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专题 13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类
【命题规律】
解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量
大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：
（1）解析几何通性通法研究；
（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；
（3）解析几何中的常见模型；
解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕
这八个字的内容与三大核心考点展开．
【核心考点目录】
核心考点一：轨迹方程
核心考点二：向量搭桥进行翻译
核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译
核心考点四：斜率之和差商积问题
核心考点五：弦长、面积范围与最值问题
核心考点六：定值问题
核心考点七：定点问题
核心考点八：三点共线问题
核心考点九：中点弦与对称问题
核心考点十：四点共圆问题
核心考点十一：切线问题
核心考点十二：定比点差法
核心考点十三：齐次化
核心考点十四：极点极线问题
【真题回归】
1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点
在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．
【解析】（1）设 是椭圆上任意一点, ,
，当且仅当 时取
等号，故 的最大值是 .
（2）设直线 ,直线 方程与椭圆 联立,可得 ,设
，所以 ，
因为直线 与直线 交于 ,
则 ,同理可得, .则
，当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .
2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为
．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【解析】（1）右焦点为 ，∴ ,∵渐近线方程为 ，∴ ，∴ ，∴
，∴ ，∴ ．
∴C的方程为： ；
（2）由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则 为线段 的中点，假若直线 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 在 轴
上，即为焦点 ,此时由对称性可知 、 关于 轴对称，与从而 ，已知不符；
总之，直线 的斜率存在且不为零.
设直线 的斜率为 ,直线 方程为 ,
则条件① 在 上，等价于 ；
两渐近线的方程合并为 ,
联立消去y并化简整理得：
设 ,线段中点为 ,则 ,
设 ,
则条件③ 等价于 ,
移项并利用平方差公式整理得：
，,即 ,
即 ；
由题意知直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 ,
∴由 ,
∴ ,
所以直线 的斜率 ,
直线 ,即 ,
代入双曲线的方程 ,即 中，
得： ,
解得 的横坐标： ,
同理： ，
∴
∴ ,
∴条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上，等价于 ；
条件② 等价于 ；
条件③ 等价于 ；
选①②推③:
由①②解得： ,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得： ， ，∴ ，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得： ， ，∴ ，
∴ ，∴①成立.
3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于
M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
【解析】（1）抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，所以 ，
若要使 最大，则 ，设 ，则
，当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
所以直线 .
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设 ,直线
由 得： ， ,同理， .
直线MD: ,代入抛物线方程可得： ，同理， .
代入抛物线方程可得: ,所以 ，同理可得 ，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ， ，所以 ，所以直线
.
[方法三]：三点共线
设 ，
设 ,若 P、M、N三点共线，由所以 ，化简得 ，
反之，若 ,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得 ，
由M、D、A三点共线，得 ，
由N、D、B三点共线，得 ，
则 ，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，所以直线 .
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线 的斜率关
系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性
通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线 过定点，省去联立过程，也不失为一种简
化运算的好方法．
4．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
【解析】（1）设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为： .（2） ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
5．（2022·全国·统考高考真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点，
直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
【解析】（1）因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，即双曲线 ．
易知直线l的斜率存在，设 ， ，
联立 可得， ，
所以， ， 且 ．
所以由 可得， ，
即 ，
即 ，
所以 ，
化简得， ，即 ，
所以 或 ，
当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去，
故 ．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ，由（1）知，
，
当 均在双曲线左支时， ，所以 ，
即 ，解得 （负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当 均在双曲线右支时，
因为 ，所以 ，即 ，
即 ，解得 （负值舍去），
于是，直线 ，直线 ，
联立 可得， ，因为方程有一个根为 ，所以 ， ，
同理可得， ， ．
所以 ， ，点 到直线 的距离 ，
故 的面积为 ．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为 ， ，由 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
联立 ，及 得 ， ，
同理， ， ，故 ，
而 ， ，
由 ，得 ，
故
【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线 的斜率，从而联立求出点
坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；
法二：前面解答与法一求解点 坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式
的选择不一样．
【方法技巧与总结】
1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．
2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．
3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．
4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．
5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．
【核心考点】
核心考点一：轨迹方程
【规律方法】求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点 的坐标 、 表示相关点 的坐标 、 ，然后代入点 的坐标 所
满足的曲线方程，整理化简可得出动点 的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标 、 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 、 与某一参数 得到方
程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线 的一条渐近线为 ，且一个焦点到
渐近线的距离为 .
(1)求双曲线方程；
(2)过点 的直线 与双曲线交于异支两点 ，求点 的轨迹方程.
【解析】（1）由渐近线为 知， ①，又焦点到渐近线的距离为 ，即 到直线 的
距离 ，所以 ， ②，联立①②，解得 ， ，则双曲线方程为
.
（2）因为直线 与双曲线交于异支两点 ，所以直线 的斜率必存在，且经过 点，可设直线
，与双曲线联立得： ，
设 ，则有 解得 ，
由 知，
两式相除得 ，即 代入 得 ，
又 ，所以 ，
所以点 的轨迹方程为 .例2．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点 的直线 交曲线
于A，B两点．
(1)若直线 的倾斜角为 ，求 ；
(2)若线段 的中点为 ，求点 的轨迹方程．
【解析】（1）由题得l方程为： ，将其与 联立有
，消去y得： ，解得 或 .
则令A ，B ，则 = .
（2）由题，直线 存在，故设l方程为： .
将其与 联立有： ，消去y得：
因l与双曲线有两个交点，则 ，
得 且 .设 .
又设M坐标为 ，则 .
因A，B在双曲线上，则有 .
又M， 在直线l上，则 .
故
由韦达定理有， ， .
则M坐标为 .
又 ， 且 ，则 或 .综上点 的轨迹方程为： ，其中 .
