文档内容
重难点突破 03 三次函数的图象和性质
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................4
题型一：三次函数的零点问题....................................................................................................................................4
题型二：三次函数的最值、极值问题........................................................................................................................9
题型三：三次函数的单调性问题..............................................................................................................................12
题型四：三次函数的切线问题..................................................................................................................................14
题型五：三次函数的对称问题..................................................................................................................................16
题型六：三次函数的综合问题..................................................................................................................................19
题型七：三次函数恒成立问题..................................................................................................................................28
题型八：等极值线问题..............................................................................................................................................32
03过关测试.........................................................................................................................................361、基本性质
设三次函数为： ( 、 、 、 且 )，其基本性质有：
性质1：①定义域为 ．②值域为 ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：
图像
性质2：三次方程 的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三
次函数为例来研究根的情况，设三次函数
其导函数为二次函数: ，
判别式为：△= ，设 的两根为 、 ，结合函数草图易得：
(1) 若 ，则 恰有一个实根；
(2) 若 ,且 ，则 恰有一个实根；
(3) 若 ,且 ，则 有两个不相等的实根；
(4) 若 ,且 ，则 有三个不相等的实根.
说明:(1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一次，即 在R上为单
调函数（或两极值同号），所以 （或 ，且 ）;
(5) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以
，且 ;
(6) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共点，即 有一个极大
值，一个极小值，且两极值异号.所以 且 .
性质3：对称性
（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； ；（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2、常用技巧
（1）其导函数为 对称轴为 ，所以对称中心的横坐标也就是导函数
的对称轴，可见， 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同
时也是二阶导为零的点；
（2） 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于直线
对称.
（3）若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称.
（4）已知三次函数 的对称中心横坐标为 ，若 存在两个极值点 ， ，
则有 .题型一：三次函数的零点问题
【典例1-1】一般地，对于一元三次函数 ，若 ，则 为三次函数 的对称中心，
已知函数 图象的对称中心的横坐标为 （ ），且 有三个零点，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数 求导得： ，则 ，
由 解得 ，则有 ，
，当 或 时， ，当 时， ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
因此，当 时， 取得极大值 ，当 时， 取得极小值 ，
因函数 有三个零点，即函数 的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，
，
于是得 ，解得 ，
综上得： ，
实数a的取值范围是 .
故选：A.
【典例1-2】已知 ， ， ，若三次函数 有三个零点 ， ， ，且满足
， ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，
，即 ，
得 ，代入得 ，
∵ ，
，解得 ，
设三次函数的零点式为 ，
比较系数得 ， ，
故
故选：D.
【变式1-1】已知三次函数 有两个零点，若方程 有四个实数根，
则实数a的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 一定有两零点 与 ，所以只需 或 共有四个根即
可．结合 有两个零点，所以必有 或 ．然后分两种情况结合函数图象讨论即可.由
，则 得 或
三次函数 有两个零点，且程 有四个实数根，
所以只需 或 共有四个根即可，
所以 或 .
又方程 有四个实数根，则 或 共有四个根.在 , 上单调递增，在 单调递减.
当 时， ，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图①)
则 ，即 ，解得 .
当 ，得 ，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图②)
则 ，即 ，解得 .
综上所述，当 时，方程 有四个实数根.
故选：C
【变式1-2】已知 ， 为三次函数，其图象如图所示.若 有9个零
点，则 的取值范围是 .
【答案】【解析】由题设 ，其图象如下，
当 ， 与 只有一个交点且 ；
当 ， 与 有两个交点且 或 ；
当 ， 与 有三个交点且 ；
当 ， 与 有两个交点且 ；
由题图，要使 ， 有9个零点，则 ， ，且 有
，
根据 解析式： ，
综上， ， 可得 ，故 .
故答案为：
【变式1-3】已知三次函数 在 和 处取得极值，且 在 处的
切线方程为 .
（1）若函数 的图象上有两条与 轴平行的切线，求实数 的取值范围；
（2）若函数 与 在 上有两个交点，求实数 的取值范围.【解析】（1） ,
由题得 ,且 ,
即 解得 , .
于是 ,即 ,
故切线方程为 .
因为切点在切线上,所以 ,
将 代入 ,解得 ,
.
.
由题得 有两个不相等的实根,
,
解得 .
（2）由题得 在 上有两个不同的解,
即 在 上有两个不同的解.
令 , ,
则 ,
由 得 或 ,
由 得 ,
因为 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
.
, ,
,
由图象知 .
【变式1-4】已知三次函数 的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在 处的切线l经过点 ，
则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可设 ，
则 ，
可得 ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
则切线方程为 ，
代入点 得 ，
且 ，得 ，解得 .
故选：B.
题型二：三次函数的最值、极值问题
【典例2-1】已知三次函数 ，其导函数为 ，存在 ，满足
．记 的极大值为 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 是 的零点也是极值点， 也是 的零点，
不妨设 ，
故 ，
因为 ，所以 ，
故当 或 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
可得 的极大值 ，
因为 ，所以 ．
故答案为：【典例2-2】已知三次函数 无极值，且满足 ，则 .
【答案】
【解析】由题设 ，则 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，故 ，可得 ，
所以 .
