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专题 19.4 一次函数与方程、不等式之间的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】.....................................................................................................2
【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】......................................................................................2
【题型3 利用图像法解一元一次方程】..................................................................................................................3
【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】.............................................................................................5
【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】.................................................................................................6
【题型6 两直线的交点与二元一次方程组的解】.................................................................................................8
【题型7 图象法解二元一次方程组】......................................................................................................................9
【题型8 求直线围成的图形的面积】....................................................................................................................10
【题型9 绝对值函数与方程、不等式之间的关系】...........................................................................................11
【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】...........................................................................................14
知识点1：一次函数与一元一次方程之间的关系
1.一次函数与一元一次方程的关系
（1）从“数”上看：函数 中，当 时，的值 方程 的解.
（2）从“形”上看：函数 的图象与轴的交点的横坐标 方程 的解
2.利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤
（1）转化：将一元一次方程转化为一次函数
（2）画图象：画出一次函数的图象
（3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解.
【注意】
对于一次函数 ，已知的值，求 的值，或已知 的值求的值，就是把问题转化为关于 或的一元
一次方程来求解.
【拓展】
方程 的解 函数 中， 时的值；方程 的解 函数的图象与直线 的交点的横坐标.
【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】
【例1】（24-25八年级·海南海口·期末）若直线y=2x+b与x轴交于点A(−2,0)，则方程2x+b=0的解是
（ ）
A．x=−4 B．x=−2 C．x=4 D．x=2
【变式1-1】（24-25八年级·青海海东·期末）已知一次函数y=ax+b（a,b是常数），x与y的部分对应值
如下表：
x −3 −2 −1 0 1 2
y −4 −2 0 2 4 6
则关于x的方程ax+b=0的解为 ．
【变式1-2】（24-25八年级·四川德阳·期末）直线y=kx+b(k≠0)经过点A(−1,0)，B(0,2)，则关于x的
方程kx+b=0的解为（ ）
A．x=−1 B．x=0 C．x=1 D．x=2
【变式1-3】（24-25八年级·江苏盐城·期末）若直线y=kx+b的图象经过点(1,3)，则关于x的方程
kx+b=3的解是（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
【题型2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】
【例2】（24-25八年级·广东广州·期末）若x=4是方程kx+b=0的解， 则直线y=kx+b的图象与x轴交
点的坐标为 （ ）
A．(4,0) B．(0,4) C．(0,−4) D．(−4,0)
【变式2-1】（24-25八年级·河北保定·期末）若关于x的方程−2x+b=0的解为x=2，则直线y=−2x+b
一定经过点（ ）
A．(2,0) B．(0,2) C．(4,0) D．(2,5)
【变式2-2】（24-25八年级·湖北黄石·期末）一次函数y=ax+b（a，b是常数，且a≠0），若a+b−2=0
，则这个一次函数的图象必经过的点是（ ）
A．(1,−2) B．(2,−3) C．(−1,−2) D．(1,2)
【变式2-3】（24-25八年级·全国·课后作业）已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能
是（ ）A． B．
C． D．
【题型3 利用图像法解一元一次方程】
【例3】（24-25八年级·宁夏银川·期末）如图，已知直线y=ax+b，则方程ax+b=1的解x=（ ）
A．2 B．−1 C．4 D．0
【变式3-1】（24-25八年级·上海·阶段练习）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可
知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（ ）
A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20
【变式3-2】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4)
，则关于x的方程kx+b=4的解是 ．【变式3-3】（24-25八年级·福建福州·期中）如图，一次函数y=ax+b的图象为直线l，则关于x的方程
的解为 ．
a(x−❑√3)+b=0
知识点2：一次函数与一元一次不等式之间的关系
因为任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为 或 的形式，所以解一元
一次不等式可以看成求一次函数 的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围.
一次函数 与一元一次不等式 （或 ）的关系如下：
不等于 的解集 在函数
中， 时的取值范围
数的角度
不等式 的解集 在函数
一次函数与一元一 中， 时的取值范围
次不等式的关系
不等式 的解集 直线
在 x 轴上方 的部分所对应的的取值范围
形的角度
不等式 的解集 直线
在 x 轴下方 的部分所对应的的取值范围
【拓展】直 线 与 直 线 的 交 点 的 横 坐 标 即 为 方 程
的 解 ； 不 等 式 （ 或 ） 的 解 集 就 是 直 线
在直线 上（或下）方部分对应的的取值范围.如图所
示，方程 的解为 ；不等式 的解集为 ；不等式
的解集为 .
