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专题 19.4 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 一次函数与一元一次方程的解】..............................................................................................................1
【题型2 两个一次函数与一元一次方程】..............................................................................................................2
【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】.........................................................................................3
【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】.................................................................................................3
【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】.........................................................................................................4
【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】.....................................................................................................4
【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】.........................................................................................................5
【题型8 绝对值函数与不等式】..............................................................................................................................6
【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】.................................................................................................8
【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】.............................................................................................9
【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】
1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方
程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以
转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
【题型1 一次函数与一元一次方程的解】
【例1】（2022秋•白塔区校级月考）直线y＝3x﹣m﹣4经过点A（m，0），则关于x的方程3x﹣m﹣4＝0
的解是 ．
【变式1-1】（2022春•安阳县期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解
为 ．【变式1-2】（2022春•雷州市校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）的图象如图所示，则关
于x的方程kx+b＝4的解是（ ）
A．x＝3 B．x＝4 C．x＝0 D．x＝b
【变式1-3】（2022秋•招远市期末）已知关于x的一次函数y＝3x+n的图象如图，则关于x的一次方程
3x+n＝0的解是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C． D．
【题型2 两个一次函数与一元一次方程】
【例2】（2022秋•双流区期末）已知一次函数y＝5x+m的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点（﹣2，
4）（k，m是常数），则关于x的方程5x＝kx﹣m的解是 ．
【变式2-1】（2022秋•龙岗区期末）如图，函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣1的图象交于点P，则关于x的方
程kx﹣1＝2x+b的解是 ．【变式2-2】（2022秋•苏州期末）已知一次函数y＝kx+1与 的图象相交于点（2，5），求关于x
的方程kx+b＝0的解．
【变式2-3】（2022秋•包河区期末）已知直线y＝x+b和y＝ax+2交于点P（3，﹣1），则关于x的方程
（a﹣1）x＝b﹣2的解为 ．
【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】
【例3】（2022春•江都区校级月考）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），
则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为 ．
【变式3-1】（2022•姜堰区一模）若一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0）的图象过点（2，0），则
关于x的方程a（x+1）+b＝0的解是 ．
【变式3-2】（2022秋•庐阳区校级期中）若关于x的一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，0），则方
程k（x+2）+b＝0的解为 ．
【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）将直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线y＝kx+m，已知方
程kx+m＝0的解为x＝3，则k＝ ，m＝ ．
【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】
{y=kx+3
【例4】（2022春•夏津县期末）如图，根据函数图象回答问题：方程组 的解为 ．
y=ax+b
【变式4-1】（2022•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx+b 与y＝kx+b 的图象如图所示，则关
1 1 2 2
于x，y的方程组{ y−k x=b 的解是 ．
1 1
y−k x=b❑
2 2{x−y=−5 {x=−4
【变式4-2】（2022秋•西乡县期末）已知二元一次方程组 的解为 ，则在同一平面直
x+2y=−2 y=1
1
角坐标系中，直线l：y＝x+5与直线l：y=− x﹣1的交点坐标为（ ）
1 2
2
A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1）
【变式4-3】（2022•德城区二模）若以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都
1
在直线y=− x+b﹣1上，则常数b的值为（ ）
2
1
A． B．1 C．﹣1 D．2
2
【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】
{ y=kx+b
【例5】（2022秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组
y=(3k−1)x+2
（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；
（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；
（3）当k，b为何值时，方程组无解．
{3x+ y=−1
【变式5-1】（2022秋•苏州期末）若二元一次方程组 有唯一的一组解，那么应满足的条件
2x+my=−8
是（ ）
2 2 2 2
A．m= B．m≠ C．m=− D．m≠−
3 3 3 3
{ x+ y=1
【变式5-2】（2022春•覃塘区期中）如果关于x，y的方程组 有唯一的一组解，那么a，b，c
ax+by=c
的值应满足的条件是（ ）
A．a≠b B．b≠c C．a≠c D．a≠c且c≠1{ 1
kx−y=−
【变式5-3】（2022春•高明区期末）k为何值时，方程组 3有唯一一组解；无解；无穷多解？
3 y=1−6x
【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】