例3．（2022·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．
(1)已知动点 为圆 外一点，过 引圆 的两条切线 、 ， 、 为切点，若 ，
求动点 的轨迹方程；
(2)若动点 为椭圆 外一点，过 引椭圆 的两条切线 、 ， 、 为切点，若
，求出动点 的轨迹方程；
(3)在（2）问中若椭圆方程为 ，其余条件都不变，那么动点 的轨迹方程是什么（直
接写出答案即可，无需过程）．
【解析】（1）由切线的性质及 可知，四边形 为正方形，
所以点 在以 为圆心， 长为半径的圆上，且 ，
进而动点 的轨迹方程为
（2）设两切线为 ， ，
①当 与 轴不垂直且不平行时，设点 的坐标为 ， 则 ，
设 的斜率为 ，则 ， 的斜率为 ，
的方程为 ，联立 ，
得 ，
因为直线与椭圆相切，所以 ，得 ，
化简， ，
进而 ，
所以
所以 是方程 的一个根，
同理 是方程 的另一个根，
，得 ，其中 ，
②当 与 轴垂直或平行时， 与 轴平行或垂直，
可知： 点坐标为： ，
点坐标也满足 ，
综上所述，点 的轨迹方程为： ．（3）动点 的轨迹方程是
以下是证明：
设两切线为 ， ，
①当 与 轴不垂直且不平行时，设点 的坐标为 ， 则 ，
设 的斜率为 ，则 ， 的斜率为 ，
的方程为 ，联立 ，
得 ，
因为直线与椭圆相切，所以 ，
得 ，
化简， ，
进而 ，
所以
所以 是方程 的一个根，
同理 是方程 的另一个根，
，得 ，其中 ，
②当 与 轴垂直或平行时， 与 轴平行或垂直，
可知： 点坐标为： ，
点坐标也满足 ，
综上所述，点 的轨迹方程为： ．
核心考点二：向量搭桥进行翻译
【规律方法】
把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决．
【典型例题】
例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知椭圆 ，倾斜角为 的直线过椭圆
的左焦点 和上顶点B，且 （其中A为右顶点）.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点 的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且 ，求实数m的取值范围.【解析】（1）由题可知
解得
故椭圆的方程为 .
（2）当直线l的斜率不存在时，设 ， ， ，
由 ， ，得 ，
同理，当 , 时，得 ，所以 ，
当直线l的斜率存在时，即 时，
设直线 的方程为 ，
联立
消去y得 .
因为直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，
所以 ，
即 ①.
设 ，
则 ②，
则 ，
由 ，得 ③，
③代入②得 ，
化简整理得 ④，将④代入①得 ，
化简得 ，
解得 或 .
综上，m的取值范围为 .
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ）的离心率 ，点 、
之间的距离为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 ，则是否存在常数 ，使得
与 共线？如果存在，求 的值；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为点 、 之间的距离为 ，
所以 ，因为椭圆的离心率 ，所以有 ，而 ，
因此组成方程组为： ；
（2）设 的方程为 ，与椭圆的标准联立为：
，
于是有 ，此时设 ，
于是有 ，
假设存在常数 ，使得 与 共线，
因为 ， ，
所以有 ，
，因为 ，所以 ，不满足 ，
因此不存在常数 ，使得 与 共线.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 与圆 交于点
第一象限 ，曲线 为 、 上取满足 的部分．
（1）若 ，求b的值；
（2）当 ， 与x轴交点记作点 、 ，P是曲线 上一点，且在第一象限，且 ，求 ；
（3）过点 斜率为 的直线l与曲线 只有两个交点，记为M、N，用b表示 ，并求
的取值范围．
【解析】（1）由 ，点A为曲线 与曲线 的交点，
联立 ，解得 ， ；
（2）由题意可得 ， 为曲线 的两个焦点，
由双曲线的定义可得 ，
又 ， ，
所以 ，
因为 ，则 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得
，
由 ，可得 ；
（3）设直线 ，可得原点O到直线l的距离 ，
所以直线l是圆的切线，设切点为M，所以 ，并设 与圆 联立，
可得 ，
可得 ， ，即 ，
注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，
所以只有当 时，直线l才能与曲线 有两个交点，
由 ，可得 ，
所以有 ，解得 或 舍去 ，
因为 为 在 上的投影可得， ，
所以 ，
则 ．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，且
， 是C上一点．
(1)求C的方程；
(2)过点 的直线与C交于两点A，B，与直线 交于点N．设 ， ，求
证： 为定值．
【解析】（1）设C的焦距为 ，则 ，
即 ， ， ；
由双曲线的定义，得 ，即 ，
所以 ，故C的方程为 ．
（2）设 ， ， ，显然直线AB的斜率存在，
可设直线AB的方程为 ，代入 ，
得 ．
由过点 的直线与C交于两点A，B，得 ，
由韦达定理，得 ， ； ①由 在直线 上，得 ，即 ； ②
由 在直线AB上，得 ． ③
由 ，得 ，
即 解得 ．同理，由 ，得 ，
结合①②③，得
．故 是定值．
核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译
【规律方法】
首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点
设线、直由联立、看判别式、韦达定理．
将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公
式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）
关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数
间的关系．
【典型例题】
例8．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别
为 ， ， 为 上一点，且当 轴时， .
(1)求 的方程；
(2)设 在点 处的切线交 轴于点 ，证明： .
【解析】（1）由题意知， ，得 ，
当 轴时，设 ，
代入椭圆方程，得 ，解得 ，即 ，
由椭圆的定义知， ，又 ，
所以 ，由 ，解得 ，故椭圆C的方程为 ；
（2）当切线斜率不存在时，切线方程为 ，此时点P与点Q重合，等式成立；
当切线斜率为0时，切线与x轴不相交，不符合题意；
当切线斜率存在时，设 ，
由 ，得 ，则 ，
所以切线的斜率为 ，得切线方程为 ，
即 ，
整理得 ，
即 ，所以切线方程为 ，
令 ，得 ，即 ，
由(1)知， ，
则 ，
，
又 ，得 ，
所以 ，
，
所以 ，即 ，即证.
例9．（2022春·江苏徐州·高三期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，直线 过C的焦
点且垂直于x轴，直线 被C所截得的线段长为 .(1)求C的方程；
(2)若C与y轴的正半轴相交于点P，点A在x轴的负半轴上，点B在C上， ， ，求
的面积.
【解析】（1）不妨设直线 过 的右焦点 ，则直线 的方程为 ，
由 ， 解得 ，故 ①，
由于椭圆的离心率 ②，
由①②解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）得 ，设 ，
，由于 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
由 ，消去 并整理得 ，
解得 ，
由于 ，所以 ，则 ，
，解得 .
所以 ，
而 .例10．（2022春·浙江金华·高三期末）已知双曲线 上一点 ，直线 交
于 ， 点.
(1)证明：直线 与直线 的斜率之和为定值；
(2)若 的外接圆经过原点 ，求 的面积.
【解析】（1）证明：设 ， ，
联立 得 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 、 ，
从而
为定值.
