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专题 19.4 一次函数与方程、不等式之间的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】.....................................................................................................2
【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】......................................................................................3
【题型3 利用图像法解一元一次方程】..................................................................................................................5
【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】.............................................................................................8
【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】...............................................................................................10
【题型6 两直线的交点与二元一次方程组的解】...............................................................................................14
【题型7 图象法解二元一次方程组】....................................................................................................................16
【题型8 求直线围成的图形的面积】....................................................................................................................19
【题型9 绝对值函数与方程、不等式之间的关系】...........................................................................................25
【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】...........................................................................................33
知识点1：一次函数与一元一次方程之间的关系
1.一次函数与一元一次方程的关系
（1）从“数”上看：函数 中，当 时，的值 方程 的解.
（2）从“形”上看：函数 的图象与轴的交点的横坐标 方程 的解
2.利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤
（1）转化：将一元一次方程转化为一次函数
（2）画图象：画出一次函数的图象
（3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解.
【注意】
对于一次函数 ，已知的值，求 的值，或已知 的值求的值，就是把问题转化为关于 或的一元
一次方程来求解.
【拓展】
方程 的解 函数 中， 时的值；方程 的解 函数的图象与直线 的交点的横坐标.
【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】
【例1】（24-25八年级·海南海口·期末）若直线y=2x+b与x轴交于点A(−2,0)，则方程2x+b=0的解是
（ ）
A．x=−4 B．x=−2 C．x=4 D．x=2
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的与方程的解的关系．根据题意可得当x=−2时，y=2x+b=0，即可
求解．
【详解】解：∵直线y=2x+b与x轴交于点A(−2,0)，
∴当x=−2时，y=2x+b=0，
∴方程2x+b=0的解是x=−2．
故选：B
【变式1-1】（24-25八年级·青海海东·期末）已知一次函数y=ax+b（a,b是常数），x与y的部分对应值
如下表：
x −3 −2 −1 0 1 2
y −4 −2 0 2 4 6
则关于x的方程ax+b=0的解为 ．
【答案】x=−1
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，方程ax+b=0的解为y=0时函数y=ax+b的x的值，
根据图表即可得出此方程的解．
【详解】解：根据图表可得：当x=−1时，y=0，即x=−1时，ax+b=0，
因而方程ax+b=0的解是x=−1．
故答案为：x=−1．
【变式1-2】（24-25八年级·四川德阳·期末）直线y=kx+b(k≠0)经过点A(−1,0)，B(0,2)，则关于x的
方程kx+b=0的解为（ ）
A．x=−1 B．x=0 C．x=1 D．x=2
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系．掌握一次函数图象与x轴交点的横坐标即为其相关一
元一次方程的解是解题关键．根据一次函数与一元一次方程的关系可直接得出该方程的解为x=−1．
【详解】解：根据题意可知关于x的方程kx+b=0的解即为直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标，∵直线y=kx+b(k≠0)经过点A(−1,0)，
∴关于x的方程kx+b=0的解为x=−1．
故选A．
【变式1-3】（24-25八年级·江苏盐城·期末）若直线y=kx+b的图象经过点(1,3)，则关于x的方程
kx+b=3的解是（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用自变量x=1时对应的函数值为3可确定方程kx+b=3
的解，熟知一元一次方程与一次函数的关系是解题的关键．
【详解】∵直线y=kx+b的图象经过点(1,3)，
∴当x=1时，y=kx+b=3，
∴关于x的方程kx+b=3的解是x=1，
故选：A．
【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】
【例2】（24-25八年级·广东广州·期末）若x=4是方程kx+b=0的解， 则直线y=kx+b的图象与x轴交
点的坐标为 （ ）
A．(4,0) B．(0,4) C．(0,−4) D．(−4,0)
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程ax+b=0的解就是一次函数y=ax+b
与x轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为
ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，
求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴交点的横坐标即可得答案．
【详解】解：∵一元一次方程kx+b=0的解是x=4，
∴当x=4时，y=kx+b=0，
故直线y=kx+b的图像与x轴的交点坐标是(4,0)．
故选：A．
【变式2-1】（24-25八年级·河北保定·期末）若关于x的方程−2x+b=0的解为x=2，则直线y=−2x+b
一定经过点（ ）
A．(2,0) B．(0,2) C．(4,0) D．(2,5)
【答案】A
