文档内容
第 04 讲 幂函数与二次函数 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：幂函数的定义
①求幂函数的值
②求幂函数的解析式
③由幂函数求参数
高频考点二：幂函数的值域
高频考点三：幂函数图象
①判断幂函数图象
②幂函数图象过定点问题
高频考点四：幂函数单调性
①判断幂函数的单调性
②由幂函数单调性求参数
③由幂函数单调性解不等式
高频考点五：幂函数的奇偶性
高频考点六：二次函数
①二次函数值域问题;②求二次函数解析式
③由二次函数单调性（区间）求参数
④根据二次函数最值（值域）求参数
⑤动轴定范围，定轴动范围的最值问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 04 讲 幂函数与二次函数（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、幂函数（1）幂函数定义
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数．
（2）五种常见幂函数
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
性 在 上
在 和
质 在 上单 单调递减； 在 上单调 在 上单
单调性 上单
调递增 在 上 递增 调递增
调递减
单调递增
公共点
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数 ，在
①当 时， 在 单调递增；
②当 时， 在 单调递减；
2、二次函数
形如 的函数叫做二次函数.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·全国·高一课时练习）若 ，则 ．( )
【答案】正确
由题设， ，而 在 上递增，
∴ ，正确.
故答案为：正确
2．（2021·全国·高一课时练习）若 ，则 ．( )【答案】错误
∵ 在 上递减，又 ，
∴ ，题设结论错误.
故答案为：错误
二、单选题
1．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一期末）若函数 在 上是增函数，则实数k
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
由题意得： ，
故选：C
2．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）若函数 在区间 上单调递增，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为函数 在区间 上单调递增，则 ，解得 .
故选：B.
3．（2022·云南玉溪·高一期末）幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上是
增函数，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 和
【答案】D
因为 ， ，
所以当 时， ，由幂函数性质得，在 上是减函数；
所以当 时， ，由幂函数性质得，在 上是常函数；
所以当 时， ，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在 上是增函数；
所以当 时， ，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在 上是增函数；
故选：D.
4．（2022·全国·高一阶段练习）已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．【答案】D
设幂函数 ，幂函数 的图象经过点 ，所以 ，
解得 ，所以 ，则 ．
故选：D.
5．（2022·全国·高一阶段练习）已知函数 是幂函数，且在 上递增，则实数
（ ）
A．－1 B．－1或3 C．3 D．2
【答案】C
由题意知： ，即 ，解得 或 ，
∴当 时， ，则 在 上单调递减，不合题意;
当 时， ，则 在 上单调递增，符合题意,
∴ ,
故选：C
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：幂函数的定义
①求幂函数的值
1．（2022·全国·高一阶段练习）已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】D
设幂函数 ，幂函数 的图象经过点 ，所以 ，
解得 ，所以 ，则 ．
故选：D.
2．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）幂函数 的图象经过点 ，则
=____.
【答案】2
设 ，则 ，
所以 ，
故 ，
所以 .
故答案为：
3．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 ________
【答案】3
设幂函数 ，则 ，则 ，
则 ，则
故答案为：3
②求幂函数的解析式
1．（2022·上海市控江中学高一期末）若幂函数 是严格增函数，则实数 ______.
【答案】
因为 是幂函数，
所以 ，
解得 ，
又因为 是严格增函数
所以 ，
故答案为：
2．（2022·北京·高一期末）幂函数 的图象恒过点_________，若幂函数 的图象过点 ，
则此函数的解析式是____________．
【答案】
由幂函数的性质知：在第一象限恒过 ，
设幂函数 ，则 ，即 ，故 .
故答案为： ， .
3．（2022·辽宁辽阳·高一期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 ______，的解集为______.
【答案】
依题意，设 ，则 ，解得 ，于是得 ，
显然 是偶函数，且在 上单调递增，而 ，
即有 ，解得 或 ，
所以 的解集为 .