（2）设 的中点为 ， 外接圆的圆心为 ，由 ，则
所以 ，
所以 的中垂线方程为 ，即 ，
又 ， 的中点为 ，
所以 的中垂线方程为 ，即 ，联立 解得 ，即 ，
由 ，
得
，
整理得 ，解得 （舍去）， ，
所以直线 ： ，
过 作 轴的平行线交直线 于点 ，令 则 ，即 ，
而
，
所以 .
核心考点四：斜率之和差商积问题
【规律方法】
在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将
斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．
【典型例题】
例11．（2022·浙江·模拟预测）已知曲线C上的任意一点到点 和直线 的距离之比恒为 ．
(1)求曲线C的方程；
(2)记曲线的左顶点为A，过 的直线l与曲线C交于P，Q两点，P，Q均在y轴右侧，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点．若直线MB，NB的斜率分别为 ， ，判断 是否为定值．若是，求出该
定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设曲线C上一点的坐标为 ，依题意有 ，化简得： ；
（2）
依题意作上图，设PQ方程为 ， ，则m必定是存在的，
联立方程 得 ，
，
AP的方程为 ，令x=0，则M点的坐标为 ，
同理，N点的坐标为 ，
，是定值；综上，曲线C的方程为 ， 是定值.
例12．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）如图，已知抛物线C： ，过焦点F斜率
大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．
(1)若线段AB的长为5，求直线 的方程；
(2)在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线 的斜率始终成等差数列，若存在求点M的
坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）抛物线 的焦点为 ，因为直线 的斜率不为0，所以可设 的方程为 ，
设 ，联立 消 ，得 ，方程 的判别式
， ，
， ，
∴ ，∴ ，设直线 的斜率为 ，则 ，所以 ，所以直线
的方程为 ；
（2）设 ， ，
，同理， ，又联立 可得 ，即点 的坐标为 ，
所以 ，
∵直线 的斜率始终成等差数列，所以 恒成立；
∴ ，又∵ ，所以 ， ， ，因为 ，所
以 ，
所以存在点 或 ，使得对任意直线 ，
直线 的斜率始终成等差数列．
例13．（2022·安徽·校联考二模）已知椭圆 经过点 ，其右焦点为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)椭圆 的右顶点为 ，若点 在椭圆 上，且满足直线 与 的斜率之积为 ，求 面积的
最大值.
【解析】（1）依题可得 解得
所以椭圆 的方程为 ；
（2）易知直线 与 的斜率同号，所以直线 不垂直于 轴，
故可设 ，
由 可得， ，
所以 ，即 ，
而 ，即 ，
化简可得 ，
，
化简得 ，
所以 或 ，
所以直线 或 ，
因为直线 不经过点 ，所以直线 经过定点 .
所以直线 的方程为 ，易知 ，
设定点
，
因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，
设 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，即 面积的最大值为 .
例14．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ： 的离心率为 ，
是 上一点.
(1)求 的方程.
(2)设 ， 分别为椭圆 的左、右顶点，过点 作斜率不为0的直线 ， 与 交于 ， 两点，直线
与直线 交于点 ，记 的斜率为 ， 的斜率为 .证明：① 为定值；②点 在定直线上.
【解析】（1）由题意，椭圆的离心率为 ， 是椭圆 上一点，
所以 ，解得 ，所以椭圆的方程为 ；
（2）①因为过点 且斜率不为0，所以可设 的方程为 ，代入椭圆方程 得
，方程 的判别式 ，设 ， ，
则
， .
两式相除得
， ．
因为 分别为椭圆 的左、右顶点，所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，所以
， ．
从而 ；
②由①知 ，设 ，则 ，所以直线 的方程为： ，直线 的方程为
，联立 可得 ，所以直线 与直线 的交点 的坐标为 ，所以
点 在定直线 上.
核心考点五：弦长、面积范围与最值问题
【规律方法】
弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线
与椭圆相交得到的 为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于 ，有以下三种常见的
表达式：
① （随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②
（横截距已知的条件下使用）
③ （纵截距已知的条件下使用）
【典型例题】
例15．（2021秋·上海普陀·高三曹杨二中阶段练习）已知椭圆 ，过点 作关于 轴对称的两条直线 ，且 与椭圆交于不同两点 与椭圆交于不同两点 ， .
(1)已知 经过椭圆的左焦点，求 的方程；
(2)证明：直线 与直线 交于点 ;
(3)求线段 长的取值范围.
【解析】（1） 的左焦点为 ，当 过左焦点时， 的方程为 ，
即 .
（2）由题意知 斜率存在，设直线 ，
则 ，
联立 ，消 得 ，需满足 ，即 ，
，
又 ，
，
，
，故点 ， ， 三点共线，即直线 经过点 ，
同理可证 ,即点 ， ， 三点共线，即直线 经过点 ，
故直线 与直线 交于点 ;
（3）由（2）可知令 ，则 ，
又由 得 ，所以 ，
，
设 ， 时， 恒成立，
在 上单调递增， ， ，
， ， .
例16．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 中， 已知椭圆 ， 椭圆
.设点 为椭圆 上任意一点， 过点 的直线 交椭圆 于 两点， 射线 交椭圆 于
点 .
(1)求 的值；
(2)求 面积的最大值.
【解析】（1）设 ， 由题意知 .
因为 ， 又 ， 即 ， 所以 ，
即 .（2）由(1)知， 的面积为 ，
设 .
将 代入椭圆 的方程， 可得 ，
由 ， 可得 ，①
则有 . 所以 .
因为直线 与 轴交点的坐标为 ，
所以 的面积
.
设 ， 将 代入椭圆 的方程，
可得 ，
由 ， 可得 ，②
由 (1)(2)可知 ， 因此 ， 故 ， 当
且仅当 ， 即 时取得最大值 .
所以 面积的最大值为 .
例17．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知椭圆 短轴的两个
顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线 与圆 相切.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 ，与椭圆 分别交于 四点，如图，求四边形的面积的取值范围.
【解析】（1）因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，
所以 ，即 ，
又因为直线 与圆 相切，
所以 结合 解得 ，
所以椭圆 .
（2）(i)若 垂直于 轴，则 与 轴重合，
由 解得 ，所以 ，
又因为
同理 垂直于 轴，则 与 轴重合时 .
(ii)若 都不与 轴平行或垂直，
设直线 ，
得：
与椭圆 相交于 两点，
则 ，
当 时，直线 ，
将 的 替换为 可得 ，，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时“=”成立，
综上
所以四边形 的面积的取值范围为 .