【分析】根据方程可知当x=2，y=0，从而可判断直线y=-2x+b经过点（2，0）．【详解】解：由方程的解可知：当x=2时，-2x+b=0，即当x=2，y=0，
∴直线y=-2x+b的图象一定经过点（2，0），
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题
的关键．
【变式2-2】（24-25八年级·湖北黄石·期末）一次函数y=ax+b（a，b是常数，且a≠0），若a+b−2=0
，则这个一次函数的图象必经过的点是（ ）
A．(1,−2) B．(2,−3) C．(−1,−2) D．(1,2)
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系．根据a+b−2=0，可求a+b=2，根据一次函数
与方程的关系可知当x=1时，y=2，即可得到定点坐标．
【详解】解：∵a+b−2=0，
∴a+b=2．
∴在y=ax+b中，当x=1时，y=2，
∴一次函数经过(1,2)点，
故选：D．
【变式2-3】（24-25八年级·全国·课后作业）已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由于方程kx+b=0的解是x=3，即x=3时，y=0，所以直线y=kx+b经过点(3,0)，然后对各选
项进行判断．
【详解】解：∵方程kx+b=0的解是x=3，
∴y=kx+b经过点(3,0)．故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一
元一次方程的问题．
【题型3 利用图像法解一元一次方程】
【例3】（24-25八年级·宁夏银川·期末）如图，已知直线y=ax+b，则方程ax+b=1的解x=（ ）
A．2 B．−1 C．4 D．0
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的知识，理解两者的关系是解题的关键．
观察图象可得出点(4,1)在函数的图象上满足函数关系式，结合一次函数与一元一次方程之间的关系可得到
方程的解．
【详解】根据图象知，当y=1时，x=4
即ax+b=1时，x=4
∴方程ax+b=1的解时x=4
故选：C
【变式3-1】（24-25八年级·上海·阶段练习）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可
知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20
【答案】A
【分析】根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程x+5＝ax+b
的解．
【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），∴x+5＝ax+b的解是x＝20，
故选A．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
【变式3-2】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4)
，则关于x的方程kx+b=4的解是 ．
【答案】x=2
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用y=x+2求出交点P的坐标，然后根据一次函数图象
的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键．
【详解】解：把P(m,4)代入y=x+2得m+2=4，解得m=2，
∴一次函数y=kx+b与y=x+2的图象的交点P为(2,4)，
∴关于x的方程kx+b=4的解是x=2．
故答案为：x=2．
【变式3-3】（24-25八年级·福建福州·期中）如图，一次函数y=ax+b的图象为直线l，则关于x的方程
a(x−❑√3)+b=0的解为 ．
【答案】x=2+❑√3/x=❑√3+2
【分析】根据一次函数图象可得一次函数y=ax+b的图象经过(2,0)点，则函数y=a(x−❑√3x)+b的图象
经过(2+❑√3,0)点，进而得到方程a(x−❑√3)+b=0的解．【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过(2,0)点，
∴一次函数y=ax+b的图象向右平移❑√3单位后，交x轴于点(2+❑√3,0)，
∴关于x的方程a(x−❑√3)+b=0的解为x=2+❑√3，
故答案为：x=2+❑√3．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与平移，关键是正确利用数形结合的方
法解决问题．
知识点2：一次函数与一元一次不等式之间的关系
因为任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为 或 的形式，所以解一元
一次不等式可以看成求一次函数 的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围.
一次函数 与一元一次不等式 （或 ）的关系如下：
不等于 的解集 在函数
中， 时的取值范围
数的角度
不等式 的解集 在函数
一次函数与一元一 中， 时的取值范围
次不等式的关系
不等式 的解集 直线
在 x 轴上方 的部分所对应的的取值范围
形的角度
不等式 的解集 直线
在 x 轴下方 的部分所对应的的取值范围
【拓展】
直 线 与 直 线 的 交 点 的 横 坐 标 即 为 方 程
的 解 ； 不 等 式 （ 或 ） 的 解 集 就 是 直 线
在直线 上（或下）方部分对应的的取值范围.如图所
示，方程 的解为 ；不等式 的解集为 ；不等式的解集为 .
【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】
【例4】（24-25八年级·吉林长春·期末）若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，那么下列说法正确
的是（ ）
A．关于x不等式kx+b>0的解集是x<1
B．关于x的不等式kx+b>4的解集是x>3
C．关于x的方程kx+b=0的解是x=3
D．当00的解集是x>1，原说法错误；
B. 关于x的不等式kx+b>4的解集是x>3，原说法正确；
C. 关于x的方程kx+b=0的解是x=1，原说法错误；
D. 当0−2
【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键在于掌握从函数的角度看，就是寻求使一
次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象得到即可．
【详解】解：由图象可知函数y=kx+b与x轴的交点为(2,0)，则函数y=−kx+b与x轴的交点为(−2,0)
，且y随x的增大而减小，
如图，
∴当x>−2时，−kx+b<0，
所以关于x的不等式−kx+b<0的解集是x>−2，
故答案为：x>−2．
【变式4-2】（24-25八年级·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b经过
A(3,1),B(−1,−3)两点，则关于x的不等式kx+b>−3的解集是（ ）
A．x>−1 B．x<−1 C．x>3 D．x<3
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
根据一次函数的性质得出y随x的增大而增大，只需要找出函数图象在点的对应的自变量的取值范围即
可．
【详解】解：∵直线y=kx+b经过A(3,1),B(−1,−3)两点，函数图象y随x的增大而增大，
∴kx+b>−3的解集是x>−1，
故选：A．
【变式4-3】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(−1,0)，则不等
式k(x−2)+b<0的解集是 ．【答案】x<1
【分析】先把(−1,0)代入y=kx+b(k>0)得b=k，则k(x−2)+b<0化为k(x−2)+k<0，然后解关于x的
不等式即可．本题考查了一次函数与一元一次不等式，把点(−1,0)代入解析式求得k与b的关系是解题的
关键．
【详解】解：把(−1,0)代入y=kx+b(k>0)得−k+b=0，
解得b=k，