故答案为： ；
③由幂函数求参数
1．（2022·河南新乡·高一期末）已知幂函数 在 上单调递减，则 （ ）
A．2 B．16 C． D．
【答案】D
由题意得 ，解得 ，
所以 ，故 ,
故选：D
2．（2022·贵州毕节·高一期末）若幂函数 在 上单调递增，则 （ ）
A．1 B．6 C．2 D．
【答案】D
∵幂函数 在 上单调递增，
∴ ，解得 ，
故选：D．
3．（2022·河北·邢台市第二中学高一开学考试）幂函数 在 上单调递增，则
______．
【答案】
由题意得 ，解得 ．
故答案为： .高频考点二：幂函数的值域
1．（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，值域是 的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意可得选项B、D的函数为指数函数，故排除B、D；
对于A：函数 ，定义域为R，所以值域为R，满足条件；
对于C：函数 ，定义域为 ，在第一象限内单调递增，又 ，所以值域为 ，不满足
条件；
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数 的图像过点 ，则 的值域是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
幂函数 的图像过点 ，
，解得 ，
，
的值域是 .
故选：D.
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一六二中学校高一期末）下列函数是偶函数且值域为 的是（ ）
① ；② ；③ ；④ .
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
对于①， 是偶函数，且值域为 ；
对于②， 是奇函数，值域为 ；
对于③， 是偶函数，值域为 ；
对于④， 是偶函数，且值域为 ，
所以符合题意的有①④故选：C.
4．（2022·广东·广州六中高一期末）幂函数 的图象过点 ，则函数 的值域是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设 ，
代入点 得
，
则 ，令 ，
函数 的值域是 .
故选：C.
5．（2021·河北·石家庄市第九中学高一期中）若幂函数 的图象过点 ，则 的值域为
____________．
【答案】
设 ，因为幂函数 的图象过点 ，所以
所以 ，所以
故答案为：
高频考点三：幂函数图象
①判断幂函数图象
1．（2022·四川凉山·高一期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
根据函数图象可得：①对应的幂函数 在 上单调递增，且增长速度越来越慢，故 ，故
D选项符合要求.
故选：D
2．（2022·全国·高一）图中C 、C 、C 为三个幂函数 在第一象限内的图象，则解析式中指数 的值
1 2 3
依次可以是（ ）
A． 、 、 B． 、 、 C． 、 、 D． 、 、
【答案】D
由幂函数 在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，
可得：图中C 对应的 ，C 对应的 ，C 对应的 ，
1 2 3
结合选项知，指数 的值依次可以是 ．
故选：D.
3．（2022·湖南·高一课时练习）结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？
(2)写出每个函数的定义域、值域；
(3)写出每个函数的单调区间；
(4)从图中你发现了什么？
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析.
(1)
数形结合可知， 的图象关于 轴对称，故其为偶函数；
的图象关于原点对称，故都为奇函数.
(2)
数形结合可知： 的定义域是 ，值域为 ；
的定义域都是 ，值域也是 ；
的定义域为 ，值域也为 ；
的定义域为 ，值域为 .
(3)
数形结合可知： 的单调增区间是： ，无单调减区间；
的单调增区间是： ，无单调减区间；的单调减区间是： 和 ，无单调增区间；
的单调减区间是 ，单调增区间是 .
(4)
数形结合可知：
幂函数均恒过 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.
对幂函数 ，当 ，其一定在 是单调增函数；当 ，在 是单调减函数.
②幂函数图象过定点问题
1．（2022·北京·高三专题练习）已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点 的
坐标为____________.
【答案】
时， ，所以函数图象恒过定点 ．
故答案为： ．
2．（2021·全国·高一专题练习）函数 恒过定点______．
【答案】
当 ，即 时， ， 函数恒过定点 .
故答案为： .
3．（2021·全国·高一课时练习）函数 的图象过定点________．
【答案】
幂函数 的图象过 ，
将 代入 ，可得 ，
所以函数 的图象过定点 .
故答案为： .
