文档内容
专题19.30 一次函数（全章直通中考）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，
点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若
OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把
直线 绕点B顺时针旋转 交x轴于点C，则线段 长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，关于 的函数 的图象与 轴有且仅有三个交点，分别是
，对此，小华认为：①当 时， ；②当 时， 有最小值；③点
在函数 的图象上，符合要求的点 只有1个；④将函数 的图象向右平移1个或3个单位长
度经过原点.其中正确的结论有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2021·山东菏泽·中考真题）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形 在第一象限，且
轴，直线 沿 轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形 截得的线段长为 ，直线在 轴
上平移的距离为 ， 、 间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形 的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
5．（2020·四川内江·中考真题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知
直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D． 且
6．（2020·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 在x轴正半轴上，点
在直线 上，若 ，且 均为等边三角形，则线段
的长度为（ ）A． B． C． D．
7．（2020·四川雅安·中考真题）已知，等边三角形 和正方形 的边长相等，按如图所示的
位置摆放（C点与E点重合），点 共线， 沿 方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运
动时间为 ，运动过程中两图形重叠部分的面积为 ，则下面能大致反映 与 之间关系的函数图象是
（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）鄂尔多斯动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的
班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午
9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，
上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆，
离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示，下列结论错误的是（ ）
A．第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）B．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为10分钟
C．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车
D．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即
步行到大象馆提前了7分钟（假设小聪步行速度不变）
9．（2017·湖北荆门·中考真题）已知：如图，在平面直角坐标系 中，等边 的边长为6，点
在边 上，点 在边 上，且 .反比例函数 的图象恰好经过点 和点 .则
的值为 （ ）
A． B． C． D．
10．（2014·四川内江·中考真题）如图，已知A 、A 、……、A 、A 是x轴上的点，且OA ＝A A ＝
1 2 n n＋1 1 1 2
A A ＝……＝A A ＝1，分别过点A 、A 、……、A 、A 作x轴的垂线交直线y＝2x于点B 、B 、……、
2 3 n n＋1 1 2 n n＋1 1 2
B 、B ，连接A B 、B A 、A B 、B A 、……、A B 、B A ，依次相交于点P 、P 、P 、……、P ，
n n＋1 1 2 1 2 2 3 2 3 n n＋1 n n＋1 1 2 3 n
△A B P 、△A B P 、……、△A B P 的面积依次为S 、S 、……、S ，则S 为（ ）
1 1 1 2 2 2 n n n 1 2 n n
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2021·四川自贡·中考真题）当自变量 时，函数 （k为常数）的最小值为 ，
则满足条件的k的值为 ．
12．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点
A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保
持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 ．
13．（2020·四川达州·中考真题）已知k为正整数，无论k取何值，直线 与直线
都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ；记直线 和 与x轴围成的三角形
面积为 ，则 ， 的值为 ．
14．（2013·湖北孝感·中考真题）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内
只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进
水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从
关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完．
15．（2018·浙江温州·中考真题）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB
的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则 OAE的面积为 ．
△16．（2018·江苏扬州·中考真题）如图，在等腰 中， ，点 的坐标为 ，若直线 ：
把 分成面积相等的两部分，则 的值为 ．
17．（2013·重庆·中考真题）如图，平面直角坐标系中，已知直线 上一点P（1，1），C为y轴上
一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴．垂足为B，直线AB与
直线 交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线 交于点Q，则点Q的坐标为 .
18．（2013·浙江湖州·中考真题）如图，已知点A是第一象限内横坐标为 的一个定点，AC⊥x轴于
点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运
动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象交
轴于点 ，交 轴于点 直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点 点 是线段
上的一个动点（点 不与点 重合），过点 作 轴的垂线交直线 于点 设点 的横坐标为 ．
（1）求 的值和直线 的函数表达式；
（2）以线段 ， 为邻边作▱ ，直线 与 轴交于点 ．
①当 时，设线段 的长度为 ，求 与 之间的关系式；
②连接 ， ，当 的面积为 时，请直接写出 的值．
20．（8分）（2022·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中， 是第一象限内一点，给出如
下定义： 和 两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点 的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点 的“倾斜系数” ，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点 的“倾斜系数” ，且 ，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC： 运动， 是正方形ABCD上任意一点，
且点P的“倾斜系数” ，请直接写出a的取值范围．
21．（10分）（2022·江苏苏州·中考真题）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下
表所示：
进货批 甲种水果质量 乙种水果质量 总费用
次 （单位：千克） （单位：千克） （单位：元）
第一次 60 40 1520
第二次 30 50 1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种
水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，
剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部
售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．22．（10分）（2019·浙江衢州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 ，
，若点 满足 ， ，那么称点 是点 ， 的融合点.
