文档内容
第 03 讲 幂函数与二次函数
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................................................................2
题型一：幂函数的定义及其图像................................................................................................................................2
题型二：幂函数性质的综合应用................................................................................................................................4
题型三：由幂函数的单调性比较大小........................................................................................................................5
题型四：二次函数的解析式........................................................................................................................................7
题型五：二次函数的图象、单调性与最值................................................................................................................7
题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题....................................................................................................9
题型七：二次方程实根的分布及条件......................................................................................................................12
题型八：二次函数最大值的最小值问题..................................................................................................................13
02 重难创新练...........................................................................................................................................................15
03 真题实战练.............................................................................................................................................................23题型一：幂函数的定义及其图像
1．（2024·四川成都·一模）已知幂函数 的图象过点 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为幂函数 的图象过点 ，所以 ，解得 .
故选：C.
2．已知幂函数的图象经过点 ，则该幂函数在第一象限的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，
因为函数 在 上递增，且增加的速度越来越缓慢，
故该幂函数在第一象限的大致图象是B选项.
故选：B.
3．函数 的大致图像是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数 的大致图像.
故选：A.
4．幂函数 ，当 时为减函数，则实数 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【解析】幂函数 ，
，
解得 或 ；
当 时，幂函数为 ，
且在 时为减函数，满足题意；
当 时，幂函数为 ，
且在 时为增函数，不合题意；
综上，实数 的值为 ．
故选：A．
5．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数 在 上的图象分别是下降，急
速上升，缓慢上升，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意结合图象可知 .
故选：B.题型二：幂函数性质的综合应用
6．（2024·高三·福建三明·期中）已知 ，则实数 的取值范围是 ﹒
【答案】
【解析】 已知 ， 或 ①；
， ②；
， ③．
综合①②③，求得实数 的取值范围为 ．
故答案为： ﹒
7．函数 ，其中 ，则其值域为 .
【答案】
【解析】设 ，则 .因为 ，所以 . 当 时， .所以函数的
值域为 .
故答案为：
8．当 时，幂函数 为单调递减函数，则 ．
【答案】
【解析】由题意可知 或 ，
当 时， ，此时 在第一象限是单调递减函数，符合题意；
当 时， ，此时 在第一象限是单调递增函数，不符合题意；
综上： .
故答案为：
9．（2024·高三·上海浦东新·期中）已知 ，若幂函数 为奇函数，且
在 上严格单调递减，则 .
【答案】 或
【解析】由幂函数的性质知， ，在第一象限内，当 时，函数单调递减，当 为奇数时，函
数为奇函数，所以当 或 时，幂函数在 上单调递减，且为奇函数.
故答案为： 或
10．已知幂函数 ，若 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】幂函数 ，所以 定义域为 且在定义域上单调递减，
所以需满足 ，解得 ，
故答案为： ．
题型三：由幂函数的单调性比较大小
11．（2024·贵州毕节·二模）已知 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，根据指数函数 在 上单调递减得 ，
，根据幂函数 在 上单调递增知 ，则 ，
，根据对数函数 在 上单调递减得 ，
综上 .
故选：D.
12．记 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，幂函数 在 上单调递增，
又 ，所以 ，所以 ，
又对数函数 在 上单调递减，所以 ，
故 .
故选：D.
13．已知 ， ， .则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，由指数函数的性质知 在R上单调递减，
所以 ，
令 ，由幂函数的性质知 在 单调增，
所以 ，
所以 .
故选：C
14．已知函数 是幂函数，对任意的 且 ，满足 ，
若 ，则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
【答案】B
【解析】根据函数为幂函数以及函数在 的单调性，可得 ，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单
调性以及奇偶性，可得结果.由题可知：函数 是幂函数
则 或
又对任意的 且 ，满足
所以函数 为 的增函数，故
所以 ，又 ，
所以 为 单调递增的奇函数
由 ，则 ，所以
则
故选：B题型四：二次函数的解析式
15．已知二次函数 的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且 在区间 上的最大值为
12，则函数 的解析式为 ．
【答案】
【解析】设 其对称轴为直线 ，又 在区间 上的最大值为12，
所以 ，所以
故答案为：
16．已知 （b，c为实数），且 ， ，则 的解析式为 .
【答案】
【解析】解法一：由题意知 ，解得 ，
所以 的解析式为 .
解法二：由题意知 ，得 ，则 ，得 ，
所以 的解析式为 .
故答案为：
17．已知函数 对任意 满足： ，二次函数 满足： 且
．则 ， .
【答案】
【解析】（1） ①，用 代替上式中的 ，得 ②，联立
①②，可得 ；设 ，所以
，即 ，
所以 ，解得 ， ，又 ，得 ，所以 .
