文档内容
第 03 讲 导数与函数的极值、最值
目录
01模拟基础练.......................................................................................................................................2
题型一：求函数的极值与极值点................................................................................................................................2
题型二：根据极值、极值点求参数............................................................................................................................3
题型三：求函数的最值（不含参）............................................................................................................................6
题型四：求函数的最值（含参）................................................................................................................................7
题型五：根据最值求参数...........................................................................................................................................11
题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用......................................................................................................13
题型七：不等式恒成立与存在性问题......................................................................................................................16
02重难创新练.....................................................................................................................................18
03 真题实战练.....................................................................................................................................33题型一：求函数的极值与极值点
1．已知函数 ，当 时，求 的极值.
【解析】易知 的定义域为 ，
由 可得 ，
当 时， ，
令 可得 ；
因此当 时， ，此时 在 上单调递减，
当 时， ，此时 在 上单调递增，
因此 在 处取得极小值 ；
所以 的极小值为 ，无极大值.
2．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性，并求出 的极小值．
【解析】（1）当 时， ，
则 ，
所以 ，
又知 ，
所以 在点 处的切线方程为 ．（2）因为 ，
令 ，
则 或 ，
所以当 时， ，
当 或 时， ．
综上， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
所以 ．
3．已知 ，函数 ．证明 存在唯一的极值点.
【解析】令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
当 时， ， ，当 时， ，
画出 大致图像如下：
所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增，
当 时， ，则 ， 单调递减，
为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；
题型二：根据极值、极值点求参数
4．已知函数 在 时有极值0，则 ．【答案】11
【解析】由函数 ，得 ，
由题意得 ，解得 或 ，
当 时， ，仅当 时等号成立，
此时 在R上单调递增，无极值，不符合题意；
当 时， ，
令 ，则 或 ，令 ，则 ，
即 在 上均单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极小值，且 ，则 ，
即 符合题意，故 ，
故答案为：11
5．（2024·陕西铜川·三模）若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】 的定义域为 ，
，
令 ，得 .
令 ，则 .
令 ，则 ，即 ，即 .
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.
，
又当 趋近于0时， 趋近于 ；当 趋近于 时， 趋近于0，
作出 的草图如图，由图可知，当 时，方程 有两个正根，从而函数 有两个极值点.
6．（2024·四川成都·模拟预测）若函数 在 上有2个极值点，则实数 的取值
范围是 .
【答案】
【解析】由函数 ，可得 ，
因为函数 在 上有2个极值点，即 在 上有两解，
即 在 上有两解，
令 且 ，可得 ，
当 时，可得 ， 单调递增，不符合题意，（舍去）；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以，当 时， 取得极小值，极小值为 ，
要使得 在 上有两解，则满足 ，
当 时，解得 ；
当 ，即 ，
设 ，其中 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，又因为 ，所以 ，
所以不等式 ，可得 ，
由 可得 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
故答案为： .
7．已知函数 ，其中 且 ．若 存在两个极值点 ， ，则实数a的取值
范围为 ．
【答案】
【解析】对函数 求导得： ，
因为 存在两个极值点，所以 有两个不同的变号零点．
令 ，有 ，令 ， ，
所以 与 有两个交点；
当 时， ， ，
设过原点的直线与 的切点坐标为 ，
切线斜率为 ，
所以切线方程为： ，
将原点坐标带入切线方程得 ．
此时切线的斜率为： ，现在需要 有两个交点，
即 ，因为 ，有 ，所以 ，所以 ；
同理知当 时， ， ， 即 ，所以 ．
综上知： 的取值范围为 ．
故答案为：题型三：求函数的最值（不含参）
8．函数 在区间 上的最大值是 ．
【答案】
【解析】 ，
则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 .
故答案为： .
