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第 3 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
[考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、
相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等．
考点一 弦长、面积问题
核心提炼
已知A(x，y)，B(x，y)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
1 1 2 2
则|AB|＝
＝|x－x|
1 2
＝，
或|AB|＝|y－y|
1 2
＝.
例1 (2022·大庆模拟)已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点
A到左焦点F 的距离为1.
1
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F 的直线l与椭圆C交于点M，N，且S ＝，求直线l的方程．
1 △BMN
解 (1)由
得
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)方法一 由题意知，直线的斜率不为0，F(－1,0)，
1
设直线l的方程为x＝my－1，M(x，y)，
1 1
N(x，y)，
2 2
由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
Δ＝36m2＋4×9(3m2＋4)＝144(1＋m2)>0，
即y＋y＝，yy＝.
1 2 1 2
又S ＝·|BF|·|y|＋·|BF|·|y|
△BMN 1 1 1 2
＝·|BF|·|y－y|
1 1 2
＝·|BF|·
1
＝＝，解得m＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
方法二 由(1)知F(－1,0)，B(2,0)，
1
当直线l的斜率不存在时，|MN|＝3，点B(2,0)到直线l：x＝－1的距离为3，
所以S ＝≠，
△BMN
所以直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
y＝k(x＋1)，M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
由
得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，
所以x＋x＝，xx＝.
1 2 1 2
所以|MN|＝
＝·
＝·
＝·＝.
因为点B(2,0)到直线l的距离为d＝，
所以S ＝·|MN|·d
△BMN
＝··
＝，
即k2＝1，得k＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
易错提醒 (1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等．
(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉．
(3)|AB|＝x＋x＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．
1 2
跟踪演练1 (2022·宝鸡模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，一个焦点与抛物线C ：y2＝4x
1 2
的焦点F重合，且椭圆C 的离心率为.
1
(1)求椭圆C 的标准方程；
1
(2)过F点的直线l与C 交于A，B两点，与C 交于P，Q两点，且A，P点都在x轴上方，
1 2
如果|PB|＋|AQ|＝3|AB|，求直线l的方程．
解 (1)抛物线C ：y2＝4x的焦点为F(1,0)，
2
所以椭圆C 的一个焦点为F(1,0)，
1
设椭圆C 的方程为＋＝1(a>b>0)，
1
其中c2＝a2－b2，则c＝1，由椭圆C 的离心率为＝，
1
解得a＝2，则b＝，
所以椭圆C 的标准方程为＋＝1.
1
(2)由题意知直线l的斜率不为0，设其方程为x＝my＋1，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
P(x，y)，Q(x，y)，
3 3 4 4
由
可得y2－4my－4＝0，
Δ＝16m2＋16＝16(m2＋1)>0，
所以y＋y＝4m，yy＝－4，
3 4 3 4
则|PQ|＝x＋x＋2＝m(y＋y)＋4＝4m2＋4，
3 4 3 4
由
得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，
Δ＝36m2＋36(4＋3m2)＝144(m2＋1)>0，
所以y＋y＝，yy＝，
1 2 1 2
则|AB|＝
＝
＝，
由|PB|＋|AQ|＝3|AB|，
即|PB|＋|AQ|＝|PA|＋|AB|＋|QB|＋|AB|
＝|PA|＋|QB|＋2|AB|＝3|AB|，
得|PA|＋|QB|＝|AB|，
又|PA|＋|QB|＋|AB|＝|QP|，
所以|AB|＝|QP|，
即＝(4m2＋4)＝2(m2＋1)，
解得m2＝，即m＝±，
所以直线l的方程为x＝±y＋1，
即3x±y－3＝0.考点二 中点弦问题
核心提炼
已知A(x，y)，B(x，y)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x，y)，直线AB的斜率为k.
1 1 2 2 0 0
若E的方程为＋＝1(a>b>0)，
则k＝－·；
若E的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则k＝·；
若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.
例2 (2022·新高考全国Ⅱ)已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y
轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为________．
答案 x＋y－2＝0
解析 方法一 设直线l的方程为＋＝1(m>0，n>0)，分别令y＝0，x＝0，
得点M(m，0)，N(0，n)．
设A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，
所以即
因为k ＝k ，
AB MN
所以＝＝－.
