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专题 19.3 一次函数的性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 确定一次函数经过的象限】......................................................................................................................1
【题型2 确定一次函数的增减性】..........................................................................................................................4
【题型3 由一次函数经过的象限求字母的取值范围】.........................................................................................6
【题型4 由一次函数的增减性求字母的取值范围】.............................................................................................8
【题型5 比较一次函数值的大小】........................................................................................................................10
【题型6 一次函数中的对称性问题】....................................................................................................................12
【题型7 由两直线的位置关系求解析式】...........................................................................................................15
【题型8 两直线的相交问题】................................................................................................................................19
【题型9 由一次函数解决最值问题】....................................................................................................................23
【题型10 一次函数与几何图形的综合运用】.......................................................................................................29
知识点1：一次函数的图象与性质
一次函数 y=kx+b（k、b是常数，k≠0 )
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
性质
k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
直线y=kx+b
（k≠0）的位置与
（3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；
k、b符号之间的关
（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
系.
（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
【题型1 确定一次函数经过的象限】
a c
【例1】（24-25九年级·上海宝山·期中）如果ab<0，ac<0，则直线y=− x− 不经过（ ）
b b
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
a a c
【分析】根据ab<0，ac<0，可以− >0，且b,c同号，从而可以判断一次函数y=− x− 的图象经过
b b b哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【详解】解：∵ab<0，ac<0，
∴a,b异号，a,c异号，
a
∴− >0，且b,c同号，
b
c
∴− <0，
b
a c
一次函数y=− x− 的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
b b
故选B
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式1-1】（24-25九年级·浙江杭州·期中）一次函数y=(m+1)x−2m+3的图象一定经过第
象限．
【答案】一
【分析】由一次函数的定义可知m+1≠0，故可分类讨论：当m+1>0和m+1<0时，分别求出−2m+3的
取值范围，结合一次函数的图象与性质即可解答．
【详解】解：∵该函数为一次函数，
∴m+1≠0，即m≠−1
分类讨论：①当m+1>0，即m>−1时，
∴−2m+3<5，
∴此时该函数图象必经过第一、三象限．
当0<−2m+3<5时，经过第二象限，当−2m+3<0时，经过第四象限；
②当m+1<0，即m<−1时，
∴−2m+3>7，
∴此时该函数图象经过第一、二、四象限，
综上可知，该函数图象必经过第一象限．
故答案为：一．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．掌握一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0，b>0时，其图象经
过第一、二、三象限；当k>0，b<0时，其图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，其图象经过
第一、二、四象限；当k<0，b<0时，其图象经过第二、三、四象限是解题关键．
【变式1-2】（24-25九年级·河北唐山·期中）一次函数y=(k+1)x+3的图像经过点P，且k>−1，则点P
的坐标不可能为（ ）A．(5,4) B．(−1,2) C．(−2,−2) D．(5,−1)
【答案】D
【分析】由k>−1，即k+1>0，则y的值随x值的增大而增大．又因为3>0，所以一次函数
y=(k+1)x+3的图像经过第一、二、三象限．然后根据选项的点所在的象限即可解答．
【详解】解：∵k>−1，
∴k+1>0，
∴y的值随x值的增大而增大，
又∵3>0，
∴一次函数y=(k+1)x+3的图像经过第一、二、三象限．
∵(5,−1)在第四象限，
∴点P的坐标不可能为(5,−1)．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系等知识点，由一次函数解析式系数
确定一次函数图像的位置是解题的关键．
a a c
【变式1-3】（24-25九年级·四川达州·期中）如果 ab>0， <0 则直线y=− x+ 不经过第
c b b
象限；
【答案】一
