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第 01 讲 为什么要证明、定义与命题(5 类热点题型讲练)
1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理；
2.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确；
3.理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果..--那么”的形式；
4.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例；
5.了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理；
6.体会命题证明的必要性,体验数学思维的严谨性.
知识点01 定义与命题
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
要点诠释：
（1）定义实际上就是一种规定.
（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.
真命题：正确的命题叫做真命题.
假命题：不正确的命题叫做假命题.
要点诠释：
（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推
出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那
么”后面是结论.
（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.
知识点02 证明的必要性
要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有
据地进行推理. 推理的过程叫做证明.
知识点03 公理与定理
1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.
要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.
2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.
要点诠释：
证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求
证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，
经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.
题型01 判断是否是命题
例题：（2023秋·浙江·八年级专题练习）下列语句中不属于命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．如果 ，那么a、b互为相反数
C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．过点A作射线
【变式训练】
1．（2023春·江苏无锡·七年级无锡市天一实验学校校考阶段练习）下列句子中，是命题的是（ ）
A．明天可能是晴天 B． 这两条直线平行吗？
C．过一点画已知直线的垂线 D．直角三角形两锐角互补
2．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．同角的余角不相等
C．反向延长线段 到C D．两个钝角一定相等
题型02 判断命题真假
例题：（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．不相交的两条直线叫做平行线
B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
C．两直线平行，同旁内角相等
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【变式训练】
1．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．在平面直角坐标系中，点 在 轴上
B．在一次函数 中， 随着 的增大而增大
C．同旁内角互补
D．若 ，则
2．（2023秋·山西临汾·八年级校考期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余
C．全等三角形的周长相等 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
题型03 写出命题的题设与结论
例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校考阶段练习）命题“对顶角相等”改写成：如果 ，那么
．
【变式训练】
1．（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：
．
2．（2023春·西藏那曲·七年级统考期末）命题“同位角相等，两直线平行”的题设是 ，结论是
，此命题是 命题（填“真”或“假”）
题型04 写出命题的逆命题
例题：（2023秋·浙江·八年级专题练习）命题“若 ，则 ”的逆命题是 ．
【变式训练】
1．（2023秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）命题“若两个角互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”
的逆命题是 ．
2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是
．它是 命题．（填“真”或“假”）
题型05 用反证法证明命题
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
【变式训练】
1．（2023秋·全国·九年级专题练习）用反证法证明： 的三个内角中至少有两个锐角．2．（2023秋·八年级课时练习）用反证法证明：
(1)已知： ，求证：a必为负数．
(2)求证：形如 的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．
一、单选题
1．（2023秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）下列语句是命题的是（ ）
A．在线段 上取点C B．作直线 的垂线 C．垂线段最短吗？ D．
相等的角是对顶角
2．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（ ）
A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对
3．（2023秋·河北邢台·八年级邢台三中校联考阶段练习）“等角的余角相等”的逆命题是（ ）
A．等角的补角相等 B．如果两个角相等，那么它们的余角也相等
C．如果两个角的余角相等，那么这两个角相等 D．同角的余角相等
4．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）下列命题中，真命题是（ ）
A．有两组边相等的两个直角三角形全等
B．有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C．有两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等
D．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
5．（2023秋·浙江金华·九年级校考开学考试）用反证法证明，“在 中， 、 对边是 、 ．
若 ，则 ．”第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·全国·八年级专题练习）下列命题；
①内错角相等；
②两个锐角的和是钝角；③ ， ， 是同一平面内的三条直线，若 ， ，则 ；
④ ， ， 是同一平面内的三条直线，若 ， ，则 ；
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．（2023秋·福建泉州·八年级泉州五中校考阶段练习）“若 ，则 ， ”的逆命题是
命题（选填“真”或“假”）．
8．（2023春·广东江门·八年级校考期中）把“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”写成“如果…那
么…”的形式 ．
9．（2023春·河南郑州·八年级期末）等边三角形三边相等的逆命题为 ．
10．（2023秋·浙江·八年级专题练习）用反证法证明“已知， ．求证： ”．第一步应先假
设 ．
11．（2023春·贵州毕节·七年级校联考期中）下列四个命题：
①对顶角相等；②等角的补角相等；③如果 ，那么 ；④同位角相等．其中是说法正确的有
．
12．（2023春·四川广元·七年级校联考期中）命题“如果实数 、 满足 ，那么 ”的题设是
，它是命题 （填“真”或“假”）．
三、解答题
13．（2023春·七年级课时练习）求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角．
14．（2023秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）证明：如果两个三角形有两边和其中一边上的高分别对应
相等，那么这两个三角形全等．
15．（2023春·河南驻马店·七年级统考期中）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命
题，如果是假命题，举出一个反例．
(1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
(2)内错角相等；
(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．16．（2023春·江苏淮安·七年级淮阴中学新城校区校联考阶段练习）命题：全等三角形的对应边上的高相
等．
(1)将该命题写成“如果…，那么…”的形式： ；
(2)下面是小明同学根据题意画出的图形及写出的已知和求证，请帮助小明同学写出证明过程．
已知：如图， ， ， ．
求证： ．