则k(x−2)+b<0化为k(x−2)+k<0，
而k>0，
所以x−2+1<0，
解得x<1．
故答案为：x<1．
【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】
【例5】（24-25八年级·四川巴中·期中）一次函数y=mx+n与y=ax+b在同一平面直角坐标系中的图象
如图所示．根据图象有下列五个结论：①a>0；②n<0；③方程mx+n=0的解是x=−2；④不等式
ax+b>3的解集是x>−3；⑤不等式00，故①正确；
∵一次函数y=mx+n与y轴交于负半轴，与x轴交于(−1,0)，
∴n<0，方程mx+n=0的解是x=−1，故②正确，③不正确；
由函数图象可知不等式ax+b>3的解集是x>0，故④不正确；
由函数图象可知，不等式0−4的解集为x>0；乙说：当
x>4时，ax+b−4的解集为x>0，
即甲正确；
∵函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P(4,−2)，
∴当x>4时，ax+b>kx；
即乙错误；
故选：B．
【变式5-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）如图，一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点．
( 3)
B 1, ，且分别交x轴于点A(−2,0)，点C(3,0)，则0≤kx+b≤mx+n的解集 ．
2
【答案】1≤x≤3
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就
是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确
定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
观察函数图象，写出kx+b≥0和kx+b≤mx+n的解集，取公共部分即可．【详解】解：由图象可知，当x≤3时，kx+b≥0，
当x≥1时，kx+b≤mx+n
∴0≤kx+b≤mx+n的解集为1≤x≤3．
故答案为：1≤x≤3．
知识点3：一次函数与二元一次方程（组）之间的关系
1.
相互转化
一次函数 二元一次方程
一一对应
一次函数 图象 二元一次方程 的
上点的坐标 解
2.二元一次方程组 （ 都不为0，且 , 都是常数）的解是一次函数
和 图象的交点坐标.
【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应
两个一次函数，也就是对应两条直线.
3.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
（1）变函数：把方程组 化为一次函数 与 .
（2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象.
（3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标.
（4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解.
【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解.
【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两
条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解.如 的两个方程化为一次函数
后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解.【题型6 两直线的交点与二元一次方程组的解】
【例6】（24-25八年级·山东烟台·期末）已知直线y=2x与y=−x+b的交点坐标为(a,−4)，则关于x、y
{2x−y=0)
的方程组 的解是 ．
x+ y=b
{x=−2)
【答案】
y=−4
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征、根据两直线的交点坐标求方程组的解，先求出两直线的交
点坐标，从而即可得出答案．
【详解】解：∵直线y=2x经过(a,−4)，
∴2a=−4，
解得：a=−2，
∴交点坐标为(−2,−4)，
∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
{2x−y=0) {x=−2)
∴关于x、y的方程组 的解是 ，
x+ y=b y=−4
{x=−2)
故答案为： ．
y=−4
{ax−y+b=0) { x=3 )
【变式6-1】（24-25八年级·内蒙古包头·期末）已知二元一次方程组 的解为 ，
kx−y=0 y=−2
则函数y=ax+b和y=kx的图象的交点坐标为 ．
【答案】(3,−2)
【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关
{ax−y+b=0) { x=3 ) {y=ax+b)
键．由二元一次方程组 的解为 ，得出二元一次方程组 的解为
kx−y=0 y=−2 y=kx
{ x=3 )
，从而可得出交点坐标．
y=−2
{ax−y+b=0) { x=3 )
【详解】解：二元一次方程组 的解为 ，
kx−y=0 y=−2
{y=ax+b) { x=3 )
即 的解为 ，
y=kx y=−2
∴函数y=ax+b和y=kx的图象的交点坐标为(3,−2)，
故答案为：(3,−2)．
【变式6-2】（24-25八年级·北京西城·期中）直线l :y=−x+1与直线l :y=mx+n(m≠0)的交点P的横坐
1 2标为3，则下列说法错误的是（ ）
A．3m+n=−1
B．点P的纵坐标为−2
{ x=3 )
C．关于x、y的方程组¿的解为
y=−2
D．当m>0时，−x+1>mx+n的解集为x<3
【答案】A
【分析】本题主要考查了两直线相交问题，求出直线经过点P的坐标是解决本题的关键．
将x=3代入y=−x+1中，得出y的值，即可确定点P的坐标，然后代入y=mx+n可判定A选项；根据点
P的纵坐标可判定B选项；两直线相交坐标是两对应方程组的解的x、y值可判定C选项，；C、根据一次
函数k的值判断增减性；将P点坐标代入进行判断即可．
【详解】解：将x=3代入y=−x+1中，可得y=−x+1=−3+1=−2，即点P的坐标为(3,−2)；
A、将点P的坐标(3,−2)代入y=mx+n，可得−2=3m+n，故选A项说法错误；
B、由点P的坐标为(3,−2)，则点P的纵坐标为−2，故B选项说法正确；
{ x+ y=1, ) { x=3 )
C、由点P的坐标为(3,−2)，关于x、y的方程组 的解为 ，故选项C说法正确；
mx−y=−n y=−2
D、直线l :y=−x+1与直线l :y=mx+n(m≠0)的交点P的横坐标为3且m>0，则−x+1>mx+n的解集
1 2
为x<3，故选项D说法正确；
故选A．
【变式6-3】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）表1、表2分别给出了两条直线l ：y=k x+b 与
1 1 1
l ：y=k x+b 上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值．
2 2 2
表1
x −4 −3 −2 −1
y −1 −2 −3 −4
表2
x −4 −3 −2 −1
y −9 −6 −3 0
{y=k x+b
)
则方程组 1 1 的解是
y=k x+b
2 2{x=−2)
【答案】
y=−3
【分析】本题主要考查了两个一次函数图象的交点问题， x值和y值都相等时的点即为交点坐标，也是对
应二元一次方程组的解．
【详解】解：由表1和表2可知，当x=−2时，两个函数的函数值相等，都是−3，
{y=k
1
x+b
1
) {x=−2)
因此方程组 的解是 ，
y=k x+b y=−3
2 2
{x=−2)
故答案为： ．
y=−3
【题型7 图象法解二元一次方程组】
【例7】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，已知函数y=x+1和y=ax+3图象交于点P，点P的横坐
{x−y=−1
)
标为1，则关于x，y的方程组 的解是（ ）.