例如： ， ，当点 满是 ， 时，则点 是点 ，
的融合点，
（1）已知点 ， ， ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点.
（2）如图，点 ，点 是直线 上任意一点，点 是点 ， 的融合点.
①试确定 与 的关系式.
②若直线 交 轴于点 ，当 为直角三角形时，求点 的坐标.
23．（10分）（2018·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点
E的坐标为（20，0），直线l 经过点F和点E，直线l 与直线l 、y= x相交于点P．
1 1 2（1）求直线l 的表达式和点P的坐标；
1
（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，
且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒 个
单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t＞0）．
①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l 或l 上，请直接写出此时t
1 2
的值；
②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l 于点N，交直线l 于点M．当 PMN的面积等于18
1 2
时，请直接写出此时t的值． △
24．（12分）（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究 的值，其中 ．例求 的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即 ．
方法2：借助函数 和 的图象，观察图②可知
的结果等于 ， ， ，…， …等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象的交点到 轴的距离．因为两个函数图象的交点 到 轴的距为1，
所以， ．
【实践应用】
任务一 完善 的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 ______．
方法2：借助函数 和 的图象，观察图④可知因为两个函数图象的交点的坐标为______，
所以， ______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求 的值．
任务三 用方法2，求 的值（结果用 表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为 的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金
矩形．
观察图⑤，直接写出 的值．参考答案：
1．A
【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示
出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可．
解：由题意可得 ，
设直线AB的解析式为y=kx+b
则 解得：
∴直线AB的解析式为：y=x-4，
∴x=y+4，
设直线AC的解析式为y=mx+n
则 解得：
∴直线AC的解析式为： ，
∴ ，
∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为： ，
∴ ，
∵EP=3PF，
∴ ，
∴点P的横坐标为： ，∵ ，
∴ ．
∴
故答案为：A．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意
表示出点P的横坐标是解答本题的关键．
2．A
【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点
C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表
示出BD，得到关于x的方程，解之即可．
解：∵一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y= ，令y=0，则x= ，
则A（ ，0），B（0， ），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB= =2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC= = x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD= = x，
又BD=AB+AD=2+x，∴2+x= x，
解得：x= +1，
∴AC= x= （ +1）= ，
故选A．
【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性
质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．
3．C
【分析】结合函数图象逐个分析即可．
解：由函数图象可得：
当 时， 或 ；故①错误；
当 时， 有最小值；故②正确；
点 在直线 上，直线 与函数图象有3个交点，故③错误；
将函数 的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合．
4．C
【分析】根据平移的距离 可以判断出矩形BC边的长，根据 的最大值和平移的距离 可以求得矩形AB边的长，从而求得面积
解：如图：根据平移的距离 在4至7的时候线段长度不变，
可知图中 ,
根据图像的对称性， ，
由图（2）知线段最大值为 ，即
根据勾股定理
矩形 的面积为
故答案为：C
【点拨】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转
折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键．
5．D
【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
解：∵ ，
∴当y=0时，x= ；当x=0时，y=2t+2，
∴直线 与x轴的交点坐标为（ ，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，
∴2t+2>2，
当t= 时，2t+2=3，此时 =-6，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形
区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，当t=2时，2t+2=6，此时 =-3，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形
区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，
当t=1时，2t+2=4， =-4，由图象知：直线 （ ）与两坐标轴围成的三角形区域
（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴ 且 ，
故选：D.
【点拨】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图
象理解题意是解题的关键.
