文档内容
专题 19.2 一次函数的定义、图象和性质之九大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 判别是否一次函数】........................................................................................................................1
【考点二 根据一次函数的定义求参数的值】................................................................................................2
【考点三 由点一次函数直线上求代数式的值】............................................................................................3
【考点四 画一次函数的图象】........................................................................................................................5
【考点五 一次函数的图象和性质】..............................................................................................................12
【考点六 根据一次函数经过的象限求参数问题】......................................................................................14
【考点七 根据一次函数的增减性求参数问题】..........................................................................................16
【考点八 一次函数的图象与坐标轴的交点问题】......................................................................................17
【考点九 两个一次函数图象共存问题】......................................................................................................18
【考点十 一次函数中的规律探究问题】......................................................................................................20
【过关检测】............................................................................................................................................................23
【典型例题】
【考点一 判别是否一次函数】
例题：（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）下列关于x的函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如 ， 、 是常数）的函数，叫做一次函
数．根据定义判断即可；解题的关键是熟知一次函数的定义．
【详解】解：A、 自变量次数不为1，故不是一次函数，本选项不符合题意；
B、、 不符合一次函数的一般形式，本选项不符合题意；C、 当 时，才是一次函数．本选项不符合题意；
D、 符合一次函数的一般形式，符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列函数：① ；② ；③ ；④ ，其中一次
函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的甄别，根据一次函数的定义，判断即可．
【详解】一次函数的是：① ；② ；④ ，不是一次函数的是③ ；
故选C．
2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列各式① ；② ；③ ；④ ；⑤
，是一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如 ，（k为常数， ）的函数叫做一次函数．
根据定义分析即可．
【详解】解：① 的右边不是整式，不是一次函数；
② 的右边不是整式，不是一次函数；；
③ 是一次函数；
④ 的自变量的次数是2，不是一次函数；
⑤ 是一次函数．
故选B．
【考点二 根据一次函数的定义求参数的值】例题：（23-24八年级·全国·假期作业）已知函数 是关于 的一次函数，则 ，若
该函数是正比例函数，则 ， ．
【答案】 0
【分析】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如 （k是常数， ）的函数叫做正比例函数，
其中k叫做比例系数．一次函数的定义：一般地，形如 （ ，k、b是常数）的函数，叫做一次
函数．根据一次函数的定义，正比例函数的定义求解即可．
【详解】解：当函数 是关于x的一次函数时， ，且 ，解得 ；
当函数 是关于x的正比例函数时， ， ，且 ，解得 ， ．
故答案为： ， ，0．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·山东威海·期末）已知函数 是关于 的一次函数，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．
由题意得， ，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：∵函数 是关于 的一次函数，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（22-23八年级上·四川成都·期末）已知函数 是关于x的一次函数，则 ．
【答案】
【分析】该题主要考查了一次函数的定义，解答的关键是熟悉一次函数的定义；