9．（2024·安徽·二模）已知函数 ，当 时 的最大值与最小值的和为
．
【答案】
【解析】 ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
， ， ，
故最大值与最小值的和为： ．
故答案为：
10．函数 在区间 上的最大值是 ；最小值是 ．
【答案】 5
【解析】由 ，求导得 ，
而 ，则当 时， ，当 时， ，
因此函数 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，
函数 在 处取到极小值 ，
当 时， ，当 时， ，则函数 在 处取到极大值5
所以函数 在区间 上的最大值是5，最小值是 .
故答案为：5；题型四：求函数的最值（含参）
11．已知函数 ．
(1)求函数 的最小值；
(2)求函数 在 上的最小值.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ；由 ，得 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减，在 单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值，
所以 的最小值为 ，无最大值．
（2）由（1）知，函数 在 上单调递减，在 单调递增，
当 ，即 时， 在 单调递减，
；
当 时，即 在 单调递减， 单调递增， ．
当 时， 在 单调递增， ；
综上所述 .
12．已知函数 .
(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 在 上的最小值为0，求实数 的值.
【解析】（1）当 时， ，定义域为 ，
，又 ，
所以切线方程为 （或写成 .
（2） ，定义域为 ， ，令 得
；
①当 ，即 时， 在 上单调递增，这时 ，不合题意，舍去；
②当 ，即 时，
当 单调递减 单调递增，
这时 ，解得 ；
③当 ，即 时， 在 上单调递减，
这时 ，解得 （舍去），
综上： .
13．已知函数 ，其中 ，求函数 在区间 上的最小值 ．
【解析】函数 的定义域为 ，
， ，
令 ，得 或 （舍），
当 ，即 时，当 时， ，则 在 上单调递增，
所以函数 在区间 上的最小值为 ，
当 ，即 时，当 时， ，则 在 上单调递减，当 时，
， 在 上单调递增，
所以函数 在区间 上的最小值为 ，
当 ，即 时，当 时， ，则 在 上单调递减，
所以函数 在区间 上的最小值为 ，
综上 .14．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 的最小值不大于0，求 的取值范围.
【解析】（1）由函数 ，则其定义域为 ，
求导可得 ，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
当 时， ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）可知，当 时，无最小值；
则当 时， 在 单调递减，在 单调递增，
则 ，
由题意可得： ，由 ，则 ，解得 .
15．（2024·山西吕梁·二模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间和极值；
(2)求 在区间 上的最大值.
【解析】（1）当 时， ，
则 ，当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
故函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，
函数 的极大值为 ，没有极小值.
（2）由题意得 .
若 ，当 时， ， 在区间 上单调递增，
此时 的最大值为 ；
若 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
此时 的最大值为 ；
若 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
此时 的最大值为 ；
若 ，则 ，当 时， ， 在区间 上单调递增，
此时 的最大值为 .
综上可得， .
题型五：根据最值求参数
16．若函数 在区间 上存在最小值，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 得 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，于是得 在 和 上都单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取得极小值 ，
因 在区间 上存在最小值，而函数最值不可能在开区间端点处取得，
于是得 ，且 ，
即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
17．（2024·上海静安·二模）已知实数 ，记 ．若函数 在区间 上的最
小值为 ，则 的值为 ．
【答案】3
【解析】当 时， ， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
故 时， 取得最小值 ，
解得， ．
故答案为：3．
18．（2024·高三·吉林长春·开学考试）函数 在 内有最小值，则实数 的取值
范围为 .
【答案】
【解析】由题意可得，函数 的定义域为 ，
易知 ，
若函数 在 内有最小值，则函数 在 内必有极值点，
又 ，不妨设 为方程 的两个不相等实数根，
则有 ，不妨令 ，因此 即可；令 ，根据零点存在定理可得 ，
解得 ；
经检验 在 内有最小值，所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用
19．（2024·高三·浙江杭州·期中）设 ，已知函数 ， .
（Ⅰ）设 ，求 在 上的最大值.
（Ⅱ）设 ，若 的极大值恒小于0，求证： .
