文档内容
2.3 二次根式（第 2 课时最简二次根式） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第二章“实
数”2.3.2最简二次根式（2），内容包括：理解最简二次根式和同类二次根式的概念，能够熟练进行同
类二次根式的合并与化简．
2.内容解析
学生在学习本节课前，已掌握二次根式的定义、性质及乘除运算，这为理解二次根式打
下了良好的基础. 但学生在学习时，容易忽略“最简形式”直接合并，导致错误，因此在学
习时，要不断地给出反例，明确先化简，再合并；同时学生容易在化简时将系数算错，这时
就需要对比整式地加减来学习，以加强学生对二次根式加减的理解. 这些知识是后续学习二
次根式的混合运算、解方程及函数应用的重要基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：最简二次根式判断，以及同类二次根式加减
法的运算法则及应用.
1.教学目标
（1）理解最简二次根式和同类二次根式的概念，能够熟练进行同类二次根式的合并与化
简.
（2）经历探索最简二次根式与同类二次根式的加减的过程，体会从特殊到一般的数学思
想，感受数学知识之间的内在联系，提升归纳和概括能力.
（3）在解决二次根式相关问题时，促使学生感受数学的严谨性和逻辑性，体会数学运算
的魅力，增强学生对数学学习的兴趣和自信心.
2.目标解析
（1）学生能够理解最简二次根式的概念，依据概念准确判断给定二次根式是否为最简形
式，并熟练将非最简二次根式化为最简.清晰掌握同类二次根式的概念，通过化简二次根式，
正确识别同类二次根式，并能熟练进行同类二次根式的加减运算，解决相关数学问题.（2）在探究最简二次根式与同类二次根式加减运算的过程中，锻炼学生的观察能力，使
其能敏锐捕捉二次根式的特征；提升分析能力，学会剖析二次根式化简及运算的原理；增强
归纳能力，从具体实例中总结出一般性的概念和运算法则。通过类比整式运算中合并同类项
的方法学习同类二次根式的加减，培养学生知识迁移的能力，让学生体会数学知识之间的内
在联系.
（3）学生们在解决二次根式相关问题时，感受数学的严谨性和逻辑性，体会数学运算的
魅力，增强学生对数学学习的兴趣和自信心，培养学生认真细致、严谨规范的学习态度.
学生在之前的学习中，已经掌握了二次根式的概念、性质以及乘除运算，对二次根式有
了一定的认识，这为学习最简二次根式和同类二次根式的加减奠定了基础。同时，学生在整
式运算中学习过同类项的概念及合并同类项的方法，这有助于他们通过类比理解同类二次根
式的概念及加减运算规则，因为两者在 “合并” 的思想上有相似之处.
1.学生在判断最简二次根式时，学生容易忽略对 “能开得尽方的因数或因式” 理解不
透彻，比如对于较为复杂的被开方数，难以准确判断是否存在能开得尽方的部分. 这就需要
在学习过程中强化最简二次根式的判断训练.
2. 学生在识别同类二次根式时，由于需要先将二次根式化为最简形式，部分学生可能在
化简环节出现错误，进而导致无法正确识别同类二次根式.这就需要学生在学习时，加强小组
合作与交流，寻找自己的错误并改正，在这一学习过程中，培养小组合作和团结意识.
3. 在进行同类二次根式的加减运算时，学生可能会像进行乘法运算那样将被开方数相加，
或者忘记先化简再合并的步骤，直接对系数进行加减，从而出现运算错误.在需要教师在教学
过程中，不断引导总结易错点.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：准确识别同类二次根式并进行合并，在复杂
运算中灵活运用二次根式的加减法则.
1.温故知新
本节课将进入最简二次根式的学习，先回顾以下问题：
(1) 二次根式的定义是什么？
形如 ❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式．(2) 二次根式具有什么性质？
双重非负性：❑√a≥0且a≥0.
(3) 二次根式的乘除法则是什么?
