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专题19.2 变量与函数（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各曲线中不能表示y是x的函数是（ ）
A． B． C． D．
2．腌制咸鸭蛋，首先需要制作食盐水，一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，水与
食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，这个问题中自变量和因变量分别是：（ ）
A．水，食盐水的浓度 B．水，食盐水
C．食盐量，食盐水 D．食盐量，食盐水的浓度
3．若等腰三角形顶角x度，底角是y度，则y与x函数关系是（ ）
A． B． C． D．
4．函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
5．变量y与x间的函数关系式为 ，则自变量x加1时，y的变化值为（ ）
A．7 B．2 C．－3 D．
6．定义：函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中零点为2的是（ ）
A． B． C． D．
7．刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（
）A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量
8．佳佳花3000元买台空调，耗电0.7度/小时，电费1.5元/度．持续开x小时后，产生电费y（元）
与时间（小时）之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
9．某商场在某一阶段，一商品的销售量与销售价之间存在下表所示的关系：
销售价/元 90 100 110 120 130 140
销售量/件 90 80 70 60 50 40
设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计当 时，y的值约为（ ）
A．56 B．54 C．46 D．43
10．小明从家骑自行车上学，先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，途经超市时，买文具用了5分
钟，为按时到校，再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校．设小明骑自行车的速度为v（千米/分），离
家路程为s（千米），上学时间为t（分）．下列图象能表达这一过程的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．圆的周长C与直径d满足 ，其中的自变量是 （用字母表示）．
12．已知函数 ，那么 ．
13．一辆车的电池有100度电，该车行驶时每1小时耗电20度，则电池的剩余电量y（度）与该车行
驶时间x（小时）（ ）之间的函数关系式为 ．
14．根据科学研究表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度 与所挂的物体的重量 间有下表的关系：
0 1 2 3 4 5
20 21 22
则所挂物体重量每增加 ，弹簧长度增加 ．
15．某电影院第一排有18个座位，第二排有21个座位，第三排有24个座位，第四排有27个座
位，．．．．．．每一排都比前一排多3个座位，依此类推，则第n排的座位数m= ．
（不需要注明取值范围）
16．如图，要围一个长方形 的菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用35米长的篱笆围成另外三
边．为了方便进出，在 边上留了一个2米宽的小门．设 边的长为 米， 边的长为 米，则 与
之间的关系式是 ．
17．如图，在 中， 与 的平分线交于点P，设 的度数为x度， 的度数为
y度，则y与x之间的函数关系式为 ．
18．一港口受潮汐的影响，某天 小时港内的水深大致如图，港口规定：为了保证航行安全，只有当
船底与水底间的距离不少于 米时，才能进出该港．一艘吃水深度（即船底与水面的距离）为 米的轮船
进出该港的时间最多为（单位：时） 小时．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）“十一”期间，小华一家人开车到距家150千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油
35升，当行驶60千米时，发现油箱余油量为29升（假设行驶过程中汽车的耗油量均匀）．
（1）求该车平均每千米的耗油量；
（2）写出余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式；
（3）当油箱中余油量低于3升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到
家？说明理由．
20．（8分）已知 ，把它改写为 的形式，并写出其自变量的取值范围．
21．（10分）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为方便顾客体验，销售人员
把销售草莓的质量 与销售总价 （元）之间的关系写在了下列表格中：
销售草莓的质量 1 2 3 4 …
销售总价 （元） …
（1）观察表格中的数据，估计当销售总价为 元时，销售草莓的质量 是多少？
（2）若丽丽一家一共摘了 草莓，应付多少元？
22．（10分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光
富、翟志刚三位“太空教师”为学生们上了一堂别开生面的太空课，引发了学生探究科学的新热潮．小颖
把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，已知该弹簧最大能够承受15kg的重物，下表是实验中小颖记录的弹簧长度与所挂物体质量的对应值：
所挂物体的质量 0 2 4 6 8 10
弹簧的长度 15 18 21 24 27 30
（1）在这个变化过程中，________是自变量，________是因变量；
