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专题19.36 一次函数几何分类专题（存在性问题）
1．（18-19八年级下·山西·阶段练习）综合与探究： 如图，直线 的表达式为 ，与 轴交于
点 ，直线 交 轴于点 ， ， 与 交于点 ，过点 作 轴于点 ， ．
（1）求点 的坐标；
（2）求直线 的表达式；
（3）求 的值；
（4）在 轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）已知在x轴上存在一点P，使得 的面积为5，则点P的坐标为 ．3．（22-23八年级下·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l： 经过点 ，
与y轴相交于点 ．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）在y轴上是否存在点M，使 是等腰三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说
明理由．
4．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为 的图象
经过点 ，且与正比例函数 的图象 交于点 ，与 轴交于点C．
（1）填空：①直线 的表达式为______②当 时， 的取值范围是______
（2）在y轴上是否存在一点P，满足 ，若存在请求出点P坐标．
5．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，
直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 与 交于点 ．
（1）求点 和点 的坐标
（2）求直线 的表达式；
（3）在线段 上是否存在一点 使得 为等腰三角形，若存在，请求出点 的坐标，若不存在，
请说明理由．
6．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知直线 （k、b为常数，且 ）经过点，与x轴交于点 ，与y轴交于点B．
（1）求该直线的函数表达式和点B的坐标；
（2）在y轴上是否存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有
符合条件的点C的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（23-24八年级上·山东济南·期末）综合与探究：
如图，已知直线l： 过点 ．
（1）求直线l的表达式．
（2）若直线 与x轴交于点B，且与直线l交于点C．
①求 的面积；
②在直线l上是否存在点P，使 的面积是 面积的一半，如果存在，求出点P的坐标；如果
不存在，请说明理由．
（3）好奇心强的小李同学深入思考后发现，直线 上存在一点M．使 为等腰直角三角形，富
有热心肠的你帮小李同学直接写出点M的坐标．8．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是射线
上的动点，过点B作直线 的垂线交x轴于点Q，垂足为点C，连接 ．
（1）当点P在线段 上时，
①求证： ；
②若点P为 的中点，求 的面积．
（2）在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得 成为等腰三角形？若存在，求点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
9．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线
相交于点 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）动点M在射线 上运动，是否存在点M，使 的面积是 的面积的 ？若存在，求出
此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线 分别与x轴、y轴相交于点A、
B，直线 分别与x轴、y轴相交于点C、E，两条直线相交于点D．
（1）求点D的坐标_______；
（2）点Q为线段 上的一个动点，连接 ．
①若直线 将 的面积分为两部分且使 ，试求点Q的坐标；
②将 沿着直线 翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，求点Q的坐标；若
不存在，请说明理由．
11．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A 的直线
交y轴正半轴于点M，且点M为线段 的中点．
（1）A点坐标为____________ ，B点坐标为 ________________
（2）求直线 的函数解析式．
（3）在直线 上找一点P，使得 ，请直接写出点P的坐标．
（4）在坐标平面内是否存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直
接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．12．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图直线l： 与x轴、y轴分别交于点B、C两点，
点B的坐标是 ．
（1）求C点坐标；
（2）若点A的坐标为 ，点P在y轴上， 的面积为3，求出此时点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点 ，使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不
存在，请说明理由．
13．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象 经过
点 ，且与正比例函数 的图象 交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）填空：①直线 的表达式为______；
②当 时， 的取值范围是______；（2）在 轴上是否存在一点 ，使得 最短？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理
由；
（3）设直线 分别与直线 交于 两点，当 时，求 的值．
14．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，
．
（1）将点B向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到点 ，请在图中画出点 ，并写出 的坐
标______；
（2） 的面积为______；
（3）点P为y轴上一点，连接 ，是否存在这样的点P，使得 的值最小？若存在，请
在图中画出满足条件的点P，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）建立模型如图1，等腰 中， ， ，直线 经过点 ，过点 作 于点 ，
过点 作 于点 ，可证明得到 ．
模型应用
（1）如图2，直线 ： 与 轴、 轴分别交于 两点，经过点 和第一象限点 的直线 ，
且 ， ，求点 的坐标；
