文档内容
2022年山西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）（2022•山西）﹣6的相反数为（ ）
A．6 B． C． D．﹣6
2．（3分）（2022•山西）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利
返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字
上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022•山西）粮食是人类赖以生存的重要物质基础．2021年我国粮食总产量再创新
高，达68285万吨．该数据可用科学记数法表示为（ ）
A．6.8285×104吨 B．68285×104吨
C．6.8285×107吨 D．6.8285×108吨
4．（3分）（2022•山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，
其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
第1页（共34页）5．（3分）（2022•山西）不等式组 的解集是（ ）
A．x≥1 B．x＜2 C．1≤x＜2 D．x＜
6．（3分）（2022•山西）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺
的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
7．（3分）（2022•山西）化简 ﹣ 的结果是（ ）
A． B．a﹣3 C．a+3 D．
8．（3分）（2022•山西）如图，△ABC内接于 O，AD是 O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的
度数是（ ） ⊙ ⊙
A．60° B．65° C．70° D．75°
9．（3分）（2022•山西）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为
“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”
“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上
（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐
抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
第2页（共34页）A． B． C． D．
10．（3分）（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落
在 上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 ﹣3 B．3 ﹣ C．2 ﹣3 D．6 ﹣
π π π π
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）（2022•山西）计算： × 的结果为 ．
12．（3分）（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是
它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受
的压强p的值为 Pa．
13．（3分）（2022•山西）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物
越多．为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中
各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：mol•m﹣2•s﹣1），结果统
第3页（共34页）
μ计如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
14．（3分）（2022•山西）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一
节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最
多可降价 元．
15．（3分）（2022•山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延
长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD
于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（2022•山西）（1）计算：（﹣3）2×3﹣1+（﹣5+2）+|﹣2|；
（2）解方程组： ．
第4页（共34页）17．（8分）（2022•山西）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边
BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
18．（7分）（2022•山西）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源
安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车
的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．
若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动
汽车平均每公里的充电费．
19．（8分）（2022•山西）首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅
读新时代•奋进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，
随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
××中学学生读书情况调查报告
调查 ××中学学生读书情况
主题
调查 抽样调查 调查对象 ××中学学生
方式
第5页（共34页）数据 第 您平均
的收 一 每周阅
集、 项 读课外
整理 书的时
与描 间大约
述 是（只
能单
选，每
项含最
小值，
不含最
大值）
A.8小
时及以
上；
B.6～8
小时；
C.4～6
小时；
D.0～4
小时．
第 您阅读
二 的课外
项 书的主
要来源
是（可
多选）
E．自行
购买；
F．从图
书馆借
阅；
G．免费
数字阅
读；
H．向他
人借
阅．
调查 ……
结论
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调
查数据分别写出一条你获取的信息．
第6页（共34页）20．（8分）（2022•山西）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根就是相应的二次函数y＝ax2+bx+c
（a≠0）的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两
个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相
等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一
元二次方程根的情况．
下面根据抛物线的顶点坐标（﹣ ， ）和一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac，
分别分a＞0和a＜0两种情况进行分析：
（1）a＞0时，抛物线开口向上．
①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，有4ac﹣b2＜0．∵a＞0，∴顶点纵坐标 ＜0．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，有4ac﹣b2＝0．∵a＞0，∴顶点纵坐标 ＝0．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根．
③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，
……
（2）a＜0时，抛物线开口向下．
……
任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选
出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论
D．转化思想
（2）请参照小论文中当a＞0时①②的分析过程，写出③中当a＞0，Δ＜0时，一元二次
方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：