【题型4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】
【例4】（24-25八年级·吉林长春·期末）若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，那么下列说法正确
的是（ ）
A．关于x不等式kx+b>0的解集是x<1
B．关于x的不等式kx+b>4的解集是x>3
C．关于x的方程kx+b=0的解是x=3
D．当0−3的解集是（ ）A．x>−1 B．x<−1 C．x>3 D．x<3
【变式4-3】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(−1,0)，则不等
式k(x−2)+b<0的解集是 ．
【题型5 根据两条直线的交点求不等式的解集】
【例5】（24-25八年级·四川巴中·期中）一次函数y=mx+n与y=ax+b在同一平面直角坐标系中的图象
如图所示．根据图象有下列五个结论：①a>0；②n<0；③方程mx+n=0的解是x=−2；④不等式
ax+b>3的解集是x>−3；⑤不等式0−4的解集为x>0；乙说：当
x>4时，ax+b0时，−x+1>mx+n的解集为x<3
【变式6-3】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）表1、表2分别给出了两条直线l ：y=k x+b 与
1 1 1l ：y=k x+b 上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值．
2 2 2
表1
x −4 −3 −2 −1
y −1 −2 −3 −4
表2
x −4 −3 −2 −1
y −9 −6 −3 0
则方程组{y=k x+b
)的解是
1 1
y=k x+b
2 2
【题型7 图象法解二元一次方程组】
【例7】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，已知函数y=x+1和y=ax+3图象交于点P，点P的横坐
{x−y=−1
)
标为1，则关于x，y的方程组 的解是（ ）.
ax−y=−3
{x=1) { x=1 ) {x=−2)
A． B．¿ C． D．
y=2 y=−2 y=1
【变式7-1】（24-25八年级·河北唐山·期末）下列图形是以方程2x−y=2的解为坐标的点组成的图象的是
（ ）
A． B．C． D．
【变式7-2】（24-25八年级·云南昆明·期末）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与y=x+2的图象相交于点
{y=kx+b)
M(m,4)，则关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
y=x+2
{x=1) {x=2) {x=4) {x=3)
A． B． C． D．
y=4 y=4 y=2 y=4
【变式7-3】（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点(1,2)，则
{kx+b= y+2)
关于x，y的方程组 的解为（ ）
mx+n= y+2
{x=3) {x=−1) {x=1) {x=1)
A． B． C． D．
y=2 y=2 y=0 y=4
【题型8 求直线围成的图形的面积】
【例8】（24-25八年级·山东泰安·期中）已知一次函数y=ax+2与y=kx+b的图像如图所示，且方程组
{y=ax+2)
的解为
{x=2)
，点B坐标为(0,−1)，y轴上的一个动点P，若S =6，则点P的坐标为
y=kx+b y=1 △ABP．
【变式8-1】（24-25八年级·山东泰安·期末）如图，已知直线y=2x+3与直线y=−2x−1相交于点C，与
y轴别相交于点A，B，则△ABC的面积是 ．
【变式8-2】（24-25八年级·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点A，C均在x轴上，点B在第一象
限，直线AB上所有点的坐标(x,y)都是二元一次方程x−y=−2的解，直线BC上所有点的坐标(x,y)都是
一元一次方程2x+ y=8的解．
(1)求B点的坐标时，小明是这样想的：先设B点坐标为(m,n)，因为B点在直线AB上，所以(m,n)是方程
x−y=−2的解；又因为B点在直线BC上，所以(m,n)也是方程2x+ y=8的解，从而m，n满足
{m−n=−2)
，据此可求出B点坐标为______．再求出A点坐标为______；C点坐标为______．（均直接写
2m+n=8
出结果）
1
(2)若线段BC上存在一点D，使S = S （O为原点），求D点坐标
△OCD 2 △ABC
1
(3)点E(a,−3)是坐标平面内的动点，若满足S ≤ S ，求a的取值范围．
△ABE 3 △ABC【变式8-3】（24-25八年级·山东临沂·期末）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上， ODE
是 OCB绕点O顺时针旋转90度得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，△线段
△
{2x+3 y=14)
BC、OC的长是方程的 的解，且OC＞BC．
4x−5 y=6
(1)求直线BD的解析式；
(2)求△OFH的面积；
【题型9 绝对值函数与方程、不等式之间的关系】
【例9】（24-25八年级·重庆沙坪坝·期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式
——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程. 在画函数图象时，我们通过描点、平
移、对称的方法画出了所学的函数图象. 同时，我们也学习了绝对值的意义
|a)=
{ a(a≥0) )，结合上面
−a(a<0)
经历的学习过程，现在来解决下面的问题
在函数y=−|x−2|+b中，自变量x的取值范围是全体实数，下表是y与x的几组对应值：
x −1 0 1 2 3
y … 0 1 2 3 2 …
(1)根据表格填写：b=_______.
(2)化简函数解析式：
当×<2时，y=_______；
当x≥2时，y=______.
(3)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并解决以下问题；①该函数的最大值为_______.
②若A(a,−1),B(b,−1)为该函数图象上不同的两点，则a+b=________.
1
③根据图象可得关于x的方程− x+1=−|x−2|+b的解为_______.
