专题 19.3 一次函数的性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 确定一次函数经过的象限】......................................................................................................................1
【题型2 确定一次函数的增减性】..........................................................................................................................4
【题型3 由一次函数经过的象限求字母的取值范围】.........................................................................................6
【题型4 由一次函数的增减性求字母的取值范围】.............................................................................................8
【题型5 比较一次函数值的大小】........................................................................................................................10
【题型6 一次函数中的对称性问题】....................................................................................................................12
【题型7 由两直线的位置关系求解析式】...........................................................................................................15
【题型8 两直线的相交问题】................................................................................................................................19
【题型9 由一次函数解决最值问题】....................................................................................................................23
【题型10 一次函数与几何图形的综合运用】.......................................................................................................29
知识点1：一次函数的图象与性质
一次函数 y=kx+b（k、b是常数，k≠0 )
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
性质
k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
直线y=kx+b
（k≠0）的位置与
（3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；
k、b符号之间的关
（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
系.
（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
【题型1 确定一次函数经过的象限】
a c
【例1】（24-25九年级·上海宝山·期中）如果ab<0，ac<0，则直线y=− x− 不经过（ ）
b b
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
a a c
【分析】根据ab<0，ac<0，可以− >0，且b,c同号，从而可以判断一次函数y=− x− 的图象经过
b b b哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【详解】解：∵ab<0，ac<0，
∴a,b异号，a,c异号，
a
∴− >0，且b,c同号，
b
c
∴− <0，
b
a c
一次函数y=− x− 的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
b b
故选B
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式1-1】（24-25九年级·浙江杭州·期中）一次函数y=(m+1)x−2m+3的图象一定经过第
象限．
【答案】一
【分析】由一次函数的定义可知m+1≠0，故可分类讨论：当m+1>0和m+1<0时，分别求出−2m+3的
取值范围，结合一次函数的图象与性质即可解答．
【详解】解：∵该函数为一次函数，
∴m+1≠0，即m≠−1
分类讨论：①当m+1>0，即m>−1时，
∴−2m+3<5，
∴此时该函数图象必经过第一、三象限．
当0<−2m+3<5时，经过第二象限，当−2m+3<0时，经过第四象限；
②当m+1<0，即m<−1时，
∴−2m+3>7，
∴此时该函数图象经过第一、二、四象限，
综上可知，该函数图象必经过第一象限．
故答案为：一．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．掌握一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0，b>0时，其图象经
过第一、二、三象限；当k>0，b<0时，其图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，其图象经过
第一、二、四象限；当k<0，b<0时，其图象经过第二、三、四象限是解题关键．
【变式1-2】（24-25九年级·河北唐山·期中）一次函数y=(k+1)x+3的图像经过点P，且k>−1，则点P
的坐标不可能为（ ）A．(5,4) B．(−1,2) C．(−2,−2) D．(5,−1)
【答案】D
【分析】由k>−1，即k+1>0，则y的值随x值的增大而增大．又因为3>0，所以一次函数
y=(k+1)x+3的图像经过第一、二、三象限．然后根据选项的点所在的象限即可解答．
【详解】解：∵k>−1，
∴k+1>0，
∴y的值随x值的增大而增大，
又∵3>0，
∴一次函数y=(k+1)x+3的图像经过第一、二、三象限．
∵(5,−1)在第四象限，
∴点P的坐标不可能为(5,−1)．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系等知识点，由一次函数解析式系数
确定一次函数图像的位置是解题的关键．
a a c
【变式1-3】（24-25九年级·四川达州·期中）如果 ab>0， <0 则直线y=− x+ 不经过第
c b b
象限；
【答案】一
a a c
【分析】先根据ab＞0， ＜0讨论出a、b、c的符号，进而可得出 ， 的符号，再根据一次函数的图象
c b b
与系数的关系进行解答即可．
a
【详解】∵ab＞0， ＜0，
c
∵a、b同号，a、c异号，
当a＞0，b＞0时，c＜0，
a c
∴ ＞0， ＜0，
b b
a c
∴直线y=- x+ 过二、三、四象限；
b b
当a＜0，b＜0时，c＞0，
a c
∴ ＞0， ＜0，
b ba c
∴直线y=− x+ 过二、三、四象限．
b b
∴这条直线不经过第一象限，
故答案为：一．
a
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是根据ab＞0， ＜0讨论出a、b、
c
a c
c的符号，进而可得出 ， 的符号．
b b
【题型2 确定一次函数的增减性】
【例2】（24-25九年级·河北石家庄·期中）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，
其中点A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数( )
A．当x<2时，y随x的增大而增大 B．当x<2时，y随x的增大而减小
C．当x>2时， 随 的增大而增大 D．当x≥2时，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】根据函数图象和各点坐标，可得出各段中函数图象的变化情况，即可得答案．
【详解】∵A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），
∴由图象可知：当x＜1时，y随x的增大而增大，