根据函数是一次函数，得出 ，进行解答即可；【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【考点三 由点一次函数直线上求代数式的值】
例题：（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）点 在函数 的图象上，则代数式 的值
为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了图象过点，把坐标代入解析式，转化为代数式的值的问题解答即可．
【详解】∵点 在函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
故答案为：15．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山西运城·期末）若一次函数 的图象过点 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特点，代数式求值，将 代入一次函数 ，可得
，然后代入代数式计算即可．
【详解】解： 一次函数 的图象过点 ，
，
，
故答案为： ．2．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）点 在直线 上，则代数式 的值是 ．
【答案】5
【分析】本题考查代数式求值，一次函数上的点与其解析式的关系，根据题意，将点 代入直线
得到 ，恒等变形得到 ，整体代入代数式即可得到答案，熟练掌握整体代入求
代数式值的方法是解决问题的关键．
【详解】解： 点 在直线 上，
将点 代入直线 得到 ，
，
故答案为： ．
【考点四 画一次函数的图象】
例题：（23-24八年级上·河南漯河·期末）已知函数 ．
(1)填表，并画出这个函数的图象
… …
x 0 _________
… …
… …
______ 0
… …
(2)根据函数 的性质或图象，直接写出x取何值时， ．【答案】(1)表中信息见解析，图象见解析
(2)
【分析】本题考查一次函数图象及性质，画一次函数图象，求自变量或因变量值．
（1）根据题意
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴表中信息如下：
… …
x 0
… …
… …
0
… …
图象如下：；
（2）解：根据函数图象可知，当 时， ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）已知一次函数 ，请回答下列问题：
(1)请用描点法画出它的图象：
解：列表：
0
4 0
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点；连线：把这两点连接起来，得到
的图象；表格中 的值为___________；请在坐标系中画出 的图象；(2)若一次函数 的图象与一次函数 图象关于 轴对称，请画出一次函数 的图象，
并求出它的解析式；
(3)若平行于 轴的直线分别交 的图象， 的图象于 两点，已知 的长为4，则点
的横坐标是___________．
【答案】(1) ，图见解析
(2) ，图见解析
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数，轴对称，
（1）将 代入函数，即可解答，再利用描点法画函数图象，即可解答；
（2）得到一次函数 与 轴的交点， 关于 轴的对称点，再利用待定系数法，求得一次函数
解析式即可解答；
（3）设平行于 轴的直线为 ，求得直线 与两个函数的交点，利用两交点的横坐标之差的绝对值
为4，列方程即可解答．
熟知平行于y轴的线段长度为横坐标之差的绝对值是解题的关键．
【详解】（1）解：将 代入函数，可得 ，
解得 ，
函数图象，如图所示：（2）解：根据（1）可得函数图象与 轴的交点为 ，
关于 轴的对称点为 ，
把 ， 代入 ，
可得 ，
解得 ，
，
函数图像，如图所示：（3）解：设平行于 轴的直线为 ，
当 时，可得 ， ，
可得点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
则 ，
解得 ，
点 的横坐标为 或 ．
2．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知直线 的表达式为 ，点A，B分别在x轴、y轴上．
(1)求出点的A，B的坐标，并在下图中画出直线 的图象；
(2)将直线 向上平移4个单位得到直线 ，点C，D分别在x轴、y轴上．求出点C，D的坐标及直线的表达式，并在下图中画出直线 的图象；
(3)若点P到x轴的距离为4，且在直线 上，求 的面积．
【答案】(1) ，点 ；图象见解答过程；
(2) ，点 ，直线 的表达式为 ；
(3)4或12．
【分析】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，三角形的面积等，
熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点的方法，一次函数的平移规律是解决问题的关键．
（1）对于 ，当 时， ，当 时， ，由此可得点A，点B的坐标，然后画出直线
即可；
（2）根据一次函数平移的规律得直线 的解析式为 ，然后再分别求出点C，D的
坐标，画出直线 即可；
（3）根据点P在直线 上，可设点P的坐标为 再根据点P到x轴的距离为4得 ，由
此解出t，进而得点P的坐标，然后再求出 的面积即可．
【详解】（1）解：对于 ，当 时， ，当 时， ，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，直线 如图1所示：（2）解：对于直线 ，向上平移4个单位得： ，
即直线 的解析式为 ，
对于 ，当 时， ，当 时， ，
∴点C的坐标为 ，点D的坐标为 ，直线 如图2所示：
（3）解：∵点P在直线 上，
∴可设点P的坐标为 ，
∵点P到x轴的距离为4，
，
或 ，
由 解得： ，此时点P的坐标为 ，
由 解得： ，此时点P的坐标为 ，
①当点P的坐标为 时，如图4所示：∵点 ， ，
轴， ，
，
∵点D的坐标为 ，
，
；
②当点P的坐标为 时，过点P作 轴于H，如图3所示：
，
由（1）可知： ，．
综上所述： 的面积为4或12．
【考点五 一次函数的图象和性质】
例题：（23-24八年级上·安徽安庆·期末）关于函数 ，下列结论成立的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．图象必经过点 D．图象不经过第一象限
