文档内容
重难点突破 03 三次函数的图象和性质
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................4
题型一：三次函数的零点问题....................................................................................................................................4
题型二：三次函数的最值、极值问题........................................................................................................................5
题型三：三次函数的单调性问题................................................................................................................................6
题型四：三次函数的切线问题....................................................................................................................................6
题型五：三次函数的对称问题....................................................................................................................................7
题型六：三次函数的综合问题....................................................................................................................................7
题型七：三次函数恒成立问题....................................................................................................................................9
题型八：等极值线问题..............................................................................................................................................10
03过关测试.........................................................................................................................................111、基本性质
设三次函数为： ( 、 、 、 且 )，其基本性质有：
性质1：①定义域为 ．②值域为 ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：
图像
性质2：三次方程 的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三
次函数为例来研究根的情况，设三次函数
其导函数为二次函数: ，
判别式为：△= ，设 的两根为 、 ，结合函数草图易得：
(1) 若 ，则 恰有一个实根；
(2) 若 ,且 ，则 恰有一个实根；
(3) 若 ,且 ，则 有两个不相等的实根；
(4) 若 ,且 ，则 有三个不相等的实根.
说明:(1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一次，即 在R上为单
调函数（或两极值同号），所以 （或 ，且 ）;
(5) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
，且 ;
(6) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共点，即 有一个极大
值，一个极小值，且两极值异号.所以 且 .
性质3：对称性
（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； ；（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2、常用技巧
（1）其导函数为 对称轴为 ，所以对称中心的横坐标也就是导函数
的对称轴，可见， 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同
时也是二阶导为零的点；
（2） 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于直线
对称.
（3）若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称.
（4）已知三次函数 的对称中心横坐标为 ，若 存在两个极值点 ， ，
则有 .题型一：三次函数的零点问题
【典例1-1】一般地，对于一元三次函数 ，若 ，则 为三次函数 的对称中心，
已知函数 图象的对称中心的横坐标为 （ ），且 有三个零点，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知 ， ， ，若三次函数 有三个零点 ， ， ，且满足
， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知三次函数 有两个零点，若方程 有四个实数根，
则实数a的范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知 ， 为三次函数，其图象如图所示.若 有9个零
点，则 的取值范围是 .
【变式1-3】已知三次函数 在 和 处取得极值，且 在 处的
切线方程为 .
（1）若函数 的图象上有两条与 轴平行的切线，求实数 的取值范围；（2）若函数 与 在 上有两个交点，求实数 的取值范围.
【变式1-4】已知三次函数 的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在 处的切线l经过点 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
题型二：三次函数的最值、极值问题
【典例2-1】已知三次函数 ，其导函数为 ，存在 ，满足
．记 的极大值为 ，则 的取值范围是 ．
【典例2-2】已知三次函数 无极值，且满足 ，则 .
【变式2-1】已知三次函数 在 上单调递增，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（多选题）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程 有
实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”
且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 图象的对称中心为 ，则下
列说法中正确的有（ ）
A． ， B．函数 的极大值与极小值之和为6
C．函数 有三个零点 D．函数 在区间 上的最小值为1
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知三次函数 的极小值点为 ，极大值点为 ，
则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-4】（2024·江西新余·二模）已知三次函数的导函数 ， ， 为实数.
(1)若曲线 在点 处切线的斜率为12，求 的值；
(2)若 在区间 上的最小值，最大值分别为 ，1，且 ，求函数 的解析式.题型三：三次函数的单调性问题
【典例3-1】（2024·江西景德镇·一模）设三次函数 (b，c为实数)的导数为 ，设
，若 在R上是增函数，则 的最大值为 .
【典例3-2】已知函数 .
（1）若函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直，函数 在 处取得极值，求函
数 的解析式.并确定函数的单调递减区间；
（2）若 ，且函数 在 上减函数，求 的取值范围.
【变式3-1】三次函数 在 上是减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：三次函数的切线问题
【典例4-1】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数 在R上是增函数，且存在垂直
于y轴的切线，则 的取值范围是 .
【典例4-2】（2024·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，
一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数 的图象是可由 ， ， ， 四点确定的贝塞
尔曲线，其中 ， 在 的图象上， 在点 ， 处的切线分别过点 ， .若 ， ，
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】已知函数 在点 处的切线方程为 ．若经过点
可以作出曲线 的三条切线，则实数 的取值范围为 ．
【变式4-2】（2024·广东深圳·一模）已知函数 ，设曲线 在
点 处切线的斜率为 ，若 均不相等，且 ，则 的最小值为 ．题型五：三次函数的对称问题
【典例5-1】（2024·高三·广东珠海·开学考试）设函数 是 的导函数.某同学经过探究发现，
任意一个三次函数 的图像都有对称中心 ，其中 满足 .
已知三次函数 ，若 ，则 .