（2）在（1）的条件下，求直线 的表达式；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点 ，连接 ，在第二象限内是否存在一点 ，使
得 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）如图在平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线
相交于点 ，动点 在线段 和射线 上运动．
（1）求直线 的函数关系式；
（2）求 的面积；
（3）是否存在点 ，使 的面积与 的面积相等？若存在求出此时点 的坐标；若不存在，
说明理由．
17．（2023八年级上·广东茂名·竞赛）综合与探究：
如图1，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，长方形 的顶点 分别在 轴与 轴上，已知
．点 为 轴上一点，其坐标为 ，点 从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段
的方向运动，当点 与点 重合时停止运动，运动时间为 秒．
（1）当点 经过点 时，求直线 的函数解析式；（2）①求 的面积S关于 的函数解析式；
②把长方形沿着 折叠，点 的对应点 恰好落在 边上，求点 的坐标．
（3）点 在运动过程中是否存在使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
18．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点
，点 在线段 上，将 沿 所在直线折叠后，点 恰好落在 轴上点 ，若
．
（1）求点 的坐标及直线 的解析式．
（2）求 的值．
（3）直线 上是否存在点 使得 ． 若存在，请直接写出 的坐标．19．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系 中，直线 ：
与直线 ： 相交于点 ，直线 与 轴交于点 ． 点 在直线 上，且在第二象限
内，过点 作 轴，交直线 于点 ．
（1）分别求直线 和直线 的表达式；
（2）若点 的坐标为 ，作 的平分线，交 轴于点 ．
①求点 的坐标；
②是否存在点 ，使得 与 全等？若存在，直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不
存在，请说明理由．20．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线 ： 与 交于
点 ， 与x轴，y轴分别交于A，B两点， 与x轴，y轴正半轴分别交于C，D两点，且
．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图2，连接 ，若点P为y轴负半轴上一点，点Q是x轴上一动点，连接 ， ，当
时，求 周长的最小值；
（3）如图3，将直线 向上平移经过点D，平移后的直线记为 ，若点M为y轴上一动点，点N为直
线 上一动点，是否存在点M，N，使 是以 为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出
点N的坐标，并写出其中一个点N的求解过程；若不存在，请说明理由．21．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，
与 轴交于点 ，与正比例函数 的图象交于点 ，且点 的横坐标为2，点 为 轴上的一个动点．
（1）求 点的坐标和 的值；
（2）连接 ，当 与 的面积相等时，求点 的坐标；
（3）连接 ，是否存在点 使得 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．22．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）已知：如图，一次函数 的图象分别与x轴、y轴相交于
点A、B，且与经过点 的一次函数 的图象相交于点D，点D的横坐标为4，直线 与y轴
相交于点E．
（1）直线 的函数表达式为________；（直接写出结果）
（2）在x轴上求一点P使 为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
（3）若点Q为线段 上的一个动点，连接 ．点Q是否存在某个位置，将 沿着直线 翻
折，使得点D恰好落在直线 下方的y轴上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2023·广西桂林·三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，
与y轴交于点 ，直线 与x轴交于点C，与直线 交于 ， ， ．
（1）求直线 的解析式．
（2）点P是射线 上的动点，过点P作 且与 交于点Q， 轴垂足为点F， 轴
垂足为点H，当四边形 为正方形时，求出正方形的边长．
（3）如图2，连接 ，将 沿直线 翻折得到 ．若点M为直线 上一动点，在平面
内是否存在点N，使得以B、G、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出N的坐标，并把求其中
一个点N的过程写出来，若不存在，请说明理由．24．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）【模型建立】
如图1，等腰直角三角形 中， ，直线 经过点C，过A作 于点
D，过B作 于点E，易证明 （无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来
我们就利用这个模型来解决一些问题：
【模型运用】
（1）如图1，若 ，则 的面积为 ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰 ，点C的坐标为 ，A点
的坐标为 ，求 与y轴交点D的坐标；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线 函数关系式为： ，点 ，在直线 上是否存
在点B，使直线 与直线 的夹角为45°？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
【模型拓展】
（4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点 ，P是直线 上一点，将线段 延长至点
Q，使 ，将线段 绕点B顺时针旋转45°后得 ，直接写出 的最小值．参考答案：
1．（1） ；（2） ；（3） ；（4）存在，点 或
【分析】（1）因为 与 轴交于点 ，所以令 中 ，求出x，即知点C坐标；
（2）求出点A、B坐标，设直线 的表达式为 ，利用待定系数法求解即可；
（3）根据 求解即可；
（4）由 的面积可得AP长，结合A点坐标，易知P点坐标.
解： 令 中
得： ，
解得 ，直线 交 轴于点
轴，
点 的纵坐标为
在 中，
当 时， ，解得 ，
设直线 的表达式为 ，
将 代入得 ，解得
直线 的表达式为
轴，
，
，点P在x轴上
或
所以存在点 或 使得
【点拨】本题考查了一次函数与三角形的综合题，涉及了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求解析式、与坐标轴围成的三角形的面积，熟练的掌握一次函数的图象是解题的关键.