ax−y=−3
{x=1) { x=1 ) {x=−2)
A． B．¿ C． D．
y=2 y=−2 y=1
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图像与二元一次方程（组），掌握方程组的解就是两个相应的一次函数
图象的交点坐标成为解题的关键．
先利用x−y=−1确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可解
答．
【详解】解：当x=1时，1−y=−1，解得：y=2，即两直线的交点坐标为(1，2)，
{x−y=−1
)
{x=1)
所以关于x,y的方程组 的解为 ．
ax−y=−3 y=2
故选：A．
【变式7-1】（24-25八年级·河北唐山·期末）下列图形是以方程2x−y=2的解为坐标的点组成的图象的是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系，一次函数图象与坐标轴交点，函数图象上点坐标为
二元一次方程的解．
根据坐标轴上点的坐标特征求出直线y=2x−2与坐标轴的交点坐标，然后根据所求的坐标对各选项进行
判断．
【详解】解：∵2x−y=2
∴y=2x−2
当x=0时，y=2x−2=−2，则直线y=2x−2与y轴的交点坐标为(0,−2)，
当y=0时，2x−2=0，解得x=1，则直线y=2x−2与，x轴的交点坐标为(1,0)．
故选：C．
【变式7-2】（24-25八年级·云南昆明·期末）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与y=x+2的图象相交于点
{y=kx+b)
M(m,4)，则关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
y=x+2{x=1) {x=2) {x=4) {x=3)
A． B． C． D．
y=4 y=4 y=2 y=4
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，先利用y=x+2确定M点坐标，然后根据方程组的解
就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，解题的关键是正确理解方程组的解就是两个相应的一
次函数图象的交点坐标．
【详解】解：把M(m,4)代入y=x+2得m+2=4，解得m=2，
所以M点坐标为(2,4)，
{y=kx+b) {x=2)
所以关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
y=x+2 y=4
故选：B．
【变式7-3】（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点(1,2)，则
{kx+b= y+2)
关于x，y的方程组 的解为（ ）
mx+n= y+2
{x=3) {x=−1) {x=1) {x=1)
A． B． C． D．
y=2 y=2 y=0 y=4
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)， 利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点
坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也
同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点(1,2)，∴一次函数y=kx+b−2与y=mx+n−2的图象交于点(1,0)，
{kx+b= y+2) {x=1)
∴关于x，y的方程组 的解为 ，
mx+n= y+2 y=0
故选：C．
【题型8 求直线围成的图形的面积】
【例8】（24-25八年级·山东泰安·期中）已知一次函数y=ax+2与y=kx+b的图像如图所示，且方程组
{y=ax+2)
的解为
{x=2)
，点B坐标为(0,−1)，y轴上的一个动点P，若S =6，则点P的坐标为
y=kx+b y=1 △ABP
．
【答案】(0,5)或(0,−7)
【分析】本题考查一次函数图像的交点问题，三角形的面积，\如图，设点P的坐标为(0,m)，可得
1
BP=|m+1)，根据函数图像交点的意义可得A(2,1)，再根据S =6，继而得到 ×|m+1)×2=6，求解
△ABP 2
即可．解题的关键是正确理解一次函数图像的交点的意义：一次函数图像的交点坐标即是由函数解析式所
构成的方程组的解．
【详解】解：如图，设点P的坐标为(0,m)，
∵点B坐标为(0,−1)，
∴BP=|m−(−1))=|m+1)，
{y=ax+2) {x=2)
∵方程组 的解为 ，
y=kx+b y=1
∴A(2,1)，
∴点A到y轴的距离为2，
∵S =6，
△ABP
1
∴ ×|m+1)×2=6，
2
∴m=5或m=−7，∴点P的坐标为(0,5)或(0,−7)，
故答案为：(0,5)或(0,−7)．
【变式8-1】（24-25八年级·山东泰安·期末）如图，已知直线y=2x+3与直线y=−2x−1相交于点C，与
y轴别相交于点A，B，则△ABC的面积是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式
所组成的二元一次方程组的解，也考查了三角形面积公式．
先求出A(0,3)，B(0,−1)，从而得出AB=4，联立方程组即可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式
即可得出答案．
【详解】直线y=2x+3中，令x=0，则y=3
直线y=−2x−1中，令x=0，则y=−1
∴A(0,3)，B(0,−1)
∴AB=3−(−1)=4
将y=2x+3与y=−2x−1联立
{ y=2x+3 )
y=−2x−1
{x=−1)
解得：
y=1
∴点C的坐标为(−1,1)
1
∴S = ×4×1=2
△ABC 2
