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专题19.3 变量与函数（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的自变量 的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． 且 D．
3．从空中落下一个物体，它降落的速度随时间的变化而变化，即落地前的速度随时间的增加而逐渐
增大，这个问题中自变量是（ ）
A．物体 B．速度 C．时间 D．空气
4．若点 是x轴上的一个动点，它与x轴上表示3的点的距离是y，则y关于x的函数解析式为
（ ）
A． B． C． D．
5．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 （单位：cm）与所挂的物体的质量 （单位：kg）
（不超过10kg）间有下面的关系：
/kg 0 1 2 3 4 5
/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
则下列说法不正确的是（ ）
A． 与 都是变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度 增加0.5cm
D．当所挂物体质量为7kg时，弹簧的长度为13.5cm
6．已知函数 ，其中 表示 时的函数值，则的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．4040 D．4041
7．某车间分配生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为
天，且每件商品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批
应生产产品多少件？（ ）
A．80 B．90 C．100 D．110
8．函数 叫做高斯函数，其中x为任意实数， 表示不超过x的最大整数．定义 ，
则下列说法正确的个数为（ ）
① ；
② ；
③高斯函数 中，当 时，x的取值范围是 ；
④函数 中，当 时， ．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图1，在直角 中， ，点 是 的中点，动点 从点 沿出发沿 运动到
点 ，设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的图象如图2所示，则 的面积为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．32
10．如图，在Rt△ABC中， ，正方形MNPQ的边长为2cm，点Q与点C重合，点N在
AB上，正方形MNPQ沿CA 方向以1cm/s的速度运动，当点Q与点A重合时停止运动．设运动时间为
ts，运动过程中正方形MNPQ与△ABC重叠部分的面积为S．当 时，S与t之间的函数关系式为
（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．设 表示关于 的函数，若 ，且 ，那么 ．
12．等腰三角形的周长为 厘米，腰长为 厘米，底边长为 厘米，其中 的取值范围是
．
13．如果 ，那么 ．
14．某商店为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．商品原价为520元/件，随着不同幅度的降
价，日销量发生相应的变化，如下表所示：
降价/元 10 20 30 40 50 60
日销量/件 155 160 165 170 175 180
根据以上日销售量随降价幅度的变化情况，当售价为440元时，日销量为 件．
15．某市区出租车的收费标准是起步价 元（行程小于或等于 千米），超过 千米每增加 千米（不
足 千米按 千米计算）加收 元，则出租车费 （元）与行程 （千米）（ ）之间的关系式为
．
16．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途
中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图
是他们从家到学校已走的路程 和小明所用时间 的关系图，则下列说法中正确的是 ．
①小明吃早饭用时 ；②小华到学校的平均速度是 ；③小明跑步的平均速度是 ；④
小华到学校的时间是7：05．17．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，沿 边向点 以 的速
度移动，同时点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达
B，C两点后就停止移动，设运动开始后第t秒钟后，五边形 的面积为 ，S与t的函数关系
式为 ； 为时，五边形 的面积为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是 ，点A在x 轴上，过点A作x轴的垂线，与过
点C垂直于y轴的直线交于点B，连接 ，作 的垂直平分线交 于点E，交 于点D，连接 ．
设点E的坐标为 ，当 时，y关于x的函数解析式为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在矩形 中， ， ，点 是 上与 、 不重合的任意一点，设
