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专题13.21 课程学习（最短路径问题）（基础练）
一、单选题
1．在 中， ， ， ，直线m是 中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一
动点，则 的周长的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．11 D．13
2．如图，在等边三角形 中， 边上的高 ， 是高 上的一个动点， 是边 的中点，在
点 运动的过程中，存在 的最小值，则这个最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，在 ABC中，AB＝AC，BC＝4， ABC的面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于
E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ）
A．21 B．7 C．4 D．2
4．如图，在 中，点 是 边的中点，过点 作边 的垂线 ， 是 上任意一点， ，
．则 的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．5．如图，正方形 的面积为16， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一
点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，在 中， ， 是 的一条角平分线，点E，F分别是线段 ， 上的
动点，若 ， ，那么线段 的最小值是（ ）
A． B．5 C．4 D．6
7．如图，在等边 中，D为 的中点，P，Q分别在 ， 上，且 ， ，在
上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．18 D．19
8．如图，在等腰 中， ， 是 边上的高，点 是高 上任意一点，点 是边 上任
意一点， ， ， ，则 的最小值是（ ）A．3 B．5 C． D．
9．如图，等腰 中 ， ， 垂直平分 ，交 于点E，交 于点F，点G是线
段 上的一动点，若 的面积是 ， ，则 的周长最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知点D，E分别在 的边 ， 上，若 ， ，由作图痕迹可得，
的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
二、填空题
11．如图，已知空间站 与星球 距离为 ，信号飞船 在星球 附近沿圆形轨道行驶， ， 之间的距
离为 数据 表示飞船 与空间站 的实时距离，那么 的最小值 ．
12．如图，在△ABC中，AB=5，AC=7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，
BD，则△ABD周长的最小值为 ．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝ ，AC＝6，BC＝8，AB＝10，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，
则 APC周长的最小值为 ．
△
14．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，
则PB＋PE的最小值是 ．
15．如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC 中BC ，AB 边的中点，BC=6，点F是AD边上的动点，则
BF+EF 的最小值为 ．
16．如图，在 中， ， ，F是 边上的中点，点D，E分别在 边上运
动，且保持 ．连接 ，则 面积的最大值为 ．
17．如图，在四边形 中， 是 边的中点， ， ， ，若 ，则线段
长度的最大值是 ．18．如图，在面积为48的等腰 中， ， ，P是BC边上的动点，点P关于直线
AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为 ．
三、解答题
19．已知a，b，c是 的三边长．
（1）若 为等腰三角形，且周长为18， ，求b，c的值；
（2）若 ，且 的周长不超过20cm，求a取最大值时 的三边长．
20．如图，在 中，已知 ，若 ， 的周长是20．
（1）求作： 的垂直平分线交 于点N，交 于点M，连接 ．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)①求 的长度；
②若点P为直线 上一点，请直接写出 周长的最小值是______．21．如图， ，点P是 内一点， ，点M，N分别在 ， 上，求 的周长
的最小值．
22．在等边三角形 中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若 ，试求
的最小值．23．如图，在 中，已知 的垂直平分线交 于点N，交 于点M，连接 ．
（1）若 ，求 的度数．
（2）若 ， 的周长是 ．
①求 的长度；
②若点P为直线 上一点，请你求出 周长的最小值．
24．如图，在 中， ，AE平分∠BAC，BD⊥AC于D，E为BC 边上一点，AE、BD交于
点F，EG//BD．
（1）求证：AB=AG；
（2）当 时，在 上有一动点 ， 求 的最小值．参考答案
1．B
【分析】连接BP，设直线m交AB于点D，根据线段垂直平分线的性质可得BP=CP，从而得到当P和
D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，即可求解．
解：如图，连接BP，设直线m交AB于点D，
∵直线m垂直平分AB，
∴BP=CP，
∴CP+AP=BP+AP≥AB，
即当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∵ 的周长为AP+PC+AC，
∴△APC周长的最小值是AB+AC=6+4=10．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的
距离相等是解题的关键．
2．D
【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，根据等
边三角形的各边上的高相等，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．
【详解】连接CE，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC
∴EB=EC，
当C. F. E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
是等边三角形 边上的高，
和 中
∴AD=CF=8，
∴EF+BE的最小值为8，
故选D
【点拨】此题考查等边三角形的性质、轴对称－最短路线问题，解题关键在于作辅助线.