a a c
【分析】先根据ab＞0， ＜0讨论出a、b、c的符号，进而可得出 ， 的符号，再根据一次函数的图象
c b b
与系数的关系进行解答即可．
a
【详解】∵ab＞0， ＜0，
c
∵a、b同号，a、c异号，
当a＞0，b＞0时，c＜0，
a c
∴ ＞0， ＜0，
b b
a c
∴直线y=- x+ 过二、三、四象限；
b b
当a＜0，b＜0时，c＞0，
a c
∴ ＞0， ＜0，
b ba c
∴直线y=− x+ 过二、三、四象限．
b b
∴这条直线不经过第一象限，
故答案为：一．
a
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是根据ab＞0， ＜0讨论出a、b、
c
a c
c的符号，进而可得出 ， 的符号．
b b
【题型2 确定一次函数的增减性】
【例2】（24-25九年级·河北石家庄·期中）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，
其中点A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数( )
A．当x<2时，y随x的增大而增大 B．当x<2时，y随x的增大而减小
C．当x>2时， 随 的增大而增大 D．当x≥2时，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】根据函数图象和各点坐标，可得出各段中函数图象的变化情况，即可得答案．
【详解】∵A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），
∴由图象可知：当x＜1时，y随x的增大而增大，
当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
当x＞2时，y随x的增大而增大，
故选：C．
【点睛】本题考查分段函数的图象及函数的增减性，正确得出对应的横坐标的取值范围是解题关键．
【变式2-1】（24-25九年级·吉林长春·期末）下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y=2x B．y=2x+1 C．y=x−4 D．y=−x+3
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减
小，据此即可判断求解，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：A、∵k=2>0，∴y随x的增大而增大，该选项不合题意；
B、∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大，该选项不合题意；
C、∵k=1>0，
∴y随x的增大而增大，该选项不合题意；
D、∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小，该选项不合题意；
故选：D．
2 1
【变式2-2】（24-25九年级·安徽蚌埠·期末）在一次函数 y=− x+ 的图像上任取不同两点P (x ,y )
3 3 1 1 1
y −y
，P (x ,y )，则 2 1 的正负情况是（ ）
2 2 2 x −x
2 1
y −y y −y y −y y −y
A．
2 1<0
B．
2 1>0
C．
2 1≤0
D．
2 1≥0
x −x x −x x −x x −x
2 1 2 1 2 1 2 1
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据一次函数的
图像与性质即可求解．
2
【详解】解：∵ − <0，
3
∴ y随x的增大而减小，
当x >x 时，y y ，
1 2 1 2
∴x −x <0,y −y >0，
1 2 1 2
∴W =(x −x )(y −y )<0，
1 2 1 2
当x >x 时，y 0,y −y <0，
1 2 1 2
∴W =(x −x )(y −y )<0，
1 2 1 2
故答案为：＜．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图形性质．
【题型3 由一次函数经过的象限求字母的取值范围】
【例3】（24-25九年级·宁夏银川·期中）如果直线y=(2−k)x+k不经过第二象限，那么k的取值范围是
（ ）．
A．k≤0 B．k<2 C．0≤k<2 D．k<0
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据图象不经过第二象限可得2−k>0且k≤0，结合不等式的
取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的方法即可求解，掌握一次函数图象
的性质，不等式的取值方法是解题的关键．
【详解】解：∵不经过第二象限，
∴2−k>0，且k≤0，
∴k≤0，
故选：A
【变式3-1】（24-25九年级·河南驻马店·期中）已知点A(−1,2)、B(3,2)，若一次函数y=−x+b的图象
与线段AB有交点，则b的取值范围为 ．
【答案】1≤b≤5
【分析】把A、B分别代入y＝﹣x+b，分别求得b的值，即可求得b的取值范围．
【详解】解：∵A（﹣1，2），B（3，2），
∴若过A点，则2＝1+b，解得b＝1，
若过B点，则2＝﹣3+b，解得b＝5，
∴1≤b≤5．
故答案：1≤b≤5．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标符合解析式是解题的关键．
【变式3-2】（2024九年级·全国·专题练习）平面直角坐标系中，过点(−2,3)的直线l经过一、二、三象
限，若点(0,a)，(−1,b)，(c,−1)都在直线l上，则下列判断正确的是（ ）
A．a0
求出S的取值范围．
【详解】∵过点(1,3)的直线y=ax+b(a≠0)不经过第四象限，
∴ a＞0，b≥0，a+b=3，
∴ b=3−a，
{3−a≥0)
∴ ，解得：00∴ S=a+2b=a+2(3−a)=6−a，
∵ −3≤−a<0，
∴ 3≤6−a<6，
即S的取值范围为：3≤S<6，
故选B．
【题型4 由一次函数的增减性求字母的取值范围】
【例4】（24-25九年级·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义:若存在实数M>0，对于任意的函数
值y，都满足−M≤ y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数
的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．若函数y=−x+1 (a≤x≤b，b>a)的边界值是
2，且这个函数的最大值也是2，则b的取值范围是 ．
【答案】−10，解得k>2．
5
所以k的值可以是 ．
2
【变式4-2】（2024·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当a≤x≤a+3（其中a为常数）时．函数
y=x−1的最小值为2a+4，则满足条件的a的值为（ ）
3
A．－5 B．－2 C．− D．－1
2
【答案】A
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据函数解析式得到函数y=x−1的函数值随着x的增大而
增大，根据自变量取值范围即可得到当a≤x≤a+3时，则当x=a时取得最小值2a+4，列方程并解方程即
可.