（2）从表中数据可知，不挂重物时，弹簧的长度为________ ，当所挂重物增加 ，弹簧长度伸
长________ ；
（3）设所挂物体的质量为 ，弹簧的长度 ，则y与x之间的关系式为________；
（4）当弹簧长度为 时，求所挂物体的质量为多少 ．
23．（10分）如图1， ，点P以每秒1cm的速度从B点出发，沿B－C－D
路线运动，到D停止．如图2，反映的是 的面积S（ ）与点P运动时间x（秒）两个变量之间的
关系．
（1）指出 的长度，并求m的值；
（2）当点P在线段 上运动时，直接写出因变量S与自变量x的数量关系．
24．（12分）如图， 中， ，D为 边中点， ，
（1）如图1，当E，F分别在 的边 和 上时，
①求证：
②在 绕点D旋转的过程中，四边形 的面积是否发生改变？若没有变化，求出四边形
的面积；若有变化，请说明理由．（2）如图2，当E，F分别在 的边 、 的延长线上时，
①探索 和 之间的数量关系；
②设 长为x，四边形 的面积为S，请探究S与x的关系式．
参考答案：
1．D
【分析】根据函数的定义：在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定
的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x叫做自变量，y是x的函数．由此对各选项图形分析判断即可
得解．
解：A选项：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数；
B选项：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数；
C选项：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数；
D选项：对于x的每一个确定的值，y有多个值与其对应．所以y不是x的函数．
故选：D
【点拨】本题考查函数的定义，解题的关键是掌握函数的定义．
2．D
【分析】此题考查的是常量与变量的概念，根据对浓度的认识解答本题，水的质量不变，加的食盐越
多，食盐水的浓度越高，据此解答即可．掌握其概念是解决此题的关键．
解：随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，自变量是食盐量，因变量是食盐水的浓度．
故选： ．
3．A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，函数关系式等知识，利用三角形内角和定理和外角的定义即可解决问题．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
解：∵等腰三角形顶角x度，底角是y度，
∴ ，
∴ ．
故选A．
4．D
【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进
行求解即可．
解：由题意，得： 且 ，
解得： 且 ；
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，求出当 及
时y的值，二者作差后即可得出结论．
解：当 时， ；
当 时， ．
∵ ，
∴自变量x增加1时，y的变化值为增加2．
故选：B．
6．B
【分析】根据函数的零点的意义，逐项代入求解进行判断即可．
解：A、对于方程 ，解得 ，故 的零点为 ，不合题意；
B、对于方程 ，解得 ，故 的零点为2，符合题意；
C、对于方程 ，没有实数解，故 没有零点，不合题意；
D、对于方程 ，没有实数解，故 没有零点，不合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查函数值的意义，当函数值为0时，求出自变量的值是正确判断的前提．7．B
【分析】根据常量和变量的定义即可求解．
解：∵常量是固定不变的量，变量是变化的量，
∴单价是不变的量，而金额随着数量的变化而变化，
故选：B．
【点拨】本题考查常量和变量，正确理解常量与变量的定义是解题的关键．
8．A
【分析】根据耗电0.7度/小时，电费1.5元/度，列出函数关系式即可．
解：由题意得： ，
故选A．
【点拨】本题主要考查了列函数关系式，解题的关键在于能够准确理解题意．
9．B
【分析】根据表格中的数据求出函数解析式，然后将 代入求出y的值即可．
解：根据表格中的数据可知，y与x成一次函数关系，因此设 ，把 时， ，
时， 代入得：
，
解得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是求出y与x的关系式．
10．D
【分析】根据路程、速度与时间的关系以及函数图象的特点，结合题意逐项判断解答即可．
解：由题意，小明先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，路程从0 开始随时间匀速增加到2千米；
途经超市时，买文具用了5分钟，路程不变；
再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校，离家路程随时间匀速增加到3千米．
故选：D．
【点拨】本题考查用图象表示变量间关系，理解题意，能判断出路程与时间的关系是解答的关键，注意买文具时路程不变．
11．
【分析】自变量是能影响其他变量的一个变量，由此即可得到答案．
解：根据自变量的定义：自变量是能影响其他变量的一个变量
故圆的周长C与直径d满足 ，其中的自变量是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查常量与变量，掌握自变量的定义是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了函数值的求解，涉及二次根式的化简，把 代入函数解析式进行计算即可，理
解题中的函数解析式是解题的关键．
解：当 时， ，
故答案为： ．
13． （ ）
【分析】本题考查了列函数关系式，根据电池的剩余电量等于电池总电量减去消耗电量，即可列出函
数关系式．
解：由题可知：
该车行驶时每1小时耗电20度，
电池的剩余电量y（度）与该车行驶时间x（小时）（ ）之间的函数关系式为：
（ ），
故答案为： （ ）．
14．
【分析】根据图表数据即可得到答案．