故答案为： ，
题型五：二次函数的图象、单调性与最值
18．（2024·辽宁沈阳·一模）已知函数 ，若 且 ，则它的图象可能是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 且 ，得 ，
所以函数 是二次函数，图象开口向上，排除A，C；
又 ，所以排除B；只有D符合.
故选：D.
19．已知二次函数 的图象的顶点坐标是 ，且截 轴所得线段的长度是4，将函数 的图象向
右平移2个单位长度，得到抛物线 ，则抛物线 与 轴的交点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为二次函数 的图象的顶点为 ，
故 的对称轴为直线 ，
又 的图象截 轴所得线段的长度是4，
所以 的图象与 轴的交点坐标为 和 ，
设 ，将点 代入得 ，解得 ，
所以 ，
因为 的图象为 的图象右移2个单位得到的，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 与 轴交点生标为 .
故选：B.20．已知函数 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 对称轴为 ，
则 在 上单调递减，在 上是单调递增，
A： ，故A错误；
B： ，故B错误；
C： ，故C错误；
D： ，故D正确.
故选：D.
21．（2024·高三·上海·期中）已知函数 在 上是严格增函数，则实数 的取值范
围是 .
【答案】
【解析】由题意 ，解得 ，
故答案为： ．
题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题
22．已知函数 （ ）.
(1)若 在区间 上单调递减，求 的取值范围；
(2)若 在区间 上的最大值为9，求 的值.
【解析】（1）由题意得，二次函数 （ ）的图象开口向上，对称轴为直线 ，
∵函数 在 上是单调递减，则 ，
∴ 的取值范围是 .
（2）由题意得，当 时，函数 在区间 上单调递减，
则 ，解得 ，不合题意，舍去；
当 时，函数 在区间 上单调递增，
则 ，解得 ，不合题意，舍去；当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
则 在 或 中取得，又 ， ，
∴当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，显然不合题意；
综上所述， .
23．已知函数 ．
(1)若 的最大值为0，求实数a的值；
(2)设 在区间 上的最大值为 ，求 的表达式；
(3)令 ，若 在区间 上的最小值为1，求正实数a的取值范围．
【解析】（1） ，
因为 的最大值为0，所以 ，
所以 或 .
（2）函数 的对称轴为 ，
当 ，即 时， 在 上是减函数，所以 ；
当 ，即 时，
当 时， 是减函数，当 时， 是增函数，
所以 ；
当 ，即 时， 在 上是增函数，所以 ，
所以 .（3）由题意 ，
令 可得 ，简图如下，
当 时，即 时， 在 是增函数，
所以 ，成立.
当 时，即 时，
在 上是减函数，在 上是增函数，
所以 ，解得 ，不成立；
当 时，即 时， 在 上是减函数，
所以 ，解得 ，不成立；
综上所述， .
24．已知函数
(1)若函数 在 上单调，求 的取值范围：
(2)是否存在实数 ，使得函数 在区间 上的最小值为 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说
明理由．
【解析】（1）由题意可得 开口向上，对称轴 ，
∴函数在 上单调递减，在 上单调递增，
∵函数 在 上单调，
∴ 或 ，解得 或 ，
∴ 的取值范围为：
（2）由题意可得 开口向上，对称轴 ，函数在对称轴处取最小值，
，
若函数 在区间 上的最小值为 ，
则 ，解得： 或 ，
当 时， 在区间 上单调递增，
此时函数的最小值为 ，
解得： ，
当 时， 在区间 上单调递减，
此时函数的最小值为 ，
解得： ，
综上，存在实数 或 ，使得函数 在区间 上的最小值为
题型七：二次方程实根的分布及条件
25．（2024·高三·陕西商洛·期中）若 ，则一元二次方程 有整数根的充要条件是
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】由 ，得 ．
作出函数 的图象，
由图可知， ，即 ，又 ，
所以 .
当 时，方程 有整数解 .
综上， 是方程有整数解的充要条件．
故选;A.26．若关于x的一元二次方程 有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数
a的取值范围是 ．
【答案】（ ，＋∞）
【解析】设 ，
由题意 ，解得 ，
故答案为： ．
27．方程 的两根均大于1，则实数 的取值范围是
【答案】
【解析】 的两个根都大于
，解得
可求得实数 的取值范围为
故答案为：
题型八：二次函数最大值的最小值问题
28．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，求证： ；
(3)设 ，及 在区间 上的最大值为 .当 最小值，求 的值.【解析】（1） ，故开口向上，且对称轴为 ，
故 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）由题意可知，问题转化为 时， ，且 恒成立，
即 ，且 ，在区间 上恒成立，
因为 显然恒成立，
，开口向上，且对称轴为 ，故 ，
即 恒成立，故原不等式成立；
（3） ，
函数 在 上单调递增，
故 时， ， 时， ，所以 ，
化简得 ，
可知， 时， ； 时， ，
故 时， 取得最小值2.