【详解】解：∵k=1>0
∴函数y=x−1的函数值随着x的增大而增大，
当a≤x≤a+3时，则当x=a时取得最小值2a+4，
即a−1=2a+4，
解得a=−5，
故选：A
【变式4-3】（24-25九年级·福建福州·期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为
y=kx+b(k≠0)．在我的图象上有两点A(x ,y )，B(x ,y )且x ≠x ，m=(x −x )(y −y )，当k>0
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1
时，m的取值范围是( )
A．m>0 B．m≥0 C．m=0 D．m<0
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，将A，B两点坐标代入一次函数解析式，再将两
式相减即可解决问题．
【详解】解：将A，B两点坐标分别代入一次函数解析式得，
y =kx +b，y =kx +b，
1 1 2 2两式相减得， y −y =k(x −x )，
1 2 1 2
y −y
所以k= 1 2 ，
x −x
1 2
因为k>0，
y −y
所以
1 2>0，
x −x
1 2
则(y −y )(x −x )>0，
1 2 1 2
所以(x −x )(y −y )>0，
2 1 2 1
则m>0．
故选：A．
【题型5 比较一次函数值的大小】
【例5】（24-25九年级·山东聊城·期末）一次函数y=−x+b的图象上三个点的坐标分别为
( 1 )
− ,y ,(−1,y )，(2,y )，则y ,y ,y 的大小关系是（ ）
3 1 2 3 1 2 3
A．y y >y ．
3 2 1 3
【详解】解： 一次函数y=−x+b中的k=−1<0，
∴y随x的增大∵而减小，
1
−1<− <2，
3
∵
y >y >y ，
2 1 3
∴故选：C．
1
【变式5-1】（24-25九年级·广西崇左·阶段练习）已知点A(1,a)和点B(−2,b)是一次函数y=− x+c图
2
象上的两点，则a b．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜1
【分析】把A(1,a),B(−2,b)代入一次函数y=− x+c得两个二元一次方程，把两个方程相减，求出
2
a−b的值，进行判断即可．
1
【详解】解：把A(1,a),B(−2,b)代入一次函数y=− x+c得：
2
{ − 1 +c=a① )
2 ,
1+c=b②
3
①-②得：a−b=− <0，
2
∴a”“<”或“=”）
【答案】>
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数图象的增减性进行判断．判断出一次函
数的增减性是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数y=−2x+1中的−2<0，
∴该函数图象是直线，且y的值随x的增大而减小，
∵m+1>m，
∴a>b．
故答案为：>．
【变式5-3】（24-25九年级·福建厦门·期末）点M(a,2)、N(b,3)是一次函数y=2x−3图像上两点，则
a b（填“>”、“=”或”<”）．
【答案】<
【分析】由k=2>0结合一次函数的性质即可得出该函数为增函数，再结合2＜3即可得出结论．
【详解】解：∵k=2>0，
∴一次函数y随x增大而增大，
同理当y越大时x也越大，
∵2＜3，∴a 时，在图中用阴影表示直线y=kx+1运动的区域，并判断在点M，N，P中直线y=kx+1不可能
4
经过的点是 ．
【答案】(1)8
(2)图见解析，N
【分析】本题考查一次函数的图象和性质得应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项
大于0，图象过第一、二、三象限，一次函数的比例系数越大，y随x的增大越明显．
（1）根据一次函数的比例系数大于0，图象过第一、三象限，求b的最大值，那么把第二象限内的点代入
即可；
1 1
（2）求的当k= 时直线与x轴的交点，进而根据经过点(0,1)和k> 可得直线扫过的区域，即可求得直线
4 4
y=kx+1不可能经过的点．【详解】（1）
解：∵一次函数的比例系数为2，2>0，
∴一次函数一定经过第一、三象限．
∵求b的最大值，
∴图象还应该经过第二象限的点N(−3,2)．
∴3×(−3)+b=2．
∴b=8
答：b的最大值为8；
（2）
1
当k= 时，图象经过(−4,0)
4
1
∵图象必过点(0,1)，k> ，
4
∴直线y=kx+1运动的区域为过点(−4,0)和点(0,1)的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y
轴）．
∴直线y=kx+1不可能经过的点是N．
故答案为：N．
【变式9-3】（24-25九年级·天津蓟州·期末）如图，直线l :y =x+1与x轴交于点A，直线l :y =kx+4与
