文档内容
第 03 讲 圆的方程
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：求圆多种方程的形式............................................................................................................2
题型二：直线系方程和圆系方程........................................................................................................3
题型三：与圆有关的轨迹问题............................................................................................................4
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件................................................................7
题型五：点与圆的位置关系判断........................................................................................................8
题型六：数形结合思想的应用............................................................................................................9
题型七：与圆有关的对称问题..........................................................................................................11
题型八：圆过定点问题......................................................................................................................13
02 重难创新练....................................................................................................................................14
03 真题实战练....................................................................................................................................24题型一：求圆多种方程的形式
1．（2024·陕西榆林·二模）圆心在x轴的正半轴上，半径为8，且与直线 相切的圆的方程为
．
【答案】
【解析】根据题意，设圆心为坐标为
因为圆的半径为8，且与直线 相切，
则圆心到直线 的距离 ，
解得 或 （舍），则圆的坐标为 ，
所求圆的方程为
故答案为：
2．（2024·全国·模拟预测）与直线 相切于点 的圆的方程为 ．（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一，只要满足 即可，其中 为圆
心的横坐标，且 ）
【解析】设所求圆的圆心坐标为 ，
则 ，即 ，
所以满足条件的圆的方程为 ，
故只要满足 即可，
取 ，可得圆的方程为 ．
故答案为： （答案不唯一）
3．（2024·北京西城·二模）已知圆 经过点 和 ，且与直线 相切，则圆 的方程为 ．
【答案】
【解析】设圆 的方程为 ，则由题意可得 ，解得 ，
所以圆 的方程为
故答案为：
4．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知 ，则 外接圆的方程
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 外接圆的方程为
则有 ，解之得
则 外接圆的方程为
故选：D
题型二：直线系方程和圆系方程
5．圆心在直线 上，且经过两圆 和 的交点的圆的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可先设出圆系方程： ，
则圆心坐标为； ，
又圆心在直线 上，可得 ，解得 ，
所以圆的方程为： ，故A正确.
故选：A.
6．过圆 与 的交点，且圆心在直线 上的圆的方程是．
【答案】
【解析】设圆的方程为 ，
则 ，
即 ，所以圆心坐标为 ，
把圆心坐标 代入 ，可得 ，
所以所求圆的方程为 ．
故答案为： .
7．过两圆 与 的交点和点 的圆的方程是 .
【答案】
【解析】设所求圆的方程为：
将 代入得：
所求圆的方程为：
本题正确结果：
题型三：与圆有关的轨迹问题
8．（2024·湖南长沙·一模）已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于 两点， 是
的中点，则 点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】圆 ，
所以圆心为 ，半径为4，设 ，
由线段AB的中点为D，可得 ，
即有 ，
即 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆；故答案为： .
9．长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB的中点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】由题意，可知 ， 为AB的中点，
得 为定值 ，则点P的轨迹方程为 ，
故答案为： .
10．已知等腰三角形 的底边 对应的顶点是 ，底边的一个端点是 ，则底边另一个端点
的轨迹方程是
【答案】 （去掉 两点）
【解析】设 ，由题意知， ，
因 是以 为底边的等腰三角形，于是有 ，即点C的轨迹是以A为圆心， 为半
径的圆，
又点 构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B 及点B关于点A对称的点 ，
所以点 的轨迹方程为 (去掉 两点).
故答案为： (去掉 两点)
11．由圆 外一点 引圆的割线交圆于 两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【解析】［方法一］：【通性通法】【最优解】直接法
设弦 的中点 的坐标为 ,连接 、 ,则 ．
在 中,由勾股定理有 ，而 在圆内，
所以弦AB的中点M的轨迹方程为 .
［方法2］：定义法
因为 是 的中点,所以 ,所以点 的轨迹是以 为直径的圆,圆心为 ,半径为 ，所以该圆的方程为: ,化简得
［方法3］：交轨法
易知过 点的割线的斜率必然存在，设过 点的割线的斜率为 ,
则过 点的割线方程为: .