，点 到 的距离为 ，求出 关于自变量 的函数关系式，并求出自变量 的取值范围．20．（8分）老李想利用一段5米长的墙（图中EF），建一个面积为32平方米的矩形养猪圈，另外
三面（图中AB，BC，CD）需要自己建筑．老李准备了可以修建20米墙的材料（可以不用完）．
（1）设 ， ，求 关于 的函数关系式．
（2）对于（1）中的函数y的值能否取到8.5？请说明理由．
21．（10分）小丽的奶奶要去市场卖自己地里产的黄豆，为避免奶奶算错钱数，她帮奶奶制作了一个
表格供她参考，豆子的总价y（元）与所卖豆子的质量x（千克）之间的关系如下：
（千克） 1 2 3 …
（元） 3 6 9 12 15 18 …
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）1千克豆子多少元？ 元能买多少千克豆子？
（3）如果要买4千克豆子带25元够不够？22．（10分） 年 月 日是第三十一届“世界水日”， 月 至 日是第三十六届“中国水
周”．七年级跨学科研习小组的同学到科技馆参加中国水周专项活动．他们从学校出发步行到科技馆，参
观了 小时，然后按照原路线以 米/分的速度步行返回学校 已知他们离学校的距离 （米）与离开学校
的时间 （分）之间的关系如图所示，根据图像解答下列问题：
（1）在上述问题中，自变量是______ ，因变量是______；
（2）直接写出图中点 表示的实际意义；
（3）求图中 的值．
23．（10分）有人说“鲜花可作为七彩云南的一张名片”，的确，在云南几乎一年四季都有各种鲜花
在争妍斗艳，令人赏心悦目，各种鲜花制品也是种类繁多，令人目不暇接，某花店第一天卖出50束玉兰花
和20束玫瑰花的利润是800元，第二天卖出30束玉兰花和30束玫瑰花的利润是750元．
（1）每束玉兰花和玫瑰花的利润各是多少元？
（2）某天该花店卖出玉兰花和玫瑰花一共80束．
①卖出 束玉兰花，卖出两种花的总利润为 元，写出 与 的函数关系式；
②卖这两种花的利润是900元，这天卖出多少束玫瑰花？
24．（12分）如图1， ，点P以每秒1cm的速度从B点出发，沿B－C－D路线运动，到D停止．如图2，反映的是 的面积S（ ）与点P运动时间x（秒）两个变量之间的
关系．
（1）指出 的长度，并求m的值；
（2）当点P在线段 上运动时，直接写出因变量S与自变量x的数量关系．
参考答案：
1．B
【分析】根据函数的定义，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可判断．
解：A、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A
不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故B符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符
合题意；
D、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故D不符
合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了函数的概念：在某一变化过程中，有两个变量x、y，一个量x变化，另一个量y
随之变化，当x每取一个值，另一个量y就有唯一值与之相对应，这时，我们把x叫做自变量，y是x的函数，理解自变量与函数值的对应关系是正确判断的前提．
2．A
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；
根据二次根式有意义，被开方数非负，分式有意义分母不为零得出不等式组，求解即可．
解：由 得： 且 ，
解得： 且 ，
故选：A．
3．C
【分析】根据函数的定义解答．
解：因为速度随时间的变化而变化，
故时间是自变量，速度是因变量，
即速度是时间的函数．
故选C．
【点拨】本题考查了常量与变量，关键是掌握函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个
子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函
数．
4．D
【分析】根据距离的非负性判断即可．
解：根据题意，y关于x的函数解析式为 ，
故选D．
【点拨】本题考查了数轴上两点间的距离，距离的非负性，熟练掌握距离的非负性是解题的关键．
5．B
【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加1kg，弹簧长度 增加0.5cm，当不挂重物时弹
簧长度为10cm，然后逐项分析即可得到答案．
解：A. 与 都是变量，说法正确，故A不符合题意；
B.弹簧不挂重物时的长度为10cm，原说法错误，故B符合题意；
C.物体质量每增加1kg，弹簧长度 增加0.5cm，说法正确，故C不符合题意；
D.由C知， ，当所挂物体质量为7kg时，弹簧的长度为13.5cm，说法正确，故D不符合题
意；
故选：B．【点拨】本题考查了函数的概念，能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况，是解题的关键．
6．D
【分析】根据题意可得： ，利用这种规律即可求解．
解：有题意可得： ，
故选：D．
【点拨】本题考查函数值求和问题，解题的关键是：通过题意找到多项函数值中两项之和为常数，然
后两两分为一组求和．
7．A