2．（1） ， ；（2） 或
【分析】
本题主要考查了求出一次函数图象与x轴和y轴的交点，直线围成的三角形面积，解题的关键是数形
结合，注意分类讨论．
（1）根据一次函数解析式分别求出点A、B的坐标即可；
（2）根据 的面积为5，得出 ，求出 ，根据A点坐标为 ，求出点P的
坐标即可．
解：（1）
解：把 代入 得： ，
解得： ，
∴ ；
把 代入 得： ，
∴ ；
（2）
解：∵ 的面积为5，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∵A点坐标为 ，
∴点P的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．3．（1）直线l的函数解析式为 ；；（2）存在，点 的坐标为 或 或 或
．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握待定系
数法求一次函数解析式的方法和采用分类讨论的思想是关键．
（1）直接利用待定系数法即可求出答案；
（2）分三种情况讨论①当 ，②当 ，③当 时即可求出答案．
（1）解：把点 ， 代入 得，
，
解得 ，
直线 的函数表达式为 ；
（2）解：存在，理由如下：
， ，
，
①当 时，点 的坐标为 ；
②当 时， ，
，
点 的坐标为 ；
③当 时， ，
，
点 的坐标为 或 ；
点 的坐标为 或 或 或 ．
4．（1）① ；② ；（2） 或【分析】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，直线围成的三角形面积，
熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
（1）①先将点 代入正比例函数解析式，求出 的值，再将点A和点 坐标代入一次函数解析式求解
即可；
②根据一次函数的交点坐标即可得到结论；
（2）先求出 的面积，根据 求出 ，然后求出点P的坐标即可．
（1）解：①将点 代入正比例函数 ，
得 ，
解得 ，
点 坐标为 ，
将点 ，点 代入一次函数 ，
得 ，
解得 ，
一次函数解析式为 ，
故答案为： ；
② 一次函数 的图象 与正比例函数 的图象 交于点 ，
当 时， 的取值范围是 ；
故答案为： ；
（2）解： 一次函数解析式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，∵ ，
∴ ，
，
∴ ,
解得： ，
∴点P的坐标为 或 ．
5．（1） , ；（2） ；（3） 或
【分析】本题考查了一次函数在几何问题中的应用，掌握待定系数法求解函数解析式是解题关键．
（1）令 ， ，即可求解；
（2）将 、 代入 即可求解；
（3）设点 ，分类讨论 ，三种情况即可求解；
（1）解：令 ，则 ；
∴
令 ，则 ，得 ；
∴
（2）解：∵
∴
将 、 代入 得：
，解得：
∴直线 的表达式为：
（3）解：∵直线 的表达式为：
∴
设点
则：
：
，
解得：
∴
：
，
解得： （舍）或
∴
：
，
解得： （舍）或 （舍）
∴综上所述： 或6．（1）该直线的函数表达式为 ， ；（2）在y轴上存在点C，使得以点A、B、C为
顶点的三角形是直角三角形，点C的坐标为 或
【分析】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了解析式的求解、勾股定理等知识点，掌握待
定系数法是解题关键．
（1）将点 、 代入 即可求解；
（2）由题意得 ，分类讨论当点C为直角顶点时和当点A为直角顶点时两种情况即可求解．
（1）解：∵直线 经过点 、 ，
∴
解得
∴该直线的函数表达式为 ．
在 中，令 ，得 ，
∴ ．
（2）解：∵点C在y轴上，
∴ ，
∴点B不能成为直角顶点．
①当点C为直角顶点时，点C在 的位置，如图．
∵点A在x轴上，点B在y轴上，
∴ ，
∴点 与点O重合，
∴点 的坐标为 ；
②当点A为直角顶点时，点C在 的位置，如图．
设 ，则 ， ， ， ，∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
综上可知，在y轴上存在点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点C的坐标为
或 ．
7．（1） ；（2）①6；②存在， 或 ；；（3） 或
【分析】本题考查了两条直线平行或相交问题，应用的知识点有：待定系数法求解析式，三角形的面
积等．
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）①联立方程求得C点的坐标，根据三角形面积公式求得即可；②根据已知设点P为
，根据 的面积是 面积的一半列出方程式，解方程即可求得P的坐标．
（3）根据等腰直角三角形的性质求解即可，注意分两种情况．
（1）解：由题意得：
解得 ，∴直线l的解析式为 ．
（2）解：∵ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∵直线 与x轴交于点B，
∴
联立方程组可得： ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
②存在，
设 ，
由题意得， ，
整理得 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
（3）解：如图所示：
当 时，
∴ ，
解得∴ ，
当 ，
∴点 在 的中垂线上，
∴点 的横坐标为1，
，