【解析】（Ⅰ）由题知 ，
当 时， ；当 时，
从而 的单调递增区间是 ，递减区间是
从而， ,
于是 ；
当 时， ，所以 ;
当 时， ，所以 ；
综上所得
（Ⅱ）依题知 ，则 ，因为 存在极大值，
则关于x的方程 ，有两个不等的正根，不妨 ，则 ，得 ，且 ,
设 列表如下：+ 0 — 0 +
+ 0 — 0 +
单调递 极小
极大值 单调递减 单调递增
增 值
从而极大值 ，又 ，
从而 ，对 恒成立,
设 ， ，则
因为 ，所以
所以 在 上递增，从而
所以 ， ,
设 ，则 ，又 .
若 ， ；若 ， ；
从而 ，即 .
20．已知函数 ．
(1)当 在 处取得极小值－1时，求 的解析式；
(2)当 时，求 在区间 上的最值；
(3)当 且 时，若 ， ，求a的取值范围．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
又 在 处取得极小值－1，所以 ， ，
即 ，解得 所以 ．
此时 ，
所以 在 内单调递减，在 内单调递增，
在 处取得极小值－1，满足题意．综上， 的解析式为 ．
（2）当 时， ， ．
①当 时， 在 内单调递减，在 内单调递增，所以 的最小值为 ．
又 ， ，
所以 ，
故 的最大值为 ；
②当 时， 在 内单调递增，在 内单调递减，所以 的最大值为 ，
此时 ，
故 的最小值为 ．
综上，当 时， 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ；
当 时， 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ．
（3）当 且 时， ， ．
令 ，解得 ，所以 在 内单调递减，在 内单调递增．
①当 时， ， 在 内单调递增，所以 ；
②当 时， ， 在 内单调递减，在 内单调递增，
所以 ，不满足题意，综上，a的取值范围为 ．
21．已知 ， .
(1)证明：当 ， 有且只有2个零点；
(2)讨论是否存在 使 有极小值？并说明理由.（注：讨论过程要完整，有明确的结论）
【解析】（1）因为 ，所以 定义域为 ， ，
因为 ，所以令 得 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 有最大值为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为当 时， 单调递减，且 ，所以 在 上只有一个零点；
因为当 时， 单调递增，且 ，
所以 在 上只有一个零点；
综上，当 ， 有且只有2个零点.
（2）令 ，
则 定义域为 ， ，
令 ，则 ，
因为 ，所以令 得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
当 ，即 时， ，即 恒成立，
所以 单调递减，此时不满足题意；
当 ，即 时，
由于当 时， ，当 时， ，
所以 有两个解，即 有两个解，且 从 递增到一个正数，然后再递减到 ，所以 存在极小值，
即存在 使得 有极小值.
题型七：不等式恒成立与存在性问题
22．已知 ， ，若 ， ，使 成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
∴当 时， ， 在区间 上单调递减，
∴ 在区间 上的最小值为 ；
又∵ ，
∴由二次函数知识， 在 上的最小值为 ，
若 ， ，使 成立，等价于 ，即 ，
∴实数 的取值范围是 .
故答案为： .
23．已知 ， ，若 ， ，使得 成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知： ，
因为 ，则 ，
注意到 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，则 ，又因为 ，由二次函数性质可知 ，
可得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：C.
24．已知 使得不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得： 使得不等式 成立.
令 则 .
而 ，
由 ，得 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，得 ，
所以 ，故实数a的取值范围为 .
故选：B.
1．（2024·四川眉山·三模）已知函数 ，则 的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，故可得 ，令 ，因为 ，故可得 或 ，
则当 时， ；
当 时， ；
所以 在区间 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，故 的极大值点为
.
故答案为： .
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）若 为函数 的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于 ， ，
则 为函数 的一个极值点等价条件为： ，
且 在 的左右两侧取值异号.
对于选项A， ， ， ，且 在 的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数 的图象.
对于选项B， ， ， ，且 在 的左右两侧取值可能异号，图象可能为
函数 的图象.
对于选项C， ， ， ，在 的左右两侧可取异号，故可能符合条件.
对于选项D， ， ，因此 ，不满足条件.
