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专题 19.4 一次函数与方程、不等式之间的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 一次函数与一元一次方程的解】..............................................................................................................1
【题型2 两个一次函数与一元一次方程】..............................................................................................................2
【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】.........................................................................................3
【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】.................................................................................................4
【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】.........................................................................................................4
【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】.....................................................................................................6
【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】.........................................................................................................6
【题型8 一次函数与一元一次不等式组的解集】...............................................................................................8
【题型9 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】.............................................................................................9
【题型10 绝对值函数与不等式】..........................................................................................................................11
【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】
1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方
程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以
转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
【题型1 一次函数与一元一次方程的解】
3
【例1】（2023春·天津·八年级统考期末）已知方程ax+b=0的解为x=- ，则一次函数y=ax+b的图象
2
与x轴交点的坐标为( )
2 3
A．(3,0) B．(- ,0) C．(-2,0) D．(- ,0)
3 2
【变式1-1】（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x
的方程kx+b=3的解为 ．x … -2 -1 1 …
y … 5 3 -1 …
【变式1-2】（2023春·四川绵阳·八年级校联考期末）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次
函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ．
【变式1-3】（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）如图，一次函数y=ax+b的图象经过点(2,4)，(4,1)，
则方程ax+b=4的解是 ．
【题型2 两个一次函数与方程组、不等式组】
方程组的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程组的解，
反之一样。对于不等式组的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。
【题型2 两个一次函数与一元一次方程】
【例2】（2023春·青海西宁·八年级统考期末）如图，一次函数y =k x+b与y =k x的图象交于点A，则
1 1 2 2
关于x的方程k x+b=k x的解x= ．
1 2
【变式2-1】（2023春·江苏南通·八年级统考期中）若一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点(2,4)，则
关于x的方程(2k+b)x=mx+m的解为x= ．
【变式2-2】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，已知直线y=-x与y=kx+b交于点P(a,1)，则
方程kx+b=-x的解是x= ．【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
l ，l 分别是函数y=k x+b 和y=k x+b 的图象．
1 2 1 1 2 2
（1）关于x的方程k x+b =k x+b 的解为 ．
1 1 2 2
（2）若x=m，x=n分别为方程k x+b =3和k x+b =3的解，则m，n的大小关系是m n．
1 1 2 2
【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】
【例3】（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）若关于x的一次函数y=kx+b的图象经过点A(-1,0)，则方
程k(x+2)+b=0的解为 ．
【变式3-1】（2023春·福建福州·八年级校联考期中）如图，一次函数y=ax+b的图象为直线l，则关于x
的方程 的解为 ．
a(x-√3)+b=0
【变式3-2】（2023秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过
点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为 ．
【变式3-3】（2023秋•庐阳区校级期中）将直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解为x＝3，则k＝ 2 ，m＝ ﹣ 6 ．
【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】
【例4】（2023春·江西宜春·八年级江西省宜丰中学校考期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整
数的点称为整点，已知k为整数，若函数y=2x-1与y=kx+k的图象的交点是整点，则k的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式4-1】（2023春·北京东城·八年级北京二中校考期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面
直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【变式4-2】（2023•德城区二模）若以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在
1
直线y=- x+b﹣1上，则常数b的值为（ ）
2
1
A． B．1 C．﹣1 D．2
2
【变式4-3】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如图，已知直线y=ax+b和直线y=kx交于点P，若二
元一次方程组¿的解为x、y，则关于x+ y= ．
【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】
