文档内容
第 03 讲 幂函数与二次函数
目录
01 考情透视·目标导航.........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航.........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究.........................................................................................................................4
知识点1：幂函数..........................................................................................................................................................4
知识点2：二次函数......................................................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................7
题型一：幂函数的定义及其图像..............................................................................................................................10
题型二：幂函数性质的综合应用...............................................................................................................................11
题型三：由幂函数的单调性比较大小......................................................................................................................11
题型四：二次函数的解析式......................................................................................................................................12
题型五：二次函数的图象、单调性与最值..............................................................................................................13
题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题..................................................................................................14
题型七：二次方程实根的分布及条件......................................................................................................................15
题型八：二次函数最大值的最小值问题..................................................................................................................15
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................16
05课本典例·高考素材........................................................................................................................17
06易错分析·答题模板........................................................................................................................18
易错点：解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论......................................................................................18
答题模板：含参二次函数在区间上的最值问题......................................................................................................18考点要求 考题统计 考情分析
从近五年全国卷的考查情况来看，本
（1）幂函数的定义、图像与性 节内容很少单独命题，幂函数要求相
2020年天津卷第3题，5分
质 对较低, 常与指数函数、对数函数综
2020年江苏卷第7题，5分
（2）二次函数的图象与性质 合，比较幂值的大小，多以选择题、
填空题出现.
复习目标：
（1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.
（2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).知识点1：幂函数
1、幂函数的定义
一般地， ( 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称
为幂函数.
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
① 的系数为1； ② 的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在 上单调递 在 和
在 上单 在 上单调递 在 上单调
单调性 减，在 上单 上单调递
调递增 增 递增
调递增 减
公共点
【诊断自测】若幂函数 的图象经过点 ，则 ＝（ ）
A． B．2 C．4 D．
知识点2：二次函数
1、二次函数解析式的三种形式（1）一般式： ；
（2）顶点式： ；其中， 为抛物线顶点坐标， 为对称轴方程.
（3）零点式： ，其中， 是抛物线与 轴交点的横坐标.
2、二次函数的图像
二次函数 的图像是一条抛物线，对称轴方程为 ，顶点坐标为
.
（1）单调性与最值
①当 时，如图所示，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当
时， ；
②当 时，如图所示，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当
时，
（2）与 轴相交的弦长
当 时，二次函数 的图像与 轴有两个交点 和 ，.
3、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数 ，当 时， 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ，
令 ：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 ；
（4）若 ，则 .
【诊断自测】下列四个图象中，有一个图象是函数 的导数的图象，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
解题方法总结
1、幂函数 在第一象限内图象的画法如下：
①当 时，其图象可类似 画出；
②当 时，其图象可类似 画出；
③当 时，其图象可类似 画出．
2、实系数一元二次方程 的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3、一元二次方程 的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴 与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正
负.
设 为实系数方程 的两根，则一元二次 的根的分布与其
限定条件如表所示.
根的分布 图像 限定条件y
m n x
O
y
O m n x
y
在区间 内
没有实根
O m n x
y
O m n x
y
m n
O xy
n
m
O x
在区间 内
有且只有一个实根
y
m n
x
O
y
在区间 内
有两个不等实根
m
n x
O
4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区
间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意
对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；
③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数
值正负.
题型一：幂函数的定义及其图像
【典例1-1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点 ，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．【典例1-2】已知幂函数 （ 且 互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【方法技巧】
确定幂函数 的定义域，当 为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式
非负.当 时，底数是非零的.
【变式1-1】已知函数 为幂函数，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【变式1-2】（多选题）（2024·新疆喀什·一模）若函数 是幂函数，则实数m的值可能是
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】给出幂函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中满
足条件 的函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：幂函数性质的综合应用
【典例2-1】已知幂函数 的图象经过点 ，下面给出的四个结论：① ；②
为奇函数；③ 在R上单调递增；④ ，其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③【典例2-2】已知幂函数 在 上单调递减，函数 ，对任意 ，
总存在 使得 ，则 的取值范围为 .
【方法技巧】
紧扣幂函数 的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意 为奇数
时， 为奇函数， 为偶数时， 为偶函数.
【变式2-1】已知 .若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则 .
【变式2-2】已知函数 ，则满足 的x的取值
范围是 ．
【变式2-3】已知幂函数 （其中， ）为偶函数，且 在 上单调递减，则 的
值为 .
【变式2-4】已知函数 ，则关于 的表达式 的解集为 .
【变式2-5】满足 的实数m的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
题型三：由幂函数的单调性比较大小
【典例3-1】（2024·天津红桥·二模）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】设 ，则 大小关系是 .