4．（2021·上海·高一专题练习）幂函数 的图象过点 ，则函数
的图象经过定点__________．
【答案】
因为幂函数 过点 ，可解得 ，
所以 ，故 ，
当 时， ，
故 恒过定点 .
故答案为
5．（2021·全国·高一课时练习）若 ，函数 的图象恒过定点 ，则点 的坐标为
______．
【答案】
因为 过定点 ，
将图象向右平移一个单位，向上平移3个单位得： ，
所以 过定点 .
故答案为 .
高频考点四：幂函数单调性
①判断幂函数的单调性
1．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（文））下列函数是偶函数，且在区间 上为增函数的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
A选项： ， ，为偶函数，在 上单调递增，故A选项正
确；
B选项： ， ，为偶函数， 时， ，在 上
单调递减，故B选项错误；
C选项： ， ，为偶函数， 时， ，在 上单调递减，
故C选项错误；
D选项： ， ，且 ，为非奇非偶函数，且在
上单调递增，故D选项错误；
故选：A.
2．（2022·河南开封·高一期末）已知函数 幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】A
因为函数 为幂函数，则 ，即 ，解得 或 .
若 ，函数解析式为 ，该函数在定义域上不单调，舍去；
若 ，函数解析式为 ，该函数在定义域 上为增函数，合乎题意.
综上所述， .
故选：A.
3．（多选）（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
A： 在 上不单调，不符合；
B： 且 是偶函数， 在 上单调递增，符合；
C： 在 上递减，不符合；
D： 且 是偶函数，且在 上单调递增，符合.
故选：BD
4．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知幂函数 在 内是单调递减函
数，则实数 ______．
【答案】
由题意得，函数 为幂函数且在 内是单调递减，所以 ，解得 ．
故答案为： .
5．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在区
间 上是严格增函数．(1)求 的值；
(2)求满足不等式 的实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)
解：因为幂函数 在区间 上是严格增函数，
所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 或 或 ，
当 或 时， 为奇函数，图象关于原点对称（舍）；
当 时， 为偶函数，图象关于 轴对称，符合题意；
综上所述， .
(2)
解：由（1）得 为偶函数，且在区间 上是严格增函数，
则由 得 ，
即 ，即 ，解得 ，
所以满足 的实数 的取值范围为 .
②由幂函数单调性求参数
1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）已知幂函数 在 上是减函数，则
的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】C
由函数 为幂函数知，
，解得 或 .
∵ 在 上是减函数，而当 时， ，在 是增函数，不符合题意，
当 时， ，符合题意，
∴ ， ，
∴ .
故选：C.
2．（2022·江苏省天一中学高一期末）“ ”是“幂函数 在 上是减函
数”的一个（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A
由题意，当 时， 在 上是减函数，故充分性成立；
若幂函数 在 上是减函数，
则 ，解得 或
故必要性不成立
因此“ ”是“幂函数 在 上是减函数”的一个充分不必要条件
故选：A
3．（2022·广西百色·高一期末）已知幂函数 在 上单调递减，则m的值为
（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
【答案】A
由题意，幂函数 ，可得 ，解得 或 ，
当 时，可得 ，可得 在 上单调递减，符合题意；
当 时，可得 ，可得 在 上无单调性，不符合题意，
综上可得，实数 的值为 .
故选：A.
4．（2022·河南平顶山·高一期末）已知幂函数 在其定义域上是增函数，则实数
___________．
【答案】
因为 为幂函数，所以 ，解得 或 ，
又 在其定义域上是增函数，
所以 ，所以 .
故答案为：
5．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知幂函数 在 上单调递
减，则实数 __________．
【答案】
根据幂函数的定义知 ，即 ，
解得 或 ，又 在 上单调递减，
所以 ．
故答案为： .
③由幂函数单调性解不等式
1．（2022·全国·高三专题练习）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
因为 定义域为 ，且为增函数，又 ，所以 ，解得： ，
因为 ，而 ，故“ ”是“ ”的充分
不必要条件.