∵ 且过原点, 的方程为
∴
这两条直线的交点就是 点的轨迹.两方程相乘消去 ,化简,得: ，
其中 .
［方法4］：参数法
设过 点的割线方程为: ,它与圆 的两个交点为 、
的中点为 ，设 .
由 可得， ，所以， ，即有
， ，消去 ，
可求得 点的轨迹方程为： ， ．
［方法5］：点差法
设 ,则 .
.两式相减,整理,得 .
∵
所以 ,即为 的斜率，
而 的斜率又可表示为 ,化简并整理,得 .
其中 .
12．已知 的斜边为 ，且 .求：
(1)直角顶点 的轨迹方程；(2)直角边 的中点 的轨迹方程.
【解析】（1）设 ，因为 三点不共线，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
整理得 ，即 ，
所以直角顶点 的轨迹方程为 .
（2）设 ，
因为 ， 是线段 的中点，
由中点坐标公式得 ，所以 ，
由（1）知，点 的轨迹方程为 ，
将 代入得 ，即
所以动点 的轨迹方程为 .
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
13．（2024·高三·福建龙岩·期中）“方程 表示的图形是圆”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由方程 表示的图形是圆，
可得 ，
即 ；
由 ，
得 ，
显然 ，
所以“方程 表示的图形是圆”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B．
、
14．（2024·广东广州·三模）设甲：实数 ；乙：方程 是圆，则甲是乙的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程 表示圆，则 ，解得： ；
∵ ， ，， 甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
15．已知“ ”是“ ”表示圆的必要不充分条件，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若表示圆，则 ，
解得 .
“ ”是“ ”表示圆的必要不充分条件，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B
题型五：点与圆的位置关系判断
16．若点 在圆O： 外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】圆 化成标准方程为 ，
点 在圆O外，则有 ，
即 ，解得 或 .
故选：D．
17．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）若点 在圆 的外部，则a的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，方程 可以表示圆，则 ，得 ；
由点 在圆 的外部可知： ，得 .
故 .
故选：C
18．若点 在圆 的内部，则a的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，半径 ，所以 ，把点 代入方程，
则 ，解得 ，所以故a的取值范围是 .
故选：D
19．（多选题）（2024·广西·模拟预测）若点 在圆 的外部，则 的取值
可能为（ ）
A． B．1 C．4 D．7
【答案】BC
【解析】由题设 ， 在圆外，
则 ，解得 .
故选：BC
题型六：数形结合思想的应用
20．若直线 ： 与曲线 ： 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可得直线 ： 即 ，所以直线 恒过定点 ，曲线 ：
图象为以 为圆心，2为半径的上半圆（包含 轴部分），
它们的图象如图所示：当直线 过点 时，它们有两个交点，此时 ，
当直线 与上半部分圆相切时，有一个交点，此时 ，
由图象可知，若直线 与曲线 有两个不同的交点，则 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为：
21．直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 可得 ，整理可得 ，其中 ，
所以，曲线 表示圆 的下半圆，如下图所示：
当直线 与曲线 相切时，由图可知， ，且有 ，解得 ，
当直线 过点 时，则有 ，
由图可知，当 时，直线 与曲线 有两个公共点，
故选：B.
22．（2024·吉林白山·统考二模）若过点 且斜率为k的直线l与曲线 有且只有一个交点，
则实数k的值不可能是( )
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】如图，
曲线 即 表示以O为圆心，2为半径的上半圆，
因为直线 即 与半圆相切，所以 ，解得 ．
因为 所以 ，
又直线l与曲线 有且只有一个交点，所以 或 ，
所以实数k的取值范围是
故选：B
题型七：与圆有关的对称问题
23．若曲线 上相异两点P、Q关于直线 对称，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D【解析】若曲线 上相异两点P、Q关于直线 对称，
则圆心 在直线 上，故代入解得 ，
故选：D．
24．已知圆 ： 与圆 ： 关于直线 对称，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ， ，则 的中点的坐标为 ，
直线 的斜率 .
由圆 与圆 关于 对称，得 的斜率 .
因为 的中点在 上，所以 ，即 .