5
【变式9-1】（24-25八年级·江苏盐城·期中）某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数
|3x−6)+x+2 |3x−6)+x+2
y= 的图象与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数y= 的图象与性
2 2
质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数y=ax+1的图象与函数
|3x−6)+x+2
y= 的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是 ．
2
【变式9-2】（24-25八年级·江苏淮安·期中）在我们学习函数的过程中，经历了“确定函数的解析式一利
用函数图象研究其性质”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的
大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义 |a)= { a(a≥0) )
−a(a<0)阳阳结合上面的学习过程，对函数y=|2x−1|的图象与性质进行了探究．
1 1
(1)① 化简函数y=|2x−1|的表达式：当x≥ 时，y= ，当x＜ 时，y= ；
2 2
② 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(2)函数y =|2x−1|+1的图象可由y=|2x−1|的图象向上平移1个单位得到；
1
① 当0≤x<3时，y 的取值范围是 ；
1
② 当2≤ y ≤5时，x的取值范围是 ；
1
③ 当mx+2？
预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图
象，可以解决一系列问题．
图①中给出了函数y=x+1和y=2x+3的图象，观察图象，我们可以得到：当x>−2时，函数y=2x+3的
图象在y=x+1图象上方，由此可知：不等式2x+3>x+1的解集为_________．
预备知识2：函数 y=|x)= { x(x≥0) ) ， 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数
−x(x<0)
式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝
对值符号，比如化简|x−1)+|x−3)时， 可令x−1=0和x−3=0， 分别求得x=1，x=3 (称1， 3分别
是|x−1)和|x−3)的零点值)， 这样可以就x<1，1≤x<3，x≥3三种情况进行讨论：
（1） 当x<1时，|x−1|+)x−3)=−(x−1)−(x−3)=4−2x
（2） 当1≤x<3时，|x−1|+)x−3)=(x−1)−(x−3)=2；
（3） 当x≥3时，|x−1)+|x−3)=(x−1)+(x−3)=2x−4，{4−2x(x<1)
)
所以 就可以化简为
|x−1)+|x−3) 2(1≤x<3)
2x−4(x≥3)
预备知识3：函数y=b(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示．
[知识迁移]
如图④，直线y=x+1与直线y=ax+b相交于点A(m，3)，则关于x的不等式x+1≤ax+b的解集是
___________．
[问题解决]
结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式|x−1|+)x−3)>x+2.．
（1）请在平面直角坐标系内作出函数y=|x−1)+|x−3)的图象；
（2）通过观察图象，便可得到不等式|x−1|+)x−3)>x+2的解集，这个不等式的解集为_______．
【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】
【例10】（2024八年级·全国·专题练习）阅读，我们知道，在数轴上，x=1表示一个点，而在平面坐标系
中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x−y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形，就
是一次函数y=2x+1的图像，它也是一条直线，如图1，可以得出，直线x=1与直线y=2x+1的交点P的
{ x=1 ) {x=1)
坐标(1,3)就是方程组 的解，所以这个方程组的解为 ．
2x−y+1=0 y=3
在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧的部分，如图2；y≤2x+1，也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它下方的部分，如图3．
回答下列问题：
{ x=−2 )
(1)在直角坐标系（如图4）中，用作图的方法求方程组 的解；
y=−2x+2
{ x≥−2 )
(2)用阴影表示 y≤−2x+2 所围成的区域．
y≥0
【变式10-1】（2024八年级·全国·专题练习）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集( )
A． x−y≤−5 B． x+ y≥−5 C． x+ y≤5 D． x−y≤5
【变式10-2】（2024八年级·全国·专题练习）如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）
{ 2x+ y≥5 ) { 2x+ y≤5 )
A． 3x+4 y≥9 B． 3x+4 y≤9
y≥0 y≥0
{ 2x+ y≥5 ) { 2x+ y≤5 )
C． 3x+4 y≥9 D． 3x+4 y≥9
x≥0 x≥0
【变式10-3】（24-25八年级·湖北随州·期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程x−y=0的{x=1)
一个解 可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x−y=0的解为坐标的点的
y=1
全体叫作方程x−y=0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直
线，我们可以把方程x−y=0的图象称为直线x−y=0．
直线x－y＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x，y）的坐标满
0 0
足不等式x－y≤0，那么点M（x，y）就在直线x－y＝0的上方区域内。特别地，x=k（k为常数）表示横
0 0
坐标为k的点的全体组成的一条直线，y=m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线．请
根据以上材料，探索完成以下问题：
8 3 13 5 9
（1）已知点A（2，1）、B（ ， ）、C（ ， ）、D（4， ），其中在直线3x−2y=4上的点有
3 2 6 4 2
（只填字母）；请再写出直线3x−2y=4上一个点的坐标 ；
{0≤x≤4)
（2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组 ，则所有的点P组成的图形的面积是 ；
0≤ y≤3
（3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组，请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形（涂上阴
影），并求出上述图形的面积．