故答案为：2．【变式8-2】（24-25八年级·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点A，C均在x轴上，点B在第一象
限，直线AB上所有点的坐标(x,y)都是二元一次方程x−y=−2的解，直线BC上所有点的坐标(x,y)都是
一元一次方程2x+ y=8的解．
(1)求B点的坐标时，小明是这样想的：先设B点坐标为(m,n)，因为B点在直线AB上，所以(m,n)是方程
x−y=−2的解；又因为B点在直线BC上，所以(m,n)也是方程2x+ y=8的解，从而m，n满足
{m−n=−2)
，据此可求出B点坐标为______．再求出A点坐标为______；C点坐标为______．（均直接写
2m+n=8
出结果）
1
(2)若线段BC上存在一点D，使S = S （O为原点），求D点坐标
△OCD 2 △ABC
1
(3)点E(a,−3)是坐标平面内的动点，若满足S ≤ S ，求a的取值范围．
△ABE 3 △ABC
【答案】(1)（2，4），（-2，0），（4，0）
5
(2)（ ，3）
2
(3)-7≤a≤-3且a≠-5
【分析】（1）解方程组可求出B点坐标，解方程可求出A和C的坐标；
（2）求出三角形ABC的面积=12，则可求出D点的纵坐标，代入2x+y=8求出x，可得答案；
（3）设直线BA交直线y=-3于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线y=-3于M，N，根据S +S
△ABM 梯
=S 求出FN=7，得出S ≤4，令S =4，得出方程|a+5|=2，解出a=-7或-3，则可得出答案．
形AMNF △FBN △ABE △ABE
{m−n=−2)
【详解】（1）解：∵m，n满足 ，
2m+n=8
{m=2)
解得： ，
n=4
∴B（2，4），∵点A在x轴上，又在直线AB上，
令y=0，则x-0=-2，
∴x=-2，
∴A（-2，0），
同理，令y=0，
∴2x+0=8，
∴x=4，
∴C（4，0），
故答案为：（2，4），（-2，0），（4，0）；
（2）∵B（2，4），A（-2，0），C（4，0）；
∴AC=4+2=6，
1 1
∴S = AC×4= ×6×4=12，
△ABC 2 2
1
∵S = S ABC，
△OCD 2 △
1
∴S D= OC•y =6，
△OC 2 D
∴y =3，
D
5
代入2x+y=8得，x= ，
2
5
∴D（ ，3）；
2
（3）设直线BA交直线y=-3于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线y=-3于M，N，
∵S +S =S ，
△ABM 梯形AMNF △FBN1 1 1
∴ ×4×4+ （4+FN）×3= ×FN×7，
2 2 2
∴FN=7，
∴F（-5，-3），
1
∵S ≤ S ，
△ABE 3 △ABC
∴S ≤4，
△ABE
令S =4，
△ABE
∵S -S =S ，
△BEF △AEF △ABE
1 1
∴ |a+5|×7- |a+5|×3=4，
2 2
∴|a+5|=2，
解得a=-7或-3，
∵S ABE≤4，
△
∴-7≤a≤-3且a≠-5．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了二元一次方程组的解法，坐标与图形的性质，三角形的面积公式，
熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．
【变式8-3】（24-25八年级·山东临沂·期末）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上， ODE
是 OCB绕点O顺时针旋转90度得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，△线段
△
{2x+3 y=14)
BC、OC的长是方程的 的解，且OC＞BC．
4x−5 y=6
(1)求直线BD的解析式；
(2)求△OFH的面积；
2 8
【答案】(1)y=− x+
3 364
(2)
21
【分析】（1）解二元一次方程组可得B（-2，4），再由 ODE≌△OCB，可知D（4，0），用待定系数法
求直线BD的解析式即可； △
8 1
（2）求出F（0， ），直线OE的解析式为y= x，进而求出H的坐标，即可求 OFH的面积；
3 2
△
{2x+3 y=14)
【详解】（1）解：
4x−5 y=6
解得
{x=4),
y=2
∵OC＞BC，
∴CO=4，BC=2，
∴B（-2，4），
∵△ODE是 OCB绕点O顺时针旋转90度得到，
∴OD=OC，△DE=BC，
∴D（4，0），E（4，2），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
{−2k+b=4)
将点B与D代入可得 ，
4k+b=0
2
{ k=− )
3
解得 ，
8
b=
3
2 8
∴BD的解析式为y=− x+ ；
3 3
2 8 8
（2）由y=− x+ ，令x=0，得y=
3 3 3
8
∴F(0, )
3
设直线OE的解析式为y=kx，
1
1
将点E代入可得k= ，
1 2
1
∴y= x，
21
{ y= x )
2
，
2 8
y=− x+
3 3
16
{ x= )
7
解得 ，
8
y=
7
16 8
∴H( , )，
7 7
1 8 16 64
∴△OFH的面积= × × = ．
2 3 7 21
【点睛】本题考查一次函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，旋转的性质，解二元一次方程组，求
一次函数与坐标轴的交点问题，两直线与坐标轴围成的三角形面积，数形结合是解题的关键．
【题型9 绝对值函数与方程、不等式之间的关系】
【例9】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式
——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程. 在画函数图象时，我们通过描点、平
移、对称的方法画出了所学的函数图象.