核心考点六：定值问题
【规律方法】
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【典型例题】
例18．（2022春·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）已知双曲线 的离心
率是2，直线 过双曲线 的右焦点 ，且与双曲线 的右支交于 两点.当直线 垂直于 轴时，
.
(1)求双曲线 的标准方程.
(2)记双曲线 的左､右顶点分别是 ，直线 与 交于点 ，试问点 是否恒在某直线上？若是，求
出该直线方程；若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为过点 的垂直与 的直线方程为 ，代入双曲线方程 可得 ，所以
此时 ，又直线 垂直于 轴时， ，所以 ①，因为双曲线 的离心率为2，所以
②，又 ③，由①②③解方程可得 ，故双曲线 的标准方程为 ；（2）由（1）可知 ，
若直线 的斜率为0，则直线 与双曲线 的右支只有一个交点，不满足要求，
所以直线 的斜率不为0，设直线 ，
联立 整理得 ，
，且 ，
则 ，故 .
由题意可得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
则 ，
即 ，
把 代入上式，
得 ，
解得 .
故点 在定直线 上.
例19．（2022春·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知椭圆C： 的右焦点为F，上顶
点为 ，下顶点为 ， 为等腰直角三角形，且直线 与圆 相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过 的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点 ， )，直线 ， 相交于点Q．证明：点Q
在一条平行于x轴的直线上．
【解析】（1）由题可知， ， ， ，为等腰直角三角形， ，
又直线 与圆 相切，所以原点O到直线 的距离为1，
直线 的方程为 ，即 ，所以 ，
解得 ，
又 ，所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）
由过 的直线l不过 ， ，可设其直线方程为 ，
把 代入 ，得 ， ，即 ，
设 ， ，则 ， ，
直线 的方程为 ，
直线 的方程为
设直线 和 的交点为 ，则 ，
把 及 代入上式，得
，
整理得 ，
故点Q在一条平行于x轴的直线 上，得证．例20．（2022春·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）已知椭圆 过点为
.
(1)求椭圆 的方程及其焦距；
(2)过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 ，求 的值.
【解析】（1）因为椭圆 过点为 ，
所以有 ；
（2）依题意过点 的直线为 ，设 、 ，不妨令 ，
由 ，消去 整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
，
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，于是有 ，即 .
核心考点七：定点问题
【规律方法】
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证
明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线
的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明．
【典型例题】
例21．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知抛物线 （其中 ）的焦点为 ，点 、
分别为抛物线 上两个动点，满足以 为直径的圆过点 ，设点 为 的中点，当 时，
点 的坐标为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)直线 、 与抛物线的另一个交点分别为 、 ，点 、 分别为 、 的中点，证明：直线
过定点．
【解析】（1）因为以 为直径的圆过点 ，则 ，
当点 为 的中点时， ，则 ，此时 为等腰直角三角形，
又点 、 在 轴上，则 轴，所以 ，
， ，点 在 的右侧，所以 ，
由抛物线的定义知 ，所以， ，
解得 ，故抛物线 的方程为 ．
（2）证明：若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
同理可知，直线 与 轴也不重合，
设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
联立方程 得 ， ，
设 、 ，则 ， ，
所以 ，同理可得 ，当 时， ，
所以直线 的方程为 ，化简得 ，
当 时， ，直线 过定点 ．
当 时，直线 的方程为 ，直线 必过点 ，
综上所述，所以直线 过定点 ．
例22．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知椭圆C： 的离心率为 ，
右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线经过点A，且点F到直线的距离为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l： 与椭圆C交于E、F两点（E、F两点与A、B两点不重合），且以EF为直径的圆过
椭圆C的右顶点，证明：直线l过定点，并求出该定点坐标.
【解析】（1）由题可知,直线的方程为 ,即 ,
∴右焦点F到直线的距离为
又∵椭圆C的离心率为 ,即代入上式得 ，所以 .
∴椭圆C的方程为 .
（2）由 得： .
由 得： .
设 ，椭圆的右焦点为 ，则 ，
因为以EF为直径的圆过椭圆C的右顶点，所以 ，所以 ，即 ，
代入化简得： ，
解得： ，皆满足 .当 时，直线 的方程为 过点 ，不符合题意.
当 时，直线 的方程为 过点 ，符合题意.
综上：直线l过定点 .
例23．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知动圆 与圆 及圆
中的一个外切，另一个内切．
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；
(2)若直线 与轨迹 相交于 、 两点，以线段 为直径的圆经过轨迹 与 轴正半轴的交点 ，证明直
线 经过一个不在轨迹 上的定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）依题意， ， ，
当动圆 与圆A外切且与圆 内切时，有 ，即 ，
当动圆 与圆A内切且与圆 外切时，有 ，即 ，
即 ，
动圆的圆心 的轨迹 是以A、 为焦点的双曲线，其中 ， ，
轨迹 的方程为 ；
（2）证明：当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
由 得 ，
由 ，得 ，
且 ，
依题意，以 为直径的圆经过点 ，
，且 ，
，
，
即 ，
，化简，得 ，即 ，
或 ，且均满足 ，
当 时，直线 的方程为 ，直线 过定点 即是点 ，不符题意，舍，
当 时，直线 的方程为 ，直线 过定点 ，符合题意，
当直线 的斜率不存在时，设 的方程为 ，
由 解得 ，
依题意，以 为直径的圆经过点 ， ，即 ，
，即 ，
解得 （舍 或 ，
的方程为 ，直线 过点 ，
故直线 经过一个不在轨迹 上的定点，定点的坐标为 ．
核心考点八：三点共线问题
【规律方法】
证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直
线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个
距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其
中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，
计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形
的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思
想”．
【典型例题】
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知 的右焦点为 ，点 到 的一条渐近线
的距离为 ，过点 的直线与 相交于 两点.当 轴时， .
(1)求 的方程.
(2)若 ， 是直线 上一点，当 三点共线时，判断直线 的斜率是否为定值.若是定值，
求出该定值；若不是定值，说明理由.【解析】（1）根据对称性，不妨设 到直线 的距离为 ，
则 ，
令 ，则 ，解得 ，
所以当 轴时， ，则 .
故 的方程为 .
（2）设 .
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，化简得 ，
由 ，得 ，则
设 ，因为 三点共线，所以 ，整理得 .
因为 ，
所以 ，即直线AN的斜率为定值0.