将A(x，y)，B(x，y)代入椭圆方程，
1 1 2 2
得
相减得＋＝0，
由题意知x＋x≠0，x≠x，
1 2 1 2
所以·＝－，
即·＝－，
整理得m2＝2n2.①
又|MN|＝2，
所以由勾股定理，得m2＋n2＝12，②
由①②并结合m>0，n>0，
得
所以直线l的方程为＋＝1，
即x＋y－2＝0.方法二 设直线l的方程为＋＝1(m>0，n>0)，分别令y＝0，x＝0，
得点M(m，0)，N(0，n)．
由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，
设为Q，则Q，
则k ＝＝－，k ＝＝.
AB OQ
由椭圆中点弦的性质知，
k ·k ＝－＝－，
AB OQ
即·＝－，以下同方法一．
规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法
跟踪演练2 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于
直线l：x－y－2＝0对称的不同两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为( )
A．(1，－1) B．(2,0)
C. D．(1,1)
答案 A
解析 ∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，
∴y2＝2x.设点P(x，y)，Q(x，y)．
1 1 2 2
则
则(y－y)(y＋y)＝2(x－x)，
1 2 1 2 1 2
∴k ＝，
PQ
又∵P，Q关于直线l对称．
∴k ＝－1，即y＋y＝－2，
PQ 1 2
∴＝－1，
又∵PQ的中点一定在直线l上，
∴＝＋2＝1.
∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)．
考点三 直线与圆锥曲线位置关系的应用
核心提炼直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)联立直线方程与圆锥曲线方程．
(2)消元得到关于x或y的一元二次方程．
(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系．
例3 (1)(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直
线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
答案 2((1，]内的任意值均可)
解析 双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，
则2＞，∴≤4，∴e2＝＝1＋≤5，
又e＞1，∴e∈(1，]，
∴填写(1，]内的任意值均可．
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过
点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2
D．|BP|·|BQ|>|BA|2
答案 BCD
解析 如图，因为抛物线C过点A(1,1)，所以1＝2p，解得p＝，所以C：x2＝y的准线为y
＝－，所以A错误；
因为x2＝y，所以y′＝2x，所以y′| ＝2，所以C在点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
x＝1
即y＝2x－1，又点B(0，－1)在直线y＝2x－1上，所以直线AB与C相切，所以B正确；
设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
直线PQ的方程为y＝kx－1，
由得x2－kx＋1＝0，
所以x＋x＝k，xx＝1，
1 2 1 2
且Δ＝k2－4>0，得k>2或k<－2，
所以|OP|·|OQ|＝·＝
＝·xx
1 2
＝
＝>2＝|OA|2，
所以C正确；
|BP|·|BQ|＝
·
＝·
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝k2＋1>5＝|BA|2，
所以D正确．故选BCD.
易错提醒 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近
线平行．
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．
跟踪演练3 (1)(2022·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作
抛物线的一条切线，切点为B，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 A
解析 ∵抛物线C：y2＝4x的准线为l，
∴l：x＝－1，A(－1,0)，设过点A作抛物线的一条切线方程为x＝my－1，m>0，
由得y2－4my＋4＝0，
∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，
∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即y ＝2，
B
∴△OAB的面积为×1×2＝1.(2)(2022·六安模拟)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆在其上一
点A(x ，y)处的切线方程为＋＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C ：＋y2＝1，点B为
0 0 1
C 在第一象限中的任意一点，过B作C 的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两
1 1
点，O为坐标原点，则△OCD面积的最小值为( )
A．1 B. C. D．2
答案 C
解析 设B(x，y)(x>0，y>0)，由题意得，
1 1 1 1
过点B的切线l的方程为＋yy＝1，
1
令y＝0，可得C，令x＝0，可得D，
所以△OCD的面积S＝××＝，
又点B在椭圆上，所以＋y＝1，
所以S＝＝＝＋
≥2＝，
当且仅当＝，
即x＝1，y＝时，等号成立，
1 1
所以△OCD面积的最小值为.
专题强化练
一、单项选择题
1．(2022·丹东模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|
AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于( )
A. B. C．1 D．2
答案 C
解析 由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，
故A，B两点坐标为，代入抛物线方程可解得p＝1.