1 1 2 2
x轴交于点B(4,0)，直线l 与直线l 相交于点M．
1 2(1)求直线l 的解析式及点M的坐标；
2
(2)点P是直线l 上的一点．
1
①当S =5时，求点P的坐标；
△ABP
②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当QP+QM取最小值时，直接写出点Q的坐标．
(5 7)
【答案】(1)点M的坐标为 , ；
2 2
(17 )
(2)①点P的坐标为(1,2)或点(−3,−2)；②点Q的坐标为(−1,0)或 ,0 ．
11
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式，两点之间线段最短进是
解题的关键．
（1）利用待定系数法求出直线l 的解析式，然后联立解方程组求交点坐标即可；
2
1
（2）①先求出点A的坐标，然后设点P(x,x+1)，根据S = AB⋅|P )列方程解题即可；
△ABP 2 y
②利用①的结论分两种情况讨论，利用两点之间线段最短进行解题即可．
【详解】（1）解：将点B(4,0)代入y =kx+4，得0=4k+4，解得k=−1，
2
∴y =−x+4，
2
5
{ x= )
{ y=x+1 ) 2
解方程组 ，解得 ，
y=−x+4 7
y=
2
(5 7)
∴点M的坐标为 , ；
2 2
（2）解：①令y=0，则x+1=0，解得x=−1，
∴直线l 与x轴的交点A(−1,0)，
1
设点P(x,x+1)，
1 1 5
∴S = AB⋅|P )= ×(4+1)×|x+1)= |x+1)=5，
△ABP 2 y 2 2
∴|x+1)=2，即x+1=2或x+1=−2，解得x=1或x=−3，
则点P的坐标为(1,2)或(−3,−2)；
②当点P的坐标为(1,2)时，如图，作点M关于x轴的对称点M′，连接PM′交x轴于点Q，此时QP+QM=PM′有最小值，
(5 7)
∵点M的坐标为 , ，
2 2
(5 7)
∴点M′的坐标为 ,− ，
2 2
设PM′的解析式为y=ax+b，
11
{5
a+b=−
7
)
{ a=−
3
)
则 2 2 ，解得 ，
17
a+b=2 b=
3
11 17
∴PM′的解析式为y=− x+ ，
3 3
11 17
令y=0，则− x+ =0，
3 3
17
解得x= ，
11
(17 )
∴点Q的坐标 ,0 ；
11
当点P的坐标为(−3,−2)时，如图，当点Q与点A重合时，此时QP+QM=AP+AM=PM有最小值，
∴点Q的坐标为(−1,0)；
(17 )
综上，点Q的坐标为(−1,0)或 ,0 ．
11
【题型10 一次函数与几何图形的综合运用】
【例10】（24-25九年级·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为
A(2,0)，B(0,4)，C(−3,2)．
(1)求三角形ABC的面积．
(2)若点 P 的坐标为(m，0)，
①请直接写出线段AP的长为 ；(用含m的式子表示)
②当 S =2S 时，求m的值．
△PAB △ABC
(3)若AC交y轴于点 M，求点 M的坐标．
【答案】(1)8
(2)①|m−2|；②10或−6
( 4)
(3) 0,
5
【分析】本题考查了坐标与图形性质、三角形面积的计算方法、待定系数法求直线的解析式；熟练掌握坐
标与图形性质是解题的关键．
（1）过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点B作BE⊥CM，交MC延长线于E，过点A作AF⊥BE，交
EB延长线于F，由题意得出M(−3,0)，E(−3,4)，F(2,4)．得出AM=5，CM=2，BE=3，CE=2，
DE=4，BF=2，AF=4．S =S −S −S −S ，即可得出结果；
△ABC 矩形AMEF △ACM △BCE △ABF
（2）①根据题意容易得出结果；
②由三角形面积关系得出方程，解方程即可；
（3）与待定系数法求出直线AC的解析式，即可得出点M的坐标．
【详解】（1）解：过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点B作BE⊥CM，交MC延长线于E，过点A作AF⊥BE，交EB延长线于F．如图1所示：
∵A(2,0)，B(0,4)，C(−3,2)
∴M(−3,0)，E(−3,4)，F(2,4)，OB=4．
∴AM=5，CM=2，BE=3，CE=2，ME=4，BF=2，AF=4．
∴S =S −S −S −S
△ABC 矩形AMEF △ACM △BCE △ABF
1 1 1 1 1 1
=AM⋅DE− AM⋅CM− CE⋅BE− BE⋅AF=5×4− ×5×2− ×2×3− ×2×4=8．
2 2 2 2 2 2
答：△ABC的面积是8．
（2）解：①根据题意得：AP=|m−2|；
故答案为：|m−2|；
②∵S =2S