故选：D.
3．（2024·浙江台州·二模）已知函数 ，满足 ，则（ ）
A．函数 有2个极小值点和1个极大值点
B．函数 有2个极大值点和1个极小值点
C．函数 有可能只有一个零点
D．有且只有一个实数 ，使得函数 有两个零点
【答案】A
【解析】设
所以
设 ，由 .
所以 ，因为二次函数 的开口向上，对称轴方程为 .
所以方程 有两个不等实数根 ，则设 .
则令 可得 或 .
令 可得 或 .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增.
又当 时， ，
又 ，所以由 ，所以
所以
根据单调性可知，函数 有2个极小值点和1个极大值点，所以选项A正确，B不正确.
根据函数的单调性，可画出函数 的大致草图如下.
当 时，函数 没有零点
当 时，函数 有两个零点
当 时，函数 有四个零点
当 时，函数 有三个零点
当 时，函数 有两个零点
由上可知选项C,D都不正确.
故选：A
4．（2024·全国·二模）已知 是函数 的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ， ，
当 时， 时， ， 单调递减，而 ，
时， ， ，
且 ， ，
即 在 上单调递增，时， ， ，
且 ， ，
即 在 上单调递减，
是函数 的极大值点， 满足题意.
当 时，存在 使得 ，即， ，
又 在 上单调递减，
时， ， ，
这与 是函数 的极大值点矛盾，综上所述a的取值范围是 .
故选：B
5．（2024·甘肃兰州·一模）已知定义在 上的函数 ， 是 的导函数，且满足
， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将题干中的等式变形为 ，可得出 ，并构造函数 ，可得
出 ，进而可得出 ，利用 求得 的值，可得出函数 的解析式，
进而利用导数可求得函数 的最小值.由 ，变形得 ，即
，
（ 为常数），则 ， ，得 .
， ，
当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增.
所以，函数 在 处取得极小值，亦即最小值，则 .故选：D.
6．（2024·湖南怀化·二模）若 在 上恒成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分离参数可得 ，只需 ，设 ，求导函数 ，分别令
或 或 ，求出函数的单调区间，进而求出函数的最小值即可.
，
设 ，
则 ，
令 ，则 ，解得 ，所以函数在 上单调递增；
令 ，则 ，解得 ，所以函数在 上单调递减；
令 ，则 ，解得 ，所以函数在 处取得极小值，
故 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A
7．（2024·四川成都·二模）已知函数 ， .若存在 ， 使得
成立，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知， ，由 可得出 ， ，利用导数可得
出函数 在区间 上单调递增，函数 在区间 上单调递增，进而可得出 ，
由此可得出 ，可得出 ，构造函数 ，利用导数求出函数
在 上的最大值即可得解. ， ，
由于 ，则 ，同理可知， ，函数 的定义域为 ， 对 恒成立，所以，函数 在区间
上单调递增，同理可知，函数 在区间 上单调递增，
，则 ， ，则 ，
构造函数 ，其中 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增；当 时， ，此时函数 单调
递减.
所以， .
故选：C.
8．（2024·辽宁鞍山·三模）已知函数 有三个极值点，则 的取值范围是
A． B．( , ) C． D．( ， ）
【答案】C
【解析】函数的导数 ，
若函数 有三个极值点，
等价为 有三个不同的实根，
即 ，
即 ，
则 ，则 ，有两个不等于 的根，
则 ，
设 ，
则 ，
则由 得 ，由 得 且 ，
则当 时， 取得极小值 （1） ，
当 时， ，
作出函数 ，的图象如图，要使 有两个不同的根，
则满足 ，
即实数 的取值范围是 ，
故选 ．
9．（多选题）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，
则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”
就是三次函数图象的对称中心.已知函数 图象的对称中心为 ，则下列说法中正
确的有（ ）
A． ， B．函数 的极大值与极小值之和为6
C．函数 有三个零点 D．函数 在区间 上的最小值为1
【答案】AB
【解析】由题意，点 在函数 的图象上，故 ；
又 .
