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第 03 讲 导数与函数的极值、最值
目录
01模拟基础练.......................................................................................................................................2
题型一：求函数的极值与极值点................................................................................................................................2
题型二：根据极值、极值点求参数............................................................................................................................2
题型三：求函数的最值（不含参）............................................................................................................................3
题型四：求函数的最值（含参）................................................................................................................................3
题型五：根据最值求参数............................................................................................................................................4
题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用........................................................................................................4
题型七：不等式恒成立与存在性问题........................................................................................................................5
02重难创新练.......................................................................................................................................6
03 真题实战练.......................................................................................................................................9题型一：求函数的极值与极值点
1．已知函数 ，当 时，求 的极值.
2．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性，并求出 的极小值．
3．已知 ，函数 ．证明 存在唯一的极值点.
题型二：根据极值、极值点求参数
4．已知函数 在 时有极值0，则 ．
5．（2024·陕西铜川·三模）若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围为 .
6．（2024·四川成都·模拟预测）若函数 在 上有2个极值点，则实数 的取值
范围是 .7．已知函数 ，其中 且 ．若 存在两个极值点 ， ，则实数a的取值
范围为 ．
题型三：求函数的最值（不含参）
8．函数 在区间 上的最大值是 ．
9．（2024·安徽·二模）已知函数 ，当 时 的最大值与最小值的和为
．
10．函数 在区间 上的最大值是 ；最小值是 ．
题型四：求函数的最值（含参）
11．已知函数 ．
(1)求函数 的最小值；
(2)求函数 在 上的最小值.
12．已知函数 .
(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 在 上的最小值为0，求实数 的值.
13．已知函数 ，其中 ，求函数 在区间 上的最小值 ．
14．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；(2)若 的最小值不大于0，求 的取值范围.
15．（2024·山西吕梁·二模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间和极值；
(2)求 在区间 上的最大值.
题型五：根据最值求参数
16．若函数 在区间 上存在最小值，则 的取值范围是 .
17．（2024·上海静安·二模）已知实数 ，记 ．若函数 在区间 上的最
小值为 ，则 的值为 ．
18．（2024·高三·吉林长春·开学考试）函数 在 内有最小值，则实数 的取值
范围为 .
题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用
19．（2024·高三·浙江杭州·期中）设 ，已知函数 ， .
（Ⅰ）设 ，求 在 上的最大值.
（Ⅱ）设 ，若 的极大值恒小于0，求证： .
20．已知函数 ．(1)当 在 处取得极小值－1时，求 的解析式；
(2)当 时，求 在区间 上的最值；
(3)当 且 时，若 ， ，求a的取值范围．
21．已知 ， .
(1)证明：当 ， 有且只有2个零点；
(2)讨论是否存在 使 有极小值？并说明理由.（注：讨论过程要完整，有明确的结论）
题型七：不等式恒成立与存在性问题
22．已知 ， ，若 ， ，使 成立，则实数
的取值范围是 ．
23．已知 ， ，若 ， ，使得 成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
24．已知 使得不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．1．（2024·四川眉山·三模）已知函数 ，则 的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）若 为函数 的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数
的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江台州·二模）已知函数 ，满足 ，则（ ）
A．函数 有2个极小值点和1个极大值点
B．函数 有2个极大值点和1个极小值点
C．函数 有可能只有一个零点
D．有且只有一个实数 ，使得函数 有两个零点
4．（2024·全国·二模）已知 是函数 的极大值点，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
5．（2024·甘肃兰州·一模）已知定义在 上的函数 ， 是 的导函数，且满足
， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖南怀化·二模）若 在 上恒成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
7．（2024·四川成都·二模）已知函数 ， .若存在 ， 使得
成立，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·辽宁鞍山·三模）已知函数 有三个极值点，则 的取值范围是
A． B．( , ) C． D．( ， ）
9．（多选题）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，
则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”
就是三次函数图象的对称中心.已知函数 图象的对称中心为 ，则下列说法中正
确的有（ ）
A． ， B．函数 的极大值与极小值之和为6
C．函数 有三个零点 D．函数 在区间 上的最小值为1
10．（多选题）（2024·辽宁大连·二模）已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． 的值域是
C．方程 有三个实数解
D．对于 ， （ ）满足 ，则
11．（多选题）已知函数 在 上可导且 ，其导函数 满足 ，对于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．函数 在 上为增函数 B． 是函数 的极小值点
C．函数 必有2个零点 D．
12．已知 ，对任意的 都有 ，则 的取值范围为 .
13．（2024·山东青岛·一模）函数 在 处取得极大值，则实数 的取值
范围为 ．
14．已知函数 .若 是 在 上的极小值点，则实数 的取值范围是 .
15．（2024·重庆·一模）已知函数 ， .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 存在唯一极值点，求 的取值范围.
16．已知函数 ，
（1）求函数 的单调增区间；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
17．（2024·安徽淮北·二模）已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ．
（2）若 存在两个极值点 ，证明： ．18．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线 在 处的切线方程为 ，且
．
（1）求 的解析式；
（2）求函数 的极值；
（3）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
19．已知函数 （ ， ）．
（1）当 ， 时，求曲线 在点 处的切线方程．
（2）设 ， 是 的两个极值点， 是 的一个零点，且 ， ．证明：存在实数 ，
使得 ， ， ， 按某种顺序排列后构成等差数列，并求 的值．
1．（2024年天津高考数学真题）设函数 ．
(1)求 图象上点 处的切线方程；
(2)若 在 时恒成立，求 的值；
(3)若 ，证明 ．2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
3．（2024年上海夏季高考数学真题）对于一个函数 和一个点 ，令
，若 是 取到最小值的点，则称 是 在 的“最近点”．
(1)对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“最近点”；
(2)对于 ，请判断是否存在一个点 ，它是 在 的“最近点”，且直线 与
在点 处的切线垂直；
(3)已知 在定义域R上存在导函数 ，且函数 在定义域R上恒正，设点
， ．若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近
点”，试判断 的单调性．
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围．
5．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 ，若 为函数 的极大值点，则
（ ）A． B． C． D．
6．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
7．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 和 分别是函数 （ 且
）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
9．（2021年全国新高考I卷数学试题）函数 的最小值为 .
10．（2023年北京高考数学真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
11．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.12．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
13．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
14．（2021年天津高考数学试题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