∴点 的坐标为
综上所述，点 的坐标为 或
8．（1）①见分析，② ；（2） 或 或
【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，熟练掌握全等三角形的性质与判定，坐标与图形是解
题的关键．
（1）①根据一次函数解析式得出 ，根据垂直关系以及等角的余角相等，得出
，进而证明 ；
②由①知： ，则 ，直线 的解析式为： ，同理可得：直线 的解
析式为： ，联立 得出 ，进而根据三角形面积公式即可求解；
（2）分当点 在线段 上时，当点 在 的延长线上时，根据等腰三角形的定义，即可求解．解：（1）①证明：当 时， ，
，
当 时， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②解： ，点 是 的中点，
，
由①知： ，
，
，
设直线 的解析式为： ，
，
，
同理可得：直线 的解析式为： ，
由 得，，
，
；
（2）解：如图1，
当点 在线段 上时，
若 ，由于 ，则有 ，
即当 时， 是等腰三角形；，
若 ，由于 ，则有 ，
过点C作 轴于点H，显然 ，
即 不可能，
当 是等腰三角形时，只有 ，
，
，
， ，
，
，
，
，，
，
如图2，
当点 在 的延长线上时，
同理可得： ，
综上所述： 或 或 ．
9．（1）直线 的解析式为 ；（2）存在，且点 的坐标为 或 ，理由见详解
【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积与坐标
的计算方法是解题的关键．
（1）把点 的坐标代入，运用待定系数法即可求解；
（2）根据点 的坐标可计算 的面积，由此可得 的面积，根据点 在直线 上，设
，根据绝对值的性质即可求解 的值，由此可求出点 的坐标．
（1）解：已知 ， ,
∴设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ；
（2）解：存在，且点 的坐标为 或 ，理由如下，
已知直线 的解析式为 ，
∴令 时， ，
∴ ，
根据题意可得， ，点 到 轴的距离为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图所示，
∵点 在直线 上，且直线 的解析式为 ，
∴设 ，则点 到 轴的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；综上所示，存在点 使得 的面积是 面积的 ，且点 的坐标为 或 ．
10．（1） ；（2）① ，②点 或
【分析】（1）利用直线的交点即可求得点D坐标；
（2）根据直线与坐标轴的交点求得 ，①过点D作 轴于点H，过点Q作 轴于点
M，得 ，求得 ，设 ，根据题意得 ，即可求得答案．
②当点D落在x轴正半轴上，为点 时，过点D作 轴于点H， ，可证得
，有 ，可得 ，则点Q的纵坐标为4，即可求得
点Q；当点D落在y轴负半轴上，为点 时，过点D作 轴于点H，过点Q作 ，
，由翻折得 ， ，则 ，由 ，解得 ，即可
求得．
（1）解：∵两条直线相交于点D，
∴ ，解得 ，
则点 ．
（2）∵直线 与y轴相交于点B，
∴令 ，得 ，则点 ，
∵直线 与y轴相交于点E，
∴令 ，得 ，则点 ，
则 ，①过点D作 轴于点H，过点Q作 轴于点M，如图，
则 ，
∴ ，
设 ，由题意知 ，则 ，
∴
∵ ，
∴ ，解得 ，
则Q的坐标为 ．
②当点D落在x轴正半轴上，为点 时，过点D作 轴于点H，如图，∵ ， ，
∴ ，
由翻折得 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
由翻折得 ，
∴ ，
∴ 轴，则点Q的纵坐标为4，
∵点Q在直线 ，
∴ ，解得 ，
那么点 ；
当点D落在y轴负半轴上，为点 时，过点D作 轴于点H，过点Q作 ， ，
垂足分别为点M、N，如图，由翻折得 ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
在 中，由勾股定理得 ，
则 ，解得 ，
∵点Q在直线 ，
∴ ，
那么点 ；
即点 或 ．
【点拨】本题考查一次函数的性质、折叠得性质、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定和性
质等知识，解题的关键是运用一次函数图像上的点与三角形面积公式，并用分类讨论的思想．
11．（1） ， ；（2） ；（3） 和 ；（4） 或 或
【分析】
本题考查函数与坐标轴交点，待定系数法求解析式，一次函数几何结合问题，平行四边形性质等．
（1）根据题意令 求出函数值即为点 坐标，令 求出自变量值即为点 坐标；
（2）由（1）中点 坐标即可求出点M的坐标，设直线 的函数解析式 ，代入点
坐标和点M的坐标继而求出；
（3）先求出 ，再设点 ，用含 的代数式表示 ，再列等式即可得出点P的坐标，再根据对称性求出另一个；
（4）利用对角线分情况讨论即可求出．
（1）解：∵函数 的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴令 ，得 ，即： ，
令 ，得 ，即： ，
故答案为： ， ；
（2）
解：∵点M为线段 的中点， ，
∴ ，
设直线 的函数解析式 ，
将 和 代入得： ，解得： ，
∴直线 的函数解析式： ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∵点 关于点 的对称点为 ，
∴满足条件的点 坐标为： 和 ；