29．已知函数 的图象经过点 和 .
(1)求函数 的解析式；
(2)当 时，求证： ；
(3)设 ，记 在区间 上的最大值为 .当 最小时，求 的值.
【解析】（1）由已知得， ，解得 ，
函数 的解析式为 .
（2）令 ，
则二次函数 的对称轴为 .
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
又 ，所以 时， 取得最大值 ，
所以 ，即 .（3）由（2）知， ，
令 ，则 ，问题转化为求 在 上的最大值，
易知 关于 ，作出图象如下，
当 时，当 时， 取得最大值，则 ，
当 时，当 时， 取得最大值， ，
当 时，当 或 时， 取得最大值， ，
综上，当 最小时， .
1．（2024·北京朝阳·一模）已知 ，则“ ”是“函数 在 上单调递增”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于函数
当 时， ，为常数函数，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以“ ”是“函数 在 上单调递增”的充分而不必要条件.
故选：A.2．（2024·北京西城·一模）已知函数 ，若 存在最小值，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，故当 时， 有最小值为 ；
时， 单调递减，所以 ，
由题意 存在最小值，则 ，解得 ，即 的最大值为 .
故选：A
3．（2024·广东·一模）已知集合 ，若 且互不相等，则使得指数函数 ，
对数函数 ，幂函数 中至少有两个函数在 上单调递增的有序数对 的个数是
（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
【答案】B
【解析】若 和 在 上单调递增， 在 上单调递减，
则有 个；
若 和 在 上单调递增， 在 上单调递减，
则有 个；
若 和 在 上单调递增， 在 上单调递减，
则有 个；
若 、 和 在 上单调递增，则有 个；
综上所述：共有 个.
故选：B.
4．已知幂函数 的图象在 上单调递减，则 的取值是（ ）
A．1 B．-3 C．1或-3 D．2
【答案】A
【解析】∵ 为幂函数，∴ 或 ；
当 时， ，在 上单调递减；当 时， ，在 上单调递增，不满足题意.
综上可知： .
故选：A.
5．（2024·四川宜宾·模拟预测）给出下列四个函数：① ；② ；③ ；④
．其中在 上是增函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】 和 在 上是增函数， 和 在 上是减函数，
故选：C
6．函数 是幂函数，对任意的 ，且 ，满足 ，
若 ，且 ，则 的值( )
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
【答案】A
【解析】函数f(x)＝(m2－m－1) 是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x2 015；
当m＝－1时，f(x)＝x－4.
又因为对任意x，x∈(0，＋∞)且x≠x，满足 ，所以函数f(x)是增函数，
1 2 1 2
所以函数的解析式为f(x)＝x2 015，
函数f(x)＝x2 015是奇函数且是增函数，
若a，b∈R且a＋b>0，ab<0，则a，b异号且正数的绝对值较大，所以f(a)＋f(b)恒大于0，故选A.
7．幂函数 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】在第一象限内直线 的右侧，幂函数 的图象从上到下相应的指数 由大变小，即“指大
图高”，
所以幂函数 在第一象限内的图象为 在第一象限内的图象为 ，
在第一象限内的图象为 在第一象限内的图象为 .
故选：D
8．已知 ，若 为奇函数，且在 上单调递增，则实数a的取值个数为
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】当 时， 在 上单调递减，不合要求，
当 时， ，故 为偶函数，不合要求，
当 时， 的定义域为 ，不是奇函数，不合要求，
当 时， ， 为奇函数，
且 在 上单调递增，满足要求，
当 时， ，故 为奇函数，
且 在 上单调递增，满足要求.
故选：B
9．（2024·山东济南·三模）已知函数 的定义域为R，且 ，则下列结论一定
成立的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． 有最小值 D． 在 上单调递增
【答案】C
【解析】由于函数 的定义域为R，且 ，
令 ，则 ，得 ，
时， 恒成立，无法确定 ，A不一定成立；
由于 不一定成立，故 不一定为偶函数，B不确定；由于 的对称轴为 与 的位置关系不确定，
故 在 上不一定单调递增，D也不确定，
由于 表示开口向上的抛物线，故函数 必有最小值，C正确，
故选：C
10．（2024·陕西·模拟预测）设函数 的定义域为 ，且 ，
当 时， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】由题意可得 ①； ②．
令 ，由①得： ，
令 ，由②得 ，因为 ，
所以 ，即 .
令 ，由①得 ，
解得 ，所以 ．
故选：D．
11．（多选题）若幂函数 的图像经过点 ，则下列命题中，正确的有（ ）
A．函数 为奇函数 B．函数 为偶函数
C．函数 在 为减函数 D．函数 在 为增函数
【答案】AC
【解析】因为 是幂函数，所以设 ，
又 的图像经过点 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以函数 为奇函数，且在 为减函数，故AC正确，BD错误；
故选：AC.