同时，我们也学习了绝对值的意义|a)= { a(a≥0) )
，结合上面
−a(a<0)
经历的学习过程，现在来解决下面的问题
在函数y=−|x−2|+b中，自变量x的取值范围是全体实数，下表是y与x的几组对应值：
x −1 0 1 2 3
y … 0 1 2 3 2 …
(1)根据表格填写：b=_______.
(2)化简函数解析式：
当×<2时，y=_______；
当x≥2时，y=______.
(3)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并解决以下问题；①该函数的最大值为_______.
②若A(a,−1),B(b,−1)为该函数图象上不同的两点，则a+b=________.
1
③根据图象可得关于x的方程− x+1=−|x−2|+b的解为_______.
5
【答案】（1）3；（2）x+1，-x+5；（3）3，4，x =0,x =5.
1 2
【分析】(1)选择一组值代入y=−|x−2|+b即可求出b；
(2)由(1)得y=−|x−2|+3，根据×<2，x≥2化简绝对值，即可得到答案；
(3)根据表格画出函数图象，
①由表格及图象即可确定函数的最大值为3；
②将y=-1代入y=−|x−2|+3求得x=6或x=-2，即可求出a+b的值；
1
③y=− x+1=−|x−2|+b的解即两个函数图象交点的横坐标的值.
5
【详解】(1)将x=-1，y=0代入y=−|x−2|+b，得b=3，
故答案为：3；
(2)由(1)得y=−|x−2|+3，
当×<2时， y=−(2−x)+3=x+1，
当x≥2时， y=−(x−2)+3=−x+5，
故答案为：x+1，-x+5；
(3)函数图象如图：
①根据表格及图象可以确定当x=2时，函数的最大值为3,
故答案为：3；
②当y=-1时， −|x−2|+3=−1，
得x=6或x=-2，∴6-2=4，
故答案为：4；③由图象可知，两个函数图象交于点（0,1），（5,0），
1
∴− x+1=−|x−2|+b的解是x =0,x =5，
5 1 2
故答案为：x =0,x =5.
1 2
【点睛】此题考查一次函数的性质，函数图象的画法，函数的最值，一次函数与方程的关系，(3)函数的图
1
象是难点，根据图象即可确定函数的最大值，y=−|x−2|+3与y=− x+1的交点坐标，正确理解
5
1
− x+1=−|x−2|+b的构成特点.
5
【变式9-1】（24-25八年级·江苏盐城·期中）某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数
|3x−6)+x+2 |3x−6)+x+2
y= 的图象与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数y= 的图象与性
2 2
质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数y=ax+1的图象与函数
|3x−6)+x+2
y= 的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是 ．
21
【答案】a<−1或a≥2或a=
2
|3x−6)+x+2
【分析】本题考查一次函数的综合应用，先去绝对值，画出y= 的图象，利用数形结合和分
2
类讨论的思想进行求解即可．
|3x−6)+x+2
【详解】解：∵y= ，
2
3x−6+x+2
∴当3x−6≥0，即：x≥2时，y= =2x−2，
2
6−3x+x+2
当x<2时，y= =−x+4，
2
y=
{2x−2(x≥2))
∴ ，
−x+4(x<2)
当x=2时，y=2x−2=2，
∴图象过点(2,2)；
∵y=ax+1，
∴当x=0时，y=1，
∴y=ax+1过定点(0,1)，
1
∴当y=ax+1过点(2,2)时，2=2a+1，解得：a= ，
2
当y=ax+1与y=2x−2平行时，a=2，
当y=ax+1与y=−x+4平行时，a=−1，
如图：直线y=ax+1绕点(0,1)旋转，
1 |3x−6)+x+2
由图可知：当a<−1或a≥2或a= 时，y=ax+1的图象与函数y= 的图象只有一个交点，
2 21
故答案为：a<−1或a≥2或a= ．
2
【变式9-2】（24-25八年级·江苏淮安·期中）在我们学习函数的过程中，经历了“确定函数的解析式一利
用函数图象研究其性质”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的
大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义
|a)= { a(a≥0) )
−a(a<0)
阳阳结合上面的学习过程，对函数y=|2x−1|的图象与性质进行了探究．
1 1
(1)① 化简函数y=|2x−1|的表达式：当x≥ 时，y= ，当x＜ 时，y= ；
2 2
② 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(2)函数y =|2x−1|+1的图象可由y=|2x−1|的图象向上平移1个单位得到；
1
① 当0≤x<3时，y 的取值范围是 ；
1
② 当2≤ y ≤5时，x的取值范围是 ；
1
③ 当mx+2？
预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图
象，可以解决一系列问题．
图①中给出了函数y=x+1和y=2x+3的图象，观察图象，我们可以得到：当x>−2时，函数y=2x+3的
图象在y=x+1图象上方，由此可知：不等式2x+3>x+1的解集为_________．