解：设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y，
，
∵ ，
∴ ，整理得： ，
∴ ，
整理得： ，
∵
∴ ，∴ 最小值为20，
∴每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小时 ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴每批生产80件，平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了列函数表达式，以及求函数的最小值，解题的关键是根据题意，正确列出函
数表达式，根据平方的非负性，求解最小值．
8．D
【分析】根据 表示不超过x的最大整数，即可解答．
解：① ，故原说法错误；
② ，正确，符合题意；
③高斯函数 中，当 时，x的取值范围是 ，正确，符合题意；
④函数 中，当 时， ，正确，符合题意；
所以，正确的结论有3个．
故选：D．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确 表示不超过x的最大整数．
9．C
【分析】由图象可知：当 时， 等于3，由此可得出 的长，进而得出 的长；当 时，
面积最大，且面积发生转折，此时点 和点 重合，可得 ，由直角三角形的面积公式求出面积即可．
解：由图象可知：当 时， ，
，即 ，
解得 ，
点 是 的中点，
，
当 时，面积发生转折，此时点 和点 重合，
，
在 中， ， ， ，．
故选：C
【点拨】本题考查了与动点问题有关的两个变量间的图象关系：图象是典型的数形结合，图象应用信
息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出 和 的长．
10．A
【分析】根据等腰直角三角形的性质，且 ，重合部分是等腰直角三角形，AP=PN=4-x，进而表
示出函数关系式．
解： 在Rt△ABC中，
∴∠BAC=45°
在正方形MNPQ中
∠MQP=90°
∴当 时，重合部分是等腰直角三角形
则AP=PN=4-t
∴S与t之间的函数关系式：
故选：A．
【点拨】本题是四边形的综合题，考查等腰直角三角形的性质，正方形的性质以及三角形的面积公式．
11．4
【分析】根据 ，把 化为 代入计算即可．
解：∵若 ， ，
∴
，
∴ ．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了函数的概念，能够把把 化为 是解题的关键．12．
【分析】根据三角形的周长公式结合等腰三角形的周长为 厘米，即可得出底边长 关于腰长 的函
数解析式，再由三角形的三边关系即可得出关于 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出 的取值范
围．
解：依题意，
根据三边关系可得
解得：
故答案为： ．
13．
【分析】将 代入 计算即可得．
解： ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了求函数的值、二次根式的分母有理化，熟练掌握求函数值的方法是解题关键．
14．190
【分析】从表中可以看出每降价10元，日销量增加5件，日销量与降价之间的关系为：日销量
（原价-售价） ，将已知数据代入上式即可求得要求的量．
解：从表中可以看出每降价10元，日销量增加 5件，
∴降价之前的日销量为 件，
∴日销量与降价之间的关系为：日销量 （原价-售价） ，
∴售价为440元时，日销量 件，
故答案为：190．【点拨】本题考查了函数，正确理解题意找出日销量的关系式是解题的关键．
15．
【分析】根据出租车的收费标准，用含有 的代数式表示车费即可．
解：由题意可知，
当 时，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了用关系式表示变量间的关系，理解出租车的收费标准是正确解答的前提．
16．①③
【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可．
解：由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确；
由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时 分钟，因此小华到学校的速度为
，故②正确；
由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时 分钟，跑的路程为 米，
因此小明跑步的速度为 ，故③正确；
由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误．
故答案为：①③
【点拨】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题
的关键．
17． 2秒或4秒
【分析】本题考查矩形的性质，列函数关系式，根据函数值求自变量值．解题关键是根据所设字母，
表示相关线段的长度，再计算面积．
根据 秒时， 、 两点的运动路程，分别表示 、 的长度，可得 的面积，用
求面积即可；再令函数式中的 为64，求出 即可．
解：第 秒钟时， ，故 ， ，
故．
；
当 时，则 ，
解得： 或4，
即 ， 两点出发2秒或4秒时，五边形 的面积为 ．
故答案为： ；2秒或4秒.