当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
当x＞2时，y随x的增大而增大，
故选：C．
【点睛】本题考查分段函数的图象及函数的增减性，正确得出对应的横坐标的取值范围是解题关键．
【变式2-1】（24-25九年级·吉林长春·期末）下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y=2x B．y=2x+1 C．y=x−4 D．y=−x+3
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减
小，据此即可判断求解，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：A、∵k=2>0，∴y随x的增大而增大，该选项不合题意；
B、∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大，该选项不合题意；
C、∵k=1>0，
∴y随x的增大而增大，该选项不合题意；
D、∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小，该选项不合题意；
故选：D．
2 1
【变式2-2】（24-25九年级·安徽蚌埠·期末）在一次函数 y=− x+ 的图像上任取不同两点P (x ,y )
3 3 1 1 1
y −y
，P (x ,y )，则 2 1 的正负情况是（ ）
2 2 2 x −x
2 1
y −y y −y y −y y −y
A．
2 1<0
B．
2 1>0
C．
2 1≤0
D．
2 1≥0
x −x x −x x −x x −x
2 1 2 1 2 1 2 1
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据一次函数的
图像与性质即可求解．
2
【详解】解：∵ − <0，
3
∴ y随x的增大而减小，
当x >x 时，y <y ，
2 1 2 1
y −y
∴
2 1<0，
x −x
2 1
故选：A．
【变式2-3】（2024·浙江杭州·一模）若A(x ,y )，B(x ,y )分别是一次函数y=−4x+5图象上两个不相
1 1 2 2
同的点，记W =(x −x )(y −y )，则W 0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写）
1 2 1 2
【答案】＜
【分析】根据一次函数的性质进行判断即可得到答案．【详解】解：∵一次函数y=−4x+5，y随x增大而减小，
∴当x <x 时，y >y ，
1 2 1 2
∴x −x <0,y −y >0，
1 2 1 2
∴W =(x −x )(y −y )<0，
1 2 1 2
当x >x 时，y <y ，
1 2 1 2
∴x −x >0,y −y <0，
1 2 1 2
∴W =(x −x )(y −y )<0，
1 2 1 2
故答案为：＜．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图形性质．
【题型3 由一次函数经过的象限求字母的取值范围】
【例3】（24-25九年级·宁夏银川·期中）如果直线y=(2−k)x+k不经过第二象限，那么k的取值范围是
（ ）．
A．k≤0 B．k<2 C．0≤k<2 D．k<0
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，根据图象不经过第二象限可得2−k>0且k≤0，结合不等式的
取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的方法即可求解，掌握一次函数图象
的性质，不等式的取值方法是解题的关键．
【详解】解：∵不经过第二象限，
∴2−k>0，且k≤0，
∴k≤0，
故选：A
【变式3-1】（24-25九年级·河南驻马店·期中）已知点A(−1,2)、B(3,2)，若一次函数y=−x+b的图象
与线段AB有交点，则b的取值范围为 ．
【答案】1≤b≤5
【分析】把A、B分别代入y＝﹣x+b，分别求得b的值，即可求得b的取值范围．
【详解】解：∵A（﹣1，2），B（3，2），
∴若过A点，则2＝1+b，解得b＝1，
若过B点，则2＝﹣3+b，解得b＝5，
∴1≤b≤5．
故答案：1≤b≤5．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标符合解析式是解题的关键．
【变式3-2】（2024九年级·全国·专题练习）平面直角坐标系中，过点(−2,3)的直线l经过一、二、三象
限，若点(0,a)，(−1,b)，(c,−1)都在直线l上，则下列判断正确的是（ ）
A．a<b B．a<3 C．b<3 D．c<−2
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线l经过第一、二、三象限且过点(−2,3)，得出y随x
的增大而增大，则3<b<a，再根据点(c,−1)在直线l上，得出c<−2，即可解答．
【详解】解：∵直线l经过第一、二、三象限且过点(−2,3)，
∴y随x的增大而增大．
∵−2<−1<0，
∴3<b<a，
∴A、B、C均错；
∵点(c,−1)在直线l上，
∴c<−2．
故选D．
【变式3-3】（24-25九年级·江苏南通·期中）已知过点(1,3)的直线y=ax+b(a≠0)不经过第四象限，设
S=a+2b，则S的取值范围为（ ）
A．3<S<6 B．3≤S<6 C．3<S≤6 D．3≤S≤6
【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，以及不等
式的性质．掌握一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k＞0，b≥0时函数的图象不经过第四象限是解题的关
键．
根据一次函数图象与系数的关系可得a＞0，b≥0，将点(1,3)代入y=ax+b(a≠0)，得到a+b=3，即
{3−a≥0)
b=3−a．由a＞0，b≥0得出不等式组 ，解不等式组求出a的范围，再根据不等式的性质即可
a>0
求出S的取值范围．
【详解】∵过点(1,3)的直线y=ax+b(a≠0)不经过第四象限，
∴ a＞0，b≥0，a+b=3，
∴ b=3−a，
{3−a≥0)
∴ ，解得：0<a≤3，
a>0∴ S=a+2b=a+2(3−a)=6−a，
∵ −3≤−a<0，
∴ 3≤6−a<6，
即S的取值范围为：3≤S<6，
故选B．
【题型4 由一次函数的增减性求字母的取值范围】
【例4】（24-25九年级·湖南长沙·期中）对某一个函数给出如下定义:若存在实数M>0，对于任意的函数
值y，都满足−M≤ y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数
的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．若函数y=−x+1 (a≤x≤b，b>a)的边界值是
2，且这个函数的最大值也是2，则b的取值范围是 ．
【答案】−1<b≤3
【分析】根据函数的增减性、边界值确定a=-1；然后由“函数的最大值也是2”来求b的取值范围．
【详解】解：∵k=-1，y随x的增大而减小，
∴当x=a时，-a+1=2，解得a=-1，
而x=b时，y=-b+1，
∴-2≤-b+1≤2，
且b＞a，
∴-1＜b≤3．
故答案为-1＜b≤3．
【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y
随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴
的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
【变式4-1】（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数y=(k−2)x−1的函数值y随x的增大而增大，则k
值可能是（ ）
5 3 1
A．1 B． C． D．−
2 2 2【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数．熟练掌握一次函数的增减性，是解决问题的关键．根据一次函数的增
减性质，逐一判断可得答案．
【详解】解：∵一次函数y=(k−2)x−1的函数值y随着x的增大而增大，
∴k−2>0，解得k>2．
5
所以k的值可以是 ．
2
【变式4-2】（2024·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，当a≤x≤a+3（其中a为常数）时．函数
y=x−1的最小值为2a+4，则满足条件的a的值为（ ）
3
A．－5 B．－2 C．− D．－1
2
【答案】A
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据函数解析式得到函数y=x−1的函数值随着x的增大而
增大，根据自变量取值范围即可得到当a≤x≤a+3时，则当x=a时取得最小值2a+4，列方程并解方程即
可.