由 ，即 .故A正确；
所以 ，所以 .
由 或 .
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ；极小值为 ，所以极大值与极小值之和为： ，故B正确；
因为函数的极小值 ，所以三次函数只有一个零点，故C错误；
又 ， ，
所以函数 在 上的最小值为 ，故D错.
故选：AB
10．（多选题）（2024·辽宁大连·二模）已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． 的值域是
C．方程 有三个实数解
D．对于 ， （ ）满足 ，则
【答案】ACD
【解析】 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ；当 时， ，则 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上可得 在 上是增函数，故A正确；
， ，故B不正确；
方程 ，可得 或 ， ， 方程共有三个实数解，
故C正确；
满足 ，即 ，
则 ，
化简得
，
当且仅当 时取等号
令 ，则 ，解得 ，故 ，故D正确故选：ACD．
11．（多选题）已知函数 在 上可导且 ，其导函数 满足 ，
对于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．函数 在 上为增函数 B． 是函数 的极小值点
C．函数 必有2个零点 D．
【答案】BD
【解析】对函数 求导，求出单调区间和极值，可判断选项A，B；根据极小值的大小可得函数的零点
个数，判断选项C；利用 在 上为增函数，比较 与 的大小关系，判断出选项D．函数
，则 ，
当 时， ，故 在 上为增函数，A错误；
当 时， ，故 在 单调递减，故 是函数g(x)的极小值点，B正确；
若 ，则 有两个零点，
若 ，则 有一个零点，
若 ，则 没有零点，故C错误；
在 上为增函数，则 ，即 ，化简得 ，D正确；
故选：BD
12．已知 ，对任意的 都有 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】利用导数研究函数的单调性，进而求得在给定区间上的最大值，根据不等式恒成立的意义即得实
数a的取值范围.由 得 或 ，
在区间[-2,0)上 , 单调递增；在(0,2)内时 单调递减.
又 ， ， ，
∴ ，
又 对于任意的x∈[-2,2]恒成立，
∴ ，即a的取值范围是
故答案为： .
13．（2024·山东青岛·一模）函数 在 处取得极大值，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】f（x）的导数为f′（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex＝（x﹣2）（ax﹣1）ex，
若a＝0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．
x＝2处f（x）取得极大值，满足题意；
若a ，则f′（x） （x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值；
若a ，则 2，f（x）在（ ，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞， ）递增，
可得f（x）在x＝2处取得极小值；不满足题意．
当0＜a ，则 2，f（x）在（2， ）递减；在（ ，+∞），（﹣∞，2）递增，
可得f（x）在x＝2处取得极大值，满足题意；
若a＜0，则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．
x＝2处f（x）取得极大值，满足题意；综上可得，a的范围是：（﹣∞， ）．
故答案为 ．
14．已知函数 .若 是 在 上的极小值点，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意 ，
令 ，
解得 ， .
若 ,则在 上 单调递增；在 内 单调递减；在
上 单调递增，
∴在 上， 是极大值点， 是极小值点，不合题意；
当 时，在 上， 恒成立， 单调递增，没有极值点，不合题意；
当 时，在 内 单调递减；在 上 单调递增，∴ 是
在 上的极小值点，符合题意，
所以m的取值范围是 .
故答案为： .15．（2024·重庆·一模）已知函数 ， .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 存在唯一极值点，求 的取值范围.
【解析】（1）由题知 ， ，
即 ，
令 ，则 ，
故 在 和 上单增，在 上单减，
又 ， ，
所以 ， 或 ，
从而 或 ， ，
∴ 在 和 上单增，在 上单减；
（2）由题知 ， ，
即 ，
令 ，则 ，
或 ， ，
即 在 和 上单增，在 上单减，
∵ 且 时 ， 时 ，
∴ 在 上唯一零点，记为 ，
当 时， ， ， 单增，当 时， ， ， 单减，
∴ 为 的极小值点，由题知 有唯一极值点，故 在 上无极值点，在 上，由 的单调性可知， 的极大值为 ，
且 时 ， 且 时 ，
故当 时 ， ， 在 上单增，
在 上无极值点；
当 时 在 和 内各存在一个零点，分别记为 ， ，则 或 时
， ， 单增， 时 ， ， 单减，所以 为 的极大值
点， 为 的极小值点，不合题意，舍去；
综上， ，即 ，化简得 .
