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第 03 讲 幂函数与二次函数
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数 ，则函数 的图象大致
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 图像与 的图像关于 轴对称，
由 解析式，作出 的图像如图
从而可得 图像为B选项.
故选：B.
2．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在区间 上单调递增，所以 且 在区间 上恒成立，
所以 ，解得 或 .
故选：B
3．（2023·海南·模拟预测）已知函数 ， ， 的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图象可知： ， .
故选：C.
4．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数 ，若 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因 为开口向下的二次函数，对称轴为 ，故函数在 上单调递减；
为开口向上的二次函数，对称轴为 ，故函数在 上单调递减，且 ，因此函数
在R上单调递减，则 ，即
，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 。
故选：D
5．（2023·北京海淀·一模）设 ，二次函数 的图象为下列之一，则 的值为（
）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知 ， ，
所以二次函数 的图象不关于 轴对称，故排除第一、二个函数图象，
当 时，该二次函数的对称轴为 ，故第四个图象也不满足题意，
当 时，该二次函数的对称轴为 ，开口向下，故第三个函数图象满足题意.
此时函数图象过坐标原点，故 ，解得 ，
由于 ，故 .
故选：B
6．（2023·河南新乡·高三校联考开学考试）已知函数 若 的最小值为6，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为当 时， ，当且仅当 时，等号成
立，
所以当 时， ，当 时， 的最小值大于或等于6.
当 时， 在 上单调递减，则 .
由 得 ；
当 时， .
由 得 .
综合可得 .故选：C．
7．（2023·全国·模拟预测）已知x， ，满足 ， ，则
（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】令 ， ，则 ，
∴ 为奇函数．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
又∵ 在R上单调递增，
∴ ，即 ．
故选：B．
8．（2023·贵州毕节·统考二模）已知 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，根据指数函数 在 上单调递减得 ，
，根据幂函数 在 上单调递增知 ，则 ，
，根据对数函数 在 上单调递减得 ，
综上 .
故选：D.9．（多选题）（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由幂函数的性质知， 在 上单调递增.
因为 ,所以 ，即 ， ，
所以 ．故A正确；
令 ，则 ，故B错误；
令 ，则
由函数单调性的性质知， 在 上单调递增， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，即 ，于是有 ，故C正确；
令 ，则 ，
所以因为 ，故D错误．
故选：AC.
10．（多选题）（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知幂函数 图像经过点 ，
则下列命题正确的有（ ）
A．函数 为增函数 B．函数 为偶函数
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BD
【解析】将点 代入函数 得： ，则 .
所以 ，显然 在定义域 上为减函数，所以A错误；
，所以 为偶函数，所以B正确；
当 时， ，即 ，所以C错误；当若 时，
假设 ，整理得
，化简得， ，
即证明 成立，
利用基本不等式， ，因为 ，故等号不成立，
成立；
即 成立，所以D正确.
故选：BD.
11．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（
）
A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}
B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}
C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|01}
【答案】BCD
【解析】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是 ，解得 ，
A错误；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是 ，解得 ，B正确；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是 ，解得 ，C正确；
方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的充要条件是 ，解得 ，
，故必要条件是m∈{m|m>1}，故D正确.
故选：BCD.
12．（多选题）（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）设二次函数 的值域为 ，下列各值（或式子）中一定大于 的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】因为二次函数 的值域为 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以
，
由于 ， ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
对于A： ，故A 错误；
对于B： ，故B正确；
对于C：令 ，则 ，故C错误；
对于D： ，
，故D正确；
故选：BD
13．（2023·上海闵行·统考一模）已知二次函数 的值域为 ，则函数
的值域为______．
【答案】【解析】由二次函数 的值域为 得：
解得： 或 （舍去）
所以
因为
所以函数 的值域为：
故答案为： .
14．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数 ______.
① 在 上恒成立；② 是偶函数；③ .
【答案】 （答案不唯一，形如 均可）
【解析】由②知，函数 可以是奇函数，由①知，函数 在 上可以是减函数，
由③结合①②，令 ，显然 ，满足①； 是偶函数，满足②；
，满足③，
所以 .
故答案为：
15．（2023·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知函数 且 的图象经
过定点 ， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，设幂函数 ，
因为幂函数 的图象经过 ，
所以 ，
因此 ，
故答案为：
16．（2023·新疆阿克苏·校考一模）已知二次函数 （a，b为常数）满足 ，且方程 有两等根， 在 上的最大值为 ，则 的最大值为__________.
【答案】1
【解析】已知方程 有两等根，即 有两等根，
，解得 ；
，得 ， 是函数图象的对称轴.
而此函数图象的对称轴是直线 ， ，
故 ，
若 在 上的最大值为 ，
当 时， 在 上是增函数， ，
当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数， ，
综上， 的最大值为1.
故答案为：1.
17．（2023·高三课时练习）已知 是一元二次方程 的两个实数根.
(1)是否存在实数 ，使得 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使 的值为整数的实数 的整数值.
【解析】（1）假设存在实数 ，使得 成立，
一元二次方程 的两个实数根，
，(不要忽略判别式的要求)，
由韦达定理得 ，
，
但 ，
不存在实数 ，使得 成立.（2） ，
要使其值是整数，只需要 能被 整除，
故 ，即 ，
，
.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，且函数 的值域为 .
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程 有三个不同的实数根，求实数k的取值范围.
【解析】（1）由题意知， ，即 ，解得 .
（2）由 在 上恒成立，可化为 在 恒成立；
令 ，由 ，可得 ，
则 在 上恒成立.
记 ，函数 在 上单调递减，所以 .
所以 ，解得 ，所以实数m的取值范围是 .
（3）方程 有三个不同的实数根，
可化为 有三个不同根.
