k k b b l l 1 2，且 1 2  1与 2重合； （3）直线与一次函数图像的联系与区别 xa y b 一次函数的图像是一条直线；特殊的直线 、直线 不是一次函数的图像. 四、用函数的观点看方程、方程组、不等式 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于x、 y 的一元一次 确定直线 y axb与 x轴 x为何值时，函数 y axb的 方程axb＝0（a≠0） （即直线 y ＝0）交点的横坐 值为0？ 的解 标 求关于x、 y 的二元一次 ya 1 xb 1 ， x为何值时，函数 y a 1 xb 1 确定直线 y a 1 xb 1 与直线 方 程 组  的 ya xb． 与函数y a xb 的值相等？ y a xb 的交点的坐标 2 2 2 2 2 2 解． 求关于 x 的一元一次不等 确定直线 y axb在 x轴 x为何值时，函数 y axb的 式axb＞0（a≠0）的 （即直线 y ＝0）上方部分的 值大于0？ 解集 所有点的横坐标的范围 一．常量与变量（共2小题） 1．（2023春•福州期中）某种签字笔每只 a元，买 5只签字笔共支出 b元，下列选项判断正确的是 （ ） A．a是常量时，b是变量 B．a是变量时，b是常量 C．a是变量时，b也是变量 D．无论a论常量还是变量，b都是变量 2．（2023春•中原区期中）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间， 汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．在上述变化过程中， 因变量是 ． 二．函数的概念（共1小题） 3．（2023春•淮阳区月考）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 三．函数关系式（共3小题） 4．（2023春•平阴县期中）一蜡烛高24厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h （厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是 （0≤t≤6）． 5．（2023•梅州校级开学）已知长方形的周长为16cm，其中一边长为xcm，面积为ycm2，则这个长方形的 面积y与x之间的关系可表示为 ．6．（2023•龙川县校级开学）如图，△ABC的边BC长是8，BC边上的高AD′是4，点D在BC运动，设 BD长为x，请写出△ACD的面积y与x之间的函数关系式 ． 四．函数自变量的取值范围（共2小题） 7．（2023•文山州一模）函数 中，自变量x的取值范围是（ ） A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2 8．（2023春•原阳县月考）函数 自变量a的取值范围 ． 五．函数的图象（共3小题） 9．（2023春•济阳区期中）在1000米中长跑考试中，小明开始慢慢加速，当达到某一速度后保持匀速， 最后200米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小明跑步时的速度 y（单位：米/分）与时间x（单位：分） 之间的大致图象的是（ ） A． B． C． D． 10．（2023•龙川县校级开学）如图，折线ABC为从甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y（元）与通话 时间t（min）之间变化关系的图象． （1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？ （2）由图象可知，当通话时间为2min时，应付电话费多少元？当通话时间为5min时，应付电话费多少元？11．（2023•平远县校级开学）如图，反映了小明从家出发到超市购物以及从超市返回家的时间与距离之 间的关系． （1）图中自变量是 ，因变量是 ． （2）小明到达超市用了 分钟，小明往返途中共花了 分钟． （3）小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？ 六．动点问题的函数图象（共3小题） 12．（2023•武昌区模拟）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，点P从点A出发，以每秒1 个单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设 P点的运动时间为ts，△PAD的面积为 S，S关于t的函数图象如图2所示．当点P运动到BC的中点时，△PAD的面积为（ ）A．7 B．7.5 C．8 D．8.6 13．（2023春•淮阳区月考）如图1，等腰Rt△ABC的边BC与正方形DEFG的边DE都在直线l上，且点 C与点D重合，AB＝BC＝DG＝2cm，将△ABC沿着射线DE方向移动至点B与点E重合停止，连接BG， 设C、D两点间的距离为xcm，B、G两点间的距离为ycm． 小陈根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小陈的探究过 程，请补充完整． （1）列表：如表的已知数据是根据C、D两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几 组对应值；请你通过计算补全表格a＝ ，b＝ ； x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 y 2.83 2.5 a 2.06 b 2.06 2.24 2.5 2.83 （2）描点、连线：如图2，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函 数y关于x的图象； （3）探究性质：随着x值的逐渐增大，y的值是怎样变化的？ ． （4）解决问题：当BG+CD＝4.5时，C、D两点间的距离x是 ． 14．（2023春•思明区校级月考）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向 运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运 动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．（1）直接写出m＝ ，a＝ ，b＝ ； （2）求长方形的长； （3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一 个点到达终点，另一个点也停止运动，设点 Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y 与x之间的关系式． 七．函数的表示方法（共2小题） 15．（2023春•南海区校级月考）科学家认为二氧化碳（CO ）的释放量越来越多是全球变暖的原因之一． 2 下表1950﹣2020年全球排放的二氧化碳量： 年份 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 全球CO 6002 9475 14989 19287 22588 24688 34180 35962 2排放 量/百万 吨 其中因变量为 ． 16．