∴实数 的取值范围是 .
16．已知函数 ，
（1）求函数 的单调增区间；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） ， ，注意到 ，
①当 时， ， 在 上单调递增；
②当 时，令 ，得 ， ，此时 ，
在 及 上导数值大于零，
所以 在 及 上递增；
（2）由（1）知， ， ， ，则 ，
由 恒成立，即 ，
即 ，
即 ，记 ， ，
则 ，
故 在 上为增函数，
，
故 .
17．（2024·安徽淮北·二模）已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ．
（2）若 存在两个极值点 ，证明： ．
【解析】解析：（1）当 时， ，定义域为 ，
在定义域上恒成立，
所以 在 上单调递减，当 时， ；当 时， ．原命题得证．
（2） ，若存在两个极值点，则 ，解得 ．由韦达
定理可知，
原命题即证： ．
不妨设 ，原命题即证： ，由（*）知，
齐次化，即证： ，不放令 ，
原命题即证： ，记 ，
则 ，当 时， 在 上单调递减， ．
原命题得证．
18．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线 在 处的切线方程为 ，且
．
（1）求 的解析式；
（2）求函数 的极值；
（3）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） ，∴ ，
， ，
， ，
切线方程为 ,即 ,
∴ ．
（2）由（1）知 ，函数定义域为 ，
所以 ，
故当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以函数 在 处取得极大值，极大值为 ，无极小值．
（3）令 ,
， ， ,
当 时， ，所以 在 上单调递增，所以 ，即 符合题意；
当 时，设 ，
①当 ， ， ，所以 在 上单调递增，
，所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 符合题意；②当 时， ， ，所以 在 上递增，
在 上递减， ，所以当 ， ，
所以 在 上单调递减， ，所以 ， ，舍去.
综上： .
19．已知函数 （ ， ）．
（1）当 ， 时，求曲线 在点 处的切线方程．
（2）设 ， 是 的两个极值点， 是 的一个零点，且 ， ．证明：存在实数 ，
使得 ， ， ， 按某种顺序排列后构成等差数列，并求 的值．
【解析】（1）当 ， 时， ，
因为 ，
故 ．
又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为
（2）因为 ，
由于 ，故 ，
所以 的两个极值点为 ， ．
不妨设 ， ，
因为 ， ，且 是 的零点，故 ．
又 ，
所以 ，
此时 ， ， ， 成等差数列，
所以存在实数 ，满足题意，且 ．1．（2024年天津高考数学真题）设函数 ．
(1)求 图象上点 处的切线方程；
(2)若 在 时恒成立，求 的值；
(3)若 ，证明 ．
【解析】（1）由于 ，故 .
所以 ， ，所以所求的切线经过 ，且斜率为 ，故其方程为 .
（2）设 ，则 ，从而当 时 ，当 时 .
所以 在 上递减，在 上递增，这就说明 ，即 ，且等号成立当且仅当 .
设 ，则
.
当 时， 的取值范围是 ，所以命题等价于对任意 ，都有 .
一方面，若对任意 ，都有 ，则对 有
，
取 ，得 ，故 .
再取 ，得 ，所以 .
另一方面，若 ，则对任意 都有 ，满足条件.
综合以上两个方面，知 的值是2.
（3）先证明一个结论：对 ，有 .证明：前面已经证明不等式 ，故 ，
且 ，
所以 ，即 .
由 ，可知当 时 ，当 时 .
所以 在 上递减，在 上递增.
不妨设 ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当 时，有 ，结论
成立；
情况二：当 时，有 .
对任意的 ，设 ，则 .
