文档内容
3平行线的性质（培优）
一、单选题
1．如图，a∥b，∠1是∠2的3倍，则∠2等于（ ）
A．45° B．90° C．135° D．150°
2．如图，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在A B 的位置，再将纸片沿GH对折，使得CD落
1 1
在C D 的位置；若EF∥C G，∠1的度数为40°，则∠2的度数是（ ）
1 1 1
A．40° B．45° C．50° D．55°
3．一幅三角板ABC和DEF如图所示放置．∠C=∠F=90°，点D在边AC上．若DE∥BC，则∠1的
度数为（ ）
A．75° B．80° C．82° D．85°
4．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC
的度数为（ ）
1 / 12A．10° B．15° C．20° D．30°
5．直尺和直角三角板如图摆放，若∠1=57°，则∠2的大小为( )
A．147° B．143° C．123° D．33°
二、填空题
6．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠．
（1）若∠1=60°，则∠3的度数是 ．
（2）若∠1=50°，则∠2的度数是 ．
7．如图所示，直线m∥n，∠1=63°，∠2=34°，则∠BAC的大小是 ．
8．如图，在三角形ABC中，CD⊥AB，E为BC上一点且EF⊥AB，连接DE，若EF平分∠BED，
∠BEF=∠ACD，∠CDE=42°，则∠A的度数为 ．
9．如图，a∥b,M,N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3= ．
2 / 1210．把一张长方形纸片ABCD（对边是平行的）沿EF折叠后ED与BC的交点为G，点D，点C分别
在D'，C'的位置上，如图所示，若∠EFG=60°，则∠EGB= ．
11．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形
纸片的一条边上，若∠1=α，则∠2= ．
三、解答题
12．补全下面推理过程：
生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何
图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，求∠ABC+∠BCD的度数．
解：如图，过点B作BF∥AE，
∵CD∥AE（________）
∴（________）∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠BCD+（________）=180°，（________）
3 / 12∵AB⊥AE，∴∠EAB=（________）°，（________）
∵BF∥AE（辅助线作法），∴（________）+∠EAB=180°，
∴∠ABF=180°−90°=90°
∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=（________）°．
四、计算题
13．（1）化简：(x+3)⋅(1−x)．
（2）如图，AB∥CD，∠C=70∘，BE⊥BC，求∠ABE的度数．
14．如图，直线CD，EF分别交直线AB于点G，H，射线GI，HJ分别在∠CGB和∠EHB的内部，
且∠CGB=2∠EHB．
（1）若∠CGB和∠EHB互补．
①求∠EHB的度数；
②当∠CGI=2∠IGB，且GI∥HJ时，求∠EHJ的度数；
（2）设∠CGI=m∠IGB，∠EHJ=n∠JHB．若GI∥HJ，求m，n满足的等量关系．
15．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，CD∥AB交BD于点D，已知∠1=34°，BD平分∠ABC，
求∠D的度数．
五、作图题
16．如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE于点O，∠1=∠B，∠A+∠2=90°．试说明：
AB∥CD．
下面是某同学的说理过程，请阅读并补全说理过程．
4 / 12解：因为AF⊥CE，所以∠AOE=90°．
又因为∠1=∠B，
根据“_______________________________”，
所以______________∥______________．
根据“_______________________________”，
所以∠AFB=∠AOE．
所以∠AFB=___________°．
又因为∠AFC+∠AFB+∠2=180°，
所以∠AFC+∠2=___________°．
又因为∠A+∠2=90°，
根据“_______________________________”，
所以∠A=∠AFC．
根据“_______________________________”，
所以AB∥CD．
六、综合题
17．已知：如图，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F．
（1）如图1，若∠1=120°，∠2=60°，AB和CD的位置关系为 ；
（2）在（1）的情兄下，若点P是平面内的一个动点，连接PE，PF，探索
∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系；
①当点P在图2的位置时，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD；
请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）：
解：如图2、过点P作MN∥AB，
则∠EPM=∠PEB（ ）．
∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作图），
5 / 12∴MN∥CD（ ）．
∴∠MPF=∠PFD．
∴∠EPM+∠MPF=∠PEB+∠PFD（ ）．
即∠EPF=∠PEB+∠PFD；
②当点P在图3的位置时，求∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间有何数量关系；
直接写出∠EPF，∠PEB，∠PFD
③当点P在图4的位置时，请 三个角之间的关系．
˙ ˙ ˙ ˙
18．已知：如图，∠1+∠2=180°．
（1）如图1，∠AEF=∠GHN，判断直线EF和GH的位置关系，并给予证明；
（2）如图2，∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，请判断∠P与∠Q的数量关系，并证明．
19．图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB,CD都与地面平行，
∠BCD=60°,∠BAC=52°．当∠MAC的度数为多少时，能够使得AM与BC平行？
七、实践探究题