6．D
【分析】根据题意得出∠A OB =30°，从而推出A B =OA ，得到B B = B A ，算出B A =1，B A =2，
n n n n n n n+1 n n+1 1 2 2 3
B A =4，找出规律得到B A =2n-1，从而计算结果．
3 4 n n+1
解：设△B A A 的边长为a ，
n n n+1 n
∵点B ，B ，B ，…是直线 上的第一象限内的点，
1 2 3
过点A 作x轴的垂线，交直线 于C，
1
∵A （1，0），令x=1，则y= ，
1∴A C= ，
1
∴ ，
∴∠A OB =30°，
n n
∵ 均为等边三角形，
∴∠B A A =60°，
n n n+1
∴∠OB A =30°，
n n
∴A B =OA ，
n n n
∵∠B A B =60°，
n n+1 n+1
∴∠A B B =90°，
n+1 n n+1
∴B B = B A ，
n n+1 n n+1
∵点A 的坐标为（1，0），
1
∴A B =A A =B A =1，A B =OA =B A =2，A B =OA =B A =4，...，
1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4
∴A B =OA =B A =2n-1，
n n n n n+1
∴ = B A = ，
2019 2020
故选D．
【点拨】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，本题属于基础题，
难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键．
7．A
【分析】分点C在EF中点的左侧、点C在EF中点的右侧、点C在F点右侧且B在EF中点的左侧，点C
在F点右侧且B在EF中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解．
解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，运动速度为1，当点C在EF的中点左侧时，
设AC交DE于点H，
则CE=t，HE=ECtan∠ACB=t× = t，
则S=S = ×CE×HE= ×t× t= ，
CEH
△
可知图象为开口向上的二次函数，
当点C在EF的中点右侧时，设AB与DE 交于点M，
则EC=t，BE=a-t，ME= ，
∴S= ，
可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的左侧时，
S= ，
可知图象为开口向下的二次函数；当点C在F点右侧且B在EF中点的右侧时，
此时BF=2a-t，MF= ，
∴ ，
可知图象为开口向上的二次函数；
故选：A
【点拨】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，
进而求解．
8．C
【分析】设y＝kx+b，运用待定系数法求解即可得出第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）
的解析式；把y＝2500代入函数解析式即可求出第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间；设小聪坐上了
第n班车，30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间
的关系”解答即可．
解：由题意得，可设第一班车离入口处的距离y（米）与时间x（分）的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把（20，0），（38，3600）代入y＝kx+b，
得 ，解得： ；
∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y＝200x﹣4000（20≤x≤38）；
故选项A不合题意；
把y＝2000代入y＝200x﹣4000，
解得：x＝30，
30﹣20＝10（分），
∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；
故选项B不合题意；
设小聪坐上了第n班车，则30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，
∴小聪坐上了第5班车，
故选项C符合题意；
等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1600÷200＝8（分），
步行所需时间：1600÷（2000÷25）＝20（分），
20﹣（8+5）＝7（分），
∴比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟．
故选项D不合题意．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．
9．A
解：试题分析：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD=a，则OC=3a，根据等边三
角形的性质结合解含30度角的直角三角形，可找出点C、D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特
征即可求出a、k的值，此题得解．
过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
设BD=a，则OC=3a．
∵△AOB为边长为6的等边三角形，∴∠COE=∠DBF=60°，OB=6．
在Rt△COE中，∠COE=60°，∠CEO=90°，OC=3a，
∴∠OCE=30°，∴OE= a，CE= ，∴点C（ ， ）．
同理，可求出点D的坐标为（6﹣ a， a）．
∵反比例函数 （k≠0）的图象恰好经过点C和点D，
∴k= × a=（6﹣ a）× a，∴a= ，k= ．
故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形.
10．D
解：∵A 、A 、A 、…、A 、A 是x轴上的点，且OA =A A =A A =…=A A =1，
1 2 3 n n+1 1 1 2 2 3 n n+1
∴A （1，0），
1
A （2，0），
2
A （3，0），
3
…
A （n，0），
n
A （n+1，0），
n+1
∵分别过点A 、A 、A 、…、A 、A ，作x轴的垂线交直线y=2x于点B 、B 、B 、…、B 、B ，
1 2 3 n n+1 1 2 3 n n+1
∴B 的横坐标为：1，纵坐标为：2，
1
则B （1，2），
1
同理可得：B 的横坐标为：2，纵坐标为：4，
