文档内容
第 04 讲 指数与指数函数
目录
01 考情透视·目标导航.........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航.........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究.........................................................................................................................4
知识点1：指数及指数运算..........................................................................................................................................4
知识点2：指数函数......................................................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................5
题型一：指数幂的运算................................................................................................................................................6
题型二：指数函数的图象及应用................................................................................................................................7
题型三：指数函数过定点问题....................................................................................................................................8
题型四：比较指数式的大小........................................................................................................................................8
题型五：解指数方程或不等式....................................................................................................................................9
题型六：指数函数的最值与值域问题......................................................................................................................10
题型七：指数函数中的恒成立问题..........................................................................................................................10
题型八：指数函数的综合问题..................................................................................................................................12
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................13
05课本典例·高考素材........................................................................................................................14
06易错分析·答题模板........................................................................................................................15
答题模板1：指数型复合函数的值域问题...............................................................................................................15
答题模板2：指数型复合函数的单调问题...............................................................................................................16考点要求 考题统计 考情分析
从近五年的高考情况来看，指数
2023 年新高考 I 卷第 4 题，5
运算与指数函数是高考的一个重点也
分
（1）指数幂的运算性质 是一个基本点，常与幂函数、二次函
2023年乙卷第4题，5分
（2）指数函数的图像与性 数 、对数函数、三角函数综合，考查
2022年甲卷第12题，5分
质 数值大小的比较和函数方程问题.在利
2020年新高考II卷第11题，5
用指数函数的图像与性质应用上，体
分
现了逻辑推理与数学运算素养.
复习目标：
（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识点1：指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 ， ，记为 ， 称为根指数，
称为根底数．
(2)根式的性质：
当 为奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数.
当 为偶数时，正数的 次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算 中的一个参数， 为底数， 为指数，指数位于底数的右上角，
幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂 ；②零指数幂 ；
③负整数指数幂 ， ；④ 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
① ， ， ；② ， ， ；
③ ， ， ；④ ， ， ．
【诊断自测】化简下列各式：
（1） =
（2） （ =
（3 设 ，则 的值为知识点2：指数函数
图
y y
象
a (1,a)
1 (1,a) 1
a
O 1 x O 1 x
性 ①定义域 ，值域
质
② ，即时 ， ，图象都经过 点
③ ，即 时， 等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤ 时 ， ； 时 ， 时， ； 时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【诊断自测】若指数函数 且 在 上的最大值为 ，则 .
解题方法总结
1、指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“ ”和“ ”两种情形讨论．
(2)当 时， ， ； 的值越小，图象越靠近 轴，递减的速度越快．
当 时 ， ； 的值越大，图象越靠近 轴，递增速度越快．
(3)指数函数 与 的图象关于 轴对称．
题型一：指数幂的运算
【典例1-1】已知 （ 且 ），则 ．（结果用 表示）【典例1-2】（1） ；
（2）已知 ， ，求 的值.
【方法技巧】
（1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.
（2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．
【变式1-1】（多选题）已知 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】已知函数 .
(1)求证 为定值；
(2)若数列 的通项公式为 （ 为正整数， ， ， ， ），求数列 的前 项和 ；
题型二：指数函数的图象及应用
【典例2-1】已知 且 ，则函数 与 在同一直角坐标系中的图象大致是
（ ）A． B．
C． D．
【典例2-2】（2024·黑龙江·二模）已知函数 的图象经过原点，且无限接近直线 ，但又
不与该直线相交，则 （ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等
变换得到，当 时，指数函数 的图像呈上升趋势；当 时，指数函数 的图像呈下
降趋势.
【变式2-1】已知 是方程 的两个根，则 .
【变式2-2】（2024·高三·山西·期末）已知函数 的图象经过坐标原点，且当 趋向于正无
穷大时， 的图象无限接近于直线 ，但又不与该直线相交，则 .
【变式2-3】直线 与函数 且 的图像有两个公共点，则 的取值范围是 .
【变式2-4】设方程 的解为 ， ，方程 的解为 ， ，则
．题型三：指数函数过定点问题
【典例3-1】（2024·高三·河北·期末）已知函数 ，且 的图象恒过定点 ，若点 在直
线 上，其中 ，则 的最小值为 .
【典例3-2】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则 等于 .
【方法技巧】
恒过定点 ．
【变式3-1】已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点 的坐标为 .
【变式3-2】（2024·山东济宁·一模）已知函数 且 的图象过定点A，且点A在直线
上，则 的最小值是 .
【变式3-3】函数 ，无论 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 .