3．B
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面
积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD
的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，
∴S ABC= BC•AD= ×4×AD=14，
△
解得AD=7，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴CM+MD的最小值为7．
故答案为B．
【点拨】本题考查的是轴对称－最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等
腰三角形的三线合一是解答此题的关键．
4．D
【分析】连接BE，依据是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到AE+CE=BE+CE，依据
BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC
的周长最小值等于AC+BC．
【详解】如图，连接BE，
∵点D是AB边的中点， l⊥AB，
∴l是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∴AE+CE=BE+CE，
∵BE+CE≥BC，
∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，
∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了最短距离问题，利用线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
5．B
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为F，此时，FD+FE=BE最小，而
BE是等边三角形ABE的边，BE=AB，由正方形面积可得AB的长，从而得出结果．
解：由题意可知当点P位于BE与AC的交点时，有最小值．设BE与AC的交点为F，连接BD，
∵点B与点D关于AC对称
∴FD=FB
∴FD+FE=FB+FE=BE最小
又∵正方形ABCD的面积为16
∴AB=4
∵△ABE是等边三角形
∴BE=AB=4．
故选：B．
【点拨】本题考查的知识点是轴对称中的最短路线问题，解题的关键是弄清题意，找出相对应的相等
线段．
6．A
【分析】过点 作 于点 ，交 于 ，此时 ，即 的最小值，利用
面积法可求出 的值，即 的最小值．
解：过点 作 于点 ，交 于 ，， 是 的一条角平分线，
点 为底边 的中点， ， ，
点 、 关于 对称，
，
，此时 的最小值，
， ，
，
，
，
的最小值为 ．
故选A．
【点拨】本题考查轴对称 最短问题，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决
最值问题，属于中考常考题型．
7．A
【分析】作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，此时 的值最小．最小
值 ．
解： 是等边三角形，
， ，
∵D为 的中点， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，∵ ，
∴ ，
∴当点P、E、 三点在同一直线上时， 最小，则 最小，
即 的最小值为 ，
， ， ，
，
∴ ，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为28．
故选：A．
【点拨】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称
解决最短问题，属于中考常考题型．
8．D
【分析】如图所示，过点E作 于H，连接 ，先证明 得到 ，
再证明 得到 ，进而推出当 三点共线且点F与点H重合时， 有最
小值，即此时 有最小值，利用等面积法求出 的长即可得到答案．
解：如图所示，过点E作 于H，连接 ，
∵ ， 是 边上的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 三点共线且点F与点H重合时， 有最小值，即此时 有最小值，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故选D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判断，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关
键．
9．B
【分析】连接 ．利用三角形的面积公式求出 ，由 垂直平分 ，推出 ，推出
，由 ，推出 ， 的最小值为3，由此即可解决问题．
解：如图，连接 ．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为3，
∴ 的最小值为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，两点间线段最
短，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．C
【分析】根据作图痕迹可得 平分 ，结合 可得 ，根据点到直线距离
垂线段最短结合直角三角形 角所对直角边等于斜边一半即可得到答案；
解：由图像可得，
平分 ，
∵ ，
∴ ，
当 时， 最短，
