文档内容
专题 19.4 一次函数与方程、不等式之八大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】............................................................................................1
【考点二 由一元一次方程的解求直线与x轴的交点】.................................................................................2
【考点三 利用图象法解一元一次方程】........................................................................................................3
【考点四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】....................................................................................5
【考点五 根据两条直线的交点求不等式的解集】........................................................................................7
【考点六 两条直线的交点求二元一次方程组的解】....................................................................................9
【考点七 图象法解二元一次方程组】..........................................................................................................11
【考点八 求直线围成的图形面积】..............................................................................................................13
【过关检测】............................................................................................................................................................15
【典型例题】
【考点一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】
例题：（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知一次函数 的图象与x轴的交点坐标为 ，则一
元一次方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．
根据“一次函数与一元一次方程的关系”求解．
【详解】解：∵一次函数 的图象与x轴的交点坐标为 ，∴一元一次方程 的解为： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，若一次函数 的图象经过A、B两点．则方程
的解为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合分析是解题关键．直接利用图象得出答
案．
【详解】解：如图所示：不等式 的解为： ．
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·福建宁德·期末）已知一次函数 的图象如图所示，则关于x的方程
的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程可利用一次函数的图象求解．观察图象， 时，x的值即为关于x
的方程 的解，据此求解．
【详解】解：∵一次函数 的图象与y轴交点的纵坐标是 ，
∴当 时， ，即 ，
∴关于x的方程 的解为 ，故答案为： ．
【考点二 由一元一次方程的解求直线与x轴的交点】
例题：（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程 的解是 ，则直线 一定经过
点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据方程可知当 ， ，从而可判断直线 经过点 即可．
【详解】解：由方程的解可知：当 时， ，即当 ， ，
∴直线 的图象一定经过点 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题
的关键．
【变式训练】
1．（2023八年级下·全国·专题练习）已知方程 的解为 ，则一次函数 的图象与
轴交点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】关于 的一元一次方程 的根是 ，即 时，函数值为 ，所以直线过点
，于是得到一次函数 的图象与 轴交点的坐标．
【详解】解：方程 的解为 ，则一次函数 的图象与 轴交点的坐标为 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 ， 为
常数， 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 时，求相应的自变量的
值．从图象上看，相当于已知直线 确定它与 轴的交点的横坐标的值．【考点三 利用图象法解一元一次方程】
例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则
关于x的方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用 求出交点 的坐标，然后根据一次函数图
象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键．
【详解】解：把 代入 得 ，解得 ，
∴一次函数 与 的图象的交点 为 ，
∴关于 的方程 的解是 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数 （ 为常数且 与 的图象相交于
点 ，则关于 的方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意得 ，进而可得 ，再根据一次函
数 （ 为常数且 与 的图象相交于点 即可求解，熟练掌握基础知识是
解题的关键．
【详解】解：依题意得： 的图象经过点 ，
，解得： ，
，
一次函数 （ 为常数且 与 的图象相交于点 ，