故选：A
2．（2022·北京·高三专题练习）若 ，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因为幂函数 在 和 上都是单调递减的，
所以，由 可得 或 或
解得 或 ，
即实数m的取值范围为 .
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数 的图象过点 ，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C解：因为幂函数 的图像过点 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
由于函数 在 上单调递增，
所以 ，解得： ．
故 的取值范围是 .
故选：C.
4．（2022·重庆巫山·高一期末）若幂函数 过点 ，则满足不等式 的实数 的
取值范围是______
【答案】
由题意，不妨设 ，
因为幂函数 过点 ，则 ，解得 ，
故 为定义在 上的奇函数，且 为增函数，
因为 ，则 ，
故 ，解得 ，
从而实数 的取值范围是 .
故答案为： .
5．（2022·湖北武汉·高一期末）已知幂函数 为奇函数．
(1)求 的值；
(2)若 ，求代数式 的最小值．
【答案】(1) (2)5
(1)
由题知， ，解得 或 ，
又函数为奇函数，则 ， ，
(2)
由（1）知，函数单增， 等价于 ，解得 ，，当且仅当 时，等号成立.
因此，代数式的最小值为5.
6．（2022·全国·高一）已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上
是减函数.
（1）求 和 的值；
（2）求满足 的 的取值范围.
【答案】（1） 或 ； ；（2）
知 ，再根据幂函数的单调性即可求解.
（1） 函数为幂函数， ，
即 ，解得 或 ，
函数在 上是减函数
，解得 ，
又函数图象关于 轴对称，所以函数为偶函数，
，当 时， ，函数不是偶函数，舍去；
当 时， ，函数为偶函数，满足条件；
当 时， ，函数不是偶函数，舍去；
综上所述， .
（2）由（1）可知 ，
因为 在 ， 上单调递减，
所以 等价于
或 或 ，
解得 或 .
故 的取值范围为
高频考点五：幂函数的奇偶性
1．（2022·辽宁·育明高中高一期末）下列函数中，值域是 且为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
的值域为 ，不符合题意，A选项错误.
，当 时等号成立，不符合题意，B选项错误.
的定义域为 ，是非奇非偶函数，不符合题意，C选项错误.
令 ，其定义域为 ， ，所以 是偶函数，
且 ，即 的值域为 ，符合题意，D选项正确.
故选：D
2．（2022·四川雅安·高一期末）已知幂函数 为偶函数，则实数 的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或2
【答案】C
幂函数 为偶函数，
，且 为偶数，
则实数 ，
故选：C
3．（多选）（2022·广西钦州·高一期末）若函数 是幂函数且为奇函数，则 的
值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BD
因为函数 是幂函数，所以 ，
解得： 或 ，
当 时，函数 ，此时函数 为奇函数，满足题意；
当 时，函数 ，此时函数 为奇函数，满足题意，
故选：BD.
4．（2022·黑龙江绥化·高一期末）已知幂函数f(x)是奇函数且在 上是减函数，请写出f(x)的一个表达
式________．
【答案】
因为幂函数 是奇函数且在 上是减函数，
所以 为负数且为奇数，
所以f(x)的一个表达式可以是 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）5．（2022·四川·宁南中学高一开学考试）已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在区间
内是减函数，则 的解析式为________．
【答案】
因幂函数 在区间 内是减函数，
则有 ，解得 ，而 ，于是得 ，
又 的图象关于y轴对称，则函数 为偶函数，即幂指数 为偶数，
而 或 时 是奇数， 时 为偶数，
所以 ， 的解析式为 .
故答案为：
高频考点六：二次函数
①二次函数值域问题
1．（多选）（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）设函数 ， ，若存在
， ，使 ，则 的可能取值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】CD
注意 ，所以 恒非负，
且对称轴 .固定 ，只需当 时 ，
因此只需存在 使 ，故 ，解得 .
