文档内容
7.1 ～7.2 证明、定义与命题
课堂知识梳理
证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识．为此，就要对名
称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．
判断一件事情的句子叫做命题．如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它
就不是命题．
一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项，结论是由已知事
项推出的事项．命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部
分是条件，“那么”引出的部分是结论．
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要说明一个命题是假命题，常常
可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．有下列语句：（1）画线段AB=2cm；（2）两条直线相交，有几个交点？（3）内错角
相等；（4）直角都相等；（5）若 ，则 ． 其中是命题的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫
做命题，所以需要找到可以判断真假的语句，对各个选项各个分析即可．
【详解】解：根据命题的定义，需要可以判断真假的语句．
（1）画线段AB=2cm，不是判断真假的语句，故不是命题；
（2）两条直线相交，有几个交点？，不是判断真假的语句，故不是命题；
（3）内错角相等，是判断真假的语句，是命题；
（4）直角都相等，是判断真假的语句，是命题；
（5）若 ，则 ，是命题．
所以属于命题的是（3）（4）（5），共3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题的定义，要求对命题的定义有很好的掌握，属于基本的题型，比
较简单．
2．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的
根据是（ ）A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
【答案】D
【分析】用木条EF固定矩形门框ABCD，即是组成 AEF，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解：加上EF后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的 EAF，故这种做法根
△
据的是三角形的稳定性．
△
故选：D．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，熟悉相关性质是解题的关键．
3．下列命题是真命题的是（ ）．
A．邻补角相等 B．两直线平行，同旁内角互补
C．内错角相等 D．垂直于同一条直线的两直线平行
【答案】B
【分析】对于选项B、C、D利用平行线的判定和性质进行判断，对于选项A利用邻补角
的概念进行判断．
【详解】A、邻补角应该是互补关系，而不是相等，故选项A是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，教材定理，故选项B是真命题，符合题意；
C、缺少条件“两直线平行”，故选项C是假命题，不符合题意；
D、缺少条件“在同一平面内”，故选项D是假命题，不符合题意．
故选B
【点睛】本题考查了真假命题判断与定理，熟练掌握定理，并能准确判断真假命题是解题
的关键．
4．下列选项中，可以用来证明命题“若a>b，则|a|>|b|”是假命题的反例是（ ）
A．a=1，b=0 B．a=-1，b=2 C．a=-2，b=1 D．a=1，b=-3
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义逐项代入验证，即可得出答案．
【详解】解：A、当a＝1，b＝0时，有a>b，且|a|>|b|，不能证明题中命题是假命题；
B、当a＝－1，b＝2时，有a＜b，且|a|＜|b|，不能证明题中命题是假命题；
C、当a＝－2，b＝1时，有a＜b，且|a|>|b|，不能证明题中命题是假命题；
D、当a＝1，b＝－3时，有a>b，且|a|＜|b|，能证明题中命题是假命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命
题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且
外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）
A．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多
C．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到和周长L的关系即可．
【详解】设大圆的直径是D，图（2）中三个小圆的直径分别为：d,d,d,
1 2 3
∴d+d+d=D
1 2 3
根据圆周长公式，得图（1）中，需要2 D；
图（2）中，需要 D + d+ d+ d= D + ( d +d+d)= 2 D
1 2 3 1 2 3
故选：C．
【点睛】注意：第二个图中，计算三个小圆的周长时候，提取 ，所有的直径之和是大圆
的直径．
6．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是______．
【答案】同旁内角互补
【分析】根据命题的概念解答即可．
【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，
故答案为：同旁内角互补．
【点睛】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果 ，那么 ”的形式，这时，“如
果”后面接的部分是题设，即条件，“那么”后面解的部分是结论．
7．已知 是锐角，在计算 的值时，小明的结果是20°，小丽的结果是30°，小
芳的结果是35°，小静的结果是40°,他们四人的结果有一个是正确的，那么________的结果
是正确的．
【答案】小明
【分析】根据0°＜∠A＜90°，得出0°＜ ＜25°即可得出答案．
【详解】解：∵ 是锐角，
∴0°＜∠A＜90°，∴0°＜ ＜25°，
∴四人的结果只有小明的结果是正确的.
故答案为小明.
【点睛】本题考查不等式的性质，根据已知得出0°＜ ＜25°是解题关键．
8．当 时，代数式 ；当 时， ______；当 时，
______；当 时， ________．因此，小明推断，不论 取
任何正整数， 的值都是________，这个推断是________的．（填“正确”或
“错误”）
【答案】 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 错误 .