故选：C.
25．已知圆 关于直线 对称，则实数 （ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【解析】由 得 ，
则圆心坐标为 ，又因为圆 关于直线 对称，
故由圆的对称性可知：圆心 在直线 上，
则 .
故选：D.
26．圆 与圆N关于直线 对称，则圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
关于直线 的对称点是 ，
所以圆 的圆心是 ，半径是 ，
所以圆 的方程为 .故选：D
题型八：圆过定点问题
27．对任意实数 ，圆 恒过定点，则定点坐标为 ．
【答案】 或
【解析】 ，即 ，
令 ，解得 ， ，或 ， ，
所以定点的坐标是 或 ．
故答案为： 或 .
28．点 是直线 上任意一点， 是坐标原点，则以 为直径的圆经过定点（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】D
【解析】设点 ，则线段 的中点为 ，
圆 的半径为 ，
所以，以 为直径为圆的方程为 ，
即 ，即 ，
由 ，解得 或 ，
因此，以 为直径的圆经过定点坐标为 、 .
故选：D.
29．已知二次函数 的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为 ，
则圆 经过定点的坐标为 （其坐标与 无关）
【答案】 和
【解析】二次函数 的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为 ，
易知 ， 满足 ， ， ， ，设圆 方程为，则
，
①－②得 ， ，∴ ，从而 ，
代入③得 ，
∴圆 方程为 ，
整理得 ，
由 得 或 ．
∴圆 过定点 和 ．
1．（2024·广东珠海·一模）已知点 ， ，点 是圆 上任意一点，则 面积
的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【解析】两点 ，B(0,3)，则 ，直线 方程为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，点 到直线 的距离 ，
因此点 到直线 距离的最小值为 ，
所以 面积的最小值是 .
故选：D
2．（2024·山东济南·三模）圆 上的点到直线 的距离的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【答案】C
【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
所以圆 上的点到直线 的距离的最大值为 .
故选：C.
3．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点 在圆 上运动，点 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由圆 ，可得圆心 ，半径 ，
又A(−2,0)，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
故选：A.
4．（2024·陕西商洛·三模）已知 是圆 上任意一点，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，变形可得 ，则 的几何意义为直线 的斜率，
圆 化为 ，
所以圆 的圆心为 ，半径为 .
因为P(x ,y )是圆 上任意一点，
0 0
所以圆 与直线 有公共点，即圆的圆心 到直线 的距离不大于圆
的半径，
所以 ，解得 ，
即 的最大为 .
故选:D.
5．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通
径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆 的一条直
径与拋物线 的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】因为圆 的一条直径与抛物线 的通径恰好构成一个正方形的一组
邻边，
而抛物线 的通径与 轴垂直，
所以圆 的这条直径与 轴垂直，
且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，
因为圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以该圆与 轴垂直的直径的上端点为(2,1)，
即抛物线 经过点(2,1)，则 ，即 .
故选：C6．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知 ， ， ，点P是圆 上的一点，
则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】点 ，B(−2,0)， ，设 ，
则
，
因为点P在圆 上运动，
所以 表示圆 上的点到点 的距离的平方，
所以 的最小值为 ，
即 的最小值为 .