【例6】（2022•海淀区校级自主招生）已知一次函数y＝kx+b中x取不同值时，y对应的值列表如下：
x … ﹣m2﹣1 1 2 …
y … ﹣2 0 n2+1 …
则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．无法确定
【变式6-1】（2022春•龙岗区期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，2），B（1，
0），则关于x的不等式kx+b＜2解集为 ．
【变式6-2】（2022春•湖南期中）已知关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是x＜1，则直线y＝ax+1
与x轴的交点是（ ）
A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（1，0）
1 5
【变式6-3】（2022春•高明区校级期末）如图，直线y＝kx+b与直线y=− x+ 交于点A（m，2），则
2 2
1 5
关于x的不等式kx+b≤− x+ 的解集是（ ）
2 2
A．x≤2 B．x≥1 C．x≤1 D．x≥2
【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】
【例7】（2022•钟山县校级模拟）直线l：y＝kx+b与直线l：y＝kx在同一平面直角坐标系中的图象如图
1 1 2 2
所示，则关于x的不等式kx＞kx+b的解集为（ ）
2 1A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【变式7-1】（2022•烟台）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式
x+2≤ax+c的解集为 ．
【变式7-2】（2022春•楚雄州期末）已知关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，4）、B
（0，3）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）若关于x的一次函数y＝mx+n（m＜0）的图象也经过点A，则关于x的不等式mx+n≥kx+b的解集
为 ．
【变式7-3】（2022春•潮安区期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直
线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；
（3）求△ADC的面积．【题型8 绝对值函数与不等式】
【例8】（2022秋•临海市校级月考）小敏学习了一次函数后，尝试着用相同的方法研究函数 y＝a|x﹣b|+c
的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|和y＝|x﹣2|+1的图象；
（2）猜想函数y＝﹣|x+1|和y＝﹣|x+1|﹣3的图象关系；
（3）尝试归纳函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质；
（4）当﹣2≤x≤5时，求y＝﹣2|x﹣3|+4的函数值范围．
【变式8-1】（2022秋•玄武区期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数 y＝|x|的图象
和性质，并解决问题．
（1）完成下列步骤，画出函数y＝|x|的图象；
①列表、填空；
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 1 1 2 3 …
②描点；
③连线．
（2）观察图象，当x 时，y随x的增大而增大；
1 3
（3）根据图象，不等式|x|＜ x+ 的解集为 ．
2 2【变式8-2】（2022春•确山县期末）画出函数y＝|x|﹣2的图象，利用图象回答下列问题：
（1）写出函数图象上最低点的坐标，并求出函数y的最小值；
（2）利用图象直接写出不等式|x|﹣2＞0的解集；
1 3
（3）若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与y＝|x|﹣2的图象有两个交点A（m，1），B（ ，−
2 2
），直接写出关于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解．
【变式8-3】（2022春•重庆期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，
并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝|2x+4|+x+m性质及其应用的部分过程，请按
要求完成下列各小题．
（1）如表是部分x，y的对应值：
x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 n ﹣2 ﹣3 ﹣4 ﹣1 2 5 8 …
根据表中的数据可以求得m＝ ，n＝ ；
（2）请在给出的平面直角坐标系中，描出以如表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点画出该函
数的图象；
（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质
；
（4）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣4，﹣2）和点（1，5），结合你所画的函数图象，
直接写出不等式kx+b＜|2x+4|+x+m的解集．【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】
{ax+b＜0
【例9】（2022秋•青田县月考）如图，可以得出不等式组 的解集是（ ）
cx+d＞0
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．﹣1＜x＜4 D．x＞4
1
【变式9-1】（2022春•南康区期末）如图，直线y＝﹣x+m与直线y= x+3交点的横坐标为﹣2．则关于
2
1
{−x+m＞ x+3
x的不等式组 2 的解集为 ．
1
x+3＞0
25
【变式9-2】（2022•富阳区二模）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，3），B（− ，0）两点，则不等
2
式组0＜kx+b＜﹣3x的解集为 ．
【变式9-3】（2022•青羊区校级自主招生）如图，直线y ＝ax+2与y ＝bx+4交于点N（1，a+2），将直线
1 2
y＝ax+2向下平移后得到y＝ax﹣5，则能使得y＜y＜y 的x的所有整数值分别为（ ）
1 3 3 2 1
A．1，2，3 B．2，3 C．2，3，4 D．3，4，5
【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】
【例10】（2022•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）
{ 2x+ y≥5 { 2x+ y≤5
A． 3x+4 y≥9 B． 3x+4 y≤9
y≥0 y≥0{ 2x+ y≥5 { 2x+ y≤5
C． 3x+4 y≥9 D． 3x+4 y≥9
x≥0 x≥0
【变式10-1】（2022秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（ ）
A．x﹣y≤﹣5 B．x+y≥﹣5 C．x+y≤5 D．x﹣y≤5
【变式10-2】（2012春•南岸区期末）如图，用不等式表示阴影区域为（ ）
A．x+y≤0，且x﹣y≥0 B．x+y≥0，且x﹣y≥0
C．x+y≥0，且x﹣y≤0 D．x+y≤0，且x﹣y≤0
【变式10-3】（2022春•广水市期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程 x﹣y＝0的一个解
{x=1
可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体
y=1
叫作方程x﹣y＝0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，
我们可以把方程x﹣y＝0的图象称为直线x﹣y＝0．
直线x﹣y＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x ，y ）的坐
0 0
标满足不等式x﹣y≤0，那么点M（x ，y ）就在直线x﹣y＝0的上方区域内．特别地，x＝k（k常数）
0 0表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，y＝m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条
直线．
请根据以上材料，探索完成以下问题：
8 3 13 5 9
（1）已知点A（2，1）、B（ ， ）、C（ ， ）、D（4， ），其中在直线3x﹣2y＝4上的点有
3 2 6 4 2
（只填字母）；请再写出直线3x﹣2y＝4上一个点的坐标 ；
{0≤x≤4
（2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组 则所有的点P组成的图形的面积是 ；
0≤ y≤3
{0≤x≤1
（3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组 0≤ y≤2，请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的
x−y≥0
图形（涂上阴影），并求出上述图形的面积．