预备知识2：函数y=|x)= { x(x≥0) ) ，称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数
−x(x<0)
式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝
对值符号，比如化简|x−1)+|x−3)时， 可令x−1=0和x−3=0， 分别求得x=1，x=3 (称1， 3分别
是|x−1)和|x−3)的零点值)， 这样可以就x<1，1≤x<3，x≥3三种情况进行讨论：
（1） 当x<1时，|x−1|+)x−3)=−(x−1)−(x−3)=4−2x
（2） 当1≤x<3时，|x−1|+)x−3)=(x−1)−(x−3)=2；
（3） 当x≥3时，|x−1)+|x−3)=(x−1)+(x−3)=2x−4，
{4−2x(x<1)
)
所以|x−1)+|x−3)就可以化简为 2(1≤x<3)
2x−4(x≥3)
预备知识3：函数y=b(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示．[知识迁移]
如图④，直线y=x+1与直线y=ax+b相交于点A(m，3)，则关于x的不等式x+1≤ax+b的解集是
___________．
[问题解决]
结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x−1|+)x−3)>x+2.．
（1）请在平面直角坐标系内作出函数y=|x−1)+|x−3)的图象；
（2）通过观察图象，便可得到不等式|x−1|+)x−3)>x+2的解集，这个不等式的解集为_______．
2
【答案】[问题提出]x>−2；[知识迁移]x≤2；[问题解决]（1）见解析；（2）x< 或x>6．
3
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题
的关键．
[问题提出]：根据函数图象可得答案；
[知识迁移]：先求解m的值，再根据函数图象可得答案；
{4−2x(x<1)
)
[问题解决]：（1）把函数化为y=|x−1)+|x−3)= 2(1≤x<3) ，再画图即可；
2x−4(x≥3)
（2）在同一坐标系内画y=x+2的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案；
【详解】解：[问题提出]，如图，∵当x>−2时，函数y=2x+3的图象在y=x+1的图象上方，
∴不等式2x+3>x+1的解集为：x>−2，
[知识迁移]，如图，
∵点A(m,3)在y=x+1上，
∴m+1=3，
解得：m=2，
∴A(2，3)，
∵当x≤2时，直线y=ax+b的图象在y=x+1的图象的上方，
∴不等式ax+b≥x+1，
即x+1≤ax+b的解集为：x≤2，
[问题解决]
（1）根据题意得：
{4−2x(x<1)
)
y=|x−1)+|x−3)= 2(1≤x<3) ，
2x−4(x≥3)画图如下：
（2）再在同一坐标系内画y=x+2的图象如下：
由函数图象得：y=4−2x与y=x+2有交点，
{y=4−2x)
则 ，
y=x+2
2
{ x= )
3
解得： ，
8
y=
3
y=2x−4与y=x+2有交点，
{y=2x−4)
则
y=x+2
{x=6)
解得：
y=8
(2 8)
∴y=|x−1)+|x−3)与y=x+2的两个交点坐标分别为： , ，(6，8)；
3 3
2
由函数图象可知，当x< 时，y=|x−1)+|x−3)的图象在y=x+2的上方，
3
当x>6时，y=|x−1)+|x−3)的图象在y=x+2的上方，
2
故不等式|x−1)+|x−3)>x+2的解集为：x< 或x>6．
3
【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】
【例10】（2024八年级·全国·专题练习）阅读，我们知道，在数轴上，x=1表示一个点，而在平面坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x−y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形，就
是一次函数y=2x+1的图像，它也是一条直线，如图1，可以得出，直线x=1与直线y=2x+1的交点P的
{ x=1 ) {x=1)
坐标(1,3)就是方程组 的解，所以这个方程组的解为 ．
2x−y+1=0 y=3
在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧的部分，如图2；y≤2x+1，也表示
一个平面区域，即直线y=2x+1以及它下方的部分，如图3．
回答下列问题：
{ x=−2 )
(1)在直角坐标系（如图4）中，用作图的方法求方程组 的解；
y=−2x+2
{ x≥−2 )
(2)用阴影表示 y≤−2x+2 所围成的区域．
y≥0
{x=−2)
【答案】(1)
y=6
(2)见解析
【分析】（1）两条直线的交点坐标就是两个一元二次方程的解，画出图象求交点解可；
（2）画出取不等式的等号时的图象，即可得出阴影部分的图形．
【详解】（1）解：在直角坐标系中，作出直线x=−2和直线y=−2x+2，如下图所示，∵点P的坐标(−2,6)，
{ x=−2 ) {x=−2)
∴方程组 的解为 ；
y=−2x+2 y=6
{ x≥−2 )
（2） y≤−2x+2 所围成的区域如下图阴影部分所示．
y≥0
【点睛】本题主要考查了利用图象解决问题，解题关键是理解图解法的应用，利用函数图象解决方程或不
等式问题．
【变式10-1】（2024八年级·全国·专题练习）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集( )