故选：D﹒
7．（2024·山西晋中·模拟预测）已知直线l： 与圆 ： ，下列说法正确的是
（ ）
A．所有圆 均不经过点 B．若 关于l对称，则
C．若l与 相交于AB且 ，则 D．存在与x轴和y轴均相切的圆
【答案】A
【解析】对于A，若圆 经过点 ，则 ，化简整理得 ，
因为 ，所以方程无解，
所以所有圆 均不经过点 ，所以A正确，
对于B，圆 ： 的圆心为 ，若 关于l对称，则直线 过圆心，所以 ，得 ，所以B错误，
对于C，因为l与 相交于AB且 ，所以圆心到直线的距离为 ，
所以 ，解得 或 ，所以C错误，
对于D，若存在与x轴和y轴均相切的圆 ，则 ，此方程组无解，
所以不存在与x轴和y轴均相切的圆 ，所以D错误，
故选：A
8．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知拋物线 ，其焦点 到准线的距离为2，过焦点
且斜率大于0的直线 交拋物线于 两点，以 为直径的圆 与准线相切于点 ，则圆 的标
准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】抛物线 的焦点到准线距离为2，则 （因为 ），
焦点为 ，准线方程是 ，抛物线方程是 ，
又 轴， ，所以 的纵坐标为2，
设 ， ，
，两式相减得 ，
所以 ，又 ， ，
即 ，所以圆 半径为 ，
圆 方程为 ．
故选：A．9．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知复数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则复数z在复平面内所对应的点的轨迹方程为
【答案】BCD
【解析】复数 ， ,
对于A， ，故A错误；
对于B，设 ，则 ，所以 ，则
，
所以点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
由于 ，将问题转化为点 与点 距离的范围，
所以 ， ，则 ，故B正确；
对于C，设 ，则 ， ，
由于 ，则 ，化简可得： ，即 ，
所以 ，
所以当 时， ，故C正确；
对于D，设 ，则 ， ，
所以 ，即点 到点 与到点 的距离
之和为定值 ，
根据椭圆的定义可得复数z在复平面内所对应的点的轨迹是以焦点为 与 ，长轴长为 的椭圆，
则其轨迹方程为 ，故D正确；
故选：BCD
10．（多选题）（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗
尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为
常数 （ ，且 ），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系 中，已知，点M满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 面积的最大值为12 B． 的最大值为72
C．若 ，则 的最小值为10D．当点M不在x轴上时，MO始终平分
【答案】ABD
【解析】对于A，设点 ，由 ，得 ，
化为 ，所以点M的轨迹是以点 为圆心、4为半径的圆，
所以 面积的最大值为 ，故A正确；
对于B，设线段AB的中点为N， ，
当点M的坐标为 时取等号，故 的最大值为72，故B正确；
对于C，显然点 在圆外，点 在圆内，
，当B，M，Q三点共线且点M
在线段BQ之间时， ，故C错误；
对于D，由 ，|OB|=2，有 ，当点M不在x轴上时，
由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是 中 的平分线，故D正确．
故选：ABD．
11．（多选题）（2024·贵州遵义·二模）已知平面内曲线 ： ，下列结论正确的是
（ ）
A．曲线 关于原点对称
B．曲线 所围成图形的面积为
C．曲线 上任意两点同距离的最大值为
D．若直线 与曲线 交于不同的四点，则【答案】AC
【解析】对于A，在曲线 ： 中， 分别换 方程不变，
因此曲线 关于原点对称，A正确；
对于B，当 时， ，即 表示以点 为圆心， 为
半径的圆在第一象限的圆弧，
圆弧端点 ， ， ，则 ，
，扇形 的面积 ，
在曲线 的方程中，用 换 或者用 换 方程都不变，则曲线 关于 对称，也关于 轴对称，
所以曲线 所围成图形的面积为 ，B错误；
对于C，由选项B知，曲线 在第二象限、在第三象限、在第四象限内的部分
分别是以点 为圆心，半径为 的圆弧，圆心角都等于 ，
由图知，两个点分别在两段圆弧上时，两点间的距离才可能最大，由圆的性质知，
当两个点在相邻两个象限的圆弧上时，两点间距离最大值等于 ，
当两个点在相对两个象限的圆弧上时，两点间距离最大值等于 ，
而 ，所以曲线 上任意两点同距离的最大值为 ，C正确；
对于D，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 都在曲线 在第四象限的圆弧下方，
点 到直线 的距离 ，
于是直线 曲线 无公共点，且在曲线 的下方，
当 时，直线 在曲线 的下方，与曲线 无公共点，D错误.12．（2024·陕西榆林·三模）在 中， ，则 面积的最大值为 .
【答案】3
【解析】
取 中点 ，以 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
因为 ，故 ，
设 ，则 ,
整理得 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆（除去点 ， ），
则当 时， 面积取最大值，
此时 .
故答案为：3.