由于 单调递增，且有
，
且当 ， 时，由 可知
.
所以 在 上存在零点 ，再结合 单调递增，即知 时 ， 时
.
故 在 上递减，在 上递增.
①当 时，有 ；②当 时，由于 ，故我们可以取 .
从而当 时，由 ，可得
.
再根据 在 上递减，即知对 都有 ；
综合①②可知对任意 ，都有 ，即 .
根据 和 的任意性，取 ， ，就得到 .
所以 .
情况三：当 时，根据情况一和情况二的讨论，可得 ，
.
而根据 的单调性，知 或 .
故一定有 成立.
综上，结论成立.
2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
【解析】（1） 时， ，其中 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，而 成立，故 即 ，
所以 的最小值为 .，
（2） 的定义域为 ，设 为 图象上任意一点，
关于 的对称点为 ，
因为 在 图象上，故 ，
而 ，
，
所以 也在 图象上，
由 的任意性可得 图象为中心对称图形，且对称中心为 .
（3）因为 当且仅当 ，故 为 的一个解，
所以 即 ，
先考虑 时， 恒成立.
此时 即为 在 上恒成立，
设 ，则 在 上恒成立，
设 ，
则 ，
当 ， ，
故 恒成立，故 在 上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 时， ，
故 恒成立，故 在 上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 ，则当 时，
故在 上 为减函数，故 ，不合题意，舍；
综上， 在 上恒成立时 .而当 时，
而 时，由上述过程可得 在 递增，故 的解为 ，
即 的解为 .
综上， .
3．（2024年上海夏季高考数学真题）对于一个函数 和一个点 ，令
，若 是 取到最小值的点，则称 是 在 的“最近点”．
(1)对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“最近点”；
(2)对于 ，请判断是否存在一个点 ，它是 在 的“最近点”，且直线 与
在点 处的切线垂直；
(3)已知 在定义域R上存在导函数 ，且函数 在定义域R上恒正，设点
， ．若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近
点”，试判断 的单调性．
【解析】（1）当 时， ，
当且仅当 即 时取等号，
故对于点 ，存在点 ，使得该点是 在 的“最近点”．
（2）由题设可得 ，
则 ，因为 均为 上单调递增函数，
则 在 上为严格增函数，
而 ，故当 时， ，当 时， ，
故 ，此时 ，
而 ，故 在点 处的切线方程为 .
而 ，故 ，故直线 与 在点 处的切线垂直．
（3）设 ，
，而 ，
，
若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近点”，
设 ，则 既是 的最小值点，也是 的最小值点，
因为两函数的定义域均为 ，则 也是两函数的极小值点，
则存在 ,使得 ，
即 ①
②
由①②相等得 ，即 ，
即 ，又因为函数 在定义域R上恒正，
则 恒成立，
接下来证明 ，
因为 既是 的最小值点，也是 的最小值点，
则 ，
即 ，③
，④
③ ④得
即 ，因为
则 ，解得 ，
则 恒成立，因为 的任意性，则 严格单调递减.
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，故 ，
因为 在 上为增函数，
故 在 上为增函数，而 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 处取极小值且极小值为 ，无极大值.
（2） ，
设 ，
则 ，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 ，即 ，
所以 在 上为增函数，故 .
当 时，当 时， ，
故 在 上为减函数，故在 上 ，
即在 上 即 为减函数，
故在 上 ，不合题意，舍.
当 ，此时 在 上恒成立，
同理可得在 上 恒成立，不合题意，舍；
综上， .
5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 ，若 为函数 的极大值点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意，a为函
数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选：D
6．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【解析】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
7．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 和 分别是函数 （ 且
）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ， ，即 图象在 上方
当 时， ，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．
令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，在 上单调
递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且 的极
小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即
故 ，所以 .