方程 的解为 ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线 与 相交于点 ，则关于 的方程
的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数图象与一元一次方程的综合，根据题图示，两条直线的交点即为方程的解，
由此即可求解，掌握一次函数的交点与一元一次方程的解的知识是解题的关键．
【详解】解：根据题意，两直线的交点坐标为 ，
∴关于 的方程 的解为： ，
故答案为： ．
【考点四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】
例题：（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，一次函数 的图像经过 两点，则关于 的
不等式 的解集是 ．
【答案】【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数与一元一次不等式之间的内在联系是
解题的关键．
由图像可知： ，且当 时，一次函数 的图像在x轴的下方， ，即可得到关于x
的不等式 的解集是 ．
【详解】解：由图像可得：一次函数 中， 时，图像在x轴下方，此时 ，
则关于x的不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如果一次函数 的图象如图所示，则关于 的不等式
的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与 轴的交点以及解不等式：先把 代入 ，得 ，结合图
象，得 ，则 ，那么 ，即为 ，系数化1，即可作答．
【详解】解：∵一次函数 与 轴的交点坐标为
∴把 代入 ，得 ，
∴
结合图象，得
∵
∴
则
∵∴
故答案为：
2．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，点 在一次函数 的图像上，则不等式
的解集是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
的值大于（或小于）0的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在 轴上（或
下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象即可求解．
【详解】解：由图象可得：当 时， ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
【考点五 根据两条直线的交点求不等式的解集】
例题：（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线 与直线 的交点的横坐标
为 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查直线与不等式，先求出两直线的交点为 ，代入 ，求出 ，及直线 与
的交点坐标，结合函数图象可得结论．【详解】解：∵直线 与直线 的交点的横坐标为 ，
∴ ，
∴直线 与直线 的交点坐标为 ，
∴
解得， ，
∴
当 时， ，
∴ 与 轴的交点坐标为
∴ 的解集为 ，
故答案为：
【变式训练】
1．（22-23八年级上·广西钦州·期末）如图，直线 经过点 和点 ，直线 经过
点A，则不等式 的解集为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查一次函数与不等式，利用图象法求出不等式的解集即可．
【详解】解：根据题意得，∴不等式 的解集为 ；
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）一次函数 与 的图象如图，则下列结论：①
；②关于 的方程 的解是 ；③当 时， ；④当 时， ．
其中正确的有 （填序号）．
【答案】①④
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大
于（或小于）0的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在 轴上（或下）方
部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．利用一次函数的性质对①进行判断；利
用一次函数的交点问题对②④进行判断；结合函数图象对③进行判断．
【详解】解： 直线 经过第一、三象限，
，
直线 与 轴的交点在 轴下方，
，
，故①正确；
一次函数 与 的图象的交点的横坐标为3，关于 的方程 的解是 ，故②错误；
当 时， ，故③错误；
当 时，函数 ，
一次函数 与 的图象的交点的横坐标为3，
关于 的方程 的解是 ，
，
，故④正确；
故答案为：①④．
【考点六 两条直线的交点求二元一次方程组的解】
例题：（22-23八年级上·江苏苏州·期末）若一次函数 、 的图象相交于 ，则关于 、
的方程组 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系，熟练掌握两个一次函数的交点坐标即为
两个函数所组方程组的解是解题的关键．
根据一次函数 、 的图象相交于 ，因此点 坐标，必为两函数解析式所组方
程组的解．
【详解】解：∵一次函数 、 的图象相交于 ，
∴方程组 的解为 ．
故答案为： ．【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东济南·期末）若方程组 的解是 ，则直线 与
交点的坐标为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．二元一次方程可以化为一次函数，两个二元一次方程组
的解就是两个函数的交点坐标．
【详解】解：∵方程组 的解是 ，
∴直线 与 的交点坐标是 ．
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·陕西西安·开学考试）一次函数 的图象和 的图象相交于点 ，
则关于 的二元一次方程组 的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的运用，掌握一次函数的交点与二元一次方程组的解的
运用是解题的关键．
根据一次函数的交点，把点 代入一次函数 ，可解出 的值，由此即可求解．
【详解】解：∵一次函数 的图象和 的图象相交于点 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴二元一次方程组 的解为 ，
故答案为： ．
【考点七 图象法解二元一次方程组】
例题：（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）一次函数 与 的图象相交于如图点 ，则