【详解】解：∵k=1>0
∴函数y=x−1的函数值随着x的增大而增大，
当a≤x≤a+3时，则当x=a时取得最小值2a+4，
即a−1=2a+4，
解得a=−5，
故选：A
【变式4-3】（24-25九年级·福建福州·期末）我是一条直线，很有名气的直线，数学家们给我命名为
y=kx+b(k≠0)．在我的图象上有两点A(x ,y )，B(x ,y )且x ≠x ，m=(x −x )(y −y )，当k>0
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1
时，m的取值范围是( )
A．m>0 B．m≥0 C．m=0 D．m<0
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，将A，B两点坐标代入一次函数解析式，再将两
式相减即可解决问题．
【详解】解：将A，B两点坐标分别代入一次函数解析式得，
y =kx +b，y =kx +b，
1 1 2 2两式相减得， y −y =k(x −x )，
1 2 1 2
y −y
所以k= 1 2 ，
x −x
1 2
因为k>0，
y −y
所以
1 2>0，
x −x
1 2
则(y −y )(x −x )>0，
1 2 1 2
所以(x −x )(y −y )>0，
2 1 2 1
则m>0．
故选：A．
【题型5 比较一次函数值的大小】
【例5】（24-25九年级·山东聊城·期末）一次函数y=−x+b的图象上三个点的坐标分别为
( 1 )
− ,y ,(−1,y )，(2,y )，则y ,y ,y 的大小关系是（ ）
3 1 2 3 1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y
1 2 3 2 1 3
C．y <y <y D．y <y <y
3 1 2 3 2 1
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性判断函数值的大小．根据一次函数y=−x+b中的
1
k=−1<0可得出y随x的增大而减小，根据−1<− <2可得出y >y >y ．
3 2 1 3
【详解】解： 一次函数y=−x+b中的k=−1<0，
∴y随x的增大∵而减小，
1
−1<− <2，
3
∵
y >y >y ，
2 1 3
∴故选：C．
1
【变式5-1】（24-25九年级·广西崇左·阶段练习）已知点A(1,a)和点B(−2,b)是一次函数y=− x+c图
2
象上的两点，则a b．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜1
【分析】把A(1,a),B(−2,b)代入一次函数y=− x+c得两个二元一次方程，把两个方程相减，求出
2
a−b的值，进行判断即可．
1
【详解】解：把A(1,a),B(−2,b)代入一次函数y=− x+c得：
2
{ − 1 +c=a① )
2 ,
1+c=b②
3
①-②得：a−b=− <0，
2
∴a<b,
故答案为：<．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握比较两数大小的几种常用方
法．
【变式5-2】（24-25九年级·江西抚州·期中）已知一次函数y=−2x+1的图象经过P (m,a)，P (m+1,b)
1 2
两点，则a b．（填“>”“<”或“=”）
【答案】>
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数图象的增减性进行判断．判断出一次函
数的增减性是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数y=−2x+1中的−2<0，
∴该函数图象是直线，且y的值随x的增大而减小，
∵m+1>m，
∴a>b．
故答案为：>．
【变式5-3】（24-25九年级·福建厦门·期末）点M(a,2)、N(b,3)是一次函数y=2x−3图像上两点，则
a b（填“>”、“=”或”<”）．
【答案】<
【分析】由k=2>0结合一次函数的性质即可得出该函数为增函数，再结合2＜3即可得出结论．
【详解】解：∵k=2>0，
∴一次函数y随x增大而增大，
同理当y越大时x也越大，
∵2＜3，∴a<b．
故答案为<．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键确定一次函数的增减性．
【题型6 一次函数中的对称性问题】
【例6】（24-25九年级·陕西西安·开学考试）若直线 y=kx+2与直线 y=−3x+b关于直线 x=−1对
称，则 k、b值分别为（ ）
A．k=−3、b=−2 B．k=3、b=−2
C．k=3、b=−4 D．k=3、b=4
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标
轴的交点是解决问题的关键．
先求出一次函数y=kx+2与y轴交点关于直线x=−1的对称点，代入y=−3x+b得到b的值，再求出一次
函数y=−3x+b与y轴交点关于直线x=−1的对称点，代入一次函数y=kx+2，求出k的值即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+2与y轴交点为(0,2)，
∴点(0,2)关于直线x=−1的对称点为(−2,2)，
把(−2,2)代入直线y=−3x+b，可得2=−3×(−2)+b，
解得b=−4，
则y=−3x+b=−3x−4，
一次函数y=−3x−4与y轴交点为(0,−4)，
(0,−4)关于直线x=−1的对称点为(−2,−4)，
代入直线y=kx+2，可得−4=−2k+2，
解得k=3．
故选：C．
【变式6-1】（24-25九年级·福建宁德·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A(2,m)在第一象限，若
点A关于x轴的对称点B在直线y=−x+1上，则m的值为（ ）A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（2，−m），然后再把B点坐标代入y＝−x＋1可得m的
值．
【详解】点A关于x轴的对称点B的坐标为：（2，﹣m），
将点B的坐标代入直线y＝﹣x+1
得：﹣m＝﹣2+1，
解得：m＝1，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函
数图象经过的点必能使解析式左右相等．
【变式6-2】（24-25九年级·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，A(−3,0),B(1,4)，直线BC交
x轴于(4,0)，过点A作AD∥BC交y轴于点D．
(1)求直线BC和直线AD的关系式；
(2)点M在直线AD上，且△ABM与△ABO的面积相等，求点M的坐标．
4 4 16
【答案】(1)直线AD的解析式为：y=− x−4；直线BC的解析式为：y=− x+
3 3 3
( 12 12) ( 30 12)
(2) − ,− 或 − ,
7 7 7 7【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、平行线间的距离处处相等等知识点，掌握待定系数法是解题