故答案为：
【变式2-1】已知三次函数 在 上单调递增，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 在 上单调递增， 恒成立，
， ， ， ，
，
令 ，设 ，
则 ，
， ， （当且仅当 ，即 时取等号），
，即 的最小值为 .
故选： .
【变式2-2】（多选题）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程 有
实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”
且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 图象的对称中心为 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． ， B．函数 的极大值与极小值之和为6
C．函数 有三个零点 D．函数 在区间 上的最小值为1
【答案】AB
【解析】由题意，点 在函数 的图象上，故 ；
又 .
由 ，即 .故A正确；
所以 ，所以 .
由 或 .
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ；极小值为 ，
所以极大值与极小值之和为： ，故B正确；
因为函数的极小值 ，所以三次函数只有一个零点，故C错误；
又 ， ，
所以函数 在 上的最小值为 ，故D错.
故选：AB
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知三次函数 的极小值点为 ，极大值点为 ，
则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，得 ，关于x的一元二次方程 的两根为b，2b，
又极小值点为 ，极大值点为 ，所以 ，即 ，
由韦达定理得到 ，所以 ， ，得到 ．
故选：A．
【变式2-4】（2024·江西新余·二模）已知三次函数的导函数 ， ， 为实数.
(1)若曲线 在点 处切线的斜率为12，求 的值；
(2)若 在区间 上的最小值，最大值分别为 ，1，且 ，求函数 的解析式.【解析】（1）由已知，三次函数的导函数 ，
曲线 在点 处切线的斜率为12，
由导数的几何意义 =12，∴
∴ ,∴ .
（2）∵ ,
∴ ，
由 得 , ,
∵ ， ，
∴当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减．
∴ 在区间 上的最大值为 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ,∴ 是函数 的最小值，
∴ ,∴ ，
∴ .
题型三：三次函数的单调性问题
【典例3-1】（2024·江西景德镇·一模）设三次函数 (b，c为实数)的导数为 ，设
，若 在R上是增函数，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】 ,
，
，
恒成立
，
故 ，，
令 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故答案为：
【典例3-2】已知函数 .
（1）若函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直，函数 在 处取得极值，求函
数 的解析式.并确定函数的单调递减区间；
（2）若 ，且函数 在 上减函数，求 的取值范围.
【解析】（1）先对函数 进行求导，根据 ， 确定函数的解析式，然后令
求单调递减区间；（2）将 代入函数 后对函数进行求导，根据 在 上恒成
立转化为 在 上恒成立求出 的值.
试题解析：（1）已知函数 ， .
又函数 图象在点 处的切线与直线 垂直，且函数 在 处取得极值，
，
且 ，计算得出 ， .
令 得： ，
所以函数的单调递减区间为 .
（2）当 时， ，又函数 在 上是减函数，
在 上恒成立，
即 在 上恒成立， .
当 时， 不恒为0， .
【变式3-1】三次函数 在 上是减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对函数 求导，得因为函数 在 上是减函数，则 在 上恒成立，
即 恒成立，
当 ，即 时， 恒成立；
当 ，即 时， ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ；
又因为当 时， 不是三次函数，不满足题意，
所以 .
故选：A．
题型四：三次函数的切线问题
【典例4-1】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数 在R上是增函数，且存在垂直
于y轴的切线，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由已知得： 恒成立且 有解，
∴ ,
①当 时，可得 ,∴ ,
②当 时， ,且 ,
,
③当 时， ,且 ,
,
令 ,
,∴ ,
综上， ,
故答案为：
【典例4-2】（2024·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，
一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数 的图象是可由 ， ， ， 四点确定的贝塞
尔曲线，其中 ， 在 的图象上， 在点 ， 处的切线分别过点 ， .若 ， ，
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
由题意 ，解得 ，所以 .
故选：C.
【变式4-1】已知函数 在点 处的切线方程为 ．若经过点
可以作出曲线 的三条切线，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
根据题意得 ，解得 ，
∴函数的解析式为 ，
设切点为 ，则 ， ，故切线的斜率为 ，
由题意得 ，即 ，
∵过点 可作曲线 的三条切线，∴方程 有三个不同的实数解，
∴函数 有三个不同的零点．
由于 ，
∴当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增．
∴当 时， 有极大值，且极大值为 ；
当 时， 有极小值，且极小值为 ．
∵函数 有3个零点，∴ ，解得 ．
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为：
【变式4-2】（2024·广东深圳·一模）已知函数 ，设曲线 在
点 处切线的斜率为 ，若 均不相等，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】18
【解析】由于 ，
故 ，
故 ， ，
则
，
由 ，得 ，
由 ，即 ，知 位于 之间，
不妨设 ，则 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故则 的最小值为18，
故答案为：18
题型五：三次函数的对称问题
【典例5-1】（2024·高三·广东珠海·开学考试）设函数 是 的导函数.某同学经过探究发现，
任意一个三次函数 的图像都有对称中心 ，其中 满足 .
已知三次函数 ，若 ，则 .
【答案】
【解析】由题意， ， ，令 解得 ，又 ，故
的对称中心为 .故当 时， .
故答案为：
【典例5-2】（2024·全国·模拟预测）对于三次函数 给出定义：设 是函
数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称
中心，且拐点就是对称中心，若 ，请你根据这一发现计算：
（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【解析】由题意可知 ，所以 ，令 ，则 ，
所以 ，由题意可知函数 的对称中心为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以
，所以 .