可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 ．
第7页（共34页）21．（8分）（2022•山西）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高
空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距
离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点
O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处
的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，
B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的
长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75， ≈1.73）．
22．（13分）（2022•山西）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，
将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角
板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形
状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．
第8页（共34页）23．（13分）（2022•山西）综合与探究
如图，二次函数y＝﹣ x2+ x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点
P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，
是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
第9页（共34页）2022年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）（2022•山西）﹣6的相反数为（ ）
A．6 B． C． D．﹣6
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫相反数，可以直接得到答案．
【解答】解：﹣6的相反数是：6，
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，同学们要熟练掌握相反数的定义．
2．（3分）（2022•山西）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利
返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字
上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转
180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这
个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图
形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中
心对称图形，
故选：B．
第10页（共34页）【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180
度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（3分）（2022•山西）粮食是人类赖以生存的重要物质基础．2021年我国粮食总产量再创新
高，达68285万吨．该数据可用科学记数法表示为（ ）
A．6.8285×104吨 B．68285×104吨
C．6.8285×107吨 D．6.8285×108吨
【分析】将较大的数写成科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可．
【解答】解：68285万吨
＝6.8285×104×104
＝6.8285×108（吨），
故选：D．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握am•an＝am+n是解题的关键．
4．（3分）（2022•山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，
其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
【分析】利用黄金分割比的意义解答即可．
【解答】解：∵每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，
又黄金分割比为 ≈0.618，
∴其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割，
故选：D．
【点评】本题主要考查了数学与自然界与数学知识的联系，熟悉线段的黄金分割是解题的
关键．
5．（3分）（2022•山西）不等式组 的解集是（ ）
第11页（共34页）A．x≥1 B．x＜2 C．1≤x＜2 D．x＜
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+1≥3，得：x≥1，
解不等式4x﹣1＜7，得：x＜2，
则不等式组的解集为1≤x＜2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（3分）（2022•山西）如图，Rt△ABC是一块直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺
的一边DE经过顶点A，若DE∥CB，则∠DAB的度数为（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【分析】先根据平行线的性质求得∠DAC的度数，再根据角的和差关系求得结果．
【解答】解：∵DE∥CB，∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠C＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝120°，
故答案为：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形角和差计算，关键是利用平行线的性质
求得∠DAC．
7．（3分）（2022•山西）化简 ﹣ 的结果是（ ）
第12页（共34页）A． B．a﹣3 C．a+3 D．
【分析】根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．
【解答】解： ﹣
＝ ﹣
＝
＝
＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键．
8．（3分）（2022•山西）如图，△ABC内接于 O，AD是 O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的
度数是（ ） ⊙ ⊙
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，从而可求出∠CBD的
度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解答】解：连接BD，
∵AD是 O的直径，
∴∠ABD⊙＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝70°，
∴∠CAD＝∠CBD＝70°，
故选：C．
第13页（共34页）【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解
题的关键．
9．（3分）（2022•山西）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为
“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”
“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上
（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐
抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是
“立春”和“立夏”的概率．
【解答】解：设立春用A表示，立夏用B表示，立秋用C表示，立冬用D表示，树状图如下，
由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的