关键．
（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b，将B,C两点代入即可求解；设直线AD的解析式为：
4
y=− x+b′ ，将A点代入即可求解；
3
（2）求出直线AB的解析式，过点O作AB的平行线l，则点M是直线AD与直线l的交点，据此即可求解；
【详解】（1）解：设直线BC的解析式为：y=kx+b，
{k+b=4
)
则 ，
4k+b=0
16
{ b= )
3
解得： ，
4
k=−
3
4 16
∴直线BC的解析式为：y=− x+ ，
3 3
∵AD∥BC
4
∴设直线AD的解析式为：y=− x+b′ ，
3
4
则0=− ×(−3)+b′
,
3
解得：b′=−4
4
∴直线AD的解析式为：y=− x−4，
3
（2）解：如图所示：过点O作AB的平行线l，
设直线AB的解析式为：y=mx+n，
{−3m+n=0)
则 ，
m+n=4
{m=1)
解得： ，
n=3∴直线AB的解析式为：y=x+3，
则直线l的解析式为：y=x，
∵点M在直线AD上，且△ABM与△ABO的面积相等，
∴点M是直线AD与直线l的交点
{
y=x
)
则 4 ，
y=− x−4
3
12
{ x=− )
7
解得：
12
y=−
7
( 12 12)
∴M − ,−
7 7
点M
(
−
12
,−
12) 关于点A(−3,0)的对称点为：M′(
−
30
,
12)
7 7 7 7
( 12 12) ( 30 12)
综上所述：点M的坐标为 − ,− 或 − ,
7 7 7 7
【变式6-3】（2024·江西南昌·一模）定义：若两个函数的图象关于直线y＝x对称，则称这两个函数互为
反函数．请写出函数y＝2x+1的反函数的解析式 ．
1 1
【答案】y＝ x﹣
2 2
【分析】求出函数y＝2x+1与x轴、y轴的交点坐标，再求出其对称的点的坐标，利用待定系数法1求得
函数解析式即可．
【详解】y＝2x+1，
当x＝0时，y＝1，
1
当y＝0时，x＝﹣ ，
2
1
即函数和x轴的交点为（﹣ ，0），和y轴的交点坐标为（0，1），
2
1
所以两点关于直线y＝x对称的点的坐标分别为（0，﹣ ）和（1，0），
2
设反函数的解析式是y＝kx+b，
{ b=− 1 )
代入得： 2 ，
k+b=01 1
解得：k＝ ，b＝﹣ ，
2 2
1 1
即y＝ x﹣ ，
2 2
1 1
故答案为y＝ x﹣ ．
2 2
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意求得对称点的坐标是解决问题的关键.
知识点2：两直线的位置关系
同一平面直角坐标系中两直线 ， 的位置关系：
的关系 与 的关系
与 相交
， 与 相交于y轴上的一点
， 与 平行
【题型7 由两直线的位置关系求解析式】
【例7】（24-25九年级·福建南平·期末）探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，发现在直线AB上的三点A(1,3)，B(2,5)，
5−3 9−3
C(4,9)，有k = =2，k = =2，k =k ，兴趣小组提出猜想：若直线y=kx+b(k≠0)上任
AB 2−1 AC 4−1 AB AC
y −y
意两点P(x ,y)，Q(x ,y ) (x ≠x )，则k = 2 1 是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成
1 2 2 1 2 PQ x −x
2 1
立，k 是定值，并且是直线y=kx+b(k≠0)中的k，叫做这条直线的斜率．
PQ
（1）请你应用以上规律直接写出过S(−2,−2)，T(4,2)两点的直线ST的斜率k =______．
ST
探究活动二：数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相
垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．
（2）如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，且D(2,2)，E(1,4)，F(4,3)．请求出直线DE与直线DF的
斜率之积．并写出你发现的结论．
综合应用：
（3）如图3，M(1,2)，N(4,5)，请结合探究活动二的结论，求出过点N且与直线MN垂直的直线的解析
式．
2
【答案】（1） ；（2）-1，当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等
3
于-1；（3）y=−x+9
【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）运用公式分别求出kDE和kDF的值，再计算kDE×kDF=-1；
（3）先求直线MN的斜率kMN，根据探究活动二的结论可得直线PQ的斜率kPQ，待定系数法即可求得直
线PQ解析式．
2−(−2) 2
【详解】解：（1）根据题意得：k = = ．
ST 4−(−2) 3
（2）∵D(2,2)，E(1,4)，F(4,3)，
4−2 3−2 1
∴k = =−2，k = = ，
DE 1−2 DF 4−2 2
1
∴k ×k =−2× =−1，
DE DF 2
结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于-1．
（3）设过点N且与直线MN垂直的直线为PQ，解析式为y=k x+b，
PQ
∵M(1,2)，N(4,5)，
5−2
∴k = =1，
MN 4−1
∵PQ⊥MN，
∴k ×k =−1，
PQ MN
∴k =−1，
PQ
∵直线PQ经过点N(4,5)，
∴5=−1×4+b，解得b=9．
∴过点N且与直线MN垂直的直线的解析式为y=−x+9．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，新定义：直线斜率；是一道创新题，引入新定义：直线斜率，理解和掌握直线斜率的概念是解题的关键．
【变式7-1】（24-25九年级·辽宁鞍山·阶段练习）函数y=kx+b(k≠0)的图象平行于直线y=3x+2，且交
y轴于点(0,−1)，则其函数表达式是 ．
【答案】y=3x−1
【分析】本题考查了求一次函数解析式，涉及了两直线平行的问题，熟知两直线平行时，k值相等是解题
的关键．根据平行直线的解析式求出k值，再把点的坐标代入解析式求出b值即可．
【详解】解：∵函数y=kx+b(k≠0)的图象平行于直线y=3x+2，
∴k=3，
∴y=3x+b交y轴于点(0,−1)，
∴b=−1，
∴函数的表达式是y=3x−1，
故答案为：y=3x−1．
1
【变式7-2】（2024·河北石家庄·一模）某个一次函数的图象与直线y= x+3平行，与x轴，y轴的交点分
2
别为A，B，并且过点(−2,−4)，则在线段AB上（包括点A，B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的解析式之间的关系．平行线的解析式一次项系数相等，设直线AB为
1
y= x+b，将点(−2,−4)代入可求直线AB的解析式，可得点A(6,0)，B(0,−3)，再根据x、y的取值
2
范围求解．
1