故选：C
【变式5-1】设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点
为函数 的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称
中心．设 ，数列 的通项公式为 ，则 （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【解析】由 ，得 ，
由 可得： ，
因为
所以 的图象关于点 对称，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
故选：C
【变式5-2】函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数．
已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若 ，则 的值
为（ ）
A．－4 B．－2 C．0 D．2
【答案】A
【解析】设 的对称中心为 ，
设 ，
则 为奇函数，由题可知 ，且 ，
所以 ，即 ，
则 ，
整理得 ，所以 ，解得 ，
所以函数 的对称中心为 ；
所以 ，
．
故选：A．
【变式5-3】已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数 ，且
为曲线 的对称中心，则必有 其中函数 若实数 ， 满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 ，
令
，
解得 ，
又 ．
函数 的图象关于点 成中心对称．
因为 ，
所以 ，
又 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 .
故选：A．
题型六：三次函数的综合问题
【典例6-1】若 ，关于 的一元二次方程 的两个根分别为 ，则方程可写成
，即 ，容易发现根与系数的关系： 若，设关于 的一元三次方程 的三个非零实数根分别为 ，则
.
【答案】
【解析】由题意可得：
，
由待定系数法可得：
则 ，
所以 ，
故答案为： .
【典例6-2】（多选题）已知三次函数 有三个不同的零点 ，函数
.则（ ）
A．
B．若 成等差数列，则
C．若 恰有两个不同的零点 ，则
D．若 有三个不同的零点 ，则
【答案】ABD
【解析】 ， ， ，对称中心为 ，对A：因为
有三个零点，所以 必有两个极值点，所以 ， ，A正确；
对B，由 成等差数列，及三次函数的中心对称性可知 ，
所以 ，
又 ，故 ，所以 ，所以 ，故B正确；对C： ，即 ，
若 恰有两个零点，则 或 必为极值点；
若 为极值点，则该方程的三个根为 ， ， ，由一元三次方程的韦达定理可知： ；
若 为极值点，同理可得 ，故C错；
对D：由韦达定理 ，
得 ，
即 ，故D正确.
故选：ABD.
【变式6-1】（多选题）下列关于三次函数 叙述正确的是（ ）
A．函数 的图象一定是中心对称图形
B．函数 可能只有一个极值点
C．当 时， 在 处的切线与函数 的图象有且仅有两个交点
D．当 时，则过点 的切线可能有一条或者三条
【答案】AC
【解析】对于A，
，
故 为定值，故函数 的图象一定是中心对称图形.
对于B， ，
若 有极值点，则 有变号零点，而 的图像为抛物线，故 ，故 有两个变号零点，
故 有两个极值点，故B错误.
对于C， 在 处的切线方程为 ，
令 ，
则 ，当 时， ，
所以 ，
因为 ，故 ，不妨设 ，
若 ，则当 或 时， ，当 时， ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
而 ，故 ，
而 时， ，故 有两个不同的零点，
故 的图像与切线 有且只有两个不同交点，
同理可得当 时，故 的图象与切线有且只有两个不同的交点，故C正确.
对于D，过点 的切线的切点为 ，
由（2）的切线方程可得 ，
故 ，
整理得到： ，
故 或 ，
下面考虑 的解，
整理得到： ，
，
而 ，
故方程 有且只有一个异于 的实数根，
过点 的切线有且只有两条，故D错误.
故选：AC.
【变式6-2】（多选题）（2024·江苏·模拟预测）已知三次函数 ，若函数的图象关于点（1，0）对称，且 ，则（ ）
A． B． 有3个零点
C． 的对称中心是 D．
【答案】ABD
【解析】由题设， ，且 ，
所以 ，整理得 ，
故 ，可得 ，故 ，
又 ，即 ，A正确； 有3个零点，B正确；
由 ，则 ，所以 关于 对称，C错误；
，D正确.
故选：ABD
【变式6-3】给出定义:设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有
实数解 ，则称 )为函数 的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图象的对称中心.已知函数 的图象的对称中心为 ，讨论函数 的
单调性并求极值.
(2)已知函数 ，其中 .
（i）求 的拐点；
（ii）若 ，求证: .
【解析】（1） ， ，
由题意得 ，即 ，解得 ，
且 ，即 ，解得 ，
故 ，
， ，
令 得 或 ，令 得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
故极大值为 ，极小值为 ；（2）（i） ，
由于 ， ，故 ，即 的定义域为 ，
，
，
令 得， ，
令 ， ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ，由零点存在性定理知， 有唯一的零点 ，
故 ，即 时，满足 ，
当 时， ，
故 的拐点为 ；
（ii）由（i）可知， 在 上单调递增，
又 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
其中 ，
故 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
因为 ， ，
故 ，
设 ，则 ， ，
令 ，解得 ，
又 ，
故 的拐点为 ，
由（1）知， 关于 中心对称，
令 ，
又 的拐点为 ， ，
要证明 ，只需证明 的极值点左偏，
故 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
即证当 时， ，
不妨设 ，
令 ， ，
则
，
因为 ，所以，
所以 在 上单调递减，
又 ，故 在 上恒成立，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
其中 在 上单调递增，故 ，
故 ，故 的极值点左偏，所以 .