【方法技巧】
在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较．
【变式3-1】（2024·河北衡水·三模）已知 ， ， ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【变式3-2】已知 ， ， ，则这三个数的大小关系为 ．（用“ ”连接）
【变式3-3】已知幂函数 的图象过点 是函数图象上的任意不同
两点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-4】（2024·高三·河北邢台·期中）已知函数 是幂函数，且在 上单
调递减，若 ，且 ，则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
题型四：二次函数的解析式
【典例4-1】（2024·高三·海南海口·开学考试）已知二次函数 的图象经过点 ，在x轴上截得的线
段长为2，并且对任意 ，都有 ，则 ＝ .
【典例4-2】写出同时满足下列条件①②③的一个函数 ．
① 是二次函数；② 是奇函数；③ 在 上是减函数．
【方法技巧】
求二次函数解析式的三个技巧
(1)已知三个点的坐标，选择一般式．
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，选择顶点式．
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，选择零点式．
【变式4-1】已知函数 （ ）的图象关于 轴对称，且与直线 相切，写出满足上
述条件的一个函数 ．
【变式4-2】已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是
．
【变式4-3】已知函数 ，当 时，都有 恒成立，则 .
【变式4-4】已知 是二次函数， ，且 ，则 .题型五：二次函数的图象、单调性与最值
【典例5-1】已知 ，并且m、n是方程 的两根，则实数a、b、m、n的大小关
系可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-2】（2024·高三·江苏苏州·期中）满足 的实数对 ， 构成的点
共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【方法技巧】
解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）若函数 在 上单调，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2024·高三·山东济宁·期中）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·广东珠海·模拟预测）已知函数 在区间 上是增函数，则实
数 的取值范围是 .
【变式5-4】若函数 在区间 上有最大值，则实数a的取值范围是 .
题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题
【典例6-1】已知函数 ．
(1)当 时，解关于x的不等式 ；
(2)函数 在 上的最大值为0，最小值是 ，求实数a和t的值．【典例6-2】已知函数 在 上的最大值为4，求 的值．
【方法技巧】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的
函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果得到最终答案.
【变式6-1】已知函数 ，其中 是实数．
(1) 在区间 上的最大值记为 ，求 的表达式；
(2) 在区间 上的最小值记为 ，求 的表达式；
(3)若 ，求实数 的值．
题型七：二次方程实根的分布及条件
【典例7-1】若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实根 ，且 ．则
实数a的取值范围为 ．
【典例7-2】方程 在区间 内有两个不同的根， 的取值范围为 ．
【方法技巧】
结合二次函数 的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，
从而解不等式求参数的范围.
【变式7-1】（2024·四川雅安·模拟预测）已知关于 的方程 在 上有实数根，
且满足 ，则 的取值范围是 ．
【变式7-2】关于 的方程 满足下列条件，求 的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于 ，一个根小于 ；(3)一个根在 内，另一个根在 内；
(4)一个根小于 ，一个根大于 ；
(5)两个根都在 内．
题型八：二次函数最大值的最小值问题
【典例8-1】已知函数 在区间 上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为
．
【典例8-2】已知函数 ，若对任意的 ，使得 ，求实数 的
取值范围是 ．
【方法技巧】
解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制.
【变式8-1】二次函数 为偶函数， ，且 恒成立．
(1)求 的解析式；
(2) ，记函数 在 上的最大值为 ，求 的最小值．
【变式8-2】已知函数 ，
(1)当 时，①求函数 单调递增区间；②求函数 在区间 的值域；
(2)当 时，记函数 的最大值为 ，求 的最小值．【变式8-3】（2024·高三·江苏南通·开学考试）记函数 在区间 上的最大值为 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023年天津高考数学真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））函数 的图象是
A． B． C． D．
1． 画出函数 的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v，（单位： ）与管道
半径r（单位：cm）的四次方成正比.
（1）写出气体流量速率v，关于管道半径r的函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为 ，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速
率v的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到 ）.
2． 试用描点法画出函数 的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶
性，并证明.
4．证明：
（1）若 ，则 .
（2）若 ，则 .
易错点：解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论
易错分析：在二次函数 中，当 时为二次函数，其图象为抛物线；当
时为一次函数，其图象为直线．在解決此类问题时，应注意 项的系数是否为0，若不能确定，应该分类
讨论．
【易错题 1】对于任意实数 x，不等式 恒成立，则实数 a 取值范围
（ ）
A． B． C． D．【易错题2】已知 对任意 恒成立，则 __________．
答题模板：含参二次函数在区间上的最值问题
1、模板解决思路
解决含参二次函数在区间上的最值问题常用的方法是数形结合与分类讨论.
2、模板解决步骤
第一步：通过观察二次函数的特征，分析二次函数参数的位置；
第二步：通过讨论含参二次函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论；
第三步：根据含参二次函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据二次函数的单调性求
出其最值；
第四步：得出结论．
【典例1】已知二次函数 同时满足以下条件：① ，② ，③ ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ， ，求 的最小值 ．
【典例2】已知二次函数 ，满足条件 和 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 ，求函数 在A上的最小值.
【典例3】已知函数 ．当 时，求函数 最大值的表达式 ；