【详解】解：根据题意，设一次函数的解析式为y= x+b，
2
1
由点(−2,−4)在该函数图象上，得−4= ×(−2)+b，解得b=−3．
2
1
所以，y= x−3．可得点A(6,0)，B(0,−3)．
2
由0≤x≤6，且x为整数，取x=0，2，4，6时，对应的y是整数．
因此，在线段AB上（包括点A、B)，横、纵坐标都是整数的点有4个．
故选：B．
【变式7-3】（24-25九年级·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线y=kx+b上的任意三点A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )（x ≠x ≠x ），满足
1 1 2 2 3 3 1 2 3
y −y y −y
1 2= 1 3=k，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线y=kx+b上任意
x −x x −x
1 2 1 3
y −y
两点的坐标A(x ,y )，B(x ,y )，（x ≠x ），都有 1 2=k．例如：P(1,3)，Q(2,4)为直线y=x+2
1 1 2 2 1 2 x −x
1 2
3−4
上两点，则k= =1．
1−2
(1)已知直线y=kx+b经过A(2,3)，B(4,−2)两点，请直接写出k=______．
(2)如图，直线y ⊥y 于点A，直线y ，y 分别交y轴于B，C两点，A，B，C三点坐标如图所示．请用
1 2 1 2
上述方法求出k k 的值．
1 2
5
【答案】(1)−
2
(2)−1
y −y
【分析】（1）直接根据
1 2=k求解即可；
x −x
1 2
y −y
（2）根据
1 2=k，分别求出k，k
的值，再代入计算即可
x −x 1 2
1 2
【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)，3−(−2) 5
∴k= =− ，
2−4 2
5
故答案为：− ；
2
（2）解：∵y=kx+b 经过A(2,0)，B(0,4)，
1 1 1
0−4
∴k= =−2，
1 2−0
∵y=kx+b 经过A(2,0)，C(0,-1)，
2 2 2
0−(−1) 1
∴k= = ，
1 2−0 2
1
∴kk=-2× =-1．
1 2 2
【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解
题的关键．
【题型8 两直线的相交问题】
【例8】（24-25九年级·四川自贡·阶段练习）已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图像经过点A(9,0)，且与正
比例函数y=−2x交于点B(3,m)，求点B 的坐标及一次函数的解析式．
【答案】m=−6，y=x−9
【分析】本题考查了求一次函数解析式，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法和步
骤．
把B(3,m)代入y=−2x求出m的值，进而得出点B的坐标，把A(9,0)，B(3,−6)代入y=kx+b(k≠0)，
求出k和b的值，即可得出一次函数解析式．
【详解】解：把B(3,m)代入y=−2x得：m=−2×3=−6，
∴B(3,−6)，
把A(9,0)，B(3,−6)代入y=kx+b(k≠0)得：
{ 9k+b=0 )
，
3k+b=−6
{ k=1 )
解得： ，
b=−9
∴一次函数解析式为y=x−9．
【变式8-1】（24-25九年级·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线y =−2x+3和y =mx−1分别交y轴于点A
1 2
，B，两直线交于点C(1,n)．（1）求m，n的值；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）m=2，n=1；（2） ABC的面积为2．
【分析】（1）先利用直线y 求出点△C坐标，再利用直线y 求出m的值．
1 2
（2）两个函数图象与y轴的交点为A、B，即x=0时，可以求出A、B坐标，即可得出三角形面积．
【详解】解：（1）∵两直线交于点C(1,n)
∴将C(1,n)代入y =−2x+3得：n=-2+3=1
1
即：C点坐标为：（1,1）
将C（1,1）代入y =mx−1得：m-1=1
2
即：m=2
故：m=2，n=1．
（2）∵当x=0时，y =3
1
∴A（0,3）
当x=0时，y =-1
2
∴B（0，-1）
1 1
∴S = AB×1= ×4×1=2
ΔABC 2 2
故： ABC的面积为2．
【点△睛】本题属于一次函数的基础题型，根据已知点求出函数解析式，然后利用解析式求出点坐标，并求
出三角形面积．
2
【变式8-2】（24-25九年级·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=− x+2与x
1 3
轴、y轴分别相交于点A和点B，直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1，0)且与线段AB交于点P，并把△ABO分
2
成两部分．(1)求A、 B的坐标；
(2)求△ABO的面积；
(3)若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．
3 3
【答案】（1）A(3，0)，B(0，2)；（2）3；（3）P ( ， )，y=-6x+6
4 2
【分析】（1）已知直线y 的解析式，分别令x=0和y=0即可求出A和B的坐标；
1
（2）根据（1）中求出的A和B的坐标，可知OA和OB的长，利用三角形的面积公式即可求出S ；
△ABO
（3）由（2）中的S ，可推出S 的面积，求出y，继而求出点P的坐标，将点C和点P的坐标联立
△ABO △APC p
方程组求出k和b的值后即可求出函数解析式．
2
【详解】解：（1）∵一次函数的解析式为y=- x+2，
1 3
令x=0，得y=2，
1
∴B(0，2)，
令y=0，得x=3，
1
∴A(3，0)；
（2）由（1）知：OA=3，OB=2，
1 1
∴S = OA•OB= ×3×2=3；
△ABO 2 2
1 1 3
（3）∵ S = ×3= ，点P在第一象限，
2 △ABO 2 2
1 1 3
∴S = AC•y = ×(3-1)×y = ，
△APC 2 p 2 p 2
3
解得：y= ，
p 2
又点P在直线y 上，
13 2
∴ =- x+2，
2 3
3
解得：x= ，
4
3 3
∴P点坐标为( ， )，
4 2
3 3
将点C(1，0)、P( ， )代入y=kx+b中，得
4 2
{
0=k+b
)
3 3 ，
= k+b
2 4
{k=−6)
解得： ．
b=6
故可得直线CP的函数表达式为y=-6x+6．
【点睛】本题是一道一次函数综合题，考查了一次函数的性质、三角形的面积公式、待定系数法求解一次
1
函数的解析式等知识点，解题关键是根据S = AC•y 求出点P的纵坐标，难度中等．
△APC 2 p
【变式8-3】（24-25九年级·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知直线AB:y =kx+3分别与y轴，x轴交于A