△PAB △ABC
1
∴ ⋅AP⋅BO=2×8
2
∴AP=|m−2|=8，
∴m−2=8或m−2=−8，
∴m=10或m=−6；
（3）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，
{ 2k+b=0 )
根据题意得： ，
−3k+b=2
2 4
解得：k=− ，b= ；
5 5
2 4
∴直线AC的解析式为y=− x+ ，
5 5
4
当x=0时，y= ，
5
( 4)
∴M 0, ．
5【变式10-1】（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知
一次函数y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（ ）
3 3 3 3
A．k= ，b= B．k=− ，b=−
2 4 2 4
3 3 3 3
C．k=− ，b=− D．k= ，b=
4 2 4 2
【答案】D
【分析】首先由图可知A(-2,0)，B(2,3)，再把A、B的坐标分别代入解析式，解方程组，即可求得．
【详解】解：由图可知A(-2,0)，B(2,3)，
把A、B的坐标分别代入解析式，得
{−2k+b=0)
2k+b=3
3
{ k= )
4
解得
3
b=
2
故选：D．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形，结合题意和图形得到A、B的坐
标是解决本题的关键．
【变式10-2】（2024·陕西·一模）问题探究：
（1）将一直角梯形ABCD放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）
中，梯形ABCD的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形ABCD分成面积相等的两部
分；（画出一种即可）
（2）如图2，l ∥l ，点A、D在l 上，点B、C在l 上，连接AC、BD，交于点O，连接AB、CD．试说
1 2 1 2
明：S =S ；
△AOB △DOC
问题解决：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形ABCDE是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y
轴正半轴上，CD边在x轴正半轴上，AE平行于x轴，AE的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种
需求，需在CD上找一点Q，使PQ将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿PQ修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．
①请你利用有刻度的直尺在图中画出PQ的位置，并简要说明作图过程；
②若点A的坐标为(2,4)，OB=1，OC=4，OD=12，AE=6，请求出直线PQ的解析式．
16
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线PQ的解析式为y=− x+20
5
【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性
质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据网格和梯形的面积公式求解即可；
（2）根据S =S ，S −S =S −S ，即可求解；
△ABC △DCB △ABC △BOC △DCB △BOC
（3）①如图，连接AC，平移AC，使其经过点B，交x轴于点M，连接AM，交BC于点N，量出DM的
中点Q，连接PQ，由BM∥AC，可得S =S ，从而可得S =S ，可证
△ABC △AMC △CMN △ABN
S =S ，再由PQ平分梯形AMDE的面积，即可求解；
五边形ABCDE 梯形AMDE
②由题意可得P(5,4)，利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=−2x+8，再根据一次函数平移的规律
可设直线BM的解析式为y=−2x+t，再把B(0,1)代入求得直线BM的解析式为y=−2x+1，从而可得
(25 )
Q ,0 ，再利用待定系数法求解即可．
4
【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一），
理由如下：如图，直线l分别交AD、BC于点E、F，
(4+6)×4 (2+3)×4
∵S = =20，S = =10，
梯形ABCD 2 梯形ABFE 2
∵S =S −S =10；
四边形EFCD 梯形ABCD 梯形ABFE
（2）设l 、l 之间的距离为h，∵AD∥BC，
1 21
∴S =S = BC⋅ℎ，
△ABC △DCB 2