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴函数图象经过一、二、四象限， 随 的增大而减小，
当 时， ，
∴当 时， ，当 时， ，图象必过点 ；
综上：只有选项B成立；
故选B．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·山东济宁·期末）关于一次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点
B．图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为
C．图象不经过第二象限
D．若两点 在该函数图象上，则
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的几何变换，一次函数的性质，掌握函数的性质是解题的关键．
把 代入 求出y的值，即可判断A；根据平移的性质即可判断B；由 ，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数 的图象经过第一、二、四象限，可判断C；由
，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，即可判断D．
【详解】解：A、当 时， ，
∴图象不经过点 ，
故A错误，不符合题意；
B、图象向上平移1个单位长度后得到的函数解析式为 ，
故B错误，不符合题意；
C、解：∵ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
∴一次函数 的图象不经过第三象限，
故C错误，不符合题意；
D、∵ ，
∴y随x的增大而减小，
又∵点 都在该函数图象上，
∴ ，
故D正确，符合题意．
故选：D．
2．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）关于一次函数 的图像与性质，下列说法中不正确的
是 （ ）
A．y随x的增大而增大
B．当 时，该图像与函数 的图像是两条平行线
C．若图像不经过第四象限，则
D．不论m取何值，图像都经过第一、三象限
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系．两条直线的平行问题：若直线与直线 平行，那么 ．根据一次函数的增减性判断A；根据两条直线平
行时，k值相同而b值不相同判断B；根据一次函数图象与系数的关系判断C、D．
【详解】解：A、一次函数 中，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，故本选项说法正确；
B、当 时， ，一次函数 与 的图象是两条平行线，故本选项说法正确；
C、若图象不经过第四象限，则经过第一、三象限或第一、二、三象限，
，即 ，故本选项说法错误；
D、一次函数 中，
∵ ，
∴不论m取何值，图象都经过第一、三象限，故本选项说法正确．
故选：C．
【考点六 根据一次函数经过的象限求参数问题】
例题：（22-23八年级下·吉林四平·期末）若一次函数 的图象经过第一、三、四象限，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．首先根据一
次函数 的图像经过第一、三、四象限，得 ，解此不等式组即可得到 的取值
范围．
【详解】解： 一次函数 的图像经过第一、三、四象限，
，
解得： ，的取值范围是 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2024八年级·全国·竞赛）若直线 不经过第一象限，则m的范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，注意分类讨论．分两
种情况讨论：当 时，当 时，分别求出结果即可．
【详解】解：当 时， 不经过第一象限，满足题意；
当 时， ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
2．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）若一次函数 （k为常数且 ）的图象过点 ，且经过
第二、三、四象限．
（1） ．（请用含k的代数式表示）
（2）若 ，则m的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据题意列不等式，解不等式即可得到结论．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确记忆一次函数的性质是解题关键．
【详解】解：（1）∵一次函数 （k为常数且 ）的图象过点 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵函数图形过第二、三、四象限，∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
故答案为： ．
【考点七 根据一次函数的增减性求参数问题】
例题：（22-23九年级下·江苏连云港·阶段练习）若一次函数 的函数值 随着自变量 值的增大而
增大，则 （写出一个满足条件的值）．
【答案】
【分析】根据，函数值 随着自变量 值的增大而增大，得到 ，写出一个正数即可，本题考查了一次
函数的性质，解题的关键是：熟练掌握一次函数的性质．
【详解】解： 一次函数 的函数值 随着自变量 值的增大而增大，
，
任取一正数， （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·四川成都·期末）已知在一次函数 中，y值随x值的增大而减少，则常
数k的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查根据一次函数的增减性，求参数，由一次函数 中，y值随x值的增大而
减少，列出不等式 ，即可求得．
【详解】解：∵一次函数 中，y值随x值的增大而减少，
∴ ，解得： ．
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知点 ， 在一次函数 的图象上，若
，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于 的不
等式，可求得 的取值范围．
【详解】解：∵点 ， 在一次函数 的图象上，若 ，
∴当 时，由题意可知 ，
∴ 随 的增大而减小，
∴
解得： ，
故答案为： ．
【考点八 一次函数的图象与坐标轴的交点问题】