2
则B （2，4），
2
B （2，6），
3
…
B （n，2n），
n
B （n+1，2n+2），
n+1
根据题意知：P 是A B 与 B A 的交点，
n n n+1 n n+1
设：直线A B 的解析式为：y=k x+b ，
n n+1 1 1
直线B A 的解析式为：y=k x+b ，
n n+1 2 2
∵A （n，0），A （n+1，0），B （n，2n），B （n+1，2n+2），
n n+1 n n+1
∴直线A B 的解析式为：y=（2n+2）x﹣2n2﹣2n，
n n+1
直线B A 的解析式为：y=﹣2n x+2n2+2n，
n n+1∴P （ ， ）
n
∴△A B P 的A B 边上的高为： = ,
n n n n n
△A B P 的面积S 为: ．
n n n n
故选D．
11．
【分析】分 时， 时， 时三种情况讨论，即可求解．
解：①若 时，则当 时，有 ，故 ，
故当 时， 有最小值，此时函数 ，
由题意， ，
解得： ，满足 ，符合题意；
②若 ，则当 时， ，
故当 时， 有最小值，此时函数 ，
由题意， ，
解得： ，不满足 ，不符合题意；
③若 时，则当 时，有 ，故 ，
故当 时， 有最小值，此时函数 ，
由题意， ，方程无解，此情况不存在，
综上，满足条件的k的值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，绝对值的性质，分类讨论是解题的关键．
12．
【分析】先得出D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF的周长的
最小值转化为求FG+BF的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，
用待定系数法求出直线BG的解析式后，令y=0，即可求出点F的坐标，最后得到点E的坐标．
解：如图所示，∵D（0，4），
∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），∴ED=EH，
将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），
∴EF=HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EH=FG，
∴FG =ED，
∵B（-4，6），
∴BD= ，
又∵EF＝3，
∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF= +FG+3+BF,
要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，
而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，
设直线BG的解析式为：
∵B（-4，6），G（-3，-4），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当y=0时， ，
∴ ，
∴
故答案为： ．【点拨】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、
平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之
间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了
数形结合与转化的思想方法等．
13．
【分析】联立直线 和 成方程组，通过解方程组，即可得到交点坐标；分别表示出直线 和 与x轴
的交点，求得交点坐标即可得到三角形的边长与高，根据三角形面积公式进行列式并化简，即可得到直线
和 与x轴围成的三角形面积为 的表达式，从而可得到 和 ，再依据分数的运算
方法即可得解．
解：联立直线 与直线 成方程组，
，
解得 ，
∴这两条直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ；∵直线 与x轴的交点为 ，
直线 与x轴的交点为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ； ；
【点拨】本题考查了一次函数 （k≠0，b为常数）的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴
的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0；也考查了坐标与线段的关系、三角形的面积公式以及分
数的特殊运算方法．解题的关键是熟练掌握一次函数 （k≠0，b为常数）的图象与性质，能灵活运
用分数的特殊运算方法．
14．8
【分析】根据函数图象求出进水管的进水量和出水管的出水量，由工程问题的数量关系就可以求出结
论
解：由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：20÷4=5升．
设出水管每分钟的出水量为a升，由函数图象，得 ，解得： ．
∴关闭进水管后出水管放完水的时间为： （分钟）．
故答案为：8．
15．【分析】根据直线于坐标轴交点的坐标特点得出,A,B两点的坐标，得出OB，OA的长，根据C是OB的
中点，从而得出OC的长，根据菱形的性质得出DE=OC=2;DE∥OC；设出D点的坐标，进而得出E点的坐标，
从而得出EF,OF的长，在Rt△OEF中利用勾股定理建立关于x的方程，求解得出x的值，然后根据三角形的
面积公式得出答案.
解：解: 把x=0代入 y = − x + 4 得出y=4,
∴B（0,4）;
∴OB=4;
∵C是OB的中点，
∴OC=2,
∵四边形OEDC是菱形,
∴DE=OC=2;DE∥OC,
把y=0代入 y = − x + 4 得出x= ,
∴A（ ,0）;
∴OA= ,
设D（x, ） ,
∴E（x,- x+2）,
延长DE交OA于点F，∴EF=- x+2,OF=x,
在Rt△OEF中利用勾股定理得： ,
解得 ：x =0（舍），x = ；
1 2
∴EF=1,
∴S△AOE= ·OA·EF=2 .
故答案为 .
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图
象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（- ，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐
标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了菱形的性质.