18．
【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握线段垂
直平分线上的点到线段两端点的距离相等．根据题意可得 ，根据勾股定理
得到 ，即可进行解答．
解： 轴， 轴，
四边形 是矩形，
，
，
是 的垂直平分线，
，
在 中， ，
，即 ，
时，y 关于x 的函数解析式为： ，
故答案为： ．
19． （ ）
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理和三角形面积公式，根据矩形的性质和点 是 上与 、
不重合的任意一点，可知 ，又 ，根据这两个表达式建立等式，即可得到 关于自变量 的函数关系式，再利用勾股定理求得 的长，根据 即可求出自变量 的取
值范围．
解：连接 ， ，如图所示：
为矩形，点 是 上与 、 不重合的任意一点，
， ，
， ，
，
，点 到 的距离为 ，
，整理得 ，
点 是 上与 、 不重合的任意一点，即 ，
又 ，
，即 ．
综上所述，有 （ ）．
20．（1） ；（2）对于（1）中的函数y的值不能取到 ，理由见分析．
【分析】（1）先根据矩形的面积公式可得 ，再根据墙EF的长求出x的取值范围即可；
（2）假设 ，先根据（1）的结论求出 ，再根据墙EF的长、修建墙的材料总长分别进行
判断即可得．
解：（1） ， ，矩形ABCD的面积为32平方米
解得四边形ABCD是矩形
又 墙EF的长为5米
，即
故y与x的函数关系式为 ；
（2）假设对于（1）中的函数y的值能取到 ，即
则 ，不超过墙EF的长
，超过了准备修墙的材料总长
故对于（1）中的函数y的值不能取到 ．
【点拨】本题考查了利用几何图形求函数关系式、矩形的性质等知识点，理解题意，正确求出函数关
系式是解题关键．
21．（1）豆子的总价y与所卖豆子的质量x之间的关系；自变量是所卖豆子的质量x；因变量是豆子
的总价y；（2）6元； 千克；（3）够
【分析】（1）根据变量、自变量及因变量的概念即可得出答案；
（2）根据表格给出的数据求出单价，总价格除以单价等于质量即可得出答案；
（3）利用总价等于单价乘以质量计算并比较大小即可得解．
（1）解：上表反映的是售出豆子质量 （千克）与 （元）之间的关系，售出豆子的质量x （千克）
是自变量，总售价y （元）是因变量；
（2）解：由图表可知，1千克豆子价格为6元，
∴ （千克），
∴ 元能买 千克豆子；
（3）解： ，
∴买4千克豆子带25元够买．
【点拨】本题主要考查了函数的表示方法和变量的概念，熟记变量的概念是解题的关键．
22．（1） ； ；（2）点 表示的实际意义是他们从学校出发 分钟后到达距离学校 米的科技馆；（3）
【分析】（1）观察横轴和纵轴可确定自变量和因变量.
（2）观察图像进行求解即可.
（3）由图像可知学校到科技馆的距离为1200米，他们在科技馆参观了2小时，即120分钟，返回时
的速度为 米/分，求出返回时所用的时间，即可求出m的值.
（1）解：由题意可知，在上述问题中，自变量是离开学校的时间 ，因变量是他们离学校的距离 ．
故答案为： ； ；
（2）解：由题意可知，图中点 表示的实际意义是他们从学校出发 分钟后到达距离学校 米的
科技馆；
（3）解：由题意得， .
【点拨】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，能够正确读图并从图像中获取信息是解题的
关键.
23．（1）每束玉兰花和玫瑰花的利润各是10元，15元；（2）① ；②这天卖出20束
玫瑰花
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，列函数关系式，求自变量的值：
（1）设每束玉兰花和玫瑰花的利润各是x元，y元，根据出50束玉兰花和20束玫瑰花的利润是800
元，第二天卖出30束玉兰花和30束玫瑰花的利润是750元列出方程组求解即可；
（2）①根据利润 单束花的利润 花的数量求出两种花的利润，再求和即可得到答案；②根据（2）
①所求代入 ，求出m的值即可得到答案．
（1）解：设每束玉兰花和玫瑰花的利润各是x元，y元，
由题意得， ，
解得 ，
答：每束玉兰花和玫瑰花的利润各是10元，15元；
（2）解：①由题意得， ；
②由题意得， ，
解得 ，
∴ ，答：这天卖出20束玫瑰花．
24．（1） ；（2） （ ）
【分析】（1）根据图2可得：点P在 上运动了6秒，在 上运动了2秒，进而求出
，再根据 求解即可；
（2）根据三角形的面积公式解答即可．
解：（1）根据图2可得：点P在 上运动了6秒，在 上运动了2秒，
∵点P以每秒1cm的速度从B点出发的，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
（2）当点P在线段 上运动时，即当 时， ．
【点拨】本题考查了利用图象和关系式表示变量之间的关系，正确理解题意是关键．