2．(2022·衡水中学质检)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也
是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半
轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为
12π，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 由题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，因为椭圆C的离心率为，面积为12π，
所以
解得a2＝16，b2＝9，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
3．(2022·宜宾模拟)已知双曲线C ：－＝1及双曲线C ：－＝1(a>0，b>0)，且C 的离心率
1 2 1
为，若直线y＝kx(k>0)与双曲线C ，C 都无交点，则k的值可以为( )
1 2
A．2 B. C. D．1
答案 B
解析 ∵C 的离心率为，∴c＝a，b＝2a，
1
∴双曲线C 的渐近线方程为y＝±x，双曲线C 的渐近线方程为y＝±2x，
1 2
而直线y＝kx(k>0)与双曲线C ，C 都无交点，则0b>0)，D(2,1)是椭圆M的一条弦AB的中点，点P(4，－1)在直线
AB上，则椭圆M的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则两式相减可得
＝－·，①
D(2,1)是椭圆M的一条弦AB的中点，
故x＋x＝4，y＋y＝2，
1 2 1 2
代入①式中可得
＝－·＝－，
又k ＝＝＝－1，
AB
故有a2＝2b2＝2(a2－c2)，
则a＝c，则e＝＝.
5．(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)
自上而下顺次与上述两曲线交于M，M，M，M 四点，则下列各式结果为定值的是( )
1 2 3 4
A．|MM|·|MM| B．|FM|·|FM|
1 2 3 4 1 4
C．|MM|·|MM| D．|FM|·|MM|
1 3 2 4 1 1 2
答案 A
解析 如图，分别设M，M，M，M 四点的横坐标为x，x，x，x，
1 2 3 4 1 2 3 4由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l：x＝－1，
0
由定义得，|MF|＝x＋1，
1 1
又|MF|＝|MM|＋1，
1 1 2
所以|MM|＝x，
1 2 1
同理|MM|＝x，
3 4 4
由消去y整理得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)，
则xx＝1，即|MM|·|MM|＝1.
1 4 1 2 3 4
6．(2022·杭州师大附中模拟)已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F ，F ，P(x ，y)(x>0，
1 2 0 0 0
y>0)为椭圆上一点，直线PF ，PF 分别交椭圆于M，N两点，则当直线MN的斜率为－时，
0 1 2
等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 由已知得F(－2,0)，F(2,0)，
1 2
设M(x ，y )，N(x ，y )，当直线PF ，PF 的斜率存在时，直线PF 的斜率为k ，则直线
M M N N 1 2 1 1
PF 的方程为：y＝k(x＋2)，
1 1
与椭圆方程联立得
(5k＋1)x2＋20kx＋20k－5＝0，
由根与系数的关系得x ＋x＝＝，
M 0
所以x ＝－x＝－，
M 0
故y ＝(x ＋2)＝－；
M M
同理得x ＝，y ＝，
N N
所以k ＝＝＝＝－＝－，解得＝5.
MN
当直线PF 或PF 的斜率不存在时，不符合题意．
1 2
二、多项选择题
7．已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x ，y)，B(x ，y)两点，O为坐标原点，
1 1 2 2
直线OA，OB的斜率分别记为k，k，则( )
1 2
A．y·y 为定值
1 2B．k·k 为定值
1 2
C．y＋y 为定值
1 2
D．k＋k＋t为定值
1 2
答案 ABD
解析 由得y2－4ty－16＝0，
则
对于A，yy＝－16为定值，A正确；
1 2
对于B，k·k＝＝＝＝－1，
1 2
为定值，B正确；
对于C，y＋y＝4t，不为定值，C错误；
1 2
对于D，k＋k＋t＝＋＋t
1 2
＝＋t
＝＋t
＝＋t
＝＋t＝－t＋t＝0，
则k＋k＋t为定值，D正确．
1 2
8．(2022·广东大联考)已知双曲线C的方程为－＝1，A，B两点分别是双曲线C的左、右顶
点，点P是双曲线C上任意一点(与A，B两点不重合)，记直线PA，PB的斜率分别为k ，
1
k，则( )
2
A．双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
B．若双曲线C的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度m(m>0)，则离心率变大
C．k·k 为定值
1 2
D．存在实数t使得直线y＝x＋t与双曲线左、右两支各有一个交点
答案 AC
解析 对于A，因为双曲线C的一个焦点F(5,0)，
渐近线方程化为4x±3y＝0，
∴焦点F到渐近线的距离为d＝＝4，故A正确；对于B，双曲线C的离心率e＝＝，
若C的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度m(m>0)，则离心率e′＝，
又－＝－＝<0，
∴e′.根据双曲线图象可知直线y＝x＋t若与双曲线C有两个交点，这两个交点必在双曲线的同
一支上，故D错误．
三、填空题
9．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围是______________．
答案 [1,4)∪(4，＋∞)
解析 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，
故点(0,1)在椭圆＋＝1上或内部，
∴≤1，且m>0，m≠4，
∴m≥1，且m≠4.