当直线AB的斜率为0时，A，B，M，N都在x轴上， 则直线AN的斜率为定值.
综上所述，直线AN的斜率为定值0.
例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离
心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是 ．
【解析】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，又 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ,
所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，
所以
，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 经过点 ，离心率为 ， 为坐标原点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 、 分别为椭圆 的左、右顶点， 为椭圆 上一点（不在坐标轴上），直线 交 轴于点 ，
为直线 上一点，且 ，求证： 、 、 三点共线.
【解析】（1）将点 的坐标代入椭圆 的坐标可得 ，
由题意可得 ，解得 ，
因此，椭圆 的标准方程为 ；
（2）椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，
设点 ，则 ，则 ，
直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，即点 ，
设点 ，由 ，可得 ，
直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
将 代入直线 的方程得 ，
所以点 的坐标为 ，
直线 的斜率为直线 的斜率为 ，
又 、 有公共点 ，因此， 、 、 三点共线.
核心考点九：中点弦与对称问题
【规律方法】
对于中点弦问题常用点差法解决．
【典型例题】
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E： 的离心率为 ，点A，B分别为椭
圆E的左右顶点，点C在E上，且 面积的最大值为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝﹣4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD
平分线段MN．
【解析】（1）由椭圆的性质知当点C位于短轴顶点时 面积最大．
∴ ，解得 ，
∴椭圆的方程为 ；
（2）如图所示，
设 ， ， ，线段 的中点 ；
则 ， ，
由（1）可得 ，则直线DF的斜率为 ；
当 时，直线 的斜率不存在，由椭圆性质易知 平分线段 ，
当 时，直线 的斜率 ；
∵点M，N在椭圆E上，∴ ，整理得： ，
又 ， ，
∴ ，直线OP的斜率为 ，∵直线OD的斜率为 ，
∴所以 三点共线，即直线OD平分线段MN．
例28．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知O为坐标原点，点 在椭圆C：
上，直线l： 与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为
．
(1)求C的方程；
(2)若 ，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设 ，则
∵ 在椭圆上，则
两式相减得 ，整理得
∴ ，即 ，则
又∵点 在椭圆C： 上，则
联立解得
∴椭圆C的方程为
（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q两点关于l： 对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接
ON∵ ，则 ，即
由（1）可得 ，则 ，即直线
联立方程 ，解得
即
∵ ，则 在椭圆C外
∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，记准线 与
轴的交点为 ，过 作直线交抛物线 于 ， （ ）两点.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 是线段 的中点，求直线 的方程；
(3)若 ， 是准线 上关于 轴对称的两点，问直线 与 的交点是否在一条定直线上？请说明理由.
【解析】（1）因为准线为 ，所以 ．（2）设直线 的方程 ，联立 可得， ，所以
， ， ，而 是线段 的中点，所以 ，解得：
，即 ，解得： ，所以直线 的方程为 ，即
．
（3）直线 的方程 ，设 ， ， ，则
， ，
联立可得： ，由 ， ，代入解得：
，
所以直线 与 的交点在定直线 上．
核心考点十：四点共圆问题
【规律方法】
证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则
可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其
顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，
则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为 ，并且任何一个外角都等于它的内
对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂
线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
【典型例题】
例30．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知点 在抛物线 上，过动点 作抛物
线的两条切线，切点分别为 ､ ，且直线 与直线 的斜率之积为 .
(1)证明：直线 过定点；
(2)过 ､ 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ､ ，问：是否存在一点 使得 ､ ､ ､ 四点共圆？
若存在，求所有满足条件的 点；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）法一：将 代入抛物线方程 得到 ，所以抛物线方程为 ，求导可得，设切点坐标为 ，则切线斜率为 ，所以切线方程为 ，即 ；
设 ， ， 直线方程为 ，由题意得 ，所以 ，联立直
线 和抛物线得 得 ，所以 得 ，
所以 的直线方程为 ，直线 过定点 ；
法二：将 代入抛物线方程 得到 ，所以抛物线方程为 ，
设 ，过 的直线方程为 ，联立
得 ，
得 ，由 ，
切点横坐标为 ，所以
联立直线 和抛物线得 得 ，所以 得 ，
所以 的直线方程为 ，直线 过定点 ；
（2）联立直线 和抛物线得 得 ①
可知 ， ，
设 ， ， 直线方程为： ， 直线方程为： ，
联立 解得 ，所以 ，所以 在直线 上运动，
假设存在 点使得 ､ ､ ､ 四点共圆，则 ，所以 ，
因为 ， 可得 ，解得 ，
不合题意，所以不存在 点使得 ､ ､ ､ 四点共圆.
例31．（2022·浙江丽水·高三统考竞赛）如图，已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线交
于 两点，过 分别作抛物线的切线 ， 交于点 .过抛物线上一点 （在 下方）作切线 ，
交 于点 .(1)当 时，求 面积的最大值；
(2)证明 四点共圆.
【解析】（1）当 时，由题知， ，
设 ，对于抛物线 ，即 ，
所以，过抛物线上一点 的切线 的斜率为 ，即直线 的斜率为 ，
过 分别作抛物线的切线 的斜率分别为 ，
所以， 方程为： ， 的方程分别为 ，
所以，联立方程 得 ，
联立方程 得 ，
所以，
因为 ，所以 互相垂直，即 互相垂直，
所以， ，当且仅当 时等号成立，
所以， 面积的最大值为 .
（2）联立方程 ，解得 ，设 ，
对于抛物线 ，即 ，
所以，同（1），根据导数几何意义得： ，所以，根据抛物线的对称性可知 的交点 在 轴上，且
联立方程 ，解得： ，
联立方程 ，解得 ，
设 与 交于点 ，得： ，
所以， ， ， ， ，
所以
所以，根据圆幂定理，得 四点共圆
例32．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点P满足
，且 .设动点P形成的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)过点 的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线l，使得A，B，M，N四点共圆.若
存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设 ，则 ， ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ，所以 ， ，
又 ，整理得 ，
即曲线C的标准方程为 ；
（2）易知当l的斜率不存在时，直线l与曲线C没有两个交点，所以直线l的斜率存在，
设l： ，将直线l与曲线C联立，得 ，
消去y，整理得 ，
因为 且 ，所以 且 ，
设 ， ，
则 ， ，
所以MN的中点 ，
且 ，
将 ， 代入上式，
整理得 ，
当 时，线段MN的中垂线方程为 ： ，
令y＝0，解得 ，即 与x轴的交点坐标为 ，
当k＝0时，线段MN的中垂线为y轴，与x轴交于原点，符合Q点坐标，
因为AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为 ，
所以 ，
所以 ，
整理得 ，即 ，
因为 且 ，
所以上述方程无解，即不存在直线l符合题意.