（4）解：存在点 ，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形，
∵ ， ， ，
①以 为对角线，
根据平移的性质，点 ，②以 为对角线，
根据平移的性质，点 ，
③以 为对角线，
根据平移的性质，点 ，
综上所述：点 的坐标为 或 或 ．
12．（1） ；（2） 或 ；（3） 或 或 或 ．
【分析】（1）先把点B坐标代入直线l解析式中，用待定系数法求出解析式，进而求出当 时，y
的值即可求解．；
（2）设点P的坐标为 ，则 ，求出 ，根据三角形面积公式得到 ，
即 ，解方程即可得到答案
（3）利用勾股定理求出 的长度，分 ， ， 三种情况考虑：①当
时，由 可得出点 的坐标；②当 时，由 结合点
的坐标可得出点 ， 的坐标；③当 时，设 ，则 ，利用勾股定理可
得出关于 的一元一次方程，解之即可得出点 的坐标．综上，此题得解．
（1）解：把 代入 中得： ，
∴ ，
∴直线l解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴
（2）解：设点P的坐标为 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∵ 的面积为3，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴点P的坐标为 或 ；
（3）解：在 中， ， ，
．
①当 时，
∵ ，
∴ ，
点 的坐标为 ；
②当 时， ，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
③当 时，设 ，则 ，
，即 ，解得： ，
点 的坐标为 ．
综上所述：在 轴上存在一点 ，使得 为等腰三角形，点 的坐标为 或 或
或 ．
【点拨】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、待定系数法求一次函数
解析式、等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
13．（1）① ；② ；（2）存在， ；（3） 或
【分析】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，轴对称 最短路径问题，
熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
（1）①先将点 代入正比例函数解析式，求出 的值，再将点 和点 坐标代入一次函数解析式求解
即可；
②根据一次函数的交点坐标即可得到结论；
（2）根据函数的解析式得到点 的坐标为 ，如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交
轴于 ，则此时 最短， ，设直线 的解析式为 ，待定系数法求得直线 的解
析式为 ，于是得到 ；
（3）先求出 的面积，根据 ，分两种情况得关于 的方程，即可求出 的值．
（1）解：①将点 代入正比例函数 ，
得 ，
解得 ，
点 坐标为 ，
将点 ，点 代入一次函数 ，得 ，
解得 ，
一次函数解析式为 ，
故答案为： ；
② 一次函数 的图象 与正比例函数 的图象 交于点 ，
当 时， 的取值范围是 ；
故答案为： ；
（2）解： 一次函数解析式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，
如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，
则此时 最短， ，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
；
（3）解： ，
，
当 时， ， 两点的坐标分别为 和 ，
，
，
解得 或0（舍去），
当 时， ， 两点的坐标分别为 和 ，
，
，
解得 或 （舍去），
的值为0或 ．
14．（1）
（2）
（3）作图见分析，点P的坐标为
【分析】（1）先根据点的平移法则确定点 的位置，然后直接读出点 的坐标即可；（2）采用割补法求出 的面积即可；
（3）先作点A关于y轴的对称点 ，连接 ， 与y轴的交点即为点P；然后运用待定系数法求
得直线 的解析式，进而求得点P的坐标．
（1）解：如图：点 即为所求，点 的坐标为 ．
故答案为： ．
（2）解： 的面积为 ．
故答案为： ．
（3）解：如图：作点A关于y轴的对称点 ，连接 ， 与y轴的交点即为点P
所以 ，
设直线 的解析式为 ，
由题意可得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴点P的坐标为 ．15．（1） ；（2） ；（3）存在，点 坐标为 或
【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，
等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点的性质是解题的关键．
（1）根据 解析式得出 、 坐标，根据直角三角形两锐角互余得出 ，利用“ ”
可证可得 ，可得出 ， ，即可求解；
（2）根据 、 坐标，利用待定系数法即可求解；
（3）分 和 两种情况，由“ ”可分别证明 、
，根据全等三角形的性质即可求解．
（1）解：如图，过点 作 轴于 ，
∵直线 与 轴、 轴分别交于 两点，
∴当 时， ，当 时，
∴ ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