例题：（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）函数 的图象与y轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，掌握一次函数 与y轴的交点为 是
解题关键．令 ，求出 的值，即可得到答案．
【详解】解：令 ，则 ，
函数 的图象与y轴的交点坐标为 ，
故答案为： ．
【变式训练】1．（23-24八年级上·浙江金华·期末）一次函数 与 轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，令 ，代入一次函数解析式，求出自变量的值，即
可得到答案．
【详解】解：对于一次函数 来说，
当 时， ，
解得 ，
∴一次函数 与 轴的交点坐标为 ，
故答案为：
2．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）已知一次函数 与坐标轴围成的三角形面积为 ，则 的值
为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积
公式求解即可，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【详解】解： 次函数 与坐标轴的交点分别为 ， ，
，
解得 ，
故答案为： ．
【考点九 两个一次函数图象共存问题】
例题：（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，一次函数 与 在同一坐
标系内图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数与一次函数的图象和性质，分m、n同正，同负，一正一负，分别判断出
正比例函数和一次函数的图象经过的象限即可得出答案．
【详解】解：①当 时，m、n同号， 过一、三象限，
m，n同正时， 经过一、二、三象限；同负时，过二、三、四象限；
②当 时，m、n异号， 过二、四象限，
， 时， 经过一、三、四象限； ， 时， 过一、二、四象限；
结合各选项可知D正确，
故选：D．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·山东济南·期末）在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象
大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象；
分 和 ，分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可．
【详解】解：当 时，函数 过二、四象限，函数 过一、二、三象限，选项B
中函数图象符合；
当 时，函数 过一、三象限，函数 过一、三、四象限，均不符合；
故选：B．
2．（23-24八年级上·河南焦作·期末）在同一平面直角坐标系中，函数 和 （k为常数，
）的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质；根据一次函数的图象确定两个函数经过的象限及升降，即可
作出判断．
【详解】解：∵ 和 （k为常数， ），
∴函数 过原点，且经过二、四象限，图象是下降的；一次函数 的图象经过一，三、四，且
图象是上升的，
故A、B、C不合题意，
D选项符合题意；
故选：D．
【考点十 一次函数中的规律探究问题】
例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，……都在x轴上，
点 ， ， ……都在同一条直线上， ， ， ， ， ……都是等腰
直角三角形，且 ，则点 的坐标是 ．
【答案】【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数等知识，解题的关键用列举法找到规律后再解答．
先求出直线解析式，再根据题意分别求出 ， ， ，……的纵坐标，再代入函数表达式中，求出横坐
标，即可得到答案．
【详解】解：平面直角坐标系中的直线过点 ， ，
函数表达式为 ．
， ， ， ， ……都是等腰直角三角形，且 ，
∴ 的纵坐标为1，
的纵坐标为 ，
的纵坐标为 ，
……
的纵坐标为 ，
把 的纵坐标为 代入 中，
解得 ，
点 的坐标是 ．
故答案为：
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东济南·期末）平面直角坐标系中，点 在直线 上，点
在 轴上， 是等腰直角三角形． ，
如果点 ，那么 的纵坐标是 ．【答案】
【分析】过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，设 ，
，分别求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由点 在直线
上得出该直线的表达式为： ，由点 在直线 上，得出 ，
再由点 在直线 上，得出 ，代入 求出 的值即可．
【详解】解：如图，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，
，
设 ， ，
点 ，
，
为等腰直角三角形，且 ，
，
同理可得： ， ， ，， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 在直线 上，
，
解得： ，
该直线的表达式为： ，
点 在直线 上，
，
解得： ，
点 在直线 上，
，
整理得： ，
将 代入 得： ，
点 的纵坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数图象上的点，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次
函数的图象，等腰直角三角形的性质，理解一次函数图象上的点满足一次函数的表达式是解决问题的关键．【过关检测】
一、单选题
1．（2024上·福建三明·八年级统考期末）在下列函数中，正比例函数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正比例函数的识别．熟练掌握正比例函数的定义，是解题的关键．根据正比例函数的定
义：形如 ，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可．
【详解】解：A、 ，是一次函数，不是正比例函数；
B、 ，是一次函数，不是正比例函数；
C、 ，是正比例函数；
D、 ，是二次函数，不是正比例函数；
故选C．