12．（多选题）已知幂函数 （m， ，m，n互质），下列关于 的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数 是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数 是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数 是偶函数D． 时，幂函数 在 上是减函数
【答案】AC
【解析】
对A，当m，n是奇数时， 的定义域为 ，关于原点对称，
，则幂函数 是奇函数，故A中的结论正确；
对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数 在 时无意义，故B中的结论错误；
对C，当m是奇数，n是偶数时， 的定义域为 ，关于原点对称，
，则幂函数 是偶函数，故C中的结论正确；
对D， 时，幂函数 在 上是增函数，故D中的结论错误；
故选：AC.
13．（多选题）幂函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．函数 是偶函数
C． D．函数 的值域为
【答案】ABD
【解析】由幂函数定义可知，系数 ，解得 或 ，
又因为 ，所以 ；故A正确；
时， ，其定义域为 ，且满足 ，所以函数 是偶函
数，即B正确；
由 可知，函数 在 为单调递减，所以 ，所以C错误；
函数 的值域为 ，即D正确；
故选：ABD.
14．（多选题）（2024·甘肃定西·一模）已知函数 ，则（ ）
A．当 有2个零点时， 只有1个零点
B．当 有3个零点时， 只有1个零点
C．当 有2个零点时， 有2个零点D．当 有2个零点时， 有4个零点
【答案】BD
【解析】令 ，得 ，
利用指数函数与二次函数的性质作出 的大致图象，如图所示，
由图可知，当 有2个零点时， 或 ，
此时 无零点或只有1个零点，故A错误；
当 有3个零点时， ，此时 只有1个零点，故B正确；
当 有2个零点时， ，此时 有4个零点．故C错误，D正确.
故选：BD.
15．（2024·北京延庆·一模）已知函数 在区间 上单调递减，则 的一个取值为
．
【答案】 （不唯一）
【解析】因为 在 上单调递增，又 在区间 上单调递减，
所以 可以为偶函数，不妨取 ，
此时 ，函数定义域为 ，
且 ，故 为偶函数，
满足在区间 上单调递减.
故答案为： （不唯一）
16．（2024·全国·模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数： ．
① 的定义域为 ；② ， ；③ ，都有 ．
【答案】 （答案不唯一，形如 ，p，q为奇数，且 均可）【解析】由③知 (不妨取 时 )，
所以函数 在 上是增函数，函数 在 上是减函数，
又由①②，函数为奇函数且定义域为 ，
所以可取幂函数 ．
故答案为： （答案不唯一，形如 ， ， 为奇数，且 均可）.
17．（2024·河北·模拟预测）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为
．
【答案】
【解析】令 ，
因为 ，所以函数 为奇函数，
由函数 都是增函数，可得 为增函数，
，
则不等式 ，
即为 ，即 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
18．不等式 的解集为： ．
【答案】
【解析】不等式变形为 ，
所以 ，令 ，则有 ，
因为函数 在R上单调递增，
所以 在R上单调递增，
则 ，解得 ，
故不等式的解集为 ．
故答案为： .
19．已知正实数 满足 ，且 对任意 恒成立，则实数 的最小值是 .
【答案】
【解析】依题意， ，解得 ，则
由 得 ，
其中
①，
则当 时①式取得最大值 .
所以 的最小值是 .
故答案为： .1．（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））函数 在区间 上存
在反函数的充分必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由反函数的定义可知，要存在反函数，则原函数在此区间上是单调的.
函数 的对称轴为 ，
函数 在区间 上存在反函数的充分必要条件为：
或 ，
即 或 .
故选：C.
2．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））设函数
，若 的图象与 图象有且仅有两个不同的公共点
,则下列判断正确的是
A．当 时，
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，
【答案】B
【解析】令 ,可得 ．
设
根据题意 与直线 只有两个交点，
不妨设 ，结合图形可知，当 时如右图，
与 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，
根据对称性可得 ，即 ，此时 ，，
同理可得，当 时如左图， ，
故选：B．
3．（2004 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））在函数 中，若a，b，
c成等比数列且 ，则 有最 值（填“大”或“小”），且该值为 ．
【答案】 大 -3
【解析】由已知得， ，a，b，c成等比数列， ，a<0，
所以， 有最大值，
最大值为
故答案为：大；-3.
4．（2020年江苏省高考数学试卷）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
【答案】
【解析】 ，因为 为奇函数，所以
故答案为：
5．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））若函数 在［－1，
2］上的最大值为4，最小值为m，且函数 在 上是增函数，则a＝ .
【答案】
【解析】 当 时，有 ，此时 ，此时 为减函数，
不合题意.若 ，则 ，故 ，检验知符合题意