16．
解：分析：根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可列出相应的方程，从而可以求得m的值．
详解：∵y=mx+m=m（x+1），
∴函数y=mx+m一定过点（-1，0），
当x=0时，y=m，
∴点C的坐标为（0，m），
由题意可得，直线AB的解析式为y=-x+2，
，得 ，
∵直线l：y=mx+m（m≠0）把 ABO分成面积相等的两部分，
△
∴ ，解得，m= 或m= （舍去），
故答案为 ．
点睛：本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出
所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
17．
解：如图，过点P 作EF∥x轴，交y轴与点E，交AB于点F，则
易证△CEP≌△PFD（ASA），
∴EP=DF，
∵P（1，1），
∴BF=DF=1，BD=2，
∵BD=2AD，
∴BA=3
∵点A在直线 上，∴点A的坐标为（3，3），
∴点D的坐标为（3，2），∴点C的坐标为（0，3），
设直线CD的解析式为 ，
则 解得：
∴直线CD的解析式为 ，联立 可得
∴点Q的坐标为
18． ．
【分析】（1）首先，需要证明线段B B 就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三
0 n
角形可以证明；
（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB B ∽△AON，求出线段B B 的长度，即点B运动的路
0 n 0 n
径长．
解：由题意可知，OM= ，点N在直线y=－x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，
∴ ON= ．
如答图①所示，
设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B ，动点P在N点（起点）时，点B的位置为B ，连接
0 nB B ．
0 n
∵AO⊥AB ，AN⊥AB ，
0 n
∴∠OAC=∠B AB ．
0 n
又∵AB =AO•tan30°，AB =AN•tan30°，
0 n
∴AB ：AO=AB ：AN=tan30°．
0 n
∴△AB B ∽△AON，且相似比为tan30°．
0 n
∴B B =ON•tan30°= ．
0 n
现在来证明线段B B 就是点B运动的路径（或轨迹）：
0 n
如答图②所示，
当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B，连接AP，AB，B B．
i i 0 i
∵AO⊥AB ，AP⊥AB，
0 i
∴∠OAP=∠B AB．
0 i
又∵AB =AO•tan30°，AB=AP•tan30°，
0 i
∴AB ：AO=AB：AP．
0 i
∴△AB B∽△AOP，
0 i
∴∠AB B=∠AOP．
0 i
又∵△AB B ∽△AON，
0 n
∴∠AB B =∠AOP．
0 n
∴∠AB B=∠AB B ．
0 i 0 n
∴点B在线段B B 上，即线段B B 就是点B运动的路径（或轨迹）．
i 0 n 0 n
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B B ，其长度为 ．
0 n
【点拨】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似
关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．
19．（1） ， ；（2）① ；② 或
【分析】
（1）根据直线 的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线 的解析式即可；
（2）①用含m的代数式表示出 的长，再根据 得出结论即可；②根据面积得出l的值，
然后根据①的关系式的出m的值．
解：（1） 点 在直线 上，
，
一次函数 的图象过点 和点 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）① 点在直线 上，且 的横坐标为 ，
的纵坐标为： ，
点在直线 上，且 点的横坐标为 ，
点的纵坐标为： ，
，
点 ，线段 的长度为 ，，
，
，
即 ；
② 的面积为 ，
，
即 ，
解得 ，
由①知， ，
，
解得 ，
即 的值为 或 ．
【点拨】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的
关键．
20．（1）3；（2）①a-2b或b=2a，②OP= ；（3）a>
【分析】（1）直接由“倾斜系数”定义求解即可；
（2）①由点 的“倾斜系数” ，由 =2或 =2求解即可；
②由a=2b或b=2a，又因a+b=3，求出a、b值，即可得点P坐标，从而由勾股定理可求解；
（3）当点P与点D重合时，且k= 时，a有最小临界值，此时， = ，则 ，求得a=+1；当点P与B点重合，且k= 时，a有最大临界值，此时， ，则 ，求得：a=3+ ；即
可求得 时，a的取值范围．
（1）解：由题意，得 ， ，
∵3> ，
∴点 的“倾斜系数”k=3；
（2）解：①a=2b或b=2a，
∵点 的“倾斜系数” ，
当 =2时，则a=2b；
当 =2时，则b=2a，
∴a=2b或b=2a；
②∵ 的“倾斜系数” ，
当 =2时，则a=2b
∵ ，
∴2b+b=3，
∴b=1，
∴a=2，
∴P（2，1），
∴OP= ；
当 =2时，则b=2a，
∵ ，
∴a+2a=3，
∴a=1，∴b=2，
∴P（1，2）
∴OP= ；
综上，OP= ；
（3）解：由题意知，当点P与点D重合时，且k= 时，a有最小临界值，如图，连接OD，延长DA
交x轴于E，
此时， = ，
则 ，
解得：a= +1；
∵ 则 ;
当点P与B点重合，且k= 时，a有最大临界值，如图，连接OB，延长CB交x轴于F，此时， ，
则 ，
解得：a=3+ ，
∵ ,则 ;
综上，若P的“倾斜系数” ，则a> ．
【点拨】本题考查新定义，正方形的性质，正比例函数性质，解题的关键是：（1）（2）问理解新定
义，（3）问求临界值．
21．（1）甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元；（2）正整数m的最大值
为22
【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组
即可；
（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的
关系式，根据一次函数的性质判断即可．
解：（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．根据题意，得
解方程组，得
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进 千克乙种水果，
根据题意，得 ．
解这个不等式，得 ．
设获得的利润为w元，
根据题意，得
．
∵ ，
∴w随x的增大而减小．
∴当 时，w的最大值为 ．
根据题意，得 ．
解这个不等式，得 ．
∴正整数m的最大值为22．
【点拨】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是
明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最
值．
22．（1）点 是点 ， 的融合点；（2）① ，②符合题意的点为 ， .