【典例5-2】（2024·全国·模拟预测）对于三次函数 给出定义：设 是函
数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称
中心，且拐点就是对称中心，若 ，请你根据这一发现计算：
（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【变式5-1】设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点
为函数 的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称
中心．设 ，数列 的通项公式为 ，则 （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式5-2】函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数．
已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若 ，则 的值
为（ ）
A．－4 B．－2 C．0 D．2
【变式5-3】已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数 ，且
为曲线 的对称中心，则必有 其中函数 若实数 ， 满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
题型六：三次函数的综合问题
【典例6-1】若 ，关于 的一元二次方程 的两个根分别为 ，则方程可写成，即 ，容易发现根与系数的关系： 若
，设关于 的一元三次方程 的三个非零实数根分别为 ，则
.
【典例6-2】（多选题）已知三次函数 有三个不同的零点 ，函数
.则（ ）
A．
B．若 成等差数列，则
C．若 恰有两个不同的零点 ，则
D．若 有三个不同的零点 ，则
【变式6-1】（多选题）下列关于三次函数 叙述正确的是（ ）
A．函数 的图象一定是中心对称图形
B．函数 可能只有一个极值点
C．当 时， 在 处的切线与函数 的图象有且仅有两个交点
D．当 时，则过点 的切线可能有一条或者三条
【变式6-2】（多选题）（2024·江苏·模拟预测）已知三次函数 ，若函数
的图象关于点（1，0）对称，且 ，则（ ）
A． B． 有3个零点
C． 的对称中心是 D．
【变式6-3】给出定义:设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有
实数解 ，则称 )为函数 的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图象的对称中心.已知函数 的图象的对称中心为 ，讨论函数 的
单调性并求极值.
(2)已知函数 ，其中 .
（i）求 的拐点；（ii）若 ，求证: .
【变式6-4】对三次函数 ，如果其存在三个实根 ，则有
.称为三次方程根与系数关系.
(1)对三次函数 ，设 ，存在 ，满足 .证
明：存在 ，使得 ；
(2)称 是 上的广义正弦函数当且仅当 存在极值点 ，使得
.在平面直角坐标系 中， 是第一象限上一点，设
.已知 在 上有两根 .
（i）证明： 在 上存在两个极值点的充要条件是 ；
（ii）求点 组成的点集，满足 是 上的广义正弦函数.
题型七：三次函数恒成立问题
【典例7-1】已知 ，若不等式 对任意 恒成立，
则 的取值范围为 .
【典例7-2】若对于任意 ，存在 ，使得 成立，则实数a的取值范围是 .
【变式7-1】已知x＝2是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的极值点，且直线3x＋y－5＝0与曲线
y＝f(x)相切与点(1，f（1）).
(1)求实数a，b，c的值；
(2)若f(t)＝－1，f(s)＝5，求f(t＋s)的值；
(3)若对于任意实数x，都有f(x2－2x＋4)＋f(x2＋λx)＞4恒成立，求实数λ的取值范围.【变式7-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知三次函数 .
（1）若函数 过点 且在点 处的切线方程是 ，求函数 的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间 上任意两个自变量的值 ， ，都有 ，求出
实数 的取值范围.
【变式7-3】已知三次函数 ，a， ，若函数 的图象在 处的切线方程为
（I）求函数 的解析式；
（II）求函数 的极小值；
（Ⅲ）若存在 ，使得 成立，求实数m的取值范围.
题型八：等极值线问题
【典例8-1】设函数 ，其中a，b为实常数．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 存在极值点 ，且 其中 ．求证： ；
【典例8-2】设函数 ， ，其中 、 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求 的值.【变式8-1】设函数 ， ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证： ．
【变式8-2】设 ，已知函数 ．
(1)若 ，求实数a的值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)对于函数 的极值点 ，存在 ，使得 ，试问对任意的正数a， 是
否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
1．以下四图都是同一坐标系中某三次函数 及其导函数的图象，其中可能正确
的是（ ）
A． B．C． D．
2．人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数 都有对称中心，其对称中心为 （其中
）.已知函数 .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·一模）已知三次函数 ， ，且
有三个零点.若三次函数 和 均为 上的单调函数，且这两个函数的
导函数均有零点，则 零点的个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个或 个
4．（多选题）（2024·贵州·模拟预测）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方
程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数
都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 图象的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
A． ， B．函数 的极大值与极小值之和为2
C．函数 有三个零点 D． 在区间 上单调递减
5．（多选题）经研究发现：任意一个三次多项式函数 的图象都只有一个对
称中心点 ，其中 是 的根， 是 的导数， 是 的导数．若函数
图象的对称点为 ，且不等式 对任意
恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． 的值可能是 D． 的值可能是
6．（多选题）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，
则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”
就是三次函数图象的对称中心.已知函数 的对称中心为 ，则下列说法中正确
的有（ ）
A． ，B．函数 既有极大值又有极小值
C．函数 有三个零点
D．过 可以作三条直线与 图象相切
7．（多选题）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程 有实数
解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”
且“拐点”就是三次函数图像的对称中心． 已知函数 的对称中心为 ，则下
列说法中正确的有（ ）
A． B．函数 既有极大值又有极小值
C．函数 有三个零点 D．对任意 ，都有
8．（多选题）已知三次函数 有三个不同的零点 ，若函数
也有三个不同的零点 ，则下列等式或不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选题）对于三次函数 ，给出定义： 是函数 的导数，
是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.某
同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对
称中心.若函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的极大值为
B． 有且仅有2个零点
C．点 是 的对称中心
D．
10．（多选题）（2024·山西晋中·二模）对于三次函数 ，给出定义：设
是函数 的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称
为函数 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数 ，则（ ）
A． 一定有两个极值点
B．函数 在R上单调递增
C．过点 可以作曲线 的2条切线
D．当 时，
11．（多选题）（山东省枣庄市2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，若 有三个零点，则b的取值范围为
B．若 满足 ，则
C．若过点 可作出曲线 的三条切线，则
D．若 存在极值点 ，且 ，其中 ，则
12．已知三次函数 有三个零点 ， ， ，且在点 处切线的斜率为 ，则
.