令 ，则 .当 时， 且递减，
当 时， 且递增，当 时， ，
当 时， 且递增.
设 有两个不同的实数根 且 .
原方程有3个不同实数根等价于 或 .记 ，则 或
解得 .
综上，实数k的取值范围是 .
19．（2023·高三课时练习）已知幂函数 （m为正整数）的图像关于y轴对称，且在
上是严格减函数，求满足 的实数a的取值范围．
【解析】因为函数 在 上是严格减函数，所以 ，解得 ．
由m为正整数，则 或 ,
又函数 的图像关于y轴对称，得 是偶函数，
而当 时， ， 为奇函数，不符题意，
当 时， ， 为偶函数，于是 ．
因为 为奇函数，在 与 上均为严格减函数，
所以 等价于 或 或 ，
解得 或 ，即 .
20．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知幂函数 的定义域为
R.
(1)求实数 的值；
(2)若函数 在 上不单调，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题意 且 ，解得 ；
（2）由（1） ， 的对称轴 ，
因为 在 上不单调，所以 ，
解得 ．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知 在区间 上的值域为 .
(1)求实数 的值；
(2)若不等式 当 上恒成立，求实数k的取值范围.【解析】（1）函数 是开口向上，对称轴为 的二次函数，根据 的图像有：
当 时， 在 上的最小值 ，
不符合 ，舍；
当 时， 在 上的最小值 或 （舍），
， ，满足题意；
当 时， 在 上的最小值 （舍），
；
（2）由(1)， ，不等式为 ，
即 ，令 ，则 ， 在 时恒成立，
令 ，是对称轴为 开口向上的抛物线，在 时单调递减，
， ，即k的取值范围是 ；
综上， .
22．（2023·湖南长沙·高三校联考期中）已知函数 在区间 上有最大
值2和最小值1.
(1)求 的值；
(2)不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 且方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由已知可得 .
当 时， 在 上为增函数，所以 ，解得 ；
当 时， 在 上为减函数，所以 ，解得 .
由于 ，所以 .
（2）由（1）知 ，
所以 在 上恒成立，即 ，因为 ，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
又 ，当且仅当 时取等号.
所以 ，即 .
所以求实数 的范围为 .
（3）方程 化为 ，
化为 ，且 .
令 ，则方程化为 .
作出 的函数图象
因为方程 有三个不同的实数解，
所以 有两个根 ，
且一个根大于0小于1，一个根大于等于1.
设 ，
记 ，
根据二次函数的图象与性质可得
，或 ，
解得 .所以实数 的取值范围为 .
1．（2013·浙江·高考真题）已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则
（ ）
A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0
【答案】A
【解析】由f (0)＝f （4），得f (x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－ ＝2，∴4a＋b＝0，
又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先减后增，于是a>0，
故选：A.
2．（2016·浙江·高考真题）已知函数 ，则“b＜0”是“ 的最小值与f(x)的最小值
相等”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意知 ，最小值为 ．
令 ，则 ，
当 时， 的最小值为 ，所以“ ”能推出“ 的最小值与 的最小值相等”；
当 时， 的最小值为0， 的最小值也为0，所以“ 的最小值与 的最小值相
等”不能推出“ ”．故选A．
考点：充分必要条件．
3．（2015·四川·高考真题）如果函数 在区间 上单调递减，
则mn的最大值为
A．16 B．18 C．25 D．
【答案】B
【解析】 时，抛物线的对称轴为 .据题意，当 时， 即 .
.由 且 得 .当 时，抛物线开口向下，据题意得， 即 . .由 且 得 ，故
应舍去.要使得 取得最大值，应有 .所以 ，所以最
大值为18.选B..
4．（2015·陕西·高考真题）对二次函数 （ 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，
其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A． 是 的零点 B．1是 的极值点
C．3是 的极值 D．点 在曲线 上
【答案】A
【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确， ，因为 是 的极值点， 是 的极
值，所以 ，即 ，解得： ，因为点 在曲线 上，所以
，即 ，解得： ，所以 ， ，所以 ，
因为 ，所以 不是 的零点，所以选项A错误，选项B、C、D
正确，故选A．
5．（2015·湖北·高考真题） 为实数，函数 在区间 上的最大值记为 . 当
_________时， 的值最小.
【答案】 ．
【解析】因为函数 ，所以分以下几种情况对其进行讨论：
①当 时，函数 在区间 上单调递增，所以 ；
②当 时，此时
， ，而 ，所以 ；
③当 时， 在区间 上递增，在 上递减．当 时，
取得最大值 ；
④当 时， 在区间 上递增，当 时， 取得最大值 ，
则 在 上递减， 上递增，即当
时， 的值最小．故答案为： ．
6．（2015·浙江·高考真题）已知函数 ，记 是 在区间 上的最大
值.
（1）证明：当 时， ；
（2）当 ， 满足 ，求 的最大值.
【解析】（1）由 ，得对称轴为直线 ，由 ，得
，故 在 上单调，∴ ，当 时，由
，得 ，即 ，当 时，由
，得 ，即 ，综上，当 时，
；（2）由 得 ， ，故 ， ，由
，得 ，当 ， 时， ，且 在 上的最大值为
，即 ，∴ 的最大值为 ..
7．（2015·浙江·高考真题）设函数 .
（1）当 时，求函数 在 上的最小值 的表达式；
（2）已知函数 在 上存在零点， ，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，故其对称轴为 .
当 时， .
当 时， .
当 时， .
综上，
（2）设 为方程 的解，且 ，则 .由于 ，因此 .
当 时， ，
由于 和 ，
所以 .
当 时， ，
由于 和 ，所以 .
综上可知， 的取值范围是 .
考点：1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.