A． x−y≤−5 B． x+ y≥−5 C． x+ y≤5 D． x−y≤5
【答案】C
【分析】阴影部分的边缘可以看作是一条直线，可设其解析式并用待定系数法求之得y=−x+5，即
x+ y=5．因为阴影部分在直线的下方，即可理解为阴影部分中任意一点(x，y)满足x+ y≤5．
【详解】解：如图：点A的坐标为(0，5)，点B的坐标为(5，0)，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴¿，解得：¿，
∴直线AB的解析式为：y=−x+5，即x+ y=5，
∴直线上任意一点的横坐标x与纵坐标y的和等于5，
∵阴影部分中任意一点(x，y)的横坐标与纵坐标的和都小于5，
∴x+ y≤5，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与方程、不等式之间的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运
用．
【变式10-2】（2024八年级·全国·专题练习）如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）
{ 2x+ y≥5 ) { 2x+ y≤5 )
A． 3x+4 y≥9 B． 3x+4 y≤9
y≥0 y≥0
{ 2x+ y≥5 ) { 2x+ y≤5 )
C． 3x+4 y≥9 D． 3x+4 y≥9
x≥0 x≥0【答案】D
3 9
【分析】根据图形即可判断阴影部分是由x=0，y=−2x+5，y=− x+ 三条直线围起来的区域，再根
4 4
据一次函数与一元一次不等式的关系即可得出答案．
【详解】解：∵x≥0表示直线x=0右侧的部分，
2x+ y≤5表示直线y=−2x+5左下方的部分，
3 9
3x+4 y≥9表示直线y=− x+ 右上方的部分，
4 4
{ 2x+ y≤5 )
故根据图形可知：满足阴影部分的不等式组为： 3x+4 y≥9 ．
x≥0
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是根据图形利用一次函数与一元一次
不等式的关系正确解答．
【变式10-3】（24-25八年级·湖北随州·期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程x−y=0的
{x=1)
一个解 可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x−y=0的解为坐标的点的
y=1
全体叫作方程x−y=0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直
线，我们可以把方程x−y=0的图象称为直线x−y=0．
直线x－y＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x，y）的坐标满
0 0
足不等式x－y≤0，那么点M（x，y）就在直线x－y＝0的上方区域内。特别地，x=k（k为常数）表示横
0 0
坐标为k的点的全体组成的一条直线，y=m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线．请
根据以上材料，探索完成以下问题：8 3 13 5 9
（1）已知点A（2，1）、B（ ， ）、C（ ， ）、D（4， ），其中在直线3x−2y=4上的点有
3 2 6 4 2
（只填字母）；请再写出直线3x−2y=4上一个点的坐标 ；
{0≤x≤4)
（2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组 ，则所有的点P组成的图形的面积是 ；
0≤ y≤3
{0≤x≤1
)
（3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组 0≤ y≤2 ，请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图
x−y≥0
形（涂上阴影），并求出上述图形的面积．
1
【答案】（1）A、C；（0，-2）；（2）12；（3）见解析，面积为 ．
2
【分析】（1）将四点的坐标分别代入3x−2y=4，如果等式左右两边相等，那么点在直线上，否则点不
在直线上；将x=0代入3x−2y=4，求出y的值即可得到直线3x−2y=4上一个点的坐标；
（2）首先画出图形，再根据矩形面积公式计算即可；
（3）首先画出图形，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）∵3x−2y=4，
3x−4
∴y= ，
2
∴当x=2时，y=1，即点A（2，1）在直线3x−2y=4上；
8 3 8 3
当x= 时，y=2≠ ，即点B（ ， ）不在直线3x−2y=4上；
3 2 3 2
13 5 13 5
当x= 时，y= ，即点C（ ， ）在直线3x−2y=4上；
6 4 6 49 9
当x=4时，y=4≠ ，即点D（4， ）不在直线3x−2y=4上；
2 2
∴在直线3x−2y=4上的点有A、C；
将x=0代入3x−2y=4，得y=-2，
∴直线3x−2y=4上一个点的坐标可以是（0，-2）
故答案为：A、C，（0，-2）；
（2）图形如图所示，
面积为：4×3=12；
（3）图形如图所示：
∵x=1和x−y=0相交于A，
∴A(1,1)，
1
阴影部分面积= ×1×1，
2
1
= ．
2
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数的图像和性质，一次函数图像上点的坐标特征，
解题关键是明确题意，正确画出图形．