1
，B两点，直线CD:y =ax+b分别与x轴，y轴交于点C(−6,0)，点D，两直线的交点M为(−4,−1)．
2
(1)求k，a，b的值．
(2)连接OM，试说明S +S =S ．（表示几何图形的面积）．
△BCM △AOB △DOM
1
(3)若x轴上存在点P，使得S = S （S表示几何图形的面积），求出此时点P的坐标．
三角形APM 2 三角形ADM
{ a=− 1 )
【答案】(1)k=1， 2
b=−3
(2)证明见解析(3)P(−6,0)或P(0,0)
【分析】（1）把M(−4,−1)代入y =kx+3，求出k的值，待定系数法求出a,b的值；
1
（2）求出A,B,D的坐标，分别求出S ,S ,S ，即可得出结论；
△BCM △AOB △DOM
1
（3）设P(m,0)，利用S =S +S = S ，列式计算即可．
△APM △APB △BPM 2 △ADM
【详解】（1）解：∵直线y =kx+3和直线y =ax+b的交点为M(−4,−1)，
1 2
∴−1=−4k+3，
∴k=1；
又直线y =ax+b与坐标轴交于C(−6,0)，
2
{−1=−4a+b) { a=− 1 )
∴ ，解得： 2 ；
0=−6a+b
b=−3
1
（2）由（1）知：y =x+3，y =− x−3；
1 2 2
当x=0时，y =3,y =−3，当y =0时，x=−3，
1 2 1
∴A(0,3),B(−3,0),D(0,−3)，
∴AO=3,OD=3,OB=3,BC=3，
1 3 1 9 1
∴S = ×3×1= ,S = ×3×3= ,S = ×3×4=6，
△BCM 2 2 △AOB 2 2 △DOM 2
∴S +S =6=S ；
△BCM △AOB △DOM
（3）设P(m,0)，如图，
∴BP=|m+3)
1 1
∵S = AD⋅x = ×6×4=12，
△ADM 2 M 2
1
∴S =S +S = ×|m+3)×4=2|m+3)=6，
△APM △APB △BPM 2∴|m+3)=3，
∴m=−6或m=0；
∴P(−6,0)或P(0,0)．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练的利用待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进
行求解，是解题的关键．
【题型9 由一次函数解决最值问题】
【例9】（24-25九年级·四川内江·期中）对于几个实数a、b、c，我们规定符号min{a,b,c}表示a、b、c
{ 1 4 )
中较小的数，如：min{2,−1,4}=−1．按照这个规定，已知函数：y=min x, x+1,− x+5 ，则y
3 5
的最大值是 ．
37 3
【答案】 /2
17 17
【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，求不等式组的解集，分3种情况列出不等式组求出x的取
值范围，再结合一次函数的性质求解即可．
1
{ x≤ x+1 )
3 3
【详解】解：当 时，即x≤ ，
4 2
x≤− x+5
5
则y=x，
∵y随x的增大而增大，
3 3
∴当x= 时，y取的最大值 ；
2 2
1
{ x+1≤x )
3 3 60
当 时，即 ≤x≤ ，
1 4 2 17
x+1≤− x+5
3 5
1
则y= x+1，
3
∵y随x的增大而增大，
60 37
∴当x= 时，y取的最大值 ；
17 17
4 1
{ − x+5≤ x+1)
5 3 60
当 时，解得x≥ ，
4 17
− x+5≤x
54
则y=− x+5，
5
∵y随x的增大而减小，
60 37
∴当x= 时，y取的最大值 ；
17 17
37
综上可知，y的最大值是 ．
17
37
故答案为： ．
17
1
【变式9-1】（2024·四川南充·二模）如图，直线y=kx+3与直线y=− x交于点A(−2,1)，与y轴交于点
2
1
B，点M(m,y )在线段AB上，点N(1−m,y )在直线y=− x上，则y −y 的最小值为 ．
1 2 2 1 2
5 1
【答案】 /2 /2.5
2 2
【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，先利用A(−2,1)求出直线解析式为：y=x+3，再求出
B(0,3)，根据点M(m,y )在线段AB上可得−2≤m≤0，再表示出y −y ，问题得解．
1 1 2
1
【详解】∵直线y=kx+3与直线y=− x交于点A(−2,1)，
2
∴将A(−2,1)代入y=kx+3，有：−2k+3=1，
解得：k=1，
即直线解析式为：y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，即B(0,3)，
1
∵点M(m,y )在线段AB上，点N(1−m,y )在直线y=− x上，
1 2 2
1
∴y =m+3，y =− (1−m)，且−2≤m≤0，
1 2 2[ 1 ) 1 7
∴y −y =m+3− − (1−m) = m+ ，
1 2 2 2 2
∵−2≤m≤0，
1 7 1 7 5
∴当m=−2时，y −y 的值最小，且为y −y = m+ = ×(−2)+ = ，
1 2 1 2 2 2 2 2 2
5
故答案为： ．
2
【变式9-2】（24-25九年级·北京海淀·期中）在平面直角坐标系xoy中，已知点M(4,3)，N(−3,2)，
P(−2,−2)．
(1)若一次函数y=2x+b的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值；
1
(2)当k> 时，在图中用阴影表示直线y=kx+1运动的区域，并判断在点M，N，P中直线y=kx+1不可能
4
经过的点是 ．
【答案】(1)8
(2)图见解析，N
【分析】本题考查一次函数的图象和性质得应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项
大于0，图象过第一、二、三象限，一次函数的比例系数越大，y随x的增大越明显．
（1）根据一次函数的比例系数大于0，图象过第一、三象限，求b的最大值，那么把第二象限内的点代入
即可；
1 1
（2）求的当k= 时直线与x轴的交点，进而根据经过点(0,1)和k> 可得直线扫过的区域，即可求得直线
4 4
y=kx+1不可能经过的点．【详解】（1）
解：∵一次函数的比例系数为2，2>0，
∴一次函数一定经过第一、三象限．
∵求b的最大值，
∴图象还应该经过第二象限的点N(−3,2)．
∴3×(−3)+b=2．
∴b=8
答：b的最大值为8；
（2）
1
当k= 时，图象经过(−4,0)
4
1
∵图象必过点(0,1)，k> ，
4
∴直线y=kx+1运动的区域为过点(−4,0)和点(0,1)的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y
轴）．
∴直线y=kx+1不可能经过的点是N．
故答案为：N．
【变式9-3】（24-25九年级·天津蓟州·期末）如图，直线l :y =x+1与x轴交于点A，直线l :y =kx+4与
1 1 2 2
x轴交于点B(4,0)，直线l 与直线l 相交于点M．
1 2(1)求直线l 的解析式及点M的坐标；
2