【变式6-4】对三次函数 ，如果其存在三个实根 ，则有
.称为三次方程根与系数关系.
(1)对三次函数 ，设 ，存在 ，满足 .证
明：存在 ，使得 ；
(2)称 是 上的广义正弦函数当且仅当 存在极值点 ，使得
.在平面直角坐标系 中， 是第一象限上一点，设
.已知 在 上有两根 .
（i）证明： 在 上存在两个极值点的充要条件是 ；
（ii）求点 组成的点集，满足 是 上的广义正弦函数.
【解析】（1）因为 ，所以不妨设 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以不妨取 满足题意，且此时必有 ，否则若 ，则有 ， ， ，
而此时 与已知 矛盾，
综上所述，存在 ，使得 .
（2）（i） 是第一象限上一点，所以 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
而 时， ， 时， ，
所以 存在负根，
因为 在 上存在两个极值点，等价于方程 在 上有两个根，
等价于方程 在 上存在两个根，
注意到三次方程最多有3个根，
所以方程 有一个负根，两个不同的正根，
而 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当且仅当 ，即当且仅当 ，
综上所述，命题（i）得证；
（ii）容易验证， 时， 也恰好有两个正根 ，
此时：由于对 来说， 等价于 ， 等价于 ，
所以对 ，如果 ，
那么 ，
这意味着 ，
然后，对两个不相等的正数 ，
所以 当且仅当 ，那么如果 或 ，就有 或 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
这意味着 ，
最后，由于 有一个极值点 ，
所以 都不等于 （ 是不相等的正零点，同时该方程还有另一个负零点，但 只要是根就是二重的，
所以 不可能是根），
这就说明 ，
结合 的单调性以及 ，必有 ，
所以此时 一定是广义正弦函数，
综上所述，满足题意的 .
题型七：三次函数恒成立问题
【典例7-1】已知 ，若不等式 对任意 恒成立，
则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】 ，
由不等式 对 恒成立，
可得 对 恒成立，
由三次函数图像性质可知，若 时，该不等式不可能恒成立，
∴ 且 ，解得， ，
不等式可转化为 对 恒成立，
∴ ，
∴ ，∴ .
故答案为： .
【典例7-2】若对于任意 ，存在 ，使得 成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 可知 ,设 , , ,作草图如下,
则由题意可知,对任意的 ,函数 的图像介于函数 与函数 的图形之间,由图像可知,
只需两条虚线函数介于函数 与函数 的图形之间即可.
又 , ,设切点 ,则 ,
解得 ,即 ,所以直线 的方程为 ,即 .同理可求得,直
线 的方程为 .
又函数 恒过定点 ,函数 恒过定点 .
故由图像观察可知, ,解得 .
故答案为：
【变式7-1】已知x＝2是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的极值点，且直线3x＋y－5＝0与曲线
y＝f(x)相切与点(1，f（1）).
(1)求实数a，b，c的值；
(2)若f(t)＝－1，f(s)＝5，求f(t＋s)的值；(3)若对于任意实数x，都有f(x2－2x＋4)＋f(x2＋λx)＞4恒成立，求实数λ的取值范围.
【解析】（1） ，在 中令 得 ，即 ，
所以 ，解得 ；
（2）由（1） ，
，
或 时， ， 时， ，
在 和 上递增，在 上递减，
极大值为 ，极小值为 ，
， ，因此 都是唯一的实数．
，
所以 的图象关于 对称，而 ，
又 和 都是 图象上唯一的点，
所以 ，
；
（3） ，当且仅当 时， ，
所以 ，且 时， ，
由f(x2－2x＋4)＋f(x2＋λx)＞4恒成立，得 （*）,
又 的图象关于点 对称，所以 ，
所以不等式（*）为 ，
所以 ，所以 恒成立，
，所以 ．
【变式7-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知三次函数 .
（1）若函数 过点 且在点 处的切线方程是 ，求函数 的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间 上任意两个自变量的值 ， ，都有 ，求出
实数 的取值范围.
【解析】（1） ，
，由题意知 ，
解得： ， ， ，
.
（2）由（1）知 ，
令 得 ，
所以 在 和 上分别单调递增，在 上单调递减，
而 ， ， ， ，
在区间 上 ， ，
对于区间 上任意两个自变量 ， ，
都有 ，
．
【变式7-3】已知三次函数 ，a， ，若函数 的图象在 处的切线方程为
（I）求函数 的解析式；
（II）求函数 的极小值；
（Ⅲ）若存在 ，使得 成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）因为 ，直线 的斜率为
所以 ，
当切点坐标为 ， ，
（2） ，由 可得 或
由 可得
所以 在 、 上单调递增，在 上单调递减
所以 的极小值为
（3）令 ，则令 ，则 或
当 时， ，函数 单调递减
当 时， ，函数 单调递增
所以函数 在 内取得最大值
存在 ，使得 成立
即使得 成立
题型八：等极值线问题
【典例8-1】设函数 ，其中a，b为实常数．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 存在极值点 ，且 其中 ．求证： ；
【解析】（1）由 ，可得 ．
令 得 或 ，所以 的单调递增区为 ， ，
令 得 ，所以 的单调递减区为 ；
（2）证明：因为 ＝ ，所以 ，
当 时， ，所以 的增区间是 ，
当 时，令 ，得 或 ，
当 或 时， ，
当 时， ，
所以 的增区间是 ，减区间是 ，
因为 存在极值点，所以 ，且 ，
由题意，得 ，即 ，进而 ，
又
，
即为 ，即有 ，即为 ；
【典例8-2】设函数 ， ，其中 、 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求 的值.