（2023春•济阳区期中）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能 停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种 型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … （1）自变量是 ，因变量是 ； （2）当刹车时车速为100km/h时，刹车距离是 m； （3）该种型号汽车的刹车距离用y（m）表示，刹车时车速用x（km/h）表示，根据上表反映的规律直接 写出y与x之间的关系式： ； （4）你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为110km/h的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并 停在距该车31m的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由． 八．一次函数的定义（共2小题） 17．（2023春•天山区月考）下列函数：①y＝ ；②y＝﹣ ；③y＝3﹣ x；④y＝3x2﹣2；⑤y＝x2 ﹣（x﹣3）（x+2）；⑥y＝6x．其中，是一次函数的有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 18．（2023•沙坪坝区校级开学）已知函数 是关于x的一次函数，则m的值是 ． 九．正比例函数的定义（共2小题）19．（2023春•渝中区校级月考）下列函数中，是正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 20．（2023春•衡山县校级月考）定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数．若特征数是[2，k﹣2]的一次函 数为正比例函数，则k的值是 ． 一十．一次函数的图象（共2小题） 21．（2023春•包河区月考）在一次函数y＝ ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ） A． B． C． D． （多选）22．（2023春•胶州市期中）已知直线y＝k x+b 与直线y＝k x+b 在同一平面直角坐标系中的图 1 1 2 2 象如图所示，则下列选项是关于x的不等式k x+b ＞k x+b 的正整数解的是（ ） 1 1 2 2 A．1 B．2 C．3 D．4 一十一．正比例函数的图象（共1小题） 23．（2023春•桐柏县校级月考）如图，三个一次函数的图象分别对应解析式①y＝k x+b ；②y＝k x； 1 1 2 ③y＝k x+b ．将k ，k ，k 从小到大排列，并用“＜”连接为（ ） 3 3 1 2 3A．k ＜k ＜k B．k ＜k ＜k C．k ＜k ＜k D．k ＜k ＜k 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2 一十二．一次函数的性质（共3小题） 24．（2023春•北碚区校级月考）一次函数y＝﹣2x+5的图象不经过的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 25．（2023春•靖江市期中）若点（﹣3，y ）、（3，y ）都在函数y＝x+1的图象上，则y 和y 的大小关 1 2 1 2 系为y y （用“＞”、“＝”、“＜”填空）． 1 2 26．（2023春•盐湖区校级月考）如图，已知一次函数y＝﹣x+3，当x 时，y＝﹣2； 当x 时，y＜﹣2； 当x 时，y＞﹣2； 当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是 ． 一十三．正比例函数的性质（共2小题） 27．（2023•碑林区校级二模）已知正比例函数 y＝kx中，y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣kx+k的 图象所经过的象限是（ ） A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四28．（2023•惠阳区开学）已知正比例函数y＝mx|m|，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为 ． 一十四．一次函数图象与系数的关系（共3小题） 29．（2023春•沙坪坝区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，则（ ） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b≥0 D．k＜0，b≤0 30．（2023春•渝中区校级月考）若关于x的一次函数y＝（7﹣m）x﹣9的图象不经过第二象限，且关于y 的分式方程 有非负数解，则所有满足条件的整数m的值之和是（ ） A．16 B．10 C．18 D．14 31．（2023•红桥区一模）若一次函数y＝2x+b﹣1（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的取值 范围是 ． 一十五．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 32．（2023•靖江市模拟）已知点 在一次函数y＝（m2+1）x+2n（m，n 为常数）的图象上，则y ，y 的大小关系为（ ） 1 2 A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．无法判断 1 2 1 2 1 2 33．（2023春•新城区校级月考）如图，函数y＝2x﹣4与x轴，y轴交于点（2，0），（0，﹣4），当﹣4 ＜y＜0时，则x的取值范围是（ ） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．﹣1＜x＜2 一十六．一次函数图象与几何变换（共3小题） 34．（2023春•崇川区校级月考）将直线y＝﹣2x﹣2向上平移1个单位长度，可得直线的表达式为y＝ ． 35．（2023春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且B（6，2），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过t秒该直线可将平行四边形 OABC分成面积相等的两部分，则t的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 36．（2023春•鼓楼区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的点A和点C分别落在x轴和y 轴上，AO＝4，CO＝2，直线y＝x+1以每秒1个单位长度向下移动，经过 秒该直线可将矩形 OABC的面积平分． 一十七．待定系数法求一次函数解析式（共4小题） 37．（2023春•崇川区校级月考）已知y与x﹣3成正比例，当x＝6时，y＝18，求： （1）y与x的函数解析式； （2）当y＝12时，求x的值． 38．（2023•梅州校级开学）已知直线y＝（m+2）x+m2+m﹣4（m为常数）的截距是﹣2，那么该直线的表 达式为 ． 39．（2023春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点 （3，0）和（﹣3，﹣2）． （1）求该一次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出该一次函数图象，并求它的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 40．（2023•海曙区开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0， 0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多 边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ． 