故选：CD
2．（2022·广西南宁·高一期末）已知函数 ．则函数的最大值和最小值之积为
______
【答案】80
因为 ，所以当 时， ，当 时，
，所以最大值和最小值之积为 .
故答案为：80
3．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数 ，若 ，使得
，则实数a的取值范围是___________.
【答案】当 时， ，
∴当 时， ，
当 时， 为增函数，
所以 时， 取得最大值 ，
∵对 ，使得 ，
∴ ，
∴ ，解得 .
故答案为： .
4．（2022·湖南·高一课时练习）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
【答案】 ，
，
二次函数的开口向下，对称轴为 ，且
所以函数在 单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
②求二次函数解析式
1．（2022·河南安阳·高一期末（文））已知二次函数 ，满足 ，
.
(1)求函数 的解析式；
(2)求 在区间 上的值域.
【答案】(1) (2)
(1)
解：由 可得 ，
，
由 得 ，
所以 ，解得 ，所以 .(2)
解：由（1）可得： ，
则 的图象的对称轴方程为 ， ，
又因为 ， ，
所以， 在区间 上的值域为 .
2．（2022·湖南·高一课时练习）已知二次函数 有最小值 ，且函数的零点为 和2，求该
二次函数的表达式．
【答案】
因为二次函数的零点为 和2，
所以设二次函数为 ，
因为二次函数 有最小值 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以二次函数为
3．（2022·湖南·高一课时练习）已知二次函数 的图象开口向下，与 轴交于 ，
两点．
(1)求 的取值范围；
(2)当 时，求该二次函数的表达式．
【答案】(1) ;
(2)
(1)
抛物线开口向下,与.x轴有两个交点，
(2)
是方程 的两根，又
或
所求函数的表达式为
4．（2022·河南·信阳高中高一期末（文））已知 为二次函数，且 ．
(1)求 的表达式；
【答案】(1)
(1)
设 ，
因为 ，
所以
整理的，
故有 ，即 ，所以 .
5．（2022·山西·高一期末）已知 是二次函数，且满足 ， ， .
(1)求函数 的解析式；
【答案】(1) .
(1)
解：设 ，
因为 ，所以函数 关于 对称，
所以 ，
又 ， ，所以 ，解得 ，
所以 ；
③由二次函数单调性（区间）求参数
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 在R上为减函数，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为函数 在R上为减函数，
所以 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 ，
故选：B.
2．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）若函数 在 上是减函数，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由于函数 是开口向上，对称轴为 ，
所函数 的单调递减区间为 ，
又函数 在 上是减函数，
所以 ，所以 ，所以 .
故选;B.3．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）若函数 在区间
上单调递增，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
当 时，函数 在R上单调递增，即 在 上递增，则 ，
当 时，函数 是二次函数，又 在 上单调递增，由二次函数性质知， ，
则有 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
4．（2022·广东揭阳·高二期末）若函数 的递增区间是 ，则实数 ______.
【答案】
因为二次函数 开口向上，对称轴为 ，故其单调增区间为 ，
又由题可知：其递增区间是 ，故 .
故答案为： .
5．（2022·湖南·高一课时练习）若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围．
【答案】
二次函数 的对称轴为： ，
因为函数 在区间 上单调递减，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
④根据二次函数最值（值域）求参数
1．（2022·北京·人大附中高三开学考试）已知二次函数 的值域为 ，则
的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
因为二次函数 的值域为 ，所以 ，
即 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故选：A
2．（2022·山西运城·高一期末）已知二次函数 的值域为 ，则 的最小
值为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】D
由题意知 ， ，
∴ 且 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故选：D.
3．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知函数 在定义域 上的值域为
，则实数 的取值范围为____.
