文档内容
第 03 讲 导数与函数的极值、最值
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：函数的极值..................................................................................................................................................4
知识点2：函数的最大（小）值..................................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................5
题型一：求函数的极值与极值点................................................................................................................................6
题型二：根据极值、极值点求参数............................................................................................................................7
题型三：求函数的最值（不含参）............................................................................................................................8
题型四：求函数的最值（含参）................................................................................................................................9
题型五：根据最值求参数..........................................................................................................................................10
题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用......................................................................................................11
题型七：不等式恒成立与存在性问题......................................................................................................................12
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................13
05课本典例·高考素材........................................................................................................................13
06易错分析·答题模板........................................................................................................................15
易错点：对f(x)为极值的充要条件理解不清..........................................................................................................15
0
答题模板：求可导函数 f(x) 的极值..........................................................................................................................15考点要求 考题统计 考情分析
2024年I卷第10题，6分
高考对最值、极值的考查相对稳定，属
2024年II卷第16题，15分
于重点考查的内容．高考在本节内容上无论
2024年II卷第11题，6分
试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研
2024年甲卷第21题，12分
（1）函数的极值 究函数的有力工具这一点，将函数的单调
2023年乙卷第21题，12分
（2）函数的最值 性、极值、最值等本质问题利用图像直观明
2023年II卷第22题，12分
了地展示出来，其余的就是具体问题的转化
2022年乙卷第16题，5分
了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最
2022年I卷第10题，5分
值，因为它们是导数永恒的主题．
2022年甲卷第6题，5分
复习目标：
（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．
（2）会用导数求函数的极大值、极小值．
（3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识点1：函数的极值
（1）函数的极小值
如果对 附近的所有点都有 ，而且在点 附近的左侧 ，右侧 ，则称
是函数的一个极小值，记作 ．
（2）函数的极大值
函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点都有 ，而且在点 附近的左侧
，右侧 ，则称 是函数的一个极大值，记作 ．
（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
（4）求 极值的步骤
①先确定函数 的定义域；
②求导数 ；
③求方程 的解；
④检验 在方程 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，
那么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值．
② 是 为极值点的既不充分也不必要条件，如 ， ，但 不是极值点．
另外，极值点也可以是不可导的，如函数 ，在极小值点 是不可导的，于是有如下结论：
为可导函数 的极值点 ；但 为 的极值点．
【诊断自测】（2024·辽宁·三模）下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（ ）
A． B．C． D．
知识点2：函数的最大（小）值
（1）函数 在区间 上有最值的条件：
如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
（2）求函数 在区间 上的最大（小）值的步骤：
①求 在 内的极值（极大值或极小值）；
②将 的各极值与 和 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【诊断自测】函数 的最小值为 ．
解题方法总结
（1）若函数 在区间D上存在最小值 和最大值 ，则
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
不等式 在区间D上恒成立 ；
（2）若函数 在区间D上不存在最大（小）值，且值域为 ，则
不等式 在区间D上恒成立 ．
不等式 在区间D上恒成立 ．
（3）若函数 在区间Ｄ上存在最小值 和最大值 ，即 ，则对不等式有
解问题有以下结论：
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
不等式 在区间D上有解 ；
（4）若函数 在区间D上不存在最大（小）值，如值域为 ，则对不等式有解问题有以下结
论：不等式 在区间D上有解
不等式 在区间D上有解
（5）对于任意的 ，总存在 ，使得 ；
（6）对于任意的 ，总存在 ，使得 ；
（7）若存在 ，对于任意的 ，使得 ；
（8）若存在 ，对于任意的 ，使得 ；
（9）对于任意的 ， 使得 ；
（10）对于任意的 ， 使得 ；
（11）若存在 ，总存在 ，使得
（12）若存在 ，总存在 ，使得 ．
题型一：求函数的极值与极值点
【典例1-1】“ 是函数 的一个极值点”是“ 在 处导数为0”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【典例1-2】如图，可导函数 在点 处的切线为 ，设 ，则
下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 是 的极大值点 D． 是 的极小值点
【方法技巧】
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程 根左右的符号，更要注意变号后极大值与
极小值是否与已知有矛盾．2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越 轴，否
则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
【变式1-1】（2024·辽宁鞍山·二模） 的极大值为 ．
【变式1-2】（2024·河南·三模）已知函数 ，且 在 处的切线方程是 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求函数 的单调区间和极值．
【变式1-3】（2024·北京东城·二模）已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)求函数 在区间 上的极值点个数.
【变式1-4】已知函数 ，其中 ．讨论 的极值点的个数．
题型二：根据极值、极值点求参数
【典例2-1】（2024·广西·模拟预测）设 ，若 为函数 的极大值点，则
（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·高三·陕西咸阳·期中）若函数 既有极大值也有极小值，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：求解后验证根的合理性．【变式2-1】已知函数 在 处取得极小值 ，则 的值为 ．
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上恰有两个极值点，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·四川·模拟预测）已知函数 的导函数 ，若 不是
的极值点，则实数 .
【变式2-4】若函数 存在唯一极值点，则实数 的取值范围是 .
【变式2-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）若 是函数 的两个极值点且 ，
则实数 的取值范围为 .