【例5】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）【活动回顾】：八年级下册教材中我们曾探究过“以方程x+ y=5的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的
特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程x+ y=5的解为坐标的所有
点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解
为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．
示例：如图1，我们在画方程x- y=0的图象时，可以取点A(-1,-1)和B(2,2)，作出直线AB．
（1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组¿中的两个以二元一次方程的解为坐标的点
组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）；
（2）观察图象，上述两条直线的交点坐标为________，由此得出这个二元一次方程组的解是________；
【拓展延伸】：
（3）已知二元一次方程ax+by=7的图象经过两点A(1,2)和B(4,1)，试求a+b的值．
（4）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+3图象l 和一次函数y=x-1的图象l ，如图3所示．请根
1 2
据图象，判断方程组¿的解的情况，并说明理由．
【变式5-1】（2023秋·广东清远·八年级统考期末）函数y=ax+b与函数y=cx+d的图象是两条直线，只
有一个交点，则二元一次方程组¿ 有（ ）
A．无数解 B．无解 C．唯一解 D．不能确定
{ y=kx+b
【变式5-2】（2023秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组
y=(3k-1)x+2
（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；
（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；
（3）当k，b为何值时，方程组无解．
【变式5-3】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，直线l：y＝x＋1与直线l：y＝mx＋n相交于点
1 2
P(1，b)．
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组¿，请你直接写出它的解；（3）直线l：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．
3
（4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集．
【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】
【例6】（2023秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，且
与x轴交于点(-2，0)，则不等式ax>b的解集为 ．
【变式6-1】（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)，x与y的
部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是( )
x -2 -1 0 1 2 3
y 3 2 1 0 -1 -2
A．x<0 B．x>0 C．x<1 D．x>1
【变式6-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知一次函数y=ax+b（a、b是常数，a≠0）函数图
象经过(-1，4)，(2，-2)两点，下面说法中：（1）a=2，b=2；（2）函数图象经过(1，0)；（3）不等式
ax+b＞0的解集是x＜1；（4）不等式ax+b＜0的解集是x＜1；正确的说法有 ．（请
写出所有正确说法的序号）
【变式6-3】（2023秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(-2,0)，则关
于x的不等式k(x-3)+b>0的解集为 ．
【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】
【例7】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图，则
1 2
kx+b-(x+a)>0的解集是（ ）A． x>-1 B． x>2 C． x<-1 D． x<2
【变式7-1】（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）直线y =kx+2k+3和直线y =-2x-1，当x<-2时，
1 2
总有y kx+b的解集是x>-2，求点C的坐标．
1
【变式7-3】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =- x+6分
1 1 2
1
别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l ∶y = x交于点A．
2 2 2(1)求出点A的坐标；
(2)根据图象，直接写出y >y 时x的取值范围是
2 1
(3)若M是线段OA上的点，且△COM的面积为9，求直线CM的解析式．
【题型8 一次函数与一元一次不等式组的解集】
【例8】（2023春·山东东营·八年级统考期末）已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k x+b 和
1 1
y=k x+b 的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线交于点C．已知点A(-1,0)，B(2,0)，C(1,3)，请你
2 2
观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题：
(1)关于x的方程k x+b =0的解是_______；关于x的方程k x+b =0的解是________；
1 1 2 2
(2)请直接写出关于x的不等式k x+b ≥k x+b 的解集；
1 1 2 2
(3)请直接写出关于x的不等式组¿的解集．
(4)求△ABC的面积．
【变式8-1】（2023秋·浙江·八年级期末）如图，直线y=kx+b(k≠0)经过A(-1,-2)和B(-3,0)两点，
则关于x的不等式组x+10)的
1 2
1 1
交点坐标为( , m)，则请求出不等式组mx-22时，y＝ ．
|2-x|+x+2
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝ 的图象．
2
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ．【变式10-1】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等
式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数y=|x+1|-3的图像和性质做了探究．
下面是该学习小组的探究过程，请补充完整；
(1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … m -2 -3 -2 -1 0 n 2 3 …
表格中m的值为__________，n的值为___________．
(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图）
(3)请观察函数的图像，直接写出如下结论；
①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大；
②方程|x+1|-3=2的解是x=____________；
③不等式|x+1|<4的解集为________．【变式10-2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的
表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函
数y=|x-1|+a的图象与性质，探究过程如下．请补充完整．
(1)列表：
x … -1 0 1 2 3 4 …
y … -2 -3 -4 b -2 -1 …
请根据表格中的信息，可得a=__________，b= __________．
(2)①根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．
②若点 ， 在函数图象上，且 ，观察图像写出 、 的大小关系．
A(x ,y ) B(x ,y ) x 2时，y=-2|x-2|+3=______．
(2)【探索】探究函数y=-2|x-2|+3的图像与性质．①请完成以下列表：
﹣
x …… 0 1 2 3 4 5 ……
1
y …… 3 ……
②请根据①中的表格，在给出的平面直角坐标系中画出y=-2|x-2|+3的图像．
1
(3)【拓展应用】若关于x的方程-2|x-2|+x+3=- x+m有且只有一个正的解和一个负的解，则m的取
2
值范围是______．