【答案】
函数f（x）＝x2﹣2x的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，
当x≥1时，函数为增函数，且
∴要使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n的取值范围是[1，3]．
故答案为：[1，3]
4．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数 ．
(1)当 时，解关于x的不等式 ；
(2)函数 在 上的最大值为0，最小值是 ，求实数a和t的值．
【答案】(1)
(2) 或
(1)
当 时，不等式 ，
即为 ，即 ，所以 ，
所以 或 ，
所以原不等式的解集为 ．
(2)
，
由题意 或 ，这时 解得 ，
若 ，则 ，所以 ；
若 ，即 ，
所以 ，则 ，
综上， 或 ．
5．（2022·重庆·高一期末）已知函数 ， ．
(1)若 在 上的值域为 ，求 的值；
【答案】(1) ．
(1)解：因为函数 ， ，对称轴 ，且 ， ，
，
当 时，函数 在 上单调递增，所以
，即 ，此时无解；
当 时，函数 在 上单调递减，所以
，即 ，解得 ；
当 ，即 时，函数 在 取得最小值，所以 ，即 ，方程在
上无解，
综上得： ；
⑤动轴定范围，定轴动范围的最值问题
1．（2022·浙江金华第一中学高一期末）己知函数 ，
(1)求 在 上的最小值；
【答案】(1)答案见解析
(1)
解：（1）由 ，抛物线开口向上，对称轴为 ，
在 上的最小值需考虑对称轴 与区间 的位置关系.
（i）当 时， ；
（ii）当 时， ；
（ⅲ）当 时，
2．（2022·广东·高一期末）已知函数 ．若函数 在区间 上的最大值
为 ，求a的值．
【答案】对称轴为 ，当 ，即 时， 在 上单调递减， ，舍去；
当 ，即 时， ，解得： 或
（舍去）；
当 ，即 时， 在 上单调递增， ，解得： （舍去）；
综上：
3．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知二次函数 满足 ，且不等式 的解集为
．
(1)求 的解析式；
(2)若函数 在 时的值域为 ，求t的取值范围，
【答案】(1) (2)
解：因为 为二次函数，所以 为一元二次不等式，
故可设 ，
所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ；
(2)
解：因为 ，
所以当 时， 取最小值 ，
又由 ，得 或 ，
所以结合 的对称性，可知 ，且 ，
所以
所以 的取值范围为
4．（2022·山东·广饶一中高一开学考试）已知函数 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)已知 在 上单调递增，求 的取值范围；
(3)求 在 上的最小值.【答案】(1) (2) (3)
(1)
解：当 时，函数 ，
不等式 ，即 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
(2)
解：由函数 ，可得 的图象开口向上，且对称轴为 ，
要使得 在 上单调递增，则满足 ，
所以 的取值范围为 .
(3)
解：由函数 ，可得 的图象开口向上，且对称轴为 ，
当 时，函数 在 上单调递增，所以 最小值为 ；
当 时，函数 在 递减，在 上递增，
所以 最小值为 ；
当 时，函数 在 上单调递减，所以 最小值为 ，
综上可得， 在 上的最小值为 .
5．（2022·全国·高三专题练习（理））设 求函数 的最小值 的解
析式.
【答案】
， ，
函数图像的对称轴为直线 ，
∴当 时，即 时，
.
当 ，即 时， 在 上是减函数，
∴ .
当 时， 在 上是增函数，∴ .
综上： .
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·山东·高考真题）关于函数 ，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点
【答案】C
，最大值是1，A正确；
对称轴是直线 ，B正确；
单调递减区间是 ，故C错误；
令 的 ，故 在函数图象上，故D正确，
故选：C
2．（2021·湖南·高考真题）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
函数 的对称轴为 ，开口向上，
所以函数 的单调递减区间是 ，
故选：C.
3．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
，因为 为奇函数，所以
故答案为：
第五部分：第 04 讲 幂函数与二次函数（精练）
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 在闭区间 上有最大值5，最小值1，则
得取值范围是A． B． C． D．
【答案】D
函数 的对称轴为 ，此时，函数取得最小值为1，
当 或 时，函数值等于5．
又 在区间 ， 上的最大值为5，最小值为1，
实数 的取值范围是 ， ，故选D．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那
么( )
A．f(0)4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a