【解析】（1）因为函数 ， ，其中 、 ，
则 ，则 .
①当 时，对任意的 ， 且 不恒为零，
此时，函数 的递增区间为 ；
②当 时， ，由 可得 ，
由 可得 或 ，
此时函数 的增区间为 、 ，减区间为 .
综上所述，当 时，函数 的递增区间为 ；
当 时，函数 的增区间为 、 ，减区间为 .
（2）因为函数 存在极值点，由（1）可知， 且 ，
由题意可得 ，可得 ，
由 且 ，
可得 ，
即 ，
即
，
所以， .【变式8-1】设函数 ， ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证： ．
【解析】（1）由 求导，可得 ．
下面分两种情况讨论：
① 当 时，有 恒成立，所以 的单调递增区间为 ；
② 当 时，令 ，解得 ．
当x变化时， ， 的变化情况如下表：
x
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 ， ．
综上：当 时， 的单调递增区间为 ，
当 时，所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ．
（2）因为 存在极值点，所以由（1）知 ，且 ，
由题意，得 ，即 ， ，
进而 ．
又
，且 ．
由题意及（1）知，存在唯一实数满足 ，且 ，
因此 ，所以 ．【变式8-2】设 ，已知函数 ．
(1)若 ，求实数a的值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)对于函数 的极值点 ，存在 ，使得 ，试问对任意的正数a， 是
否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由 ， ，求导得 ，则由 ，解得
，
所以实数a的值是 .
（2） ，由 ，解得 或 ，
当 或 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以函数 单调递增区间是 ， ，递减区间是 .
（3）因为函数 存在极值点 ，由（2）知： ，且 ，
因为 ， ，又 ，
得 ，即 ，
因为 ，则 ，
依题意， ，即 ，
因此 ，即 ，
亦即 ，而 ，因此 ，
所以对任意的正数a， 为定值6.1．以下四图都是同一坐标系中某三次函数 及其导函数的图象，其中可能正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易知 ，它是二次函数，图象为抛物线，
A错，二次函数的两个零点都应是原函数的极值点，A图中不全是；
B正确，二次函数的两个零点是原函数的极值点，单调性也相符；
C错，二次函数的两个极值点间原函数应为减函数，图象有一部分是增函数，极值点也不正确；
D错，二次函数的两个零点才是原函数的极值点，D图中不全是．
故选：B．
2．人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数 都有对称中心，其对称中心为 （其中
）.已知函数 .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得, , ,令 ，解得： ，
所以函数 的对称中心为： ，又 ，所以 .
故选：C
3．（2024·全国·一模）已知三次函数 ， ，且
有三个零点.若三次函数 和 均为 上的单调函数，且这两个函数的
导函数均有零点，则 零点的个数为（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个或 个
【答案】A
【解析】由 可得 ，
因为三次函数 和 均为 上的单调函数，且这两个函数的导函数均有
零点，
所以这两个函数的导函数必为完全平方式，
设 ， ，
，
有三个零点， 不单调，即 必有两个不相等的实数根，
，
，且 与 同号， 不可能有两个不相
等的实数根，故 单调，
由于当 趋向于正无穷时， 趋向于正无穷的增长速率远远大于 和 趋向于正无穷的增长速
率；当 趋向于负无穷时， 趋向于负无穷的增长速率远远大于 趋向于正无穷和 趋向于负
无穷的增长速率；
故当 趋向于正无穷和负无穷时，三次函数两侧都趋向于无穷，且异号，
所以三次函数 必有零点，故 有唯一零点
故选：
4．（多选题）（2024·贵州·模拟预测）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方
程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数
都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 图象的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
A． ， B．函数 的极大值与极小值之和为2
C．函数 有三个零点 D． 在区间 上单调递减
【答案】AB
【解析】由 ，可得 ， ，
令 ，得 ，因为函数 图象的对称中心为 ，
因此 ，解得 ， ，故选项A正确；
由以上过程可知 ， ，
且当 或 时， ；当 时， .
于是 在 和 上都是增函数，在 上是减函数，
故选项D错误；
因为 关于点 对称，
所以 的极大值与极小值之和为 ，故选项B正确；
因为函数 极小值 ，
由三次函数的性质知， 只有一个零点，所以选项C错误，
故选：AB.
5．（多选题）经研究发现：任意一个三次多项式函数 的图象都只有一个对
称中心点 ，其中 是 的根， 是 的导数， 是 的导数．若函数
图象的对称点为 ，且不等式 对任意
恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． 的值可能是 D． 的值可能是
【答案】ABC
【解析】由题意可得 ，因为 ，所以 ，所以
，
解得 ，所以 ．因为 ，所以 等价于 对任意 恒成
立．令 ，则 .