可能性2种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
第14页（共34页）10．（3分）（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落
在 上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 ﹣3 B．3 ﹣ C．2 ﹣3 D．6 ﹣
π π π π
【分析】根据折叠的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交
AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根据菱
形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在 上的点C处，
∴AC＝AO，BC＝BO，
∵AO＝BO，
∴四边形AOBC是菱形，
连接OC交AB于D，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵AC＝3，
∴OC＝3，AD＝ AC＝ ，
∴AB＝2AD＝3 ，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB ﹣S菱形AOBC ＝ ﹣ 3×3 ＝3 ﹣
π
，
故选：B．
第15页（共34页）【点评】本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确
地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）（2022•山西）计算： × 的结果为 3 ．
【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式＝ ＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则 ＝
．
12．（3分）（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是
它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受
的压强p的值为 40 0 Pa．
【分析】设p＝ ，把（0.1，1000）代入得到反比例函数的解析式，再把S＝0.25代入解析式
即可解决问题．
【解答】解：设p＝ ，
∵函数图象经过（0.1，1000），
∴k＝100，
∴p＝ ，
当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝ ＝400（Pa），
故答案为：400．
【点评】本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用待定系
第16页（共34页）数法解决问题，属于中考常考题型．
13．（3分）（2022•山西）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物
越多．为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中
各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：mol•m﹣2•s﹣1），结果统
计如下： μ
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．
【分析】直接利用方差公式，进而计算得出答案．
【解答】解：甲的方差为： ＝ [（32﹣25）2+（30﹣25）2+（25﹣25）2+（18﹣25）2+（20﹣
25）2]＝29.6；
乙的方差为： ＝ [（28﹣25）2+（25﹣25）2+（26﹣25）2+（24﹣25）2+（22﹣25）2]＝4．
∵29.6＞4，
∴两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙．
故答案为：乙．
【点评】此题考查了方差、平均数，一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2
1 2 n
＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动
1 2 n
性越大，反之也成立．
14．（3分）（2022•山西）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一
节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最
多可降价 3 2 元．
第17页（共34页）【分析】设该护眼灯可降价x元，根据“以利润率不低于20%的价格降价出售”列一元一
次不等式，求解即可．
【解答】解：设该护眼灯可降价x元，
根据题意，得 ，
解得x≤32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立一元一次不等式是
解题的关键．
15．（3分）（2022•山西）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延
长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD
于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为 4 ．
【分析】连接AE，AF，EN，由正方形的性质可得AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝
∠ADF＝90°，可证得△ABE≌△ADF（SAS），可得∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，从而可得
∠EAF＝90°，根据等腰三角形三线合一可得点 M 为 EF 中点，由 AN⊥EF 可证得
△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），可得EN＝FN，设DN＝x，则EN＝FN＝
x+5，CE＝x+3，由勾股定理解得x＝12，可得AB＝CD＝20，由勾股定理可得AE＝5 ，
从而可得AM＝EM＝FM＝ ，由勾股定理可得MN＝ ，即可求解．
【解答】解：如图，连接AE，AF，EN，
第18页（共34页）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，
∴∠EAF＝90°，
∴△EAF为等腰直角三角形，
∵AN⊥EF，
∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，
∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），
∴EN＝FN，
设DN＝x，
∵BE＝DF＝5，CN＝8，
∴CD＝CN+DN＝x+8，
∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3，
在Rt△ECN中，由勾股定理可得：
CN2+CE2＝EN2，
即82+（x+3）2＝（x+5）2，
解得：x＝12，
∴AB＝CD＝x+8＝20，EN＝x+5＝17，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
AE＝ ＝ ＝5 ，
∴AM＝EM＝FM＝ ＝ ，
在Rt△EMN中，由勾股定理可得：
第19页（共34页）MN＝ ＝ ＝ ，
∴AN＝AM+MN＝ + ＝4 ，
故答案为：4 ．
【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质
等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（2022•山西）（1）计算：（﹣3）2×3﹣1+（﹣5+2）+|﹣2|；
（2）解方程组： ．
【分析】（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，有理数的加法，绝对值计算即可；
（2）根据加减消元法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝9× +（﹣3）+2
＝3+（﹣3）+2
＝2；
（2）①+②得：3x＝9，
∴x＝3，
将x＝3代入②得：3+y＝6，
∴y＝3，
∴原方程组的解为 ．
【点评】本题考查了实数的运算，有理数的乘方，负整数指数幂，绝对值，解二元一次方程
组，解二元一次方程组的基本思路是消元，将二元方程转化为一元方程是解题的关键．
17．（8分）（2022•山西）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边
BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
第20页（共34页）【分析】（1）利用尺规作图﹣线段垂直平分线的作法，进行作图即可；