∵ ，
∴ ，
故选C；
【点拨】本题考查角平分线作图，点到直线距离垂线段最短及直角三角形 角所对直角边等于斜边
一半，解题的关键是熟练掌握角平分线作图得到 平分 ．
11． /
【分析】三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站 与星球 、飞船 在同一直
线上时， 取到最小值，据此求解即可．
解：空间站 与星球 、飞船 在同一直线上且飞船 位于空间站 与星球 之间时， 取到最小值
．
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握相关知识点．12．12
【分析】MN与AC的交点为D，AD+BD的值最小，即△ABD的周长最小值为AB+AC的长．
解：MN与AC的交点为D，
∵MN是BC边上的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴AD+BD=AD+CD=AC，
此时AD+BD的值最小，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AC最小，
∵AB=5，AC=7，
∴AB+AC=12，
∴△ABD的周长最小值为12，
故答案为：12．
【点拨】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，线段垂直平分线的性质
是解题的关键．
13．14
【分析】由图形可得：△APC周长 ，因为AC＝3，所以求出 的最小值即可求
出△APC周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，
的值最小，即可得到结论．
解：如图所示，连接AE，BP，
∵直线EF垂直平分AB，∴A，B关于直线EF对称，
∴ ， ，
在 中，
，
∴当P和E重合时，C、P、B三点共线，
此时， 的值最小，最小值等于BC的长，
∴ 周长的最小值 ，
故答案为：14．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键
是准确找出动点的位置．
14．4
【分析】连接EC，交AD于点P，连接BP，此时PB＋PE的值最小，再根据等边三角形三线合一的性
质求得答案即可．
【详解】如图，连接EC，交AD于点P，连接BP，此时PB＋PE的值最小，且PB＋PE＝EC．因为点
E是AB的中点，所以CE是等边三角形ABC的高，所以CE＝AD＝4，即PB＋PE的最小值为4．
故答案为：4
【点拨】本题考查了等边三角形三线合一的性质，以及两点之间线段最短，根据两点之间线段最短找
到最短线段就是CE是解题的关键．
15． .
【分析】连接CE交AD于F，连接BF，则 最小，再根据等边三角形的性质求出EC的长即可.
解：连接CE交AD于F，连接BF，则 最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最
短）
∵三角形ABC为等边三角形，且D为BC边的中点,∴在 中： , .
∴ ,即AD为BC的垂直平分线，
∴C和B关于AD对称，则 ，
∴ ，
同理可得：
∴ ，
∴在 中由勾股定理得： .
故答案为： .
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形
的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．
16．
【分析】首先证明出 ，得到 ，进而得到
，推理出要 的面积最大，则 的面积最小即可，然后得
到当 最小时， 的面积最小，最后利用 求解即可．
【详解】如图，连接 ，∵在 中， ， ，点F是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为定值，
∴要 的面积最大，则 的面积最小即可，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
则当 最小时， 的面积最小，
当 时， 最小，此时 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌
握以上知识点．
17．14【分析】作 关于 的对称点 ， 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ， ，得出
是等边三角形，当 、 、 、 共线时 的值最大，最大值为 ．
解：作 关于 的对称点 ， 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ， ，如图所示：
∴ ，
∴ ， ， ，
同理可证： ， ， ，
是 边的中点，
，
，
，
．
．
．
是等边三角形．
，
，即 ，
当 、 、 、 共线时 的值最大，最大值为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，正确的作
出辅助线是解题的关键．
18．19.2
【分析】点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，根据三角形三边关系可得 ，
当点P与点B或点C重合时，P、M、N三点共线，MN最长，由轴对称可得 ， ，再由三
角形等面积法即可确定MN长度．
解：如图所示：点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，由图可得： ，
当点P与点B或点C重合时，如图所示，MN交AC于点F，此时P、M、N三点共线， MN最长，
， ，
∴等腰 面积为48， ，
∵
，