【分析】（1）由题中融合点的定义即可求得答案.
（2）①由题中融合点的定义可得 ，.
②结合题意分三种情况讨论：（ⅰ） 时，画出图形，由融合点的定义求得点 坐标；
（ⅱ） 时，画出图形，由融合点的定义求得点 坐标；（ⅲ） 时，由题意知此种情况不存在.
（1）解： ，
∴点 是点 ， 的融合点
（2）解：①由融合点定义知 ，得 ．
又∵ ，得
∴ ，化简得 ．
②要使 为直角三角形，可分三种情况讨论：
（i）当 时，如图1所示，
设 ，则点 为 ．
由点 是点 ， 的融合点，
可得 或 ，
解得 ，∴点 ．
（ii）当 时，如图2所示，则点 为 ．
由点 是点 ， 的融合点，
可得点 ．
（iii）当 时，该情况不存在．
综上所述，符合题意的点为 ，
【点拨】本题是一次函数综合运用题，涉及到勾股定理得运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，
逐次求解．
23．（1）直线l 的表达式为y=﹣ x+10，点P坐标为（8，6）；（2）①t值为 或 ；②当t=
1
时， PMN的面积等于18.
△
解：【分析】（1）利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；
（2）①分析矩形运动规律，找到点D和点B分别在直线l 上或在直线l 上时的情况，利用AD、AB分
2 1
别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A坐标，进而求出AF距离；
②设点A坐标，表示 PMN即可．
△解：（1）设直线l 的表达式为y=kx+b，
1
∵直线l 过点F（0，10），E（20，0），
1
∴ ，解得： ，
直线l 的表达式为y=﹣ x+10，
1
解方程组 得 ，
∴点P坐标为（8，6）；
（2）①如图，当点D在直线上l 时，
2
∵AD=9
∴点D与点A的横坐标之差为9，
∴将直线l 与直线l 的解析式变形为x=20﹣2y，x= y，
1 2
∴ y﹣（20﹣2y）=9，
解得：y= ，
∴x=20﹣2y= ，
则点A的坐标为：（ ， ），
则AF= ，
∵点A速度为每秒 个单位，∴t= ；
如图，当点B在l 直线上时，
2
∵AB=6，
∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位，
∴直线l 的解析式减去直线l 的解析式得，
1 2
﹣ x+10﹣ x=6，
解得x= ，
y=﹣ x+10= ，
则点A坐标为（ ， ）
则AF= ，
∵点A速度为每秒 个单位，
∴t= ，
故t值为 或 ；
②如图，
设直线AB交l 于点H，
2设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9，
由①中方法可知：MN= ，
此时点P到MN距离为：a+9﹣8=a+1，
∵△PMN的面积等于18，
∴ =18，
解得
a = -1，a =﹣ -1（舍去），
1 2
∴AF=6﹣ ，
则此时t为 ，
当t= 时， PMN的面积等于18.
△
【点拨】本题是代数几何综合题，涉及到待定系数法、两直线的交点坐标、勾股定理、三角形的面积
等，综合性较强，熟练掌握相关知识、运用分类讨论思想以及数形结合思想是解题的关键.
24．任务一，方法1： ；方法2： ， ；任务二， ；任务三， ；[迁移拓展]
【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可；
任务二，借助函数 和 得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到 轴的距离．因
为两个函数图象的交点 到 轴的距为2，即可得出结果；
任务三 参照方法2，借助函数 和 的图象，得出交点坐标，即可求解；
[迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为 ，第二个正方形的面积为，……进而得出则 的值等于长
宽之比为 的矩形减去1个面积为 的正方形的面积，即可求解．
解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
故答案为： ．
方法2：借助函数 和 的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为 ，
所以， ．
故答案为： ， ．
任务二：参照方法2，借助函数 和 的图象， ，
解得：
∴两个函数图象的交点的坐标为 ，
．
任务三 参照方法2，借助函数 和 的图象，两个函数图象的交点的坐标为 ，
∴[迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为 ，第二个正方形的面积为
，……
则 的值等于长宽之比为 的矩形减去1个
面积为1的正方形的面积，
即
【点拨】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键．