20．综合与探究：如图，一副三角板，其中∠EDF=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=30°．
（1）若这副三角板如图摆放，EF∥CD，求∠ABF的度数．
（2）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，保持三角板ABC不动，现将三角板DEF绕
点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且0≤t≤90，若边BC与三角板的一
6 / 12条直角边（边DE，DF）平行时，求所有满足条件的t的值．
7 / 12答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线的性质；邻补角；同位角的概念
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
3．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理
4．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质
6．【答案】120°；65°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
7．【答案】83°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
8．【答案】48°
【知识点】平行线的判定与性质
9．【答案】360°
【知识点】平行线的判定与性质；同旁内角的概念
10．【答案】120°
【知识点】平行线的性质
11．【答案】90°−α
【知识点】平行线的性质
12．【答案】已知；BF；∠CBF；两直线平行，同旁内角互补；90；垂直的定义；∠ABF；270
【知识点】平行线的判定与性质
13．【答案】（1）−x2−2x+3（2）20°
【知识点】多项式乘多项式；平行线的性质
14．【答案】（1）解：①∵∠CGB和∠EHB互补，
∴∠CGB+∠EHB=180°．
∵∠CGB=2∠EHB，
∴2∠EHB+∠EHB=180°，
∴∠EHB=60°；
8 / 12②由①得∠EHB=60°，
∴∠CGB=2∠EHB=120°，
∴∠CGI+∠IGB=120°，
又∵∠CGI=2∠IGB，
∴2∠IGB+∠IGB=120°，
∴∠IGB=40°．
∵GI∥HJ，
∴∠JHB=∠IGB=40°，
∴∠EHJ=∠EHB−∠JHB=60°−40°=20°；
（2）解：∵GI∥HJ，
∴∠JHB=∠IGB．
设∠JHB=∠IGB=α，
∴∠CGI=m∠IGB=mα，∠EHJ=n∠JHB=nα，
∴∠CGB=∠CGI+∠IGB=mα+α=(m+1)α，
∠EHB=∠EHJ+∠JHB=nα+α=(n+1)α，
又∵∠CGB=2∠EHB，
∴(m+1)α=2(n+1)α，
∴m+1=2(n+1)，
∴m=2n+1，
即m，n满足的等量关系为m=2n+1．
【知识点】角的运算；平行线的性质；邻补角
15．【答案】28°
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
16．【答案】同位角相等，两直线平行；CE；BF；两直线平行，同位角相等；90；90；同角的余角
相等；内错角相等，两直线平行
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定；平行线的判定与性质；同位角的概念
17．【答案】（1）平行
（2）解：①解：如图2、过点P作MN∥AB，
则∠EPM=∠PEB（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作图），
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）．
∴∠MPF=∠PFD．
∴∠EPM+∠MPF=∠PEB+∠PFD（等式的性质）．
9 / 12即∠EPF=∠PEB+∠PFD；
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；等式的性质；
②解：∠EPF=360°−∠PEB−∠PFD；
如图3，过点P作GH∥AB，
则∠EPH+∠PEB=180°．
∵AB∥CD，GH∥AB，
∴GH∥CD．
∴∠HPF+∠PFD=180°．
∴∠EPH+∠HPF+∠PEB+∠PFD=360°．
∴∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°，
∴∠EPF=360°−∠PEB−∠PFD；
③解：∠EPF=∠PEB−∠PFD，
如图4，过点P作RS∥AB，
则∠SPE+∠PEB=180°．
∵AB∥CD，RS∥AB，
∴RS∥CD．
∴∠SPF+∠PFD=180°．
∴∠SPF−∠SPE+∠PFD−∠PEB=0．
∴∠EPF+∠PFD−∠PEB=0，
∴∠EPF=∠PEB−∠PFD．
【知识点】平行线的判定与性质；作图-平行线
18．【答案】（1）解：EF∥GH
证明如下：
10 / 12∵∠1=∠AMN，∠1+∠2=180°，
∴∠AMN+∠2=180°，
∴AB∥CD，
延长EF交CD于F ，如图，
1
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EF N，
1
∵∠AEF=∠GHN，
∴∠EF N=∠GHN，
1
∴EF∥GH．
（2）解：∠P=3∠Q，
证明：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，如图，
∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，
∴∠RQN=∠QND，
∴∠MQN=∠QMB+∠QND，
∵AB∥CD，PL∥AB，
∴AB∥CD∥PL，
∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，
∴∠MPN=∠PMB+∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，
∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，
∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q．
【知识点】平行线的判定与性质
11 / 1219．【答案】当∠MAC=∠ACB=68°时，AM∥BC
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
20．【答案】（1）∠ABF=75°
（2）所有满足条件的t的值为15或60
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
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