解：由图表数据可知，所挂物体重量每增加 ，弹簧长度增加 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查函数关系确认，读懂图表数据是关键．
15．
【分析】根据第一排有18个座位，第二排有21个座位，第三排有24个座位，第四排有27个座
位，......每一排都比前一排多3个座位，列出关系式即可．解：由题意得：第n排的座位数为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了列函数关系，找准等量关系，正确列出关系式是解题的关键．
16．
【分析】此题考查了一次函数的应用能力．运用长方形周长公式进行列式、化简．
解：由题意得， ，
整理，得 ，
故答案为： ．
17．
【分析】本题考查的是列函数关系式，三角形的外角的性质，先利用三角形的外角的性质与角平分线
的性质可得 ， ，从而可得答案．
解：∵ 与 的平分线交于点P，设 的度数为x度， 的度数为y度，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18．
【分析】从图像上找到当水深为 米的两个时间相减即可得到本题的答案．
解： 当船底与水底间的距离不少于 米时，才能进出该港．
水深度 即船底与水面的距离 为 米的轮船在水深为 米时才可以通航，
从图像可知水深为 米的时间为 时和 时，
进出该港口的时间为 小时，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了用图像表示变量之间的关系，解决本题的关键是理解吃水的概念．
19．（1）该车平均每千米耗油 升；（2） ；（3）他们能在汽车报警前回到家，理由
见分析
【分析】本题主要考查了函数的实际应用，根据题意找出数量关系，列出函数关系式是解题的关键．（1）根据题意列出算式求解即可；
（2）根据“余油量=出发前汽车油箱内储油 路程中耗油”即可列出关系式；
（3）根据（2）中的关系式，求出回到家时汽车的余油量，即可解答．
（1）解：根据题意可得： （升），
答：该车平均每千米耗油 升．
（2）解：根据题意可得：
；
（3）解： ，
∴他们能在汽车报警前回到家．
20． ，
【分析】此题考查函数的解析式，分式的分母不等于零的性质，正确理解函数的几种形式及分式分母
不等于零的性质是解题的关键．
解：由题意可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴其自变量的取值范围为： ，即 ．
21．（1） 的值是5；（2）丽丽一家一共摘了 草莓，应付 元
【分析】（1）根据表格中的数据得出y与x的关系式，然后求出 时，x的值即可；
（2）把 代入 求出y的值即可．
（1）解：设销售草莓的质量 与销售总价 （元）之间的关系式为： ，
把 时， ， 时， 代入得：
，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，
∴当销售总价为 元时，销售草莓的质量 的值是5．
（2）解：把 代入 得： ，
∴丽丽一家一共摘了 草莓，应付48.5元．
【点拨】本题主要考查用表格表示变量之间的关系，解题的关键是根据表格得出关系式 ．
22．（1）所挂物体的质量，弹簧的长度；（2） ， ；（3） ；（4）当弹簧长度为
时，所挂物体的质量为
【分析】（1）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量的变化而变化即可得到答案；
（2）根据表格中的数据进行求解即可；
（3）根据（2）所求进行求解即可；
（4）根据（3）所求代入 ，求出x的值即可．
（1）解：由于弹簧的长度随着所挂物体的质量的变化而变化，
∴在这个变化过程中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量，
故答案为：所挂物体的质量，弹簧的长度；
（2）解：由表格中的数据可知，当所挂物体质量为 时，弹簧的长度为 ，并且所挂重物每增
加 ，弹簧长度伸长 ，
故答案为： ， ；
（3）解：由题意得，
（4）解：在 中，当 时，即 ，
解得 ，
∴当弹簧长度为 时，所挂物体的质量为 ．【点拨】本题主要考查了用函数关系式表示变量之间的关系，用表格表示变量之间的关系，自变量和
因变量的定义，熟知函数的相关知识是解题的关键．
23．（1） ；（2） （ ）
【分析】（1）根据图2可得：点P在 上运动了6秒，在 上运动了2秒，进而求出
，再根据 求解即可；
（2）根据三角形的面积公式解答即可．
解：（1）根据图2可得：点P在 上运动了6秒，在 上运动了2秒，
∵点P以每秒1cm的速度从B点出发的，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
（2）当点P在线段 上运动时，即当 时， ．
【点拨】本题考查了利用图象和关系式表示变量之间的关系，正确理解题意是关键．
24．（1）①见分析；②在 绕着点D旋转的过程中，四边形 的面积不发生改变，此时四
边形 的面积为100；（2）① ；②
【分析】（1）①连接 ，根据等腰三角形的性质可得 ， ，
再由 ，可得到 ，从而可证得 ，即可；②根据 ，可得
，从而得到 ，再求出 ，即可求解；
（2）①由（1）得 ，可得到 ，再由 ，可得到
，即可；②过点D作 于点H，根据 ，可得 ，从而得
到 ，再根据 ，即可求解．
（1）解：①如图，连接 ，
∵ ，D为 中点，∴ 是 的平分线， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②在 绕着点D旋转的过程中，四边形 的面积不发生改变，此时四边形 的面积为
25，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
在 绕着点D旋转的过程中，四边形 的面积不发生改变，此时四边形 的面积为
100；
（2）解：①由（1）得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
②如图，过点D作 于点H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形
的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