（2）利用矩形的性质求证∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，由线段的垂直平分线得出AO
＝CO，即可证明△AOE≌△COF，进而得出AE＝CF．
【解答】解：（1）如图，
（2）AE＝CF，证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF．
【点评】本题考查了基本作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直
平分线的作法，矩形的性质，全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
18．（7分）（2022•山西）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源
安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车
的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．
若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动
汽车平均每公里的充电费．
第21页（共34页）【分析】原来的燃油汽车行驶1千米所需的油费（x+0.54）元，根据题意可得等量关系：燃油
汽车所需油费200元所行使的路程×4＝电动汽车所需电费200元所行使的路程，根据等
量关系列出方程即可．
【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，
根据题意，得 ，
解得x＝0.2，
经检验，x＝0.2是原方程的根，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，设
出未知数，列出方程，注意不要忘记检验．
19．（8分）（2022•山西）首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅
读新时代•奋进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，
随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
××中学学生读书情况调查报告
调查 ××中学学生读书情况
主题
调查 抽样调查 调查对象 ××中学学生
方式
第22页（共34页）数据 第 您平均
的收 一 每周阅
集、 项 读课外
整理 书的时
与描 间大约
述 是（只
能单
选，每
项含最
小值，
不含最
大值）
A.8小
时及以
上；
B.6～8
小时；
C.4～6
小时；
D.0～4
小时．
第 您阅读
二 的课外
项 书的主
要来源
是（可
多选）
E．自行
购买；
F．从图
书馆借
阅；
G．免费
数字阅
读；
H．向他
人借
阅．
调查 ……
结论
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调
查数据分别写出一条你获取的信息．
第23页（共34页）【分析】（1）由条形统计图和扇形统计图可得平均每周阅读课外书的时间大约是0～4小
时的人数为33人，占抽样学生人数的11%，即可求解，由条形统计图可知从图书馆借阅的
人数占总数人的62%，即可求解；
（2）由扇形统计图可知平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数占比为32%，
即可求解；
（3）由第一项可知阅读时间为“4～6小时”的人数最多，“0～4小时”的人数最少，由第
二项可知阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的
人数最少等等．
【解答】解：（1）∵平均每周阅读课外书的时间大约是0～4小时的人数为33人，占抽样学
生人数的11%，
∴参与本次抽样调查的学生人数为：33÷11%＝300（人），
∵从图书馆借阅的人数占总数人的62%，
∴选择“从图书馆借阅”的人数为：300×62%＝186（人），
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，选择“从图书馆借阅”的人数为186人；
（2）∵平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数占比为32%，
∴3600×32%＝1152（人），
答：该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数为1152人；
（3）答案不唯一，如：
由第一项可知：
阅读时间为“4～6小时”的人数最多，“0～4小时”的人数最少，
由第二项可知：
阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体等知识点，解题的关键是掌握
利用统计图提取所需信息．
20．（8分）（2022•山西）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根就是相应的二次函数y＝ax2+bx+c
（a≠0）的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两
个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相
等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一
元二次方程根的情况．
第24页（共34页）下面根据抛物线的顶点坐标（﹣ ， ）和一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac，
分别分a＞0和a＜0两种情况进行分析：
（1）a＞0时，抛物线开口向上．
①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，有4ac﹣b2＜0．∵a＞0，∴顶点纵坐标 ＜0．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，有4ac﹣b2＝0．∵a＞0，∴顶点纵坐标 ＝0．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根．
③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，
……
（2）a＜0时，抛物线开口向下．
……
任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 AC （从下面选项中选出
两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论
D．转化思想
（2）请参照小论文中当a＞0时①②的分析过程，写出③中当a＞0，Δ＜0时，一元二次
方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：
可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为 可用函数观点认识二元一
次方程组的解（答案不唯一） ．
【分析】（1）根据上面小论文中的分析过程，体现的数学思想主要是数形结合和数形结合
的思想；
第25页（共34页）（2）参照小论文中的分析过程可得；
（3）除一元二次方程外，初中数学中，用函数观点还可以认识二元一次方程组的解，认识
一元一次不等式的解集等．
【解答】解：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是AC；
故答案为：AC；
（2）a＞0时，抛物线开口向上，
当Δ＝b2﹣4ac＜0时，有4ac﹣b2＞0．
∵a＞0，
∴顶点纵坐标 ＞0
∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点，如图，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）无实数根；
（3）可用函数观点认识二元一次方程组的解；
故答案为：可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，用函数观点认识方程、方程组以及不等式的关系，体现了
数形结合数学的思想．
21．（8分）（2022•山西）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高
空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距
离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点
O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处
的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，