（2）设 解析式为 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的表达式为
（3）①如图，当 时， ，过点 作 轴于 ，过点 作 ，交 延
长线于 ，
∵ ，
∴ ，在 和 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
②如图，当 时，过点 作 轴于点 ，过点 作 ，交 延长线于点 ，
延长 交 轴于 ，
同理可证 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
综上所述：存在一点 ，使得 是等腰直角三角形，点 坐标为 或
16．（1） ；（2） ；（3） 或 或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，根据三角形的面积推得点 的
横坐标为 或 是解题的关键．
（1）根据待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）根据三角形的面积公式即可求解；（3）根据待定系数法求直线 的解析式，根据面积公式求得 的横坐标，然后代入解析式即可求得
的坐标．
（1）解：设直线 的解析式是 ，
根据题意得： ，
解得： ，
则直线的解析式是： ．
（2）解：令 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
（3）解：存在点 ，使 的面积与 的面积相等，理由如下：
如图：
设 的解析式是 ，
根据题意，得： ，
解得： ；
则直线 的解析式是： ；
∵点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积与 的面积相等，∴ 到 轴的距离 点 的纵坐标 ，
∴点 的横坐标为 或 ；
当 的横坐标为 时，
在 中，当 时， ，即 的坐标是 ，
在 中，当 时， ，则 的坐标是 ，
则 的坐标为 或 ．
当 的横坐标为 时，
在 中，当 时， ，则 的坐标是 ，
综上所述：点 的坐标为 或 或 ．
17．（1） ；（2）① ；② ；（3）存在， 或
或 ．
【分析】（1）设直线 解析式为 ，将D与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）①当P在 段时， 底 与高为固定值，求出此时面积；当P在 段时，底边 为固
定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；
②设 ，则 ，根据勾股定理求出 ，得出 ，根据勾股
定理得出 ，解方程即可；
（3）存在，分别以 ， ， 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐
标即可．
（1）解：∵ ，四边形 为长方形，
∴ ，
设直线 解析式为 ，把 ， 分别代入，得：
，
解得： ，
则此时直线 解析式为 ；
（2）解：①当点P在线段 上时， ，高为6， ，
即 时， ；
当点P在线段 上时， ，高为 ，
∴ ；
②设 ，则 ，如图2，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
则此时点P的坐标是 ；
（3）解：存在，理由为：
若 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当 ，
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ，∴ ，即 ；
②当 时，过点 作 于点F，
∴ ，
∴ ，
此时 ；
③当 时，
在 中， ，
根据勾股定理得： ，
∴ ，即 ，
综上，满足题意的P坐标为 或 或 ．
【点拨】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性
质，等腰三角形的定义，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．
18．（1） ；（2） ；（3） ，
【分析】（1）根据勾股定理可得 ，设 ，解方程求出点B的坐标，进而求出直
线 的解析式；
（2）设 ，根据勾股定理 可以求出 长，进而求出三角形的面积比；
（3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可．（1）解：由题知 ，设 ，则 ．
在 中， ，
即： ，
，
∴ ，
又 ，
∴ ；
（2）解：设 ，则 ，
由折叠性质知： ．
在 中： ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解： ， ，理由如下：
如图，当点P在第三象限内时，过C作 于M，过M作 轴， 轴于E，F，
则 ， ，
又∵
∴
∴ ，
∵ 轴， 轴∴ 为正方形
∴ ，
∴ ）
∴直线 解析式为： ，
∵ 两点坐标为：
∴直线 解析式为： ，
联立解得： ，
∴
如图，当点P在第一象限内时，过C作 于M，过M作 轴， 轴于E，F，
则 ， ，
又∵
∴
∴ ，
∵ 轴， 轴
∴ 为正方形∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为： ，
∵ 两点坐标为： ，
∴直线 解析式为： ，
联立解得： ，
∴ ，
综上所述， 或 ．
【点拨】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所