关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】先利用 确定 点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进
行判断，本题考查了利用函数图像求二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解与
一次函数交点的关系．
【详解】解：把 代入 得： ，
解得 ，所以 点坐标为 ，
所以关于 、 的二元一次方程组 的解是： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数 和 的图象相交于点 ，则
关于 、 的方程组： 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一
次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解．
【详解】解： 一次函数 和 的图象相交于点 ，
的解为 ，
故答案为： ．2．（22-23八年级上·山东青岛·期末）一次函数 和 的图象上一部分点的坐标见表：则方
程组 的解为 ， ．
2 1 0
0 3 6 9
6 3 0
【答案】 1 3
【分析】利用表中的对应值得到 时， ，则可判断一次函数 的图象和 的图
象的交点坐标为 ，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】解：由表中数据得到 时， ，
所以一次函数 的图象和 的图象的交点坐标为 ，
所以方程组 的解为 ， ．
故答案为：1，3．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【考点八 求直线围成的图形面积】
例题：（23-24八年级上·内蒙古包头·期中）一次函数 的图象与坐标轴所围成的三角形面积是
．
【答案】 /
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，结合一次函数 的图象可以求出图象与x
轴的交点 以及y轴的交点 ，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【详解】解：∵在 中，令 ，则 ，
，
x＝ ，
令 ，则 ，
∴一次函数 的图象与x轴的交点 ，与y轴的交点为 ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）已知一次函数 图象过点 ，且与两坐标轴围成的
三角形面积为4，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确求得与x轴的交点坐标是关键．
先把点 代入解析式求出 ，设一次函数与x轴的交点是 ，根据三角形的面积公式即可求得a
的值，然后利用待定系数法即可求得 的值．
【详解】解：∵一次函数 图象过点 ，
∴ ，
设一次函数与x轴的交点是 ，
则 ，
解得： 或 ．
把 代入 ，解得： ，
把 代入 ，得 ．
故答案是： ．2．（23-24八年级上·重庆南岸·期中）已知一次函数 的图象与坐标轴围成三角形的面积为4，则
m的值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积公式，有一定的综合性，注意点的坐标和
线段长度的转化．先求出一次函数 与x轴和y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于m
的方程，解方程即可求出m的值．
【详解】解：把 代入一次函数 得： ，
解得： ，
∴一次函数 与x轴的交点为 ，
把 代入一次函数 得： ，
∴一次函数 与y轴的交点为 ，
∵一次函数 的图象与坐标轴围成三角形的面积为4，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【过关检测】
一、单选题
1．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，则不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出与 轴的交点坐标．根据点A的坐标
找出 值，令一次函数解析式中 求出 值，从而找出与 轴的交点坐标，观察函数图象，找出在 轴
上方的函数图象，由此即可得出结论．
【详解】解： 一次函数 的图象与 轴交于点 ，
，
令 中 ，则 ，
解得： ，
的图象交 轴于点 ．
观察函数图象，发现：
当 时，一次函数图象在 轴上方，
不等式 的解集为 ．
故选：A．
2．（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模）在同一平面直角坐标系中，直线 与 相交于点 ，
则关于x，y的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．先将点代入 ，求出 ，即可确定方程组的解．
【详解】解：将点 代入 ，
得 ，
，
原方程组的解为 ，
故选：C
3．（22-23八年级下·吉林白山·期末）如图，一次函数 与一次函数 的图象交于点 ，
则关于的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．直接利用图象得出不等
式 的解集．
【详解】解：如图所示：
一次函数 与一次函数 的图象交于点 ，
关于的不等式 的解集是： ．
故选：D．
4．（22-23八年级下·四川成都·期末）在直角坐标平面内，一次函数 的图象如图所示，那么下列
说法正确的是（ ）A．当 时， B．方程 的解是
C．当 时， D．不等式 的解集是
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据函数的图象直接进行解答即可判断求解，利用数形结合求解是
解题的关键．
【详解】解：一次函数 的图象与 轴， 轴的交点为 ， ，
当 时， ，故 错误，不符合题意；
方程 的解是 ，故 正确，符合题意；
当 时， ，故 错误，不符合题意；
不等式 的解集是 ，故 错误，不符合题意；
故选： ．
5．（23-24八年级上·山东济南·期末）一次函数 ， ，点 是 ， 与
轴围成的三角形内一点（含边界），令 ， 的最大值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查两条直线相交的问题，掌握一次函数图象的性质，点坐标的特点，明确点
在交点 处面积最大是解题的关键．
根据题意可求出 点的坐标，可得 ，根据两条直线的交点处，图形的面积最大，由此可得
，再根据 即可求解．【详解】解：一次函数 ，令 ，则 ；令 ，则 ；
一次函数 与 轴的交点为 ，
∵点 是 ， 与 轴围成的三角形内一点（含边界），
∴ ，
如图所示，
∴当点 在点 处， 的值最大，即点 在直线 的图象上，