设 ，则 ，从而 在 上单调递增．因为 ，所以
，即 ，
则 （当且仅当 时，等号成立），
从而 ，所以 ．
故选：ABC．
6．（多选题）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，
则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”
就是三次函数图象的对称中心.已知函数 的对称中心为 ，则下列说法中正确
的有（ ）
A． ，
B．函数 既有极大值又有极小值
C．函数 有三个零点
D．过 可以作三条直线与 图象相切
【答案】AB
【解析】由 ，求导得 ， ，
令 ，得 ，由函数 的对称中心为 ，
得 ，且 ，解得 ，A正确；
于是 ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
则函数 在 ， 上都单调递增，在 上单调递减，
因此函数 既有极大值 ，又有极小值 ，B正确；
由于极小值 ，因此函数 不可能有三个零点， C错误；显然 ，若 是切点，则 ，切线方程为 ；
若 不是切点，设过点 的直线与 图象相切于点 ， ，
由 ，解得 ，即切点 ，切线方程为 ，
过 只可以作两条直线与 图象相切，D错误.
故选：AB
7．（多选题）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程 有实数
解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”
且“拐点”就是三次函数图像的对称中心． 已知函数 的对称中心为 ，则下
列说法中正确的有（ ）
A． B．函数 既有极大值又有极小值
C．函数 有三个零点 D．对任意 ，都有
【答案】AB
【解析】由题意可知 ， ，
而 ，故A正确；
此时 ， ，
显然 或 时， ，则 在 上单调递增，
时， ，即 在 上单调递减，所以 在 时取得极大值，在 时取得极
小值，故B正确；
易知 ，
结合B结论及零点存在性定理可知 在 存在一个零点，故C错误；
易知 ，故D错误.
故选：AB
8．（多选题）已知三次函数 有三个不同的零点 ，若函数也有三个不同的零点 ，则下列等式或不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】 ，因为原函数有三个不同的零点，则 有两个不同的实根，
即 ，则 ，即 ，所以A错误；
因为三次函数 有三个不同的零点 ，
所以 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ，故C正确，D错误；
由 的图象与直线 的交点可知 ，B正确．
故选：BC．
9．（多选题）对于三次函数 ，给出定义： 是函数 的导数，
是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.某
同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对
称中心.若函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的极大值为
B． 有且仅有2个零点
C．点 是 的对称中心
D．
【答案】ACD【解析】由函数 ，可得 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 单调递增，
当 时， 取得极大值，极大值为 ，所以A正确；
又由极小值 ，且当 时， ，
当 时， ，所以函数 有3个零点，所以B错误；
由 ，可得 ，令 ，可得 ，
又由 ，所以点 是函数 的对称中心，
所以C正确；
因为 是函数 的对称中心，所以 ，
令 ，
可得 ，
所以
，
所以 ，即 ，
所以D正确.
故选：ACD.
10．（多选题）（2024·山西晋中·二模）对于三次函数 ，给出定义：设
是函数 的导数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称
为函数 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数
都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数 ，则（ ）
A． 一定有两个极值点B．函数 在R上单调递增
C．过点 可以作曲线 的2条切线
D．当 时，
【答案】BCD
【解析】由题意知 ， ， 恒成立，
所以 在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确；
设切点为 ，则 ，
切线方程为 ，
代入点 得 ，
即 ，解得 或 ，
所以切线方程为 或 ，C正确；
易知 ，令 ，则 ．
当 时， ， ，所以点 是 的对称中心，
所以有 ，即 ．
令 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，D正确．
故选：BCD.
11．（多选题）（山东省枣庄市2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，若 有三个零点，则b的取值范围为B．若 满足 ，则
C．若过点 可作出曲线 的三条切线，则
D．若 存在极值点 ，且 ，其中 ，则
【答案】ACD
【解析】对于A ， ，当 时， ，
，
令 ，解得 或 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时 取得极大值 ，当 时 取得极小值 ，
有三个零点， ，解得 ，故选项A正确；
对于B ， 满足 ，根据函数的对称可知 的对称点为 ，将其代入
，得 ，
解得 ，故选项B错误；
对于C ， ，
设切点为 ，则切线的斜率
化简 ，
得
由条件可知该方程有三个实根， 有三个实根，
记 ，
令 ，解得 或 ，
当 时 取得极大值 ，当 时， 取得极小值 ，
因为过点 可作出曲线 的三条切线，所以 ，解得 ，故选项C正确；
对于D ， ， ，
当 ， 在 上单调递增；
当 ， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
存在极值点 ，
由 得
令 ，
，于是 ，
所以
，
化简得： ，
， ，于是 ，
.故选项D正确；
故选：ACD.
12．已知三次函数 有三个零点 ， ， ，且在点 处切线的斜率为 ，则
.
【答案】0
【解析】令 ，其中 ， ， ， 互不相等.
则 .
.
故答案为：0.
13．已知所有的三次函数 的图象都有对称中心 ， ，若函数，则 .
【答案】8090
【解析】 ，
则 ，
即函数 的图象的对称中心为 ，
则 ，
故
.
故答案为：8090.
14．今年是我校建校100周年，也是同学们在宜丰中学的最后一年，朱朱与毛毛同学想以数学的浪漫纪念
这特殊的一年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，并把它放入一个盒子，埋藏
于宜丰中学的某角落，并为这“时间胶囊”设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学
谜语”中：在这盒子中有一枚我们留下的徽章，它由“N”，“K”两个字母组合而成.其中“N”蕴含在函数
的图象中，过点 与曲线相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了“K”的
形状，请你求出使满足条件的三条切线均存在的整数a的个数，这就是打开盒子的密码： .