(2)点P是直线l 上的一点．
1
①当S =5时，求点P的坐标；
△ABP
②点Q是x轴上一动点，在①的条件下，当QP+QM取最小值时，直接写出点Q的坐标．
(5 7)
【答案】(1)点M的坐标为 , ；
2 2
(17 )
(2)①点P的坐标为(1,2)或点(−3,−2)；②点Q的坐标为(−1,0)或 ,0 ．
11
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握待定系数法求一次函数的解析式，两点之间线段最短进是
解题的关键．
（1）利用待定系数法求出直线l 的解析式，然后联立解方程组求交点坐标即可；
2
1
（2）①先求出点A的坐标，然后设点P(x,x+1)，根据S = AB⋅|P )列方程解题即可；
△ABP 2 y
②利用①的结论分两种情况讨论，利用两点之间线段最短进行解题即可．
【详解】（1）解：将点B(4,0)代入y =kx+4，得0=4k+4，解得k=−1，
2
∴y =−x+4，
2
5
{ x= )
{ y=x+1 ) 2
解方程组 ，解得 ，
y=−x+4 7
y=
2
(5 7)
∴点M的坐标为 , ；
2 2
（2）解：①令y=0，则x+1=0，解得x=−1，
∴直线l 与x轴的交点A(−1,0)，
1
设点P(x,x+1)，
1 1 5
∴S = AB⋅|P )= ×(4+1)×|x+1)= |x+1)=5，
△ABP 2 y 2 2
∴|x+1)=2，即x+1=2或x+1=−2，解得x=1或x=−3，
则点P的坐标为(1,2)或(−3,−2)；
②当点P的坐标为(1,2)时，如图，作点M关于x轴的对称点M′，连接PM′交x轴于点Q，此时QP+QM=PM′有最小值，
(5 7)
∵点M的坐标为 , ，
2 2
(5 7)
∴点M′的坐标为 ,− ，
2 2
设PM′的解析式为y=ax+b，
11
{5
a+b=−
7
)
{ a=−
3
)
则 2 2 ，解得 ，
17
a+b=2 b=
3
11 17
∴PM′的解析式为y=− x+ ，
3 3
11 17
令y=0，则− x+ =0，
3 3
17
解得x= ，
11
(17 )
∴点Q的坐标 ,0 ；
11
当点P的坐标为(−3,−2)时，如图，当点Q与点A重合时，此时QP+QM=AP+AM=PM有最小值，
∴点Q的坐标为(−1,0)；
(17 )
综上，点Q的坐标为(−1,0)或 ,0 ．
11
【题型10 一次函数与几何图形的综合运用】
【例10】（24-25九年级·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为
A(2,0)，B(0,4)，C(−3,2)．
(1)求三角形ABC的面积．
(2)若点 P 的坐标为(m，0)，
①请直接写出线段AP的长为 ；(用含m的式子表示)
②当 S =2S 时，求m的值．
△PAB △ABC
(3)若AC交y轴于点 M，求点 M的坐标．
【答案】(1)8
(2)①|m−2|；②10或−6
( 4)
(3) 0,
5
【分析】本题考查了坐标与图形性质、三角形面积的计算方法、待定系数法求直线的解析式；熟练掌握坐
标与图形性质是解题的关键．
（1）过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点B作BE⊥CM，交MC延长线于E，过点A作AF⊥BE，交
EB延长线于F，由题意得出M(−3,0)，E(−3,4)，F(2,4)．得出AM=5，CM=2，BE=3，CE=2，
DE=4，BF=2，AF=4．S =S −S −S −S ，即可得出结果；
△ABC 矩形AMEF △ACM △BCE △ABF
（2）①根据题意容易得出结果；
②由三角形面积关系得出方程，解方程即可；
（3）与待定系数法求出直线AC的解析式，即可得出点M的坐标．
【详解】（1）解：过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点B作BE⊥CM，交MC延长线于E，过点A作AF⊥BE，交EB延长线于F．如图1所示：
∵A(2,0)，B(0,4)，C(−3,2)
∴M(−3,0)，E(−3,4)，F(2,4)，OB=4．
∴AM=5，CM=2，BE=3，CE=2，ME=4，BF=2，AF=4．
∴S =S −S −S −S
△ABC 矩形AMEF △ACM △BCE △ABF
1 1 1 1 1 1
=AM⋅DE− AM⋅CM− CE⋅BE− BE⋅AF=5×4− ×5×2− ×2×3− ×2×4=8．
2 2 2 2 2 2
答：△ABC的面积是8．
（2）解：①根据题意得：AP=|m−2|；
故答案为：|m−2|；
②∵S =2S
△PAB △ABC
1
∴ ⋅AP⋅BO=2×8
2
∴AP=|m−2|=8，
∴m−2=8或m−2=−8，
∴m=10或m=−6；
（3）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，
{ 2k+b=0 )
根据题意得： ，
−3k+b=2
2 4
解得：k=− ，b= ；
5 5
2 4
∴直线AC的解析式为y=− x+ ，
5 5
4
当x=0时，y= ，
5
( 4)
∴M 0, ．
5【变式10-1】（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知
一次函数y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（ ）
3 3 3 3
A．k= ，b= B．k=− ，b=−
2 4 2 4
3 3 3 3
C．k=− ，b=− D．k= ，b=
4 2 4 2
【答案】D
【分析】首先由图可知A(-2,0)，B(2,3)，再把A、B的坐标分别代入解析式，解方程组，即可求得．
【详解】解：由图可知A(-2,0)，B(2,3)，
把A、B的坐标分别代入解析式，得
{−2k+b=0)
2k+b=3
3
{ k= )
4
解得
3
b=
2
故选：D．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形，结合题意和图形得到A、B的坐
标是解决本题的关键．
【变式10-2】（2024·陕西·一模）问题探究：
（1）将一直角梯形ABCD放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）
中，梯形ABCD的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形ABCD分成面积相等的两部
分；（画出一种即可）
（2）如图2，l ∥l ，点A、D在l 上，点B、C在l 上，连接AC、BD，交于点O，连接AB、CD．试说
1 2 1 2
明：S =S ；
△AOB △DOC
问题解决：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形ABCDE是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y
轴正半轴上，CD边在x轴正半轴上，AE平行于x轴，AE的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种