13．已知所有的三次函数 的图象都有对称中心 ， ，若函数
，则 .
14．今年是我校建校100周年，也是同学们在宜丰中学的最后一年，朱朱与毛毛同学想以数学的浪漫纪念
这特殊的一年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，并把它放入一个盒子，埋藏
于宜丰中学的某角落，并为这“时间胶囊”设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学
谜语”中：在这盒子中有一枚我们留下的徽章，它由“N”，“K”两个字母组合而成.其中“N”蕴含在函数
的图象中，过点 与曲线相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了“K”的
形状，请你求出使满足条件的三条切线均存在的整数a的个数，这就是打开盒子的密码： .15．对于三次函数 ，经研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，而且三
次函数的拐点（使二阶导数 的点）正好是它的图像的对称中心．若 ，则
．（ 且 ）
16．已知三次函数 ，且 ， ，
，则
17．设 是 的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
的图象都有对称中心 ，其中 满足 .
（1）函数 的对称中心为 ；
（2）现已知当直线 和 的图象交于 、 、
三点时， 的图象在点 、点 处的切线总平行，则过点 可作 的
条切线.
18．（2024·四川成都·三模）若指数函数 （ 且 ）与三次函数 的图象恰好有两个不同
的交点，则实数 的取值范围是 .
19．已知三次函数 ，对于任意 ，均有 且存在唯一 ，满
足 ，则
20．已知函数 ， ，其中 、 ，若 存在极值点 ，且 ，
其中 ，则 .
21．设函数 ，其中 ．若 存在极值点 ，且 ，其中
，则 ．
22．已知 ，函数 恰有两个零点，则 的取值范围为 .
23．已知函数 ．若 时，函数 恰有两个不同的零点，则 的值为
，若 时， 的解集为 ，且 中有且仅有一个整数，则实数b的取值范围为 ．
24．函数 的图像如图所示，则 的取值范围是 ．25．给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数
解 ，则称 为函数 的“拐点”.经研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 图象的对称中心.
(1)若函数 ，求函数 图象的对称中心；
(2)已知函数 ，其中 .
（ⅰ）求 的拐点；
（ⅱ）若 ，求证： .
26．给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实
数解 ，则称 为函数 的.“固点”.经研究发现所有的三次函数
都有“固点”，且该“固点”也是函数 的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下
列问题：已知函数 .
(1)当 时，试求 的对称中心.
(2)讨论 的单调性；
(3)当 时， 有三个不相等的实数根 ，当 取得最大值时，求 的值.
27．已知三次函数 的极大值是20，其导函数 的图象经过点 ， .如
图所示.(1)求 的单调区间；
(2)求a，b，c的值；
(3)若函数 有三个零点，求m的取值范围.
28．（2024·高三·山东滨州·期中）已知三次函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程，
(2)讨论 的单调性.
29．已知三次函数 在 处取得极值，且在 点处的切线与直线 平行.
（1）求 的解析式；
（2）若函数 在区间(1，2)上单调递增，求 的取值范围.
30．已知三次函数 .
（1）若函数 在区间 上具有单调性，求a的取值范围；
（2）当 时，若 ，求 的取值范围.31．已知三次函数 ．
（1）求证： 是 的零点；
（2）如果 是 的零点，求证： 也是 的零点．
32．已知任意三次函数 都有对称中心 ，且
的对称中心为 ，
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
33．已知三次函数 过点 ，且函数 在点 处的切线恰好是直
线 .
(1)求函数 的解析式；
(2)设函数 ，若函数 在区间 上有两个零点，求实数 的取值范围.