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是
该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于
通性通法．
8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【解析】（1）当 时，则 ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）解法一：因为 的定义域为 ，且 ，
若 ，则 对任意 恒成立，
可知 在 上单调递增，无极值，不合题意；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，则 ，
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ；
解法二：因为 的定义域为 ，且 ，
若 有极小值，则 有零点，
令 ，可得 ，
可知 与 有交点，则 ，
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，符合题意，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，
因为则 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，所以a的取值范围为 .
9．（2021年全国新高考I卷数学试题）函数 的最小值为 .
【答案】1
【解析】由题设知： 定义域为 ，
∴当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递增；
又 在各分段的界点处连续，
∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增；
∴
故答案为：1.
10．（2023年北京高考数学真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，
则 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
则 ，
令 ，解得 ，不妨设 ， ，则 ，
易知 恒成立，
所以令 ，解得 或 ；令 ，解得 或 ；
所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，即 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 和 .
（3）由（1）得 ， ，
由（2）知 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
当 时， ， ，即
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， 在 上单调递减，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减；
所以 在 上有一个极大值点；
当 时， 在 上单调递增，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， ，
所以 ，则 单调递增，
所以 在 上无极值点；
综上： 在 和 上各有一个极小值点，在 上有一个极大值点，共有 个极值点.
11．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.【解析】（1）当 时， ，
则 ，
据此可得 ，
函数在 处的切线方程为 ，
即 .
（2）令 ，
函数的定义域满足 ，即函数的定义域为 ，
定义域关于直线 对称，由题意可得 ，
由对称性可知 ，
取 可得 ，
即 ，则 ，解得 ，
经检验 满足题意，故 .
即存在 满足题意.
（3）由函数的解析式可得 ，
由 在区间 存在极值点，则 在区间 上存在变号零点;
令 ，
则 ，
令 ，
在区间 存在极值点，等价于 在区间 上存在变号零点，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
此时 ， 在区间 上无零点，不合题意;当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，
所以 在区间 上无零点，不符合题意；
当 时，由 可得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 的最小值为 ，
令 ，则 ，
函数 在定义域内单调递增， ，
据此可得 恒成立，
则 ，
由一次函数与对数函数的性质可得，当 时，
，
且注意到 ，
根据零点存在性定理可知: 在区间 上存在唯一零点 .
当 时， ， 单调减，
当 时， ， 单调递增，
所以 .
令 ，则 ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以，
所以函数 在区间 上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数 得取值范围是 .
12．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
【解析】（1）构建 ，则 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ；
构建 ，
则 ，
构建 ，则 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
即 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ；
综上所述： .
（2）令 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，
若 ，则 ，
因为 在定义域内单调递减， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 是 的极小值点，不合题意，所以 .
当 时，令因为 ，
且 ，
所以函数 在定义域内为偶函数，
由题意可得： ，
（i）当 时，取 ， ，则 ，
由（1）可得 ，
且 ，
所以 ，
即当 时， ，则 在 上单调递增，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递减，
所以 是 的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当 时，取 ，则 ，
由（1）可得 ，
构建 ，
则 ，
且 ，则 对 恒成立，
可知 在 上单调递增，且 ，
所以 在 内存在唯一的零点 ，
当 时，则 ，且 ，
则 ，
即当 时， ，则 在 上单调递减，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递增，所以 是 的极大值点，符合题意；
综上所述： ，即 ，解得 或 ，
故a的取值范围为 .
13．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ；
（2） ，则 ，
当 时， ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，此时函数无零点，不合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
又 ，
由（1）得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，
则存在 ，使得 ，
所以 仅在 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，所以 单调递增，又 ，
所以 有唯一零点，符合题意；当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；此时 ，
由（1）得当 时， ， ，所以 ，
此时
存在 ，使得 ，
所以 在 有一个零点，在 无零点，
所以 有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为 .
14．（2021年天津高考数学试题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
【解析】（I） ，则 ，
又 ，则切线方程为 ；
（II）令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：
所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增，当 时， ，则 ， 单调递减，
为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；
（III）由（II）知 ，此时 ，
所以 ，
令 ，
若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即 ，
， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，故 ，
所以实数b的取值范围 .