【答案】31
【解析】由题意可得： ，且 ，
设切点坐标为 ，切线斜率 ，
则切线方程 ，
因为切线过点 ，则 ，整理得 ，
构建 ，
原题意等价于 与 有三个不同的交点，因为 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 或 ；
则 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
且 ，
若 与 有三个不同的交点，则 ，其中的整数有31个，
所以整数 的个数为31，
故答案为：31.
15．对于三次函数 ，经研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，而且三
次函数的拐点（使二阶导数 的点）正好是它的图像的对称中心．若 ，则
．（ 且 ）
【答案】
【解析】 ， ，由 ，得 ，且 ，
∴ 的对称中心是点 ，因此 ．
故当n为奇数时， ．
当n为偶数时， ．
综上所述， ．
故答案为： .
16．已知三次函数 ，且 ， ，，则
【答案】2035
【解析】设 ，则 ，所以
，所以 ，所以 .
故答案为：2035.
17．设 是 的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
的图象都有对称中心 ，其中 满足 .
（1）函数 的对称中心为 ；
（2）现已知当直线 和 的图象交于 、 、
三点时， 的图象在点 、点 处的切线总平行，则过点 可作 的
条切线.
【答案】
【解析】（1） ，则 ， ，
由 ，可得 ，且 ，
故函数 的对称中心为 ；
（2） 的图象在点 、点 处的切线总平行，
所以，点 、 关于 的对称中心对称，故点 为函数 的对称中心，
又因为直线 恒过定点 ，
所以，函数 的对称中心为 ，即点 ，
因为 ，则 ， ，
所以， ，解得 ，即 ，则 .
所以，函数 在 处的切线方程为 ，
即 ，将点 代入切线方程得 ，整理得 ，
即 ，解得 或 .
故过点 的函数 的图象的切线有 条.
故答案为：（1） ；（2） .
18．（2024·四川成都·三模）若指数函数 （ 且 ）与三次函数 的图象恰好有两个不同
的交点，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可得：
指数函数 （ 且 ）与三次函数 的图象
恰好有两个不同的交点，
等价于方程 有两个不同的解，
对方程 两边同时取对数得： ，
即 ，
，
，
从而可转化为： 与 在图像上有两个不同的交点，
当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 处取到极大值，也是最大值，最大值为 ，
又因为当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
解得故答案为：
19．已知三次函数 ，对于任意 ，均有 且存在唯一 ，满
足 ，则
【答案】
【解析】 ，
，
即 ，
又 存在唯一 满足 ，
必为二次函数，且最大值为 ，
即 ，
，
， ，
，
故答案为： .
20．已知函数 ， ，其中 、 ，若 存在极值点 ，且 ，
其中 ，则 .
【答案】
【解析】 ， ，
由题意可得 ，则 ， ， ，
， ，
， ，
， ，
，即 ，
，即 .故答案为： .
21．设函数 ，其中 ．若 存在极值点 ，且 ，其中
，则 ．
【答案】4
【解析】依题意， ，因 存在极值点 ，则 ，即 ，
由 得 ，
由 得 ，
而 ，于是得 ，即 ，
，从而得 ，
所以 .
故答案为：4
22．已知 ，函数 恰有两个零点，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】∵ 且 ，
∴ ， .
则方程 必有两个不等的实根 .
设 ，则 ， .
则必有 ，且 ①.
当 或 时， ；当 时， .
因此函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 .
由于 ，若函数 有两个零点，则 ②.
联立①②得 ，解得 ，∴ .
令 ，令 ，则 .
从而 ，解得 .因此 .
故当 时， ，函数 单调递增.
因此 .
故答案为：
23．已知函数 ．若 时，函数 恰有两个不同的零点，则 的值为
，若 时， 的解集为 ，且 中有且仅有一个整数，则实数b的取值范围为 ．
【答案】 3
【解析】对于第一空，利用导数判断出函数的单调性，结合零点的个数可得 或 ，从而
可求 的值.
对于第二空，利用参变分离可得 的解集 中有且只有一个整数，令 ，利用导数讨论
其单调性后可得 的取值范围. ，
若 ，则 ，
故 恒成立（不恒等于零）或 恒成立（不恒等于零），
故 为单调函数，这与 恰有两个不同的零点矛盾.
当 时，令 ，则 或 ，
若 ，
故当 时， ，
当 时， ，
故 的增区间为 ，减区间为 .
因为 恰有两个不同的零点，故 或 ，
同理可得当 或 或 时均有相同的结论.
若 ，则 ，矛盾；故 ，即 ，解得 .
若 时， 即为 即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 为增函数，在 上为减函数，
因为 的解集 中有且只有一个整数，且 ， ，
故 ，
又 ， ，故 .
故答案为：3， .
24．函数 的图像如图所示，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 ，
由题图可知， ， ， ，
则 ， …①， …②，
②-①得 ，即 ．
①+②得 ，则 ，
所以 ，则 ．
则 ，
所以 的取值范围为：故答案为： ．
25．给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数
解 ，则称 为函数 的“拐点”.经研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 图象的对称中心.
(1)若函数 ，求函数 图象的对称中心；
(2)已知函数 ，其中 .