【变式2-6】已知函数 ，若 是 的极大值点，则a的取值范围是 ．
【变式2-7】已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极大值点和极小值点．若 ，
则实数 的取值范围是 ．
题型三：求函数的最值（不含参）
【典例3-1】函数 的最小值为 ．
【典例3-2】函数 （ 为常数）在 上有最大值3，则 在 上的最小值为
．
【方法技巧】
求函数 在闭区间 上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 ，
与 的各极值进行比较得到函数的最值．
【变式3-1】（2024·浙江杭州·二模）函数 的最大值为 ．
【变式3-2】当 时，函数 取得极值，则 在区间 上的最大值为 ．
【变式3-3】（2024·高三·山东青岛·开学考试）已知 ，则 的最小值为 .题型四：求函数的最值（含参）
【典例4-1】已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间与极值；
(2)求 在 上的最小值.
【典例4-2】（2024·四川南充·二模）设函数 ， ．
(1)求函数 的单调性区间；
(2)设 ，证明函数 在区间 上存在最小值A，且 ．
【方法技巧】
若所给的闭区间 含参数，则需对函数 求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从
而得到函数 的最值．
【变式4-1】（2024·四川自贡·一模）函数 的最小值为 .
(1)判断 与2的大小，并说明理由：
(2)求函数 的最大值.
【变式4-2】已知函数 .
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)讨论 在区间 上的最小值.【变式4-3】已知函数 ，当 时，记 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，
求 的取值范围.
【变式4-4】已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间和极值；
(3)当 时，求函数 在 上的最大值.
题型五：根据最值求参数
【典例5-1】（2024·河南南阳·一模）已知函数 在区间 上有最小值，则
整数 的一个取值可以是 ．
【典例5-2】已知 ，若函数 有最小值，则实数 的最大值为 .
【方法技巧】
已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围．
【变式5-1】（2024·广西南宁·一模）已知函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围为
.
【变式5-2】（2024·广东·二模）已知函数 的最小值为0，则a的值为 .
【变式5-3】已知函数 的最小值为1，则 的取值范围为 .
【变式5-4】若函数 的最小值为0，则实数a的最大值为 .
题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用
【典例6-1】已知 ，g（x）＝f（x）＋ax-3，其中a∈（0，＋∞）．
（1）判断f（x）的单调性并求其最值；
（2）若g（x）存在极大值，求a的取值范围，并证明此时g（x）的极大值小于0．【典例6-2】（2024·高三·湖南·期末）已知函数 有两个不同的极值点 .
（1）求 的取值范围.
（2）求 的极大值与极小值之和的取值范围.
（3）若 ，则 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由.
【方法技巧】
函数单调性、极值、最值的综合应用通常会用到分类讨论、数形结合的数学思想方法.
【变式6-1】设
(1)若 ，讨论 的单调性;
(2)若 ，求 的最大值(用 表示);
(3)若 恰有三个极值点，直接写出 的取值范围.
【变式6-2】（2024·海南·模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围．
(2)设函数 有一个极大值为 ，一个极小值为 ，试问： 是否存在最小值？若存在最小值，求
出最小值；若不存在最小值，请说明理由．题型七：不等式恒成立与存在性问题
【典例7-1】已知函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围
．
【典例7-2】已知函数 ， ．若 ，
，使 成立，则实数 的取值范围为 ．
【方法技巧】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的
最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
【变式7-1】函数 对任意 成立，则 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
【变式7-2】（2024·山东泰安·二模）已知函数 .
(1)若 的极大值为 ，求 的值；
(2)当 时，若 使得 ，求 的取值范围.
【变式7-3】（2024·高三·陕西商洛·期中）已知函数 ， ，若 成立，则
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选题）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
2．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
3．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数 在区间 的最小值、最
大值分别为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）当 时，函数 取得最大值 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
5．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数 既有极大值也有极
小值，则（ ）．
A． B． C． D．
1．将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．
(1)试把方盒的容积V表示为x的函数；
(2)x多大时，方盒的容积V最大？
2．用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据 ， ， ，…，
．证明：用n个数据的平均值 表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小．
3．已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b 元/件时，可卖出c件.市场调查表明，
当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
4．已知函数 ，试确定p，q的值，使得当 时， 有最小值4．
5．已知函数 在 处有极大值，求c的值．
6．已知A，B两地的距离是 、根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在 ，假设油
价是7元/L，以 的速度行驶时，汽车的耗油率为 ，司机每小时的工资是35元．那么最
经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？
易错点：对f(x )为极值的充要条件理解不清
0
易错分析：对 为极值的充要条件理解不清，导致出现多解.答题模板：求可导函数 f(x) 的极值
1、模板解决思路
解决求可导函数 的极值的问题，关键是检验定义域内导数值为 0 的点左右两侧的导数值是否异
号，若异号，则该点为极值点，否则不为极值点.
2、模板解决步骤
第一步：先确定函数 的定义域；
第二步：求导数 ；
第三步：求方程 的解；
第四步：检验 在方程 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近
为负，那么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值．
【易错题1】已知函数 ，其中 ，若 是 的极小值点，则实数a
的取值范围为 ．
【易错题2】函数 在 取得极值，则实数 .