核心考点十一：切线问题
【规律方法】
（1）若点 是圆 上的点，则过点 的切线方程为 ．
（2）若点 是圆 外的点，由点 向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB
所在直线方程为 ．
（3）若点 是椭圆 上的点，则过点 的切线方程为 ．（4）若点 是椭圆 外的点，由点P向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦
AB所在直线方程为 ．
【典型例题】
例33．（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左、
右顶点分别为 ，过左焦点 的直线与椭圆交于点 （点 在点 的上方）．
(1)求证：直线 的斜率乘积为定值；
(2)过点 分别作椭圆的切线，设两切线交于点 ，证明： ．
【解析】（1）由椭圆方程知： ， ；
由题意知：直线 斜率不为 ，则可设 ， ， ，
由 得： ， ， ，
，
即直线 的斜率乘积为定值 .
（2）椭圆在 轴下方部分的方程为： ，
，
在 处的切线斜率 ，又 ， ，，
在 处的切线方程为 ，
整理可得： ；
同理可得： 处的椭圆的切线方程为： ；
由 得： ，
则可设 ， ，即直线 方程为 ，其斜率 ；
又直线 斜率 ， ，即 .
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在
椭圆 上， 为坐标原点
(1)求椭圆 的标准方程
(2)过椭圆 上异于其顶点的任一点 ，作圆 的切线，切点分别为 ， ，
不在坐标轴上），若直线 的横纵截距分别为 ， ，求证： 为定值
【解析】（1）由题意得： ，所以 ，
又因为点 在椭圆 上，所以 ，
可解得 ， ，
所以椭圆标准方程为 ．
（2）证明：由题意： ，
设点 ， ， ， ， ， ，
因为 ， 不在坐标轴上，所以 ，直线 的方程为 ，
化简得： ，①
同理可得直线 的方程为 ，②
把 点的坐标代入①、②得 ，
所以直线 的方程为 ③，
令 ，得 ，令 得 ，
所以 ， ，又点 在椭圆 上，
所以 ，
即 为定值．
例35．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 的
离心率为 ，抛物线 的顶点为原点.
(1)求椭圆 和抛物线 的方程；
(2)设点 为抛物线 准线上的任意一点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 为切点.设直
线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
【解析】（1）设椭圆 和抛物线 的方程分别为 ， ， ，
椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，，解得 ， ，
椭圆 的方程为 ，抛物线 的方程为 ．
（2）由题意知过点 与抛物线 相切的直线斜率存在且不为0，设 ，则切线方程为
，
联立 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，
直线 ， 的斜率分别为 ， ， ，
为定值．
核心考点十二：定比点差法
【典型例题】
例36．已知椭圆 （ ）的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 （ ）的直线
与 相交于 ， 两点，若 ，求
【解析】由 ，可设椭圆为 （ ），
设 ， ， ，由 ，
所以 ， ．
又
由（1）-（3）得 ，
又 ．
又 ．例37．已知 ，过点 的直线交椭圆于 ， （可以重合），求 取值范围．
【解析】设 ， ， ，由 ，
所以 ．
由
由（1）-（3）得：
，又 ，
又 ，从而 ．
例38．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， ， ， 是椭圆上的三个动点，且
， 若 ，求 的值．
【解析】设 ， ， ，，由 ， 得
① 满足
满足
②由
③由（1）-（3）得：
，又
，同理可得．
核心考点十三：齐次化
【典型例题】
例39．已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线 交于P，Q两点， 为坐标原点．证明：
．
【解析】直线
由 ，得
则由 ，得： ，
整理得： ，即： ．
所以 ，
则 ，即： ．
例40．如图，椭圆 ，经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点P，Q
（均异于点 ，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．
【解析】设直线
则 ．
由 ，
得： ．
则 ，
故 ．
所以 ．
即 ．例41．已知椭圆 ，设直线 不经过点 且与 相交于A，B两点．若直线 与直
线 的斜率的和为 ，证明：直线 过定点．
【解析】设直线 ．．．．．．（1）
由 ，得
即： ．．．．．．（2）
由（1）（2）得：
整理得：
则 ，
则 ，代入直线 ，得：
显然，直线过定点 ．
核心考点十四：极点极线问题
【典型例题】
例42．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点 且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，
直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．
【解析】（1）因为椭圆的离心率 ， ， ，
又 ， ．
因为 ，所以 ， ，
所以椭圆C的方程为 ．
（2）解法一：设直线 ， ， ，
，可得 ，所以 ．
直线AM的方程： ①
直线BN的方程： ②
由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，
联立①②可得 ．
因为 ，
所以
所以点Q在直线 上．
解法二：设 ， ， ， 两两不等，
因为P，M，N三点共线，
所以 ，
整理得： ．
又A，M，Q三点共线，有： ①
又B，N，Q三点共线，有 ②将①与②两式相除得：
即 ，
将 即代入得： 解得 （舍去）或 ，（因为直线 与椭圆相交故 ）
所以Q在定直线 上．
【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐
标点方程从而解决相关问题.
例43．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 分别是双曲线 的左，右顶点，直线 （不与坐
标轴垂直）过点 ，且与双曲线 交于 ， 两点.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若直线 与 相交于点 ，求证：点 在定直线上.
【解析】设直线 的方程为 ，设 ， ，把直线 与双曲线
联立方程组， ，可得 ，
则 ，
（1） ， ，由 ，可得 ，
即 ①， ②，
把①式代入②式，可得 ，解得 ， ，
即直线 的方程为 或 ．
（2）直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
直线 与 的交点为 ，故 ，即 ，
进而得到 ，又 ，
故 ，解得
故点 在定直线 上．
【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.例44．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 与 轴的交点 （点A位于点
的上方）， 为左焦点，原点 到直线 的距离为 .
（1）求椭圆 的离心率；
（2）设 ，直线 与椭圆 交于不同的两点 ，求证：直线 与直线 的交点 在定直
线上.
【解析】（1）设 的坐标为 ，由面积法有 ， 椭圆 的离心率 .