在象限，正确写出点的坐标．
19．（1）直线 ： ；直线 ： ；（2） 的坐标 ； ，
，
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①作 于 ，令 交 轴于 ，则 ，由角平分线的性质得出
，由 得出 ，从而得出 ，设 ，则
，再由勾股定理计算即可得出答案；②分三种情况：当 时；当
时，作 轴于 ，连接 交 于 ；当 时；分别画出图形，利用
全等三角形的性质以及勾股定理求解即可得出答案．
（1）解： 直线 ： 与直线 ： 相交于点 ，
， ，
解得： ， ，
直线 ： ；直线 ： ；
（2）解：①如图，作 于 ，令 交 轴于 ，则 ，
点 的坐标为 ，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
，设 ，则 ，
，
，
解得： ，
，
；
②如图，当 时，
此时 ， ，
轴，
，
；
如图，当 时，作 轴于 ，连接 交 于 ，
，
， ，
垂直平分 ，设 ，则 ， ， ，
将 代入 得： ，
解得： ，
由勾股定理得出 ，
，
解得： （不符合题意，舍去）或 ，
此时 ，
故 ；
如图，当 时，
由（1）可得： ，
，
，
，
， ，设 ，则 ，
解得： 或 （舍去），
故 ；
综上所述： ， ， ．
20．（1） ；（2） ；（3）存在，N的坐标为 或 ．
【分析】
（1）求出点E的坐标为 ，点B的坐标为 ，由 ，可得点C的坐标为 ，再
用待定系数法可得 的解析式为 ；
（2）作 P 关于 x 轴的对称点 ，连接 交 x 轴于 Q，此时 最小，则
周 长 的 最 小 值 ， 求 出 ， ， 可 得 ， 故
，由 ，由 ，解得 ，知
， ，即可得 ， ，从而 周长的最小值为 ；
（3）由 ， ， ， ，知 ，E为 的中点，故 ，若
C为直角顶点， 为直角边，则N在直线 上， 直线 ，而点N在直线 上， ，
可得 ，可得这种情况不存在；若 M 为直角顶点，过 N 作 轴于 H，证明，得 ， ，根据直线 : 向上平移经过点 ，可
得直线 ： ，设 ，即可得 ，解出m得 ．同理可得 ．
（1）解：把 代入
，
解得 ，
∴点E的坐标为 ，
把 代入 得 ，
∴点B的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ，
设 的解析式为 ，
把 代入 得：
，
解得 ，
∴ 的解析式为 ；
（2）解：作P关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于Q，此时 最小，则
周长的最小值为 ，如下图所示∶在 中，
，
在 中，令 得 ，
，
∵点B的坐标为 ，
，
∵点E的坐标为 ，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
周长的最小值为 ；（3）解:存在点M，N，使 是以 为直角边的等腰直角三角形
， ， ， ，
，E为 的中点，
，
若C为直角顶点， 为直角边,
则N在直线 上， 直线 ，
∵点N在直线 上， ，
，
∴这种情况不存在；
若M为直角顶点，过N作 轴于H,
为等腰直角三角形，
， ，
，
，，
， ，
∵直线 ： 向上平移经过点 ，
∴直线 ： ，
设 ，
，
，
，
解得 ，
．
同理可得 ；
综上所述，N的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形
判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
21．（1） ， ；（2） 或
（3）存在点 使得 为等腰三角形，点 的坐标为： 或 或 或
【分析】
（1）将 代入 中，可得点B的坐标，然后通过点 ，点 ，利用待定系数法即可
求出k、b的值；
（2）通过点A、点B坐标，求出 ，利用点C坐标，即 中， 边上的高为2.5，从而可得
，进而可得点P坐标；
（3）根据勾股定理求得 的长，然后分三种情况：①当 时，②当 时，③当
时，分别进行讨论求解即可．（1）解：将 代入 ，得 ，
点 的坐标为 ．
一次函数 的图象与 轴交于点 ，
，即 ．
将点 代入 ，得 ，
解得 ；
（2）解： ，
， 中 边上的高为2，
．
，
在 中，令 ，得 ，
，即 中， 边上的高为2.5，
，
解得 ．
又 ，
或 ；
（3）解：存在，理由：
如图1，过点 作 轴于点 ，则 ，
， ，
．①当 时， ．
，
此时点 的坐标为 或 ；
②当 时，由等腰三角形的性质易得 ．
，
，
，
此时点 的坐标为 ；
③当 时，如图2，
设 ，则 ，
，，
解得： ，
此时点 的坐标为 ．
综上可知，存在点 使得 为等腰三角形，点 的坐标为： 或 或 或
．
【点拨】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、三角形的面积、等腰三角形存在问题等知识，解题
的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
22．（1） ；（2）满足条件的点P的坐标为 或 或 或 ；（3）点Q
的坐标为 ．
【分析】
（1）根据一次函数 求出点D的坐标，将点 ，点D，代入一次函数 中求解，即
可得到直线 的函数表达式；
（2）利用勾股定理算出 ，根据在x轴上求一点P使 为等腰三角形，分以下三种情况讨论，
①当 时， ②当 时，过点 作 轴于点 ，③当 时， 在 的
垂直平分线上，利用等腰三角形性质、勾股定理，对上述情况进行分析，即可解题．