B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的
长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75， ≈1.73）．
第26页（共34页）【分析】延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，则AG＝60m，GH＝AC，∠AGO＝
∠EHO＝90°，然后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义求出OG的长，再利用三角
形的外角求出∠OEF＝30°，从而可得OF＝EF＝24米，再在Rt△EFH中，利用锐角三角
函数的定义求出FH的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，
则AG＝60m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°，
在Rt△AGO中，∠AOG＝70°，
∴OG＝ ≈ ≈21.8（m），
∵∠HFE是△OFE的一个外角，
∴∠OEF＝∠HFE﹣∠FOE＝30°，
∴∠FOE＝∠OEF＝30°，
∴OF＝EF＝24m，
在Rt△EFH中，∠HFE＝60°，
∴FH＝EF•cos60°＝24× ＝12（m），
∴AC＝GH＝OG+OF+FH＝21.8+24+12≈58（m），
∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目
第27页（共34页）的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（13分）（2022•山西）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，
将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角
板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．
猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形
状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM＝AN时，直接写出线段AN的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得MD∥AC，可证∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，即可
求解；
（2）由勾股定理可求BC的长，由中点的性质可得CG的长，由锐角三角函数可求解；
（3）通过证明点A，点M，点D，点N四点共圆，可得∠ADN＝∠AMN＝45°，由直角三角形
的性质可求HN的长，即可求解．
【解答】解：（1）四边形AMDN是矩形，理由如下：
∵点D是BC的中点，点M是AB的中点，
∴MD∥AC，
∴∠A+∠AMD＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵∠A＝∠AMD＝∠MDN＝90°，
∴四边形AMDN是矩形；
（2）如图2，过点N作NG⊥CD于G，
第28页（共34页）∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，
∴BC＝ ＝10，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝5，
∵∠MDN＝90°＝∠A，
∴∠B+∠C＝90°，∠BDM+∠1＝90°，
∴∠1＝∠C，
∴DN＝CN，
又∵NG⊥CD，
∴DG＝CG＝ ，
∵cosC＝ ，
∴ ，
∴CN＝ ；
（3）如图③，连接MN，AD，过点N作HN⊥AD于H，
∵AM＝AN，∠MAN＝90°，
∴∠AMN＝∠ANM＝45°，
∵∠BAC+∠EDF＝90°，
∴点A，点M，点D，点N四点共圆，
∴∠ADN＝∠AMN＝45°，
∵NH⊥AD，
∴∠ADN＝∠DNH＝45°，
第29页（共34页）∴DH＝HN，
∵BD＝CD＝5，∠BAC＝90°，
∴AD＝CD＝5，
∴∠C＝∠DAC，
∴tanC＝tan∠DAC＝ ＝ ，
∴AH＝ HN，
∵AH+HD＝AD＝5，
∴DH＝HN＝ ，AH＝ ，
∴AN＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三
角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．（13分）（2022•山西）综合与探究
如图，二次函数y＝﹣ x2+ x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点
P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，
是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由y＝﹣ x2+ x+4得，A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），用待定系数法可得直线
第30页（共34页）BC解析式为y＝﹣ x+4，
（2）过C作CG⊥PD于G，设P（m，﹣ m2+ m+4），可得PD＝﹣ m2+ m+4，DG＝OC
＝4，CG＝OD＝m，PG＝PD﹣DG＝﹣ m2+ m，而CP＝CE，CG⊥PD，即得GE＝PG＝
﹣ m2+ m，证明△CGE∽△BOC，可得 ＝ ，即可解得P（4，6）；
（3）过C作CH⊥PD于H，设P（m，﹣ m2+ m+4），根据PF∥AC，设直线PF解析式为y
＝2x+b，可得直线PF解析式为y＝2x﹣ m2﹣ m+4，从而F（0，﹣ m2﹣ m+4），OF＝|
﹣ m2﹣ m+4|，证明Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），可得∠HCE＝∠FDO，即得∠FDO＝
∠CBO，tan∠FDO＝tan∠CBO，故 ＝ ，可解得m＝2 ﹣2或m＝4．
【解答】解：（1）在y＝﹣ x2+ x+4中，
令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：
8k+4＝0，
解得k＝﹣ ，
∴直线BC解析式为y＝﹣ x+4；
（2）过C作CG⊥PD于G，如图：
第31页（共34页）设P（m，﹣ m2+ m+4），
∴PD＝﹣ m2+ m+4，
∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，
∴四边形CODG是矩形，
∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，
∴PG＝PD﹣DG＝﹣ m2+ m+4﹣4＝﹣ m2+ m，
∵CP＝CE，CG⊥PD，
∴GE＝PG＝﹣ m2+ m，
∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，
∴△CGE∽△BOC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得m＝0（舍去）或m＝4，
∴P（4，6）；
（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：
过C作CH⊥PD于H，如图：
第32页（共34页）设P（m，﹣ m2+ m+4），
由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，
根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣ m2+ m+4）代入得：
﹣ m2+ m+4＝2m+b，
∴b＝﹣ m2﹣ m+4，
∴直线PF解析式为y＝2x﹣ m2﹣ m+4，
令x＝0得y＝﹣ m2﹣ m+4，
∴F（0，﹣ m2﹣ m+4），
∴OF＝|﹣ m2﹣ m+4|，
同（2）可得四边形CODH是矩形，
∴CH＝OD，
∵CE＝FD，
∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），
∴∠HCE＝∠FDO，
∵∠HCE＝∠CBO，
∴∠FDO＝∠CBO，
∴tan∠FDO＝tan∠CBO，
第33页（共34页）∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴﹣ m2﹣ m+4＝ m或﹣ m2﹣ m+4＝﹣ m，
解得m＝2 ﹣2或m＝﹣2 ﹣2或m＝4或m＝﹣4，
∵P在第一象限，
∴m＝2 ﹣2或m＝4．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形性质，矩形判定及性质，
相似三角形判定及性质等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线
段的长度．
第34页（共34页）