（2）若 ，由(1) 得 ， 椭圆方程为 ，
联立方程组 化简得： ，
由 ，解得： .
由韦达定理得： , ,
设 ， 的方程是
， 的方程是 ，
联立化简得 ，即 ，
所以直线 与直线 的交点 在定直线上.
【新题速递】
1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线 ： ，
为平面上的动点，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，分别以PQ，PF为直径作圆 和圆 ，且圆
和圆 交于P，R两点，且 .(1)求动点 的轨迹E的方程；
(2)若直线 ： 交轨迹E于A，B两点，直线 ： 与轨迹E交于M ，D两点，其中点M在第
一象限，点A，B在直线 两侧，直线 与 交于点 且 ，求 面积的最大值.
【解析】（1）设点 ,因为 ,
由正弦定理知 ,
所以 ,解得 ,
所以曲线 的方程为 .
（2）直线 与曲线 在第一象限交于点 ,
因为 ,所以 ,
由正弦定理得: ,
所以 .
设 ，
所以 ,
得 ,所以 ，
所以直线 方程为: ,联立 ，
得
由韦达定理得 ,
又因为点 在直线 的上方,所以 ,所以 ,所以 ,
又因为点 到直线 的距离为 ,
所以
方法一：令 ,则 ,
所以当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,所以 ，
所以当 时,面积最大,此时最大值为 .
方法二： 最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:
，
当且仅当 ,即 时,等号成立.
2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆 中心在原点 ，焦点在坐标轴上，其离心率为 ，一个焦点
为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆相交于 两点，直线 分别与直线 相交于 两
点，若 为锐角，求直线 斜率 的取值范围．
【解析】（1）由题意知：椭圆 的离心率 ，
因为一个焦点为 ，所以 ，则 ，
由 可得： ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设直线 的方程为 ， ，
联立方程组 ，整理可得： ，则有 ，
由条件可知：直线 所在直线方程为： ，
因为直线 与直线 相交于
所以 ，同理可得： ，
则 ，
若 为锐角，则有 ，
所以
，则 ，解得： 或 ，
所以 或 或 ，
故直线 斜率 的取值范围为 .
3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 在点 处的切线为 ，函数 的图象在点 处的切线为 ， ，求直线 的
方程.
【解析】（1） ，
，则 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）设 ，令 ，则 .
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 时取得最大值2，即 .
，当且仅当 时，等号成立， 取得最小值2.
因为 ，所以 ，得 .
即 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，右顶点
为A，上顶点为B，O为坐标原点， ．
(1)若 的面积为 ，求椭圆 的标准方程；
(2)如图，过点 作斜率 的直线l交椭圆 于不同两点M，N，点M关于x轴对称的点为S，直
线 交x轴于点T，点P在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q，使 ，记四边形 的面积
为 ，求 的最大值．
【解析】（1） ，∴ ，
， ，又 ，
解得 ，所以椭圆 的标准方程为： .
（2） ，∴ ，椭圆 ，
令 ，直线l的方程为： ，联立方程组： ，消去y得 ，
由韦达定理得 ， ，
有 ，
因为： ，所以 ， ，
将点Q坐标代入椭圆方程化简得： ，
而此时： .
令 ，所以直线 ，
令 得 ，
由韦达定理化简得 ，
，而 ， O点到直线l的距离
， 所以： ，
， ，
因为点P在椭圆内部，所以 ，得 ，即
令 ，求导得 ，
当 ，即 时， ， 单调递增； 当 ，即 时， ，
单调递减.
所以： ，即 .
5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 的右顶点为 ，过左焦点F的直
线 交椭圆于M，N两点，交 轴于P点， ， ，记 ， ，（ 为C的右焦点）的面积分别为 .
(1)证明： 为定值；
(2)若 ， ，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意得 ，左焦点F ， ，所以椭圆C的标准方程为：
.
设 ，显然 ，令 ， ，则 ，则
， ，
由 得 ，解得 ，同理 .
联立 ，得
.
，从而 （定值）
（2）
结合图象，不妨设 ， ， ， ，
由 得
代入 ，有 ，则 ，解得
， ，
设 ，则 ，设 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
且 ，则 ，则 .
6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心率 ，
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点 的直线 与该椭圆交于 两点，且 ，求直线 的方程.
【解析】（1）由已知得 ，解得 ，
，
所求椭圆的方程为 ；
（2）由（1）得 .
①若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，由 得 .
设 ，
，这与已知相矛盾.
②若直线 的斜率存在，设直线直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
设 ，联立 ，消元得 ，
，
，
又 ，
，
化简得 ，
解得 或 （舍去）
所求直线 的方程为 或 .
7．（2023·全国·高三专题练习）设 分别是椭圆 的左､右焦点，过 作倾斜角为
的直线交椭圆 于 两点， 到直线 的距离为3，连接椭圆 的四个顶点得到的菱形面积为4.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知点 ，设 是椭圆 上的一点，过 两点的直线 交 轴于点 ，若 ，求 的
取值范围；
(3)作直线 与椭圆 交于不同的两点 ，其中 点的坐标为 ，若点 是线段 垂直平分线
上一点，且满足 ，求实数 的值.
【解析】（1）设 的坐标分别为 ，其中 ；
由题意得 的方程为 .
因为 到直线 的距离为3，
所以 解得 ，所以 ①
因为连接椭圆 的四个顶点得到的菱形面积为4，所以 ，即 ②
联立①②解得: ,
所求椭圆D的方程为 .（2）由（1）知椭圆的方程为 ，设 ，
因为 ，所以
所以 ，代入椭圆的方程 ，
所以 ，解得 或 .
（3）由 ，设 根据题意可知直线 的斜率存在，可设直线斜率为 ，则直线 的方程为
，
把它代入椭圆 的方程，消去 整理得：
由韦达定理得 则 ， ；
所以线段 的中点坐标为 .
（i）当 时，则 ，线段 垂直平分线为 轴，
于是 ，由 解得 .
（ii）当 时，则线段 垂直平分线的方程为 .
由点 是线段 垂直平分线的一点，令 ，得 ；
于是
由 ，
解得 ，所以 .
综上可得实数 的值为 .
8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示， 为椭圆 的左､右顶点，焦距长为
，点 在椭圆 上，直线 的斜率之积为 .(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 为坐标原点，点 ，直线 交椭圆 于点 不重合），直线 交于点 .求
证：直线 的斜率之积为定值，并求出该定值.