（3）记翻折后点D恰好落在y轴上的点为 ，设点Q的坐标为 ，由翻折的性质可得
， ，利用勾股定理算出 ，推出 ，再根据 建立等式求解，即可解题．
（1）解： 一次函数 的图象过点D，且点D的横坐标为4，
，，
一次函数 的图象经过点 ，且与 相交于点D，
，解得 ，
直线 的函数表达式为 ，
故答案为： ．
（2）解：当 时，有 ，解得 ，
，
，
点P在x轴上， 为等腰三角形，
下面分情况讨论：
①当 时，如图所示：
，
点 的坐标为 ，
，
点 的坐标为 ，
②当 时，过点 作 轴于点 ，如图所示：
由（1）知 ， ，，
，
点 的坐标为 ，
③当 时， 在 的垂直平分线上，
， ，
设 的坐标为 ，
，解得 ，
点 的坐标为 ，
综上所述，满足条件的点P的坐标为 或 或 或 ．
（3）解：存在，
记翻折后点D恰好落在y轴上的点为 ，设点Q的坐标为 ，由翻折的性质可知， ， ，
即 ，
点 的坐标为 ，
，
，
解得 ，
点Q的坐标为 ．
【点拨】本题考查一次函数与几何综合、坐标与图形、用待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形
性质、垂直平分线性质、勾股定理、翻折的性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想对不同的情况进行
分析．
23．（1） ；（2） ；（3）存在，N点坐标为 或 或
或
【分析】（1）分别求出A、C、D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设 ，则 ， ， ，则 ， ，再由 ，求出t的值即可求正方形的边长；
（3）设 ， ， ，由 ， ，求出
，，①当 为菱形对角线时， ，求出 ；②当 为菱形对角线时，
，求出 ；③当 为菱形的对角线时， ，求出 或
．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
将 ， 代入 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
将 代入 ，∴ ，
解得 ，
∴ ，
设直线直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（2）设 ，则 ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
解得 或 ，
∵P点在射线 上，
∴ ，
∴ ，
∴正方形的边长为 ；
（3）存在点N，使得以B、G、M、N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设 ， ，∵ ， ，
∴ ， ，
设 ，
∴ ， ，
解得 ， （舍）或 ， ，
∴ ，
①当 为菱形对角线时， ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
②当 为菱形对角线时， ，
∴ ，
解得 （舍）或 ，
∴ ；
③当 为菱形的对角线时， ，
∴ ，解得 或 ，
∴N点坐标 或 ；
综上所述：N点坐标为 或 或 或 ．
【点拨】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，正方形的
性质，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．注意第（3）问有多种情况，注意不要有遗漏．
24．（1）5；（2） （3） ， ； （4）
【分析】（1）根据 证明 可得 ，在 中，利用勾股
定理解得 的长，最后根据三角形面积公式解题；
（2）作 轴于点 ，根据题意，可证 ，再由全等三角形对应边相等的
性质得到 ，结合点 的坐标分别解得 的长，继而得到 的坐标，再由待定系
数法解得直线 的解析式，令 即可解题；
（3）画出符合题意的示意图，可知有两个点符合，设 ，过点 作直线平行 轴，过点 作
直线平行 轴，两直线相交于点 ，由点 坐标表示线段 和 ，根据 可证 ，
再由全等三角形对应边相等的性质解得 的长，继而得到点 的坐标，最后将点 代入直线
上即可解题；
（4）过点 作 于点 ， 于点 ，连接 ，设 ，由全等三角形的判定与
性质得到 ，再由全等三角形对应边相等得到 ，由此解得点 的
坐标，继而推出点 在直线 上，过点 作直线 的垂线，根据垂线段最短及等积法解题即可.
解：（1）根据题意得，
在 与 中，中，
中，
，
故答案为： ；
（2）作 轴于点 ,
在 与 中，设直线 的解析式为： ，代入点 得，
解得：
直线 的解析式为：
令 得， ，
；
（3）存在，有两个点符合题意， ，理由如下：
设 ，过点 作直线平行 轴，过点 作直线平行 轴，两直线相交于点 ，如图，
由题意得在 中，
即
在直线 上，
（4）过点 作 于点 ， 于点 ，连接 ，如图，
设 ，
由题意可知
点 在直线 上，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，根据垂线段最短原理，可知此时线段 最短，如图，
令
解得直线 与 轴的交点
令
解得直线 与 轴的交点
由等积法得，
，
故答案为： .
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式、垂线段最
短等知识，是重要考点，难度较大，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键.