一十八．待定系数法求正比例函数解析式（共1小题） 41．（2023•博罗县开学）若y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，求该正比例函数的解析式． 一十九．一次函数与一元一次方程（共2小题）42．（2023春•福州期中）如图，一次函数y＝ax+b的图象为直线l，则关于x的方程 的解 为 ． 43．（2023春•沙坪坝区校级月考）某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程 图．若输入x＝﹣4，输出y＝﹣1；输入x＝ ，输出y＝﹣1；输入x＝ ，输出y＝1． （1）a＝ ，k＝ ，b＝ ； （2）在平面直角坐标系中，请作出x≥0时的函数图象； （3）请写出一条该函数的性质： ； （4）根据函数图象，直接写出关于x的方程kx+b＝﹣x+4解． 二十．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 44．（2023•未央区校级模拟）如图，直线l ：y＝x+3与直线l ：y＝ax+b相交于点A（m，4），则关于x 1 2 的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ）A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 45．（2023春•城阳区期中）已知在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象如图 所示，那么不等式 的解集为 ． 二十一．一次函数的应用（共3小题） 46．（2023春•北碚区校级期中）A、B两地相距4000米，甲货车从A地匀速开往B地，乙货车在甲货车 出发10分钟后，从B地沿同一公路出发匀速开往A地，到达A地后停止，而甲继续开往B地，到达B地 后才停止．两车之间的距离y（米）与甲货车出发的时间x（分钟）之间的函数关系如图中的折线CD—DE —EF—FG所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从B地到A地用的时 间为 分钟；④当乙到达A地时，甲离B地的距离为 米．上述说法正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④ 47．（2023春•南召县月考）如图是甲、乙两个动点在某时段速度随时间变化的图象．①乙点前4秒是匀速运动，4秒后速度不断增加； ②甲点比乙点早4秒将速度提升到32cm/s； ③在4至8秒时间段内，甲的速度都大于乙的速度； ④甲、乙两点到第3秒时运动的路程相等． 上述结论正确的是 （只填序号）． 48．（2023•市北区校级开学）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位 10km的培训中心参加学习，图 中l甲 ，l乙 分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法 中正确的是 ． ①乙比甲提前12分钟到达； ②甲平均速度为0.25千米/小时； ③甲、乙相遇时，乙走了6千米； ④乙出发6分钟后追上甲． 二十二．一次函数综合题（共6小题） 49．（2023春•雨花区期中）约定：如果函数的图象经过点（m，n），我们就把此函数称作“（m，n）族 函数”．比如：正比例函数y＝2x的图象经过点（1，2），所以正比例函数y＝2x就是“（1，2）族函 数”． （1）①以下数量关系中，y不是x的函数的是 （填选项） ②以下是“（﹣1，1）族函数”的是 （填选项） A. B．|y|＝x C．y＝x2+2x﹣4D．y＝|x|+1 E．y2＝﹣x F．y＝2x+3 （2）已知一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）． ①若该函数是“（﹣ ，4）族函数”，求k的值． ②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标． （3）已知一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”．当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的 函数值y恰好有 ，求该一次函数的解析式． 50．（2023春•雨花区期中）如图，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M是线段AB 的中点，点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，过点A作AQ∥BP交PM的延长线于Q，PM 交y轴于点C，连接OM． （1）线段OM的长； （2）①证明：四边形AQBP是平行四边形； ②当m取何值时，四边形AQBP是菱形； （3）若点M坐标为（3，4），当﹣3≤m≤﹣2时，记 （其中OC示线段OC的长度），求s的最大 值．51．（2023春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、 点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC＝OD＝4OA． （1）求直线CD的解析式； （2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC ＝S四边形OBCP ，求点Q的坐标； （3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面 直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 52．（2023春•宜兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），点B、C都在x轴上，BC＝ 12，AD∥BC，CD所在直线的函数表达式为y＝﹣x+9，E是BC的中点，点P是BC边上一个动点． （1）当PB＝ 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形； （2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由． 53．（2023春•福州期中）在平面直角坐标系xOy中，直线l ：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B． 1当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0． （1）求k，b的关系式（用含b的代数式表示k）； （2）若∠ABO＝60°． ①求直线l 的解析式； 1 ②若直线l ：y＝mx+m与直线l 相交，且两条直线所夹的锐角为45°，求m的值． 2 1 54．（2023春•工业园区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点 A、点B分别在x轴与y轴上，直线 AB的解析式为 ，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD． （1）如图1，若点C的坐标为（3，7），判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ． ①当∠CBP＝ °时，点Q位于线段AD的垂直平分线上； ②连接AQ，DQ，设CP＝x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD＝90°时，求证：QE＝DE，并求 出此时x的值．