【解析】（1）由题意， ，设 ，
，由题意可得 ，
即 ，可得
又 ，所以 ，解得
所以，椭圆 的方程为 ；
（2）由题意知，直线 的斜率存在，设直线 ，且
联立 ，得
由 ，得 ，
所以 ，
设 ，由 三点共线可得所以，直线 的斜率之积为定值 .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别是椭圆 的上、下焦点，直线 过点 且
垂直于椭圆长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ，点 的轨迹为 .
(1)求轨迹 的方程；
(2)若动点 在直线 上运动，且过点 作轨迹 的两条切线 、 ，切点为A、B，试猜想
与 的大小关系，并证明你的结论的正确性.
【解析】（1） ， ，
椭圆半焦距长为 ， ， ，
，
动点 到定直线 与定点 的距离相等，
动点 的轨迹是以定直线 为准线，定点 为焦点的抛物线，
轨迹 的方程是 ；
（2）猜想
证明如下：由（1）可设 ，
，
，则 ，
切线 的方程为：
同理，切线 的方程为：
联立方程组可解得 的坐标为 ，
在抛物线外，
， ，同理
10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0），右焦点F（1,0），离心率
为 ，过F作两条互相垂直的弦AB，CD.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围.
【解析】（1）由题意知， ，则 ，又 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为 ；
（2）①当直线 与 中有一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，不妨设直线 的斜率为
0， 的斜率不存在，则直线 方程为 ，直线 的方程为 ，联立 可得 ，
所以 ，联立 可得 ，所以 ，所以四边形ADBC的面积
．
②当两条直线的斜率均存在且不为0时，
设直线 的方程为 ，
则直线 的方程为 ．将直线 的方程代入椭圆方程，整理得
，方程 的判别式
，设 ，
所以 ，
∴ ， ，
同理可得 ，
∴四边形ADBC的面积
，
∵ ，当且仅当 时取等号，
∴四边形ADBC的面积 ，
综上①②可知，四边形ADBC的面积 的取值范围为 ．
11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆 ，经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆
交于不同的两点P，Q(均异于点 ，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．
【解析】设 ,直线 的方程为 , 两交点异于点 ，则
,联立直线与椭圆方程,消去变量 并整理得 ,由已知 ，由韦达定理得 ,则
所以可知直线 与 的斜率之和为2.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， ， ， 是椭圆上的
三个动点，且 ， ，若 ，求 的值．
【解析】由题可知 ，
设 ， ， ，由 ， 得，
满足 ，可得 ，
满足 ，可得 ，
由 ，可得 ，
所以 ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，所以 ，又 ，
所以 .
13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，且直线 被椭
圆 截得的弦长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点 作圆 的两条切线，设切点为 ，若直
线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，求 的取值范围．
【解析】（1）直线 ，经过点 ， ，被椭圆 截得的弦长为 ，可得 ．
又 ， ，解得： ， ， ，
椭圆 的方程为 ．
（2）由（1）可得：圆 的方程为： ．
设 ，则以 为直径的圆的方程为： ，
与 相减可得：直线 的方程为： ，
设 ， ， ， ，联立 ，化为： ，
，则 ， ，
故 ．
又圆心 到直线 的距离 ，
，
，
令 ，则 ，
，可得 ，可得： ．14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的两个焦点 ， ，动点 在椭圆上，
且使得 的点 恰有两个，动点 到焦点 的距离的最大值为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)如图，以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点 作圆 的两条切线，设切点分别为
， ，若直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，求弦 长的取值范围．
【解析】（1）设半焦距为 ，由使得 的点 恰有两个可得 ，
动点 到焦点 的距离的最大值为 ，可得 ，即 ，
所以椭圆 的方程是 .
（2）圆 的方程为 ，设直线 上动点 的坐标为 .
设 ，连接OA，
因为直线 为切线，故 ，否则直线 垂直于 轴，则 与直线 平行，
若 ，则 ，故 ，
故直线 的方程为： ，
整理得到： ；
当 时，若 ，直线 的方程为： ；若 ，则直线 的方程为： ，满足 .
故直线 的方程为 ，同理直线 的方程为 ，
又 在直线 和 上，即 ，
故直线 的方程为 .
联立 ，消去 得 ，
设 ， ．
则 ，
从而
，
又 ，从而 ，所以 .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，且右焦点
的坐标为 ，点 在椭圆 上， 为坐标原点．
(1)求椭圆 的标准方程
(2)若过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，求直线 的方程；(3)过椭圆 上异于其顶点的任一点 ，作圆 的两条切线，切点分别为 ， （ ， 不在
坐标轴上），若直线 在 轴、 轴上的截距分别为 、 ，那么 是否为定值？若是，求出此定
值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）椭圆 的右焦点 的坐标为 ，
椭圆 的左焦点 的坐标为 ，
由椭圆的定义得 ，
所以， ，
，
由题意可得 ，即 ，
即椭圆 的方程为 ；
（2）直线 与椭圆 的两个交点坐标为 ， ，
①当直线 垂直 轴时， 方程为： ，代入椭圆可得， ，则 ，不合题意，舍去；
②当直线 不垂直 轴时，设直线
联立 ，消 得， ，
则 ， ，
恒成立.
，
又 ，则 ，
化简得， ，即 ，解得 或 （舍去），
所以 ， 直线方程 的方程为 或 .
（3）是定值，定值为2.
设点 ， ， ，连接 ， ，
， ，则有 ， .
， 不在坐标轴上，则 ， ，
则 ， ，
直线 的方程为 ，即 ， ①
同理直线 的方程为 ， ②，
将点 代入①②，得 ，
显然 ， 满足方程 ，
直线 的方程为 ，
分别令 ， ，得到 ， ， ， ，
又 满足 ， ，即 .
16．（2023·全国·高三专题练习）某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性质：椭圆
在任意一点 ， 处的切线方程为 ．现给定椭圆 ，
过 的右焦点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，过 ， 分别作 的两条切线，两切线相交于点 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)若过点 且与直线 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆 于 ， 两点，证明： 为
定值．
【解析】（1）由题意F为 ，设直线 为 ， ， ， ， ，易得在 点处切线为 ，在 点处切线为 ，
由 得 ，又 ， ，可得 ，
故点 的轨迹方程 ．
（2）证明：联立 的方程与 的方程 消去 ，得 ．
由韦达定理，得 ， ，所以 ，
因为 ，直线MN可设为 ，同理得 ，
所以 ．