【分析】结合题意,看能否找出反例,若能找出反例,则说明结论不成立;若不能找出反例,再结
合所学知识对结论作出严密的证明后,才能说明结论成立，本题,结合题意可知当n=5时,
≠1,据此即可解答此题．
【详解】解:将n=1代入 中,得 =1
故n=1时, =1成立
将n=2代入 中,得 =1
故n=2时, =1成立
将n=3代入 中,得 =1
故n=3时, =1成立
将n=4代入 中,得 =1
故当n=4时, =1成立
由于当n=5时, =25≠1
故不能得到结论:对于所有的正整数n,代数式 的值恒等于1.
故答案为(1). 1 ， (2). 1 ， (3). 1 ， (4). 1 ， (5). 错误 .
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键.
9．如图， ， ，那么你能判断 与 的大小关系吗?小颖据此得出
结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等，你认为她的想法正确吗?与同伴进
行交流．【答案】∠B=∠E；小颖的结论不全面．
【分析】首先根据两直线平行同位角相等可得∠B＝∠DGC，∠E＝∠DGC，再利用等量代
换可得∠B＝∠E；两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【详解】解：∠ABC＝∠DEF，
理由：∵AB DE，
∴∠B＝∠DGC，
∵BC EF，
∴∠E＝∠DGC，
∴∠B＝∠E；
她的想法不对，两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
理由：∵AB DE，
∴∠B＋∠DGB＝180°，
∵BC EF，
∴∠E＝∠DGB，
∴∠B＋∠E＝180°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行同位角相等．
10．（1）图中三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上?请你先观察，再用直尺
验证一下．
（2）图中两条线段a与b的长度相等吗？
【答案】（1）线段b与线段d在同一直线上；（2）两条线段一样长．
【分析】（1）先根据图形观察作出猜想，再利用直尺验证，得出真实答案；
（2）先根据图形观察作出猜想，再利用圆规（或有刻度的尺子）验证，得出真实答案．
【详解】解：（1）猜想：线段a与线段d在同一直线上,
验证：线段b与线段d在同一直线上；
（2）猜想：两条线段不一样长，
验证：两条线段一样长．
【点睛】本题考查猜想与证明．这两个图形都容易给人一些视觉上的错觉．教学中，应首
先鼓励学生说出自己的感觉，再实际验证，确认或否定自己的感觉．
11．当n为正整数时， 的值一定是质数吗？
【答案】不一定
【分析】寻找一个正整数n，代入代数式求解出结果，使得这个结果不是质数即可．
【详解】解：不一定．
∵当 时， ，是一个合数，
∴n为正整数时， 的值不一定是质数．
【点睛】本题意在让学生继续体会：实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正
确，明白为什么需要证明．
12．如图，已知 ， 和 的面积相等吗？若在 上再取一些点，使其分别和
两点构成三角形，那么它们的面积相等吗？不妨验证一下．【答案】面积相等，见解析.
【分析】由于平行线间的距离相等，而△ABC和△DBC的BC边上的高相等，所以△ABC
和△DBC的面积相等，即可求出答案．
【详解】解： 和 面积相等．
验证；如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．
则根据平行线间的距离相等，得 ．
因为 ， ，
两个三角形同底等高，所以面积相等．
若在 上再取一些点，使其分别和 两点构成三角形，那么它们的面积相等．
如图，在 上取异于 两点的点 ，过点 作 于点 ，则 ．
和 是同底等高，所以面积相等．
故答案为面积相等，见解析.