（ⅰ）求 的拐点；
（ⅱ）若 ，求证： .
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 .令 ，解得 ，又 ，
所以函数 的“拐点”为 ，
所以函数 图象的对称中心为 .
（2）（ⅰ）因为 ， ，
所以 ，
，且 ，
令 ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，又 ，
由零点存在性定理知， 有唯一的零点 ，
所 ，且 ，当 时， ，
所以 的拐点为 .
（ⅱ）证明：由（i）可知， 在 上单调递增， ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
∴ 在 上恒成立，∴ 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 .
26．给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实
数解 ，则称 为函数 的.“固点”.经研究发现所有的三次函数
都有“固点”，且该“固点”也是函数 的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下
列问题：已知函数 .
(1)当 时，试求 的对称中心.
(2)讨论 的单调性；
(3)当 时， 有三个不相等的实数根 ，当 取得最大值时，求 的值.
【解析】（1） ， ， ，
令 ， ， ，
故 的对称中心为 .
（2） ，
令 ，则 ， ，
当 时， ， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ，在 ， 上， ，函数 在 ， 上单调递
增，在 上， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，在 ， 上， ，函数 在 ， 上单调
递增，在 上， ，函数 在 上单调递减.
综上所述：
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.（3） ， ，
令 ， ， ，所以对称中心为 ，
当 和 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；
；
，
要使得 有三个解，故 ， ，
且 ， ， 是方程 的根，
由于对称性，为了简化研究，只研究 的情况，
，
根据常数项知： ，根据对称性知： ，
，且 ，
故 ，即 ，
.
当 时， 取得最大值 ，此时 .
27．已知三次函数 的极大值是20，其导函数 的图象经过点 ， .如
图所示.
(1)求 的单调区间；
(2)求a，b，c的值；
(3)若函数 有三个零点，求m的取值范围.
【解析】（1）根据图象可知 时， ，即 单调递减；
和 时， ，即 单调递增；
故答案为： 单调递减区间是 ； 单调递增是 和 .（2）由已知可得： 和 是 的两个根，
由（1）可得 的极大值在 处取得，故
解得：
故答案为：
（3）由（2）知 ， 的极小值为：
结合 的单调性可作其草图，如下所示
函数 有三个零点等价于 与 有三个交点，所以 .
故答案为：
28．（2024·高三·山东滨州·期中）已知三次函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程，
(2)讨论 的单调性.
【解析】（1）当 时， ，
，
所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
又 ， ，
整理可得曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2） ，
若 ，由 可得 ，当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
当 时， ，
可得 或 ，
所以 在 为增函数，在 上为减函数，
当 时，
若 ，
在 为减函数，在 上为增函数，
若 ， ， 在 上为减函数，
若 ，
在 为减函数，在 上为增函数，
综上可得：
若 ，
在 上为增函数，在 上为减函数，
当 时， 在 为增函数，在 上为减函数，
当 时，
若
在 为减函数，在 上为增函数，
若 ， ， 在 上为减函数，
若 ， 在 为减函数，在 上为增函数.
29．已知三次函数 在 处取得极值，且在 点处的切线与直线 平行.
（1）求 的解析式；
（2）若函数 在区间(1，2)上单调递增，求 的取值范围.
【解析】（1） ，由题意 ，解得 ，所以 ；
（2）由（1） ， ，
在 是递增，则 在 上恒成立，
， 时， ，所以 ．
30．已知三次函数 .
（1）若函数 在区间 上具有单调性，求a的取值范围；
（2）当 时，若 ，求 的取值范围.
【解析】由 可得：
（1）由已知可得 当 时，令 得 .
与 在区间 上的情况如下：
x 0 2
0 0
增 极大值 减 极小值 增
因为 在 上具有单调性，所以 .
当 时， 与 在区间 上的情况如下：
x 0 2
0 0
减 极小值 增 极大值 减
因为 在 上具有单调性，所以 ，即 .
综上所述，a的取值范围是 .
（2）先证明： .由（1）知，当 时， 的递增区间是 ，递减区间是
.因为 ，不妨设 ，则 .
若 ，则 .所以 .
若 ，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号.
综上所述， .再证明： 的取值范围是 .
假设存在常数 ，使得对任意 .
取 ，且 则
，与
矛盾.
所以 的取值范围是 .
31．已知三次函数 ．
（1）求证： 是 的零点；
（2）如果 是 的零点，求证： 也是 的零点．
【解析】（1） ，则 ，故 是 的零点.
（2） 是 的零点，则 ， ，
则 ，故 也是 的零点.
32．已知任意三次函数 都有对称中心 ，且
的对称中心为 ，
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由已知得
，
当 时， ，
， ，
曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 ，
（2）由（1）知 ，
时， 恒成立，即 恒成立，
即 ，
令 ，
令 ， ，
时，
在 单调递减，
， ，
， 单调递增；
单调递减；
，
的取值范围为 .
33．已知三次函数 过点 ，且函数 在点 处的切线恰好是直
线 .
(1)求函数 的解析式；
(2)设函数 ，若函数 在区间 上有两个零点，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ，
由题意可知： ；
（2）令 ，
设 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 ，
因为函数 在区间 上有两个零点，
所以直线 与函数 的图象有两个交点，
故有 ，即实数 的取值范围为 .