10．(2022·江西大联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为的直线l与C
交于M，N两点，若线段MN中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为________．
答案 5
解析 设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则y＝2px，y＝2px，
1 2
两式相减得y－y＝2px－2px，
1 2
即(y－y)(y＋y)＝2p(x－x)，
1 2 1 2 1 2
因为M，N两点在斜率为的直线l上，
所以＝，
所以由(y－y)(y＋y)＝2p(x－x)，
1 2 1 2 1 2
得(y＋y)＝2p，
1 2
因为线段MN中点的纵坐标为，
所以y＋y＝2，
1 2
则×2＝2p，p＝5，
所以F到C的准线的距离为5.
11．(2022·湛江模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过原点O的直线l交双
曲线C于A，B两点，且2|FO|＝|AB|，若∠BAF＝，则双曲线C的离心率是________．
答案 ＋1
解析 设右焦点为F′，连接AF′，BF′(图略)．
因为2|OF|＝|AB|＝2c，
即|FF′|＝|AB|，可得四边形AFBF′为矩形．在Rt△ABF中，
|AF|＝2c·cos∠BAF＝2c·＝c，
|BF|＝2c·sin∠BAF＝2c·＝c.
由双曲线的定义可得|AF|－|AF′|＝2a，
所以2a＝(－1)c，
所以离心率e＝＝＝＋1.
12．(2022·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F ，
1
F ，离心率为.过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是
2 1 2
________．
答案 13
解析 如图，连接AF ，DF ，EF ，因为C的离心率为，所以＝，所以a＝2c，所以b2＝a2
1 2 2
－c2＝3c2.因为|AF|＝|AF|＝a＝2c＝|FF|，所以△AFF 为等边三角形，又DE⊥AF ，所以直
1 2 1 2 1 2 2
线DE为线段AF 的垂直平分线，所以|AD|＝|DF|，|AE|＝|EF|，且∠EFF ＝30°，所以直线
2 2 2 1 2
DE的方程为y＝(x＋c)，代入椭圆C的方程＋＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设D(x ，y)，
1 1
E(x，y)，则x＋x＝－，xx＝－，
2 2 1 2 1 2
所以|DE|＝＝＝＝6，解得c＝，所以a＝2c＝，所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF|
2
＋|EF|＋|DE|＝4a＝13.
2
四、解答题
13．(2022·河北联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，直线x＝t，x＝t＋4与抛物线C分别交于
A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线交于点M.当t＝2时，直线AB
的斜率为1.
(1)求抛物线C的方程，并写出其准线方程；
(2)求△ABM的面积．
解 (1)当t＝2时，A，B两点坐标为，，故＝1，解得p＝4，
故抛物线C的方程为x2＝8y，
其准线方程为y＝－2.
(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，
A，B两点坐标分别为(x，y)，(x，y)，
1 1 2 2
且x－x＝4，联立
2 1
消去y得x2－8kx－8m＝0，Δ＝64k2＋32m>0，x＋x＝8k，xx＝－8m，
1 2 1 2
由x－x＝4，
2 1
得(x－x)2＝(x＋x)2－4xx＝16，
1 2 1 2 1 2
即64k2＋32m＝16，即4k2＋2m＝1.
|AB|＝|x－x|＝4.
1 2
由y＝x2，得y′＝x，
故A点处切线方程为y＝x(x－x)＋y，
1 1 1
即y＝xx－y，
1 1
同理得B点处切线方程为y＝xx－y，
2 2
联立解得
故点M的坐标为(4k，－m)，点M到直线AB的距离d＝，
则△ABM的面积S＝|AB|·d＝×4×＝2，
故△ABM的面积为2.