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形面积公式．解题的关键是熟记平行线间的距离相
等．
培优第二阶——拓展培优练
13．小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有 ， ， 三种型号的小球，它们随
机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两
个小球发生碰撞，会变成一个 型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外
一种型号的小球，例如，一个 型小球和一个 型小球发生碰撞，会变成一个 型小球．
现在模拟器中有 型小球12个， 型小球9个， 型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法：
①最后剩下的小球可能是 型小球；
②最后剩下的小球一定是 型小球；
③最后剩下的小球一定不是 型小球．
其中正确的说法是：（ ）
A．① B．②③ C．③ D．①③
【答案】D
【分析】假设剩下的是A、B、C型小球，分别讨论，列举结果，进行排除即得．
【详解】（1）最后剩下的小球可能是 型小球．理由如下：12个A型小球两两碰撞，形
成6个C型小球；9个B型小球中8个两两碰撞，形成4个C型小球；所有的20个C型小
球两两碰撞剩下一个C型小球；这个C型小球和剩下的B型小球碰撞形成A型小球，故①
正确；
（2）最后剩下的小球可能是 型小球．理由如下：12个A型小球中的9个与9个B型小
球两两碰撞，形成9个C型小球；剩下的3个A型小球中的2个碰撞形成1个C型小球，
所有的20个C型小球两两碰撞，最后剩下一个C型小球；这个C型小球与剩下的1个A
型小球碰撞形成B型小球，故②错误；
（3）最后剩下的小球一定不是 型小球．理由如下：A、B、C三种小球每一次碰撞有以
下6种可能的情况：A与A碰撞，会产生一个C型小球，减少两个A型小球（C多一个，
A、B共减少两个）；
B与B碰撞，会产生一个C型小球，减少两个B型小球（C多一个，A、B共减少两个）；
C与C碰撞，会产生一个C型小球，减少一个C型小球（C减少一个，A、B总数不变）；
A与B碰撞，会产生一个C型小球，减少一个A型小球和一个B型小球（C多一个，A、B
共减少两个）；
A与C碰撞，会产生一个B型小球，减少一个A型小球和一个C型小球（C少一个，A、B
总数不变）；
B与C碰撞，会产生一个A型小球，减少一个B型小球和一个C型小球（C少一个，A、B
总数不变）；
如上可得出规律：1.从C型小球的角度看：每碰撞一次，C型小球的数量增多一个或少一
个，题目中共有31个小球，经过30次碰撞剩下一个小球，整个过程变化了偶数次，C的
变化即为偶数次，因为最初C型小球有10个，则剩余的C型小球必定是偶数个，不可能为
1个，所以最后剩下的不可能是C型．
2.从A、B型小球的角度看：每次碰撞后，A、B型小球总数或者不变、或者减少两个、题
目中A、B型小球之和为21个，无论碰撞多少次，A、B型小球都没了是不可能的．故③
正确．
故选：D．
【点睛】本题考查逻辑推理及分类讨论思想，解题关键假设出现的情况，逆向推导出各个
情况，注意思路严谨，分类讨论要不重不漏．14．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两
组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形 的连
接方式为________.
组合
连接
【答案】
【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的
图形，即可得出结论．
【详解】解：结合题表中前两个图可以看出：b代表正方形；
结合后两个图可以看出：d代表圆；
因此a代表线段，c代表三角形，
所以图形 的连接方式为： .
故答案为 .
【点睛】本题主要考查推理与论证，观察、分析识别图形的能力；解决此题的关键是通过
观察图形确定a，b，c，d各代表什么图形．
15．下列说法中正确的有_____________（填序号）.
①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫两点的距离；③两点之间线段最短；④
若AC=BC，则点C是线段AB的中点；⑤相等的角是对顶角；⑥180°角是补角；⑦65.5°
＝65.50′；⑧如果∠1＋∠2＋∠3＝90°，那么∠1、∠2、∠3互为余角.
【答案】①③
【详解】根据直线公理，可知过两点有且只有一条直线，①正确；连接两点的线段的长度
脚两点的距离，故②不正确；根据线段公理，两点之间线段最短，故③正确；若AC=BC，
只有在一条直线上时，点C是线段AB的中点，④不正确；根据对顶角的定义，可知相等
的角不一定是对顶角，⑤不正确；根据和为180°的两角互为补角，知⑥不正确.
故答案为①③.
16．（1）计算并观察下列各式：
①
②③
（2）已知 ，那么 _________．
（3）从上述过程中你发现了什么规律？请用含 的代数式表示出来，并说明理由．
【答案】（1））①64，63 ； ②25，24 ； ③4.41，3.41；（2）404495；（3）
，见解析.
【分析】（1）根据一般数据的计算进行解答即可；
（2）从（1）中找出规律， 的值比 的值相差1即可；
（3）从（1）和（2）中得出规律： ．
【详解】解：（1）①64 63 ②25 24 ③4.41 3.41；
（2）已知 ，那么 404495；
（3）从以上过程中，发现的规律是： ．
理由如下：
根据平方差公式，得 ．
【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是找出其中的规律进行解答．
17．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系．
(1)如图1， ， ，∠1与∠2的关系是______；
证明：
(2)如图2， ， ，则∠1与∠2的关系是______；
证明：
(3)经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是______．
【答案】(1)∠1＝∠2，证明见解析；(2)∠1＋∠2＝180°，证明见解析
(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
【分析】（1）根据平行线性质可得答案；
（2）根据平行线性质，可得答案；
（3）由（1）（2）可得一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．
（1）
∠1=∠2，
证明：