∴
，
，
∴故答案为： ．
【点拨】题目主要考查对称点的性质及三角形三边关系，三角形等面积法等，理解题意，根据图形得
出三点共线时线段最长是解题关键．
19．(1)
(2)a的最大值为4，此时三边长分别为4，7，9
【分析】（1）分情况：a是底边，a是腰，依据三角形的周长及三角形三边关系解答；
（2）根据三角形三边关系及三角形的周长列不等式组，求出 ，即可解答．
【详解】（1）解：若a是底边，则 ，则 ，
解得 ，∴ ；
若a是腰， ，则 ，
解得 ，
而 ，不能构成三角形，舍去，∴ ；
（2）根据三角形三边关系及周长得 ，
即 ，
解得 ，
∴a的最大值为4，
此时 ，
∴a的最大值为4，此时三边长分别为4，7，9．
【点拨】此题考查了三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边，建立不等式解决问题．
20．(1）见解析
(2)①8；②20
【分析】（1）根据垂直平分线的做法作图即可；
（2）①根据垂直平分线的性质得 ， 的周长是20． ，即可求 的长度；
②依据 ， ，即可得到当 与 重合时， ，此时
最小，进而得出 的周长最小值．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）① ， 的周长是 ，
即 ，
垂直平分 ，
，
，，
．
的长度为8．
②当 与 重合时， 的周长最小．
理由： ， ，
当 与 重合时， ，此时 最小值等于 的长，
的周长最小值 ．
【点拨】本题考查了轴对称 最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三
角形的性质．
21．10
【分析】分别作点P关于 ， 的对称点 ， ，连接 交 于M，交 于N， 的周
长 ，然后证明 是等边三角形，即可求解．
【详解】分别作点P关于 ， 的对称点 ， ，连接 交 于M，交 于N，连 ，
则 ， ， ， ， ，则 的周长的
最小值 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
的周长 ，
∴ ．
∴ 的周长的最小值是10．【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明
是等边三角形是关键．
22．12
【分析】如图，连接BE交AD于点P，此时 最小，据此求解即可．
解：如图，连接BE交AD于点P，此时 最小，
∵ 是等边三角形， ，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴ ．
∴ ．即BE就是 的最小值．
∵ ，点E是边AC的中点，
∴ ．
∴ 的最小值是12．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径问题，正确找到 最小的情形是
解题的关键．
23．（1）40°；（2）① ；② ．
【分析】（1）由等边对等角得到 ，再结合三角形内角和180°解得 ，接着
由垂直平分线的性质得到 ，继而由三角形内角和180°定理解题；（2）①由垂直平分线的性质解得 ，再结合三角形周长公式解题；
② 周长最小，即 最小，根据轴对称性质解得当点P与M重合时，即 最小，
等于 的长，据此解题．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的垂直平分线交 于点N，
∴ ，
∴ ；
（2）①∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∵ ， 的周长是 ，
∴ ；
② 周长 最小，即 最小，
根据轴对称性质得,当点P与M重合时，即 最小，
此时 周长的值最小，
∴ 周长的最小值 ．
【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质、轴对称—最短路线问题等知识，是重
要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24．（1）见详解；（2）6
【分析】（1）由题意易得∠EGA=∠EBA=90°，∠BAE=∠GAE，进而可得△ABE≌△AGE，然后根据三角形
全等的性质可求证；
（2）连接PC，由题意易得EG垂直平分线AC，则有AP=PC，然后根据三角不等关系可得当点B、P、C
三点共线时， 为最小值，即BC的长．
【详解】（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠GAE，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵EG∥BD，∴∠EGA=90°=∠EBA，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∴AB=AG；
（2）解：连接PC，如图所示：
∵ ，
∴∠EAG=30°，∠BAC=60°，AE=2BE=4，
∴∠ACB=30°，
∴AE=EC=4，
由（1）可得EG⊥AC，
∴AG=GC，
∴AP=PC，
∴AP+PB=PC+PB，
∵ ，
∴当点B、P、C三点共线时，取最小值，
∴AP+PB的最小值即为BC的长，
∴BC=BE+EC=6，
∴AP+PB的最小值为6．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及含30°角的直角三
角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质与判定及含30°角的直角三角形
的性质是解题的关键．