2．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）若直线 （ 是常数， ）经过第二、四象限，则 的值
不可能为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查正比例函数的图象及性质，根据直线 经过的象限得到k的取值范围，即可解答．
【详解】∵直线 （ 是常数， ）经过第二、四象限，
∴ ，
∴k的值不能为2．
故选：D3．（2023下·河北保定·八年级统考期末）直线 沿 轴向上平移 个单位长度后，图象与 轴的交
点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象与平移，利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与
轴的交点，根据平移得出平移后解析式是解题的关键．
【详解】解：直线 沿 轴向上平移 个单位长度后得到函数的解析式为 ，
当 时，
则 ，
∴ ，
∴函数 的图象与 轴的交点坐标是 ，
故选： ．
4．（安徽省亳州市部分学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）下列关于一次函数 的
说法中，正确的是（ ）
A．该函数图象不经过第三象限 B．该函数图象经过点
C．该函数值y随x的增大而增大 D．该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为8
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，掌握一次函数的增减性、与坐标
轴的交点坐标是解题的关键．根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与
直线的交点以及三角形面积公式进行分析判断．
【详解】解：A．由于一次函数 中的 ， ，所以函数图象经过第二、三、四象
限，不经过第一象限，故该选项错误；
B．直线 ，令 可得 ，
解得： ，所以函数图象经过点 ，故该选项错误；C．由于一次函数 中 ，所以y随x的增大而减小，故该选项错误；
D．直线 ，令 可得 ，因此该函数图象与y轴的交点坐标为 ，该函数图象与x轴
的交点坐标为 ，函数图象与坐标轴围成的三角形面积为： ，故该选项正确．
故选：D．
5．（2024上·广东揭阳·八年级统考期末）正比例函数 和一次函数 在同一个直角坐标
系内的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正比例函数图像与一次函数图像，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题．分
和 两种情况讨论：当 时，分析两函数图像经过的象限； 时，再分析两函数图像经过的
象限，即可获得答案．
【详解】解：分两种情况：
①当 时，正比例函数 的图像过原点，且过第一、三象限，
而一次函数 的图像经过第一、三、四象限，无选项符合；
②当 时，正比例函数 的图像过原点、且过第二、四象限，
而一次函数 的图像经过第一、二、三象限，选项D符合．
故选：D．
二、填空题
6．（2023上·山东青岛·八年级校考期中）一次函数 的图象不经过第 象限．
【答案】三
【分析】本题考查一次函数解析式及其性质，根据一次函数的解析式和一次函数的性质，可以得到该函数
的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【详解】解： 一次函数 ， ， ，该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：三．
7．（2023上·上海金山·八年级校联考期末）已知正比例函数 的函数值 随 的增大而增大，则
的取值范围为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了正比例函数的图像与性质、解一元一次不等式等知识，理解并掌握正比例函数的
图像与性质是解题关键．在正比例函数 中，当 时， 随 的增大而增大，据此列不等式并求解
即可．
【详解】解：根据题意，正比例函数 的函数值 随 的增大而增大，
则 ，
解得 ．
故答案为： ．
8．（2024上·陕西宝鸡·八年级统考期末）直线 过点 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，运用了整体代入的数学思想．把点 代入直线
后变形即可求解．
【详解】∵直线 过点 ，
∴
∴ ．
故答案为：
9．（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）已知函数 ，
（1）该函数图象经过定点 ，
（2）如果直线 不经过第三象限，则k的范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质；
（1）将解析式变形，根据题意令含 的项的系数为 ，即可求解；
（2）根据一次函数的性质可得 且 ，解不等式，即可求解．【详解】解：（1）∵ ，
∴当 时， ，
∴该函数图象经过定点 ；
故答案为： ．
（2）∵直线 不经过第三象限，
∴ 且 ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（2023上·广东江门·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，
以 为一边作正方形 ，使得点 在 轴正半轴上，延长 交直线于点 ，按同样方法依次作正
方形 、正方形 正方形 ，使得点 均在直线 上，点
在 轴正半轴上，则点 的横坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正
方形的性质，可得出点 的坐标，同理可得出 、…的坐标，进而得到 、…的横
坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】解：当 时，有 ，解得： ，
∴点 的坐标为 ．
∵四边形 为正方形，
∴点 的坐标为 ．
同理，可得出： ， ， ，…，
∴ 的横坐标为2， 的横坐标为4， 的横坐标为8，…，
∴ 的横坐标为 （n为正整数），
∴点 的横坐标是 ．
故答案为： ．
三、解答题
11．（2024下·全国·八年级假期作业）已知 .
(1)当m，n为何值时， 是 的一次函数？
(2)当m，n为何值时， 是 的正比例函数？
【答案】(1)
(2) ，
【详解】解：（1） 是 的一次函数，
且 ， 为任意实数，解得 .