13．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点 关于直线 的对称点在圆 内，则
实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设 与 关于直线 对称，则 ，解得 ，即 ，
因为 在圆 的内部，所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
14．（2024·上海·模拟预测）平面点集 所构成区域的面积为
.
【答案】
【解析】点集 为以 为圆心， 为半径的圆上的点的集
合，
又点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
所以平面点集 所构成区域为图中阴影，
面积为 .
故答案为： .
15．（2024·湖南邵阳·三模）写出满足“点 在圆 外部”的一个 的值：
．
【答案】4（答案不唯一， ）
【解析】圆 ，则 ，
由点 在圆 外部，得 ，
解得 ，取 .
故答案为：4
16．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设 ， 是半径为3的球体 表面上两定点，且 ，球体 表
面上动点 满足 ，则点 的轨迹长度为 .
【答案】
【解析】以 所在的平面建立直角坐标系， 为 轴， 的中垂线为 轴：则 ， ， ，设 ，由 ，可得： ，
整理得到： ，故点 在平面的轨迹是以 为圆心，半径 的圆，
转化到空间中：当 绕 为轴旋转一周时， ， 不变，依然满足 ，
故空间中点 的轨迹为以 为球心，半径为2的球，同时点 在球 商，故点 在两球的交线，为圆，
球心距为 ，
所以 为直角三角形，对应圆的半径为 ，周长为
故答案为：
1．（2023年高考全国乙卷数学真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域 内随机
取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为区域 表示以 圆心，外圆半径 ，内圆半径 的圆环，
则直线 的倾斜角不大于 的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角 ，
结合对称性可得所求概率 .故选：C.
2．（2007年普通高等学校招生考试数学试题（福建卷））以双曲线 的右焦点为圆心，且与其右
准线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得， ，根据 ，求得 ，则双曲线的右焦点坐标为
，右准线方程 ，
由此可知，圆的圆心为 ，半径为1，则圆的方程为 .
故选：B
3．（2004年普通高等学校招生考试数学试题（全国卷III））圆 过点 的切线方程
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，圆 ： ，圆心 在圆上，
，
所以切线的斜率为 ，
所以在点 处的切线方程为 ，
即 .故选：D.
4．（2001年普通高等学校招生考试数学试题（全国卷））过点 ， ，且圆心在直线
上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为过点 与 ，
所以线段AB的中点坐标为 ， ，
所以线段AB的中垂线的斜率为 ，
所以线段AB的中垂线的方程为 ，
又因为圆心在直线 上，
所以 ，解得 ，
所以圆心为 ，
所以圆的方程为 .
故选：A
5．（2006年普通高等学校招生考试数学试题（重庆卷））以点 为圆心且与直线 相切
的圆的方程是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，圆的半径 ，故所求圆的方程为 .
故选C
6．（2004年普通高等学校招生考试数学试题（全国卷IV））已知圆 的半径为2，圆心在 轴的正半轴
上，直线 与圆 相切，则圆 的方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意设圆心坐标为 ，∵圆 与直线 相切，
∴ ，解得a=2．
∴圆心为 ，半径为 ，
∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4，即 ．
故选D．
7．（2004 年普通高等学校招生考试数学试题（北京卷））圆 的圆心坐标是 ，
如果直线 与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由 知圆的圆心坐标为 ， ，
直线 与该圆有公共点，
则圆心 到直线 的距离小于等于半径，
所以 ，化简得： .
所以实数a的取值范围是： .
故答案为： ； .
8．（2004年普通高等学校招生考试数学试题（上海卷））圆心在直线 上的圆 与 轴交于
， 两点，则圆 的一般方程为 .
【答案】
【解析】设圆 的一般方程为 .
因圆心 在直线 上，
所以 ，即 .
①
又因点 ， 在圆 上，
所以 ，②
由①②，解得 ， ， ，
所以圆 的一般方程为 .
故答案为： .9．（2019年浙江省高考数学试卷）已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 .若直线 与圆相
切于点 ，则 ， .
【答案】
【解析】可知 ，把 代入得 ，此时 .
