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2.3 确定二次函数的表达式
教学内容 2.3 确定二次函数的表达式 课时 1
1.掌握二次函数解析式的三种形式，理解求二次函数解析式的方法及步骤
2.通过举例—思考—归纳，让学生能结合所给条件恰当选择二次函数解析式的
形式，达到简便运算，顺利解决问题的目的，同时提高学生分析、探索、归
核心素养
纳、概括的能力;
目标
3.通过让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程， 使
学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究
的良好学习习惯.
1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法；
知识目标 2．能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化．
教学重点 通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法.
教学难点 能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 1. 一次函数 y = kx + b (k≠0)，反比例函数y =
(k≠0) 分别有几个待定系数？通常需要已知几个
设计意图：通过复习一次
点的坐标求出它的表达式？
函数和反比例函数，引导
答：一次函数 y = kx + b (k≠0)：2 个待定系
得出函数关系式中有几个
数，需要 2 个点坐标
独立的系数，需要有相同
反比例函数y = (k≠0)：1 个待定系数，需要 1
个数的独立条件才能求出
个点坐标 函数关系式，为后文做铺
垫.
2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步
骤是什么？
答：待定系数法：(1) 设：表达式；
(2) 代：坐标代入；
(3) 解：方程(组)；
(4) 还原：写出解析式.
想一想 二次函数的表达式有几种形式？类比猜想
每一种需要几个点坐标可以确定表达式？
二、小组合作，探究概念和性质
二、探究
知识点一：顶点法求二次函数的表达式
新知
合作探究
一名学生推铅球时，铅球行进高度 y (m) 与水平
距离 x (m)之间的关系如图所示， 设计意图：此处设置问
其中 (4，3) 为图象的顶点，你能求出 y 与 x 之 题，一方面让学生讨论得
间的关系式吗? 出表达式，让学生学会合
作，另一方面，通过讨论
得出确定二次函数表达式
的方法，学生得出结论：
1确定二次函数的关系式 y
＝ax2＋bx＋c(a≠0)，通
教师提出要求:
常需要3个条件；当知道
(1) 不需要立马计算答案，而是要根据条件马上
顶点坐标(h，k) 和知道图
思
象上的另一点坐标两个条
考，使用二次函数哪一种表达形式来解题最简
件，用顶点式y＝a(x－h)2
单。
＋k可以确定二次函数的
(2) 你能想出多种解题方法吗?
关系式由特殊到一般.
同时规范学生的答题过
程.
师生活动：学生自主解答问题，教师做好提示、
点评．
知识点二：特殊条件的二次函数的表达式 设计意图：本例的二次函
例 1 已知二次函数 y＝ax2＋c 的图象经过点 数表认式是一种特殊形
(2，3)和 (－1，－3)，
式，即一次项系数为0，
可以用二元一次方程组求
求这个二次函数的表达式．
师生活动：
解.
1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。
2小组内批阅。
3. 对板演的内容进行评价纠错。
解：∵该图象经过点 (2，3) 和 (－1，－3)，
3 = 4a + c，
－3 = a + c，
解得 a = 2，
c =－5.
∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－5.
设计意图：此例求二次函
做一做 数的表达式，一方面让学
已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1， 生深入探究根据不同的条
且经过点 (2， 5) 和(-2，13)， 件灵活选用二次函数的不
求这个二次函数的表达式. 同形式，通过待定系数法
求出函数关系式，另一方
师生活动： 面让学生通过实践感受到
学生分小组交流讨论，最后小组代表发言。老 二次函数一般式
师巡回指导各组完成情况，并及时给与指点。 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)确
学生可能会根据条件，设二次函数的解析式 定二次函数需要三个条
y=ax2+bx+c，把点(0，1)，(2，5)，(-2， 13) 件、但由于这个二次函数
代入，用三元一次方程组解决，这对一些学生可 图象与y轴交点的纵坐标
能 为1，所以 c=1，因此可
有一定的困难，可通过小组合作交流、个别辅导 设 y＝ax2＋bx＋1 把已
等
知的二点代入关系式求出
形式解决.
a，b的值即可.