（2） 是 的正比例函数，
且 ， ，
解得 ，
12．（2024上·江西吉安·八年级统考期末）已知函数 是一次函数，
(1)求 的值；(2)该一次函数当 时，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）根据一次函数的定义即可求解；
（ ）分别求出当 时，当 时 的值，即可求出 的取值范围；
此题考查了一次函数的应用，正确理解一次函数的定义及根据题意得出自变量的取值范围是解题的关键．
【详解】（1）因为 是一次函数，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ；
（2）将 代入得一次函数解析式为 ，当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 的取值范围是 ．
13．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）已知 与 成正比例，当 时， ．
(1)求 与 的函数表达式；
(2)试判断点 是否在（1）中的函数图像上，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点 不在（1）中的函数图像上，理由见详解
【分析】本题考查了正比例函数，以及函数上的点能使方程左右两边相等：
（1）先设 ，代入 ， ，解出 的 ，即可作答．
（2）如果点 代入 ，使方程左右两边相等，则点 就在，否则不在，即可作答．
【详解】（1）解：∵ 与 成正比例，
∴把 ， 代入
得
解得
则
故
（2）解：点 不在（1）中的函数图像上，理由如下：
依题意，把点 代入 ，
则方程右边为 ，方程左边为
∵
∴点 不在（1）中的函数图像上
14．（2023下·陕西西安·八年级统考期末）已知函数 ．
(1)填表，并画出这个函数的图象；
______
______
(2)判断点 是否在该函数的图象上，开说明理由．
【答案】(1) ，(2)点 不在该函数的图象上，理由见解析
【分析】（1）分别将 ， 代入函数解析式中，求出与之对应的 ， 的值，再描点，连线，即可
画出函数图象；
（2）将 代入函数解析式中，求出对应的 值，再与 进行比较即可得出结论．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ，
解得： ，
画出函数图象，如图所示，
故答案为： ， ；
（2）解：点 不在该函数的图象上，理由如下：
当 时， ，
，
点 不在该函数的图象上．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象，熟知直线上任意一点的坐标都满
足该直线解析式时解题关键．
15．（2023上·广西贺州·八年级校考期中）已知一次函数 ，(1)若函数图象平行于直线 ，求m的值；
(2)若函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围：
(3)若函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移，解不等式及不等式组，
（1）根据一次函数图象平移的规律：k值相等，得到 ，由此求解；
（2）根据 时y随自变量x的增大而减小列不等式求解即可；
（3）函数图象不经过第二象限，故函数图象过一、三象限或过一、三、四象限，由此得到 ，
解不等式组即可．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象平行于直线 ，
∴ ，
得 ；
（2）∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴
∴
（3）∵函数图象不经过第二象限，
∴ ，
解得 ．
16．（2022上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知一次函数 的图象与 轴 轴的交点分别为
．(1)直接写出点 点 的坐标；
(2)求 的面积；
(3)如果点 在一次函数 的图象上，且 的面积为 ，求点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)9
(3) 或
【分析】（1）令 可得B点坐标，令 可得A点坐标；
（2）利用三角形面积公式求解；
（3）设 ，根据三角形面积公式列等式，求出t值即可．
【详解】（1）解： 中，
令 ，得 ，解得 ，
；
令 ，得 ，
；
（2）解：由（1）知 ， ，
， ，
；
（3）解： 点 在一次函数 的图象上，
设 ，
的面积为 ，
，即 ，
解得 或 ，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、坐标与图形、三角形面积公式，解题的关键是掌握一次函数的
图象和性质．
17．（2024上·安徽蚌埠·八年级统考期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于点A，B，与直线
交于点 C．
(1)求点 C 的坐标；
(2)求 的面积；
(3)点 D 在直线 上且在点 C 的右侧，如果 的面积和 的面积相等，求点D 的坐标．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是数
形结合，准确计算．
（1）联立 ，解方程组即可；
（2）先求出 ， ，得出 ， ，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（3）根据 ，得出 ，根据点C的纵坐标为3，得出点D的纵坐标为6，把代入 求出 ，即可得出答案．
【详解】（1）解：解方程组
得：
所以点C的坐标是 ．
（2）解：对直线 ，当 时， ；
当 时，解方程 ,得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 的面积为： ．
（3）解：若 ，则 ，
∵点C的纵坐标为3，
∴点D的纵坐标为6，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴点D的坐标为 ．
18．（2023上·广东佛山·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，直线
的解析式为 ，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线 与 交于点C．(1)求点A、点B、点C的坐标，并求出 的面积；
(2)在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1， 交于点M、N，
①若线段 ，请求出此时点N的坐标；
②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出
满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 、 、 ，3
(2)①点N的坐标为 或者 ；②存在，点 的坐标为 或 或
【分析】（1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标，根据两直线的交与点C可联立方程求得
点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解；
（2）①根据题意设点 、 的坐标，根据 列方程求解即可；
②分 、 、 三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 ： 与x轴、y轴分别交于点A、点B，
故把 代入 得： ；
把 代入 得： ，
∴与 轴、 轴分别交于点 、点 坐标分别为 、 ，
∵直线 与 交于点C，
联立得方程组： ，解得： ，
故点 ；
则 的面积 ；
（2）解：①设点 、 的坐标分别为 、
根据题意可得： ，
解得： 或 ，
所以点N的坐标为 或者 ；
②设 、 、 的坐标分别为 、 、 ，
当 时，如图：
， ，
， ， ，
，
， ，
即： ，解得： ，
∴Q点坐标为：
当 时，如图：
则 ，即： ，
解得： ，
；
∴Q点坐标为：
当 时，如图：
则 ，即： ，
解得： ，
；
∴Q点坐标为：综上，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，两点间的距离公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的
性质，三角形面积等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．