需求，需在CD上找一点Q，使PQ将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿PQ修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．
①请你利用有刻度的直尺在图中画出PQ的位置，并简要说明作图过程；
②若点A的坐标为(2,4)，OB=1，OC=4，OD=12，AE=6，请求出直线PQ的解析式．
16
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线PQ的解析式为y=− x+20
5
【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性
质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据网格和梯形的面积公式求解即可；
（2）根据S =S ，S −S =S −S ，即可求解；
△ABC △DCB △ABC △BOC △DCB △BOC
（3）①如图，连接AC，平移AC，使其经过点B，交x轴于点M，连接AM，交BC于点N，量出DM的
中点Q，连接PQ，由BM∥AC，可得S =S ，从而可得S =S ，可证
△ABC △AMC △CMN △ABN
S =S ，再由PQ平分梯形AMDE的面积，即可求解；
五边形ABCDE 梯形AMDE
②由题意可得P(5,4)，利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=−2x+8，再根据一次函数平移的规律
可设直线BM的解析式为y=−2x+t，再把B(0,1)代入求得直线BM的解析式为y=−2x+1，从而可得
(25 )
Q ,0 ，再利用待定系数法求解即可．
4
【详解】解：（1）直线l的位置如图所示．（答案不唯一），
理由如下：如图，直线l分别交AD、BC于点E、F，
(4+6)×4 (2+3)×4
∵S = =20，S = =10，
梯形ABCD 2 梯形ABFE 2
∵S =S −S =10；
四边形EFCD 梯形ABCD 梯形ABFE
（2）设l 、l 之间的距离为h，∵AD∥BC，
1 21
∴S =S = BC⋅ℎ，
△ABC △DCB 2
∵S −S =S −S ，
△ABC △BOC △DCB △BOC
∴S =S ．
△AOB △DOC
（3）①如图，连接AC，平移AC，使其经过点B，交x轴于点M，连接AM，交BC于点N，
量出DM的中点Q，连接PQ，PQ的位置如图所示．
∵BM∥AC，
∴S =S ，
△ABC △AMC
又∵S −S =S −S ，
△ABC △ANC △AMC △ANC
∴S =S ，
△CMN △ABN
∴S =S ，
五边形ABCDE 梯形AMDE
∵PQ平分梯形AMDE的面积，
∴PQ平分五边形ABCDE的面积，
②由题意得，A(2,4)，B(0,1)，C(4,0)，D(12,0)，E(8,4)，
∴P(5,4)．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
{2k+b=4)
将A(2,4)，C(4,0)，代入得 ，
4k+b=0
{k=−2)
解得 ，
b=8
∴直线AC的解析式为y=−2x+8，故可设直线BM的解析式为y=−2x+t，
将B(0,1)代入，得t=1，
∴直线BM的解析式为y=−2x+1．
1
当y=0时，−2x+1=0，解得x= ．
2
(1 )
∴M ,0 ．
2
(25 )
∴Q ,0 ，
4
设直线PQ的解析式为y=mx+n，
(25 )
{5m+n=4
)
将P(5,4)，Q ,0 ，代入得 25 ，
4 m+n=0
4{ m=− 16 )
解得 5 ，
n=20
16
∴直线PQ的解析式为y=− x+20．
5
【变式10-3】（24-25九年级·山西大同·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为
a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足(a+4) 2+❑√b−6=0．
(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，过点A作x轴的垂线，点B为垂足．若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长
度可以得到对应点C，连接CA，CB，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形ABC的面积．
(3)在（2）的条件下，记AC与x轴交点为点D，点P在y轴上，连接PB，PD，若三角形PBD的面积与三
角形ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)(−4,6)
(2)30
(3)(0,−8)或(0,8)
【分析】（1）根据非负数的性质求得a、b的值，即可确定点A的坐标；
（2）根据“过点A作x轴的垂线，点B为垂足”可得点B的坐标；由平移的性质可得点C的坐标；结合图
形，利用三角形面积公式即可计算三角形ABC的面积；
（3）设直线AC交y轴于点D，直线AC的解析式为y=kx+b，由待定系数法求得直线AC的解析式，即可1
确定点D的坐标；设点P(0,m)，根据题意可得S = BD×|m)=30，求解即可获得答案．
△PBD 2
【详解】（1）∵实数a，b满足(a+4) 2+❑√b−6=0，
且(a+4) 2≥0，❑√b−6≥0，
∴a+4=0，b−6=0，
∴a=−4，b=6，
∴点A的坐标为(−4,6)；
（2）过点A作x轴的垂线，点B为垂足，
∴B(−4,0)，
若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，
则点C坐标为(−4+10,6−8)，即C(6,−2)，
AB=|y −y |=|6−0|=6，
A B
1 1 1
∴S = AB×|x −x |= ×6×|6−(−4)|= ×6×10=30，
△ABC 2 C A 2 2
即三角形ABC的面积为30；
（3）如图，设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点A(−4，6)，点C(6,−2)代入y=kx+b，
{−4k+b=6)
可得 ，
6k+b=−2
4
{ k=− )
5
解得 ，
14
b=
5
4 14
∴直线AC的解析式为y=− x+ ，
5 5
7
令y=0，则x= ，
2(7 )
∴点D ,0 ，
2
7 15
∴BD= −(−4)=
2 2
设点P(0，m)，
∵三角形PBD的面积与三角形ABC的面积相等，
1
∴S = BD×|m)=30，
△PBD 2
1 15
即 × ×|m|=30，
2 2
∴|m|=8，
解得m=8或m=−8，
∴点P的坐标为(0,−8)或(0,8)．
【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形、点的平移、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数
图象上点的坐标特征等知识，理解题意，利用数形结合的思想分析问题是解题关键．