∴ ，
∴ ，
解得， ，
∴交点坐标为： ，
∴点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
解得， ，
故选： ．
二、填空题
6．（23-24八年级上·四川成都·期末）若直线 与 的交点的坐标为 ，则方程
的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是一次函数与一元一次方程，一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数与一元一次方程，一次函数的图象和性质，由交点坐标就是该方程的解可得答案．
【详解】关于x的方程 的解，即直线 与 的交点横坐标，
所以方程的解为 ，
故答案为 ．
7．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，已知函数 和 图象交于点P，点P的纵坐
标为2.5，则关于x、y的方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的
交点坐标解决问题，把 代入 ，得出 ，则两个一次函数的交点 ；那么
交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的
交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：把 代入 ，
解得 ，
函数 和 的图象交于点 ，
即 ， 同时满足两个一次函数的解析式，
所以关于 ， 的方程组 的解是 ．故答案为： ．
8．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，函数 与 的图像相交于点 ，则关于 的
不等式 的解为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了利用一次函数的图像解不等式，掌握数形结合的方法是解题的关键．先利用正比
例函数解析式确定 点坐标，然后观察函数图像得到，当 时，直线 在直线 下方，
于是可得到不等式 的解集．
【详解】解：根据题意，函数 与 的图像相交于点 ，
将点 代入函数 ，
可得 ，解得 ，
∴ ，
由函数图像可知，当 ，直线 在直线 下方，
此时可有 ，即有 ，
∴关于 的不等式 的解为 ．
故答案为： ．
9．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）若一次函数 与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为 ．
【答案】 或
【分析】先求出函数图象与两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解即可得出答案．
【详解】一次函数 中
令 ，则
令 ，则
这个一次函数的解析式为 或 ．
【点睛】本题考查了求直线围成的图形面积，解题的关键是求出交点坐标．
10．（23-24八年级上·江苏南京·期末）一次函数 与 的图像如图所示，下列结论中正确
的有 （填序号）
①对于函数 来说，y的值随x值的增大而减小
②函数 的图像不经过第一象限
③
④
【答案】①②③
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．
①根据函数图象直接得到结论；②根据a、d的符号即可判断；③当 时， ；④当 时，根据
图象得不等式．
【详解】解：由图象可得：对于函数 来说，y随x的增大而减小，故①正确；由图象可得： ，
∴函数 的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确；
∵一次函数 与 的图象的交点的横坐标为3，
∴ ，
∴ ，即 ，故③正确；
当 时， ，由图象可知 ，
∴ ，故④错误；
综上①②③都正确，
故答案为：①②③．
三、解答题
11．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知函数 和 的图象交于 ，这两
个函数的图象与 轴分别交于点 、 ．
(1)根据图象直接写出方程组 的解为____________；
(2)根据图象直接写出不等式 的解集为___________；
(3)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，
待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题．
（1）根据两直线的交点横纵坐标即为两直线组成的二元一次方程组的解进行求解即可；
（2）根据函数图象找到直线 的函数图象在直线 的函数图象上方时自变量的取值范围即
可；
（3）先求出两直线解析式进而求出A、B坐标，再由 进行求解即可．
【详解】（1）解：∵函数 和 的图象交于 ，
∴方程组 的解为 ，
故答案为： ；
（2）解：由函数图象可知不等式 的解集为 ，
故答案为： ；
（3）解：把 代入 中得： ，
∴ ，
∴
把 代入 中得： ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，当 时， 和 ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
12．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，已知直线 ： 与y轴交于点A，且和直线
： 交于点 ，根据以上信息解答下列问题：
(1)求a的值，判断直线 ： 是否也经过点P并说明理由；
(2)不解关于x，y的方程组 请你直接写出它的解；
(3)若当直线 ， 表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好 ，求直线 的函数表达式．
【答案】(1) ，经过，理由见详解
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数的交点问题以及求一次函数解析式．
（1）将P点坐标代入 的解析式中，解方程即可求得a的值，据此得出P的坐标，再将点P的坐标代入直
线 的解析式中，确定出m和n的关系，将点P的横纵坐标代入 解析式中，确定等号是否成立即可；
（2）结合函数图像即可求出方程组的解．
（3）根据题意可得直线 过点 和点 ，利用待定系数法即可求出 的函数表达式
【详解】（1）解：因为点 在直线 上，所以当 时， ．
直线 也经过点P．理由如下：
由（1）知点 ，
将点 代入 ，得： ，
再将点P的横坐标 代入 ，
结果与P的纵坐标一致，
所以直线l 也经过点P．
3
（2）方程组 的解即直线 和 的交点坐标P，
即方程组 的解为 ．
（3）∵当直线 和 表示的两个一次函数的函数值都大于0时，恰好 ，
所以直线 过点 ．
又因为直线 过点 ，
所以
解得
所以直线 的函数表达式为 ．