∵S −S =S −S ，
△ABC △BOC △DCB △BOC
∴S =S ．
△AOB △DOC
（3）①如图，连接AC，平移AC，使其经过点B，交x轴于点M，连接AM，交BC于点N，
量出DM的中点Q，连接PQ，PQ的位置如图所示．
∵BM∥AC，
∴S =S ，
△ABC △AMC
又∵S −S =S −S ，
△ABC △ANC △AMC △ANC
∴S =S ，
△CMN △ABN
∴S =S ，
五边形ABCDE 梯形AMDE
∵PQ平分梯形AMDE的面积，
∴PQ平分五边形ABCDE的面积，
②由题意得，A(2,4)，B(0,1)，C(4,0)，D(12,0)，E(8,4)，
∴P(5,4)．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
{2k+b=4)
将A(2,4)，C(4,0)，代入得 ，
4k+b=0
{k=−2)
解得 ，
b=8
∴直线AC的解析式为y=−2x+8，故可设直线BM的解析式为y=−2x+t，
将B(0,1)代入，得t=1，
∴直线BM的解析式为y=−2x+1．
1
当y=0时，−2x+1=0，解得x= ．
2
(1 )
∴M ,0 ．
2
(25 )
∴Q ,0 ，
4
设直线PQ的解析式为y=mx+n，
(25 )
{5m+n=4
)
将P(5,4)，Q ,0 ，代入得 25 ，
4 m+n=0
4{ m=− 16 )
解得 5 ，
n=20
16
∴直线PQ的解析式为y=− x+20．
5
【变式10-3】（24-25九年级·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为
a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足(a+4) 2+❑√b−6=0．
(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长
度可以得到对应点C，连接CA，CB，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形ABC的面积．
(3)在（2）的条件下，记AC与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接PB，PD，若三角形PBD的面积与三
角形ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)(−4,6)
(2)30
(3)(0,−8)或(0,8)
【分析】（1）根据非负数的性质求得a、b的值，即可确定点A的坐标；
（2）根据“过点A作x轴的垂线，点B为垂足”可得点B的坐标；由平移的性质可得点C的坐标；结合图
形，利用三角形面积公式即可计算三角形ABC的面积；
（3）设直线AC交y轴于点D，直线AC的解析式为y=kx+b，由待定系数法求得直线AC的解析式，即可1
确定点D的坐标；设点P(0,m)，根据题意可得S = BD×|m)=30，求解即可获得答案．
△PBD 2
【详解】（1）∵实数a，b满足(a+4) 2+❑√b−6=0，
且(a+4) 2≥0，❑√b−6≥0，
∴a+4=0，b−6=0，
∴a=−4，b=6，
∴点A的坐标为(−4,6)；
（2）过点A作x轴的垂线，点B为垂足，
∴B(−4,0)，
若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，
则点C坐标为(−4+10,6−8)，即C(6,−2)，
AB=|y −y |=|6−0|=6，
A B
1 1 1
∴S = AB×|x −x |= ×6×|6−(−4)|= ×6×10=30，
△ABC 2 C A 2 2
即三角形ABC的面积为30；
（3）如图，设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点A(−4，6)，点C(6,−2)代入y=kx+b，
{−4k+b=6)
可得 ，
6k+b=−2
4
{ k=− )
5
解得 ，
14
b=
5
4 14
∴直线AC的解析式为y=− x+ ，
5 5
7
令y=0，则x= ，
2(7 )
∴点D ,0 ，
2
7 15
∴BD= −(−4)=
2 2
设点P(0，m)，
∵三角形PBD的面积与三角形ABC的面积相等，
1
∴S = BD×|m)=30，
△PBD 2
1 15
即 × ×|m|=30，
2 2
∴|m|=8，
解得m=8或m=−8，
∴点P的坐标为(0,−8)或(0,8)．
【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形、点的平移、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数
图象上点的坐标特征等知识，理解题意，利用数形结合的思想分析问题是解题关键．