题型四：比较指数式的大小
【典例4-1】（2024·云南·二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（2024·河南·模拟预测）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【方法技巧】
比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
【变式4-1】（2024·辽宁·一模）设 则（ ）
A． B．
C． D．【变式4-2】已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·陕西·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
题型五：解指数方程或不等式
【典例5-1】（多选题）甲、乙两人解关于x的方程 ，甲写错了常数b，得到的根为
或 ，乙写错了常数c，得到的根为 或 ，则下列是原方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·河北邯郸·一模）不等式 的解集为 .
【方法技巧】
利用指数的运算性质解题.对于形如 ， ， 的形式常用“化同底”转化，再利
用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如 或 的形式，
可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.
【变式5-1】不等式 的解集为 ．
【变式5-2】若 、 为方程 的两个实数解，则 ．
【变式5-3】已知 和 是方程 的两根，则 .
题型六：指数函数的最值与值域问题
【典例6-1】（2024·高三·云南楚雄·期末）已知奇函数 在 上的最大值为 ，则．
【典例6-2】（2024·高三·江苏镇江·开学考试）设函数 是定义域为R的偶函数.
(1)求p的值；
(2)若 在 上最小值为 ，求k的值.
【方法技巧】
指数函数的最值与值域问题通常利用指数函数的单调性解决.
【变式6-1】已知函数 ，且 ，若函数 在[0，2]上的最大值比最小值大 ，
则 的值为 .
【变式6-2】已知函数 在 处取得最小值 .
(1)求 ， 的值；
(2) ，求函数 ， 的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的 值.
题型七：指数函数中的恒成立问题
【典例7-1】已知函数 ，若 ，使得 ，则
实数a的取值范围是 .
【典例7-2】（2024·高三·河北衡水·开学考试）已知函数 是奇函数，且 .
(1)求 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.【方法技巧】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的
图象，再利用数形结合的方法来解决．
【变式7-1】（2024·高三·山东枣庄·开学考试）已知函数 ，若存在非零实数 ，使得
成立，则实数 的取值范围是 .
【变式7-2】（2024·高三·陕西商洛·期中）已知函数 在区间 上有最小值2和
最大值10．
(1)求 ， 的值；
(2)设 ，若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【变式7-3】已知定义在R上的函数 满足：对任意 都有 ，且当 时，
， 对任意 恒成立，则实数k的取值范围是 .
【变式7-4】已知函数 是奇函数，且过点 ．
(1)求实数m和a的值；
(2)设 ，是否存在正实数t，使关于x的不等式 对
恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．题型八：指数函数的综合问题
【典例8-1】已知函数 若关于 的方程 有5个不
同的实数根，则 的取值范围为 .
【典例8-2】若函数 是定义在 上的奇函数，且 对任意
恒成立，则 的取值范围为 ．
【方法技巧】
指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是
指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
【变式8-1】已知函数 ，则不等式 的解集为 .
【变式8-2】（2024·高三·湖北·期中）已知 是定义域为 的奇函数.
(1)函数 ， ，求 的最小值.
(2)是否存在 ，使得 对 恒成立，若存在，求 的取值范围；若不存在，说明
理由.
【变式8-3】我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为
奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函
数 为奇函数．根据这一结论，解决下列问题．
已知函数 ．
(1)证明：函数 的图象关于点 对称；
(2)若 ，求实数 的取值范围．【变式8-4】（2024·河南平顶山·模拟预测）已知函数 且 ）为定义在R上的奇函
数
(1)利用单调性的定义证明：函数 在R上单调递增；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数 有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【变式8-5】已知函数 的表达式为 .
(1)若 ，求函数 的值域；
(2)当 时，求函数 的最小值 ；
(3)对于（2）中的函数 ，是否存在实数 ，同时满足下列两个条件：（i） ；（ii）当
的定义域为 ，其值域为 ；若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．记
，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 是偶函数，则 （ ）A． B． C．1 D．2
3．（2023年天津高考数学真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
1．（1）当n= 1，2，3，10，100，1000，10000，100000，……时，用计算工具计算 的值；
（2）当n越来越大时， 的底数越来越小，而指数越来越大，那么 是否也会越来越大？有没
有最大值？
2．从盛有 纯酒精的容器中倒出 ，然后用水填满；再倒出 ，又用水填满……
（1）连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？
（2）连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？
3．（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值.4．已知函数 的图象过原点，且无限接近直线 但又不与该直线相交.
（1）求该函数的解析式，并画出图象；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
5．已知f(x)=ax，g(x)= (a>0，且a≠1).
（1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性；
（2）如果f(x)
