文档内容
第 03 讲 幂函数与二次函数
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................................................................2
题型一：幂函数的定义及其图像................................................................................................................................2
题型二：幂函数性质的综合应用................................................................................................................................3
题型三：由幂函数的单调性比较大小........................................................................................................................3
题型四：二次函数的解析式........................................................................................................................................3
题型五：二次函数的图象、单调性与最值................................................................................................................4
题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题....................................................................................................4
题型七：二次方程实根的分布及条件........................................................................................................................5
题型八：二次函数最大值的最小值问题....................................................................................................................5
02 重难创新练.............................................................................................................................................................6
03 真题实战练...............................................................................................................................................................9题型一：幂函数的定义及其图像
1．（2024·四川成都·一模）已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．已知幂函数的图象经过点 ，则该幂函数在第一象限的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
4．幂函数 ，当 时为减函数，则实数 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
5．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数 在 上的图象分别是下降，急
速上升，缓慢上升，则（ ）
A． B．
C． D．题型二：幂函数性质的综合应用
6．（2024·高三·福建三明·期中）已知 ，则实数 的取值范围是 ﹒
7．函数 ，其中 ，则其值域为 .
8．当 时，幂函数 为单调递减函数，则 ．
9．（2024·高三·上海浦东新·期中）已知 ，若幂函数 为奇函数，且
在 上严格单调递减，则 .
10．已知幂函数 ，若 ，则 的取值范围是 ．
题型三：由幂函数的单调性比较大小
11．（2024·贵州毕节·二模）已知 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12．记 ，则（ ）
A． B．
C． D．
13．已知 ， ， .则（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数 是幂函数，对任意的 且 ，满足 ，
若 ，则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
题型四：二次函数的解析式
15．已知二次函数 的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且 在区间 上的最大值为12，则函数 的解析式为 ．
16．已知 （b，c为实数），且 ， ，则 的解析式为 .
17．已知函数 对任意 满足： ，二次函数 满足： 且
．则 ， .
题型五：二次函数的图象、单调性与最值
18．（2024·辽宁沈阳·一模）已知函数 ，若 且 ，则它的图象可能是（
）
A． B． C． D．
19．已知二次函数 的图象的顶点坐标是 ，且截 轴所得线段的长度是4，将函数 的图象向
右平移2个单位长度，得到抛物线 ，则抛物线 与 轴的交点是（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数 ，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·高三·上海·期中）已知函数 在 上是严格增函数，则实数 的取值范
围是 .
题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题
22．已知函数 （ ）.
(1)若 在区间 上单调递减，求 的取值范围；
(2)若 在区间 上的最大值为9，求 的值.23．已知函数 ．
(1)若 的最大值为0，求实数a的值；
(2)设 在区间 上的最大值为 ，求 的表达式；
(3)令 ，若 在区间 上的最小值为1，求正实数a的取值范围．
24．已知函数
(1)若函数 在 上单调，求 的取值范围：
(2)是否存在实数 ，使得函数 在区间 上的最小值为 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说
明理由．
题型七：二次方程实根的分布及条件
25．（2024·高三·陕西商洛·期中）若 ，则一元二次方程 有整数根的充要条件是
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
26．若关于x的一元二次方程 有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数
a的取值范围是 ．
27．方程 的两根均大于1，则实数 的取值范围是题型八：二次函数最大值的最小值问题
28．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，求证： ；
(3)设 ，及 在区间 上的最大值为 .当 最小值，求 的值.
29．已知函数 的图象经过点 和 .
(1)求函数 的解析式；
(2)当 时，求证： ；
(3)设 ，记 在区间 上的最大值为 .当 最小时，求 的值.
1．（2024·北京朝阳·一模）已知 ，则“ ”是“函数 在 上单调递增”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·北京西城·一模）已知函数 ，若 存在最小值，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东·一模）已知集合 ，若 且互不相等，则使得指数函数 ，
对数函数 ，幂函数 中至少有两个函数在 上单调递增的有序数对 的个数是
（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
4．已知幂函数 的图象在 上单调递减，则 的取值是（ ）
A．1 B．-3 C．1或-3 D．2
5．（2024·四川宜宾·模拟预测）给出下列四个函数：① ；② ；③ ；④
．其中在 上是增函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．函数 是幂函数，对任意的 ，且 ，满足 ，
若 ，且 ，则 的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
7．幂函数 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ，若 为奇函数，且在 上单调递增，则实数a的取值个数为
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024·山东济南·三模）已知函数 的定义域为R，且 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． 有最小值 D． 在 上单调递增
10．（2024·陕西·模拟预测）设函数 的定义域为 ，且 ，
当 时， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
11．（多选题）若幂函数 的图像经过点 ，则下列命题中，正确的有（ ）
A．函数 为奇函数 B．函数 为偶函数
C．函数 在 为减函数 D．函数 在 为增函数
12．（多选题）已知幂函数 （m， ，m，n互质），下列关于 的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数 是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数 是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数 是偶函数
D． 时，幂函数 在 上是减函数
13．（多选题）幂函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数 是偶函数
C． D．函数 的值域为
14．（多选题）（2024·甘肃定西·一模）已知函数 ，则（ ）
A．当 有2个零点时， 只有1个零点
B．当 有3个零点时， 只有1个零点
C．当 有2个零点时， 有2个零点
D．当 有2个零点时， 有4个零点
15．（2024·北京延庆·一模）已知函数 在区间 上单调递减，则 的一个取值为
．
16．（2024·全国·模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数： ．
① 的定义域为 ；② ， ；③ ，都有 ．17．（2024·河北·模拟预测）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为
．
18．不等式 的解集为： ．
19．已知正实数 满足 ，且 对任意 恒成立，则实数 的最小值是 .
1．（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））函数 在区间 上存
在反函数的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））设函数
，若 的图象与 图象有且仅有两个不同的公共点
,则下列判断正确的是
A．当 时，
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，
3．（2004 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））在函数 中，若a，b，
c成等比数列且 ，则 有最 值（填“大”或“小”），且该值为 ．
4．（2020年江苏省高考数学试卷）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
5．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））若函数 在［－1，
2］上的最大值为4，最小值为m，且函数 在 上是增函数，则a＝ .