解： 因为二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标
为 1，
因此，可以设函数表达式为 y = ax2 + bx + 1.
2∵该图象经过点 (2， 5) 和 (-2，13)，
5 = 4a + 2b + 1，
13 = 4a - 2b + 1.
解得 a = 2，
b = -2，
∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－2x + 1.
想一想
在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标
就可以确定它的表达式?
二次函数 y = ax2+ bx + c 可化成：y = a(x -
h)2 + k，顶点是 (h，k). 如果已知顶点坐标，那
么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个
二次函数的表达式.
设计意图：希望培养学生
已知二次函数 y = ax2+ bx + c 中一项系数，再
碰到新问题时，能有正确
知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函
的思考程序，学会类比思
数的表达式.
考，将新问题一点一点的
联系到学过的知识上去。
知识点三：特殊条件的二次函数的表达式
已知二次函数 y = ax2+ bx + c 图象上的三个
点，可以确定这个二次函数的表达式吗?
合作探究
例2 已知二次函数的图象经过点(－1，10)，
(1，4)，(2，7) 三点，求这个二次函数的表达
式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
师生活动：
1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。
2小组内批阅。
3.对板演的内容进行评价纠错。
设计意图：通过中考的例
题让学生明白在选取点的
时候注意选择整数点.
链接中考
1. (武汉)在一条笔直的滑道上有黑、红两个小球
同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时红球在
黑球前面 70 cm. 小聪测量黑球减速后的运动距
离 y (单位：cm) 随运动时间 t (单位：s) 变化
的数据，整理得下表.
3小聪探究发现运动距离 y 与随运动时间 t 之间
成二次函数关系.
求 y 关于 t 的函数解析式(不用写出自变量的取
值范围).
设计意图：通过一个实
例，通过一元二次方程和
图象解释交点法是怎样产
生的，并且使用交点法的
特点是什么.
知识点四：交点法求二次函数的表达式
求二次函数 y = x2 + 2x - 3 的图象与 x 轴的交
点坐标？
例2 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个
二次函数的表达式.
师生活动：
要求学生先独立解决，然后同伴交流，相互订
设计意图：此例求二次函
正，代表展示成果．
数的表达式，让学生深入
教师及时指导．
探究根据不同的条件灵活
选用二次函数的不同形
预设：
式，可以一般式，顶点
式，还可以根据对称轴对
称的两点坐标的形式设平
移后的交点式.
学生对于对称轴对称的两
点坐标的形式设平移后的
交点式，这种形式比较陌
生，老师可以对其解释，
师生一起共同研究过程.
知识点五(补充)：关于对称轴对称的两点坐标求
二次函数的解析式
例3 一个二次函数的图象经过点 A(0，1)，B(1，
42) ， C (2，1)，
求这个二次函数的解析式.
教师提出要求:
(3) 不需要立马计算答案，而是要根据条件马上
思
考，使用二次函数哪一种表达形式来解题最简
单。
(4) 你能想出多种解题方法吗?
解：设这个抛物线解析式为 y = a(x - 0)(x - 2) +
1.
再把点 (1，2) 代入上式得
∴ a(1 - 0)(1 - 2) + 1 = 2，解得 a = -1.
∴ 二次函数的解析式是 y = -x(x - 3) + 1，
三、当堂
即 y = -x2 + 3x + 1.
练习，巩
固所学 设计意图：考查学生对选
取适当的方法求解函数的
表达式的运用.
对于以上的探究师生共同归纳总结：
三、当堂练习，巩固所学
1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式
应是 .
2. 过点（2，4），且当 x=1 时，y 有最值为
6，则其表达式是 .
确定二次函数的表达式
待定系数法确定二次函数表达式的步骤： (设—列—解—答)
用顶点式y＝a(x－h)2＋k确定二次函数关系式;
板书设计
用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)确定二次函数;
顶点式 y = a(x－x)(x－x) (x，x 为与x轴交点的横坐标)
1 2 1 2
5课后小结
二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界
中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型．许多实际问
题往往可以归结为二次函数加以研究．本节课是学习二次函数的第一节课，
教学反思 通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的
解析式．在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程
中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去
描述、研究变量之间变化规律的意义.
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