乘法法则：❑√a⋅❑√b=❑√a⋅b(a≥0,b≥0)
❑√a √a
除法法则： =❑ (a≥0,b>0)
❑√b b
通过以上问题，猜测一下：什么是最简二次根式？如何化简二次根式？让我们赶紧进入
本节课的学习吧！
（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫）
（教学建议：教师提问，指定学生代表回答．回顾平方根以及乘法公式等概念，有利于学生
类比平方根以及正式的乘除展开二次根式的学习）
2.情景引入
教师在多媒体设备上展示情境：
学校计划对校园内的矩形绿化带进行改造，需要计算相关长度和面积。已知其中一块绿化带
的长为❑√72米，宽为❑√18米，另一块正方形绿化带的边长为❑√50米。
问题: 能直接比较这两块绿化带边长的大小吗？能直接计算它们的周长之和吗？
学生通过观察会发现这些二次根式难以直接进行比较与加减. 由此引出本节课要学习的最简二次根式概念，
因为只有将二次根式化为最简形式，才能更方便地进行比较和后续的加减运算。
(设计意图：用矩形的面积与周长的计算引入，让学生感受能够将新知识与旧知识联系并应用，
不仅激发学生的学习兴趣与探索欲望，更能体现本节内容的实际应用价值)
探究点1 最简二次根式
1.将二次根式的乘除法则等号左右两边的部分交换之后能得到上面式子？
答： ，√a ❑√a .
❑√ab=❑√a⋅❑√b(a≥0,b≥0) ❑ = (a≥0,b>0)
b ❑√b
例：根据上面得到的式子，请尝试将下列式子进行开方计算，直到不能再开方为止.
√5
（1）❑√81×64 （2）❑√25×6 （3）❑
9
解：（ ）❑√81×64=❑√81×❑√64=9×8=72
（ ）❑√125×6=❑√25×❑√6=5❑√6
2
（ ）√5 ❑√5 ❑√5
❑ = =
9 ❑√9 3
3
2.仔细观察以上例题中的计算结果，它们有什么特点？❑√5
答：结果5❑√6、 中，被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数
3
最简二次根式的定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二
次根式，叫作最简二次根式.
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ C ）
√1
A. ❑√8 B. ❑
3
C. ❑√5 D. ❑√27
4.下列各式化简后，不是最简二次根式的是（ C ）
❑√6
A. ❑√41 B.
2
C. D.
❑√12 ❑√a2+25
典例分析
请结合最简二次根式的定义以及探究过程，化简下列式子：
√2 √1
（1）❑√50 （2）❑ （3）❑
7 3
解：（1）❑√50=❑√25×2=❑√25×❑√2=5❑√2；
（2）√2 √2×7 ❑√2×7 ❑√14；
❑ =❑ = =
7 7×7 ❑√7×7 7
（3）√1 √1×3 ❑√1×3 ❑√3.
❑ =❑ = =
3 3×3 ❑√3×3 3
5.完成以上的练习，你发现了什么？
答：二次根式的化简可以借助二次根式的乘除法则进行化简，只需将乘除法则倒过来使用，即可进行
开方运算，从而进行化简
（设计意图：引入最简二次根式的概念）
.
（教学建议：教师引导学生通过观察与归纳，引导学生总结最简二次根式的特点并得出概念，
培养学生主动参与、归纳总结的意识，同时检测了学生的学习效果）
探究点2 同类二次根式的加减
在学习同类二次根式时，我们要确保将二次根式化到最简.那么你是如何发现❑√50含有开的尽方的
❑√14
数的？又是如何发现 是最简二次根式的？
7❑√14
答：❑√50中还有❑√25这个因式能够开方，因此❑√50还不是最简二次根式；对于 ，其分母没有
7
根号，且根号下的数已经不能再开方，因此它是最简二次根式
1.化简下列各式，回答下列问题：
.
√1 √4
（1）❑√48与❑√3 （2）❑√5与❑ （3）❑ 与❑√3
5 3
解：（ ）化简后得 ❑√3与❑√3
1 4
❑√5
（ ）化简后得到❑√5与
5
2
2❑√3
（ ）化简后得到 与❑√3
3
3
2.仔细观察每组数据得化简结果，你发现了什么？
答：每组数据中得被开方数都相同
同类二次根式的定义：像上面那样，化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式.
.
3.下列二次根式中，与❑√2同类二次根式的是（ B ）
A. ❑√17 B. ❑√18
C. ❑√20 D. ❑√15
4.下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ C ）
√1
A. ❑√3与❑√18 B. ❑ 与❑√8
2
C. ❑√27与❑√12 D. ❑√10与❑√40
典例分析
例 结合同类二次根式的定义，再回想整式的加减法，试着计算下列式子：
（1） ； （2） √1； （3）(√4 )
❑√48+❑√3 ❑√5-❑ ❑ +❑√3 ×❑√6
5 3
解：（ ）❑√48+❑√3=❑√16×3+❑√3=❑√16×❑√3+❑√3=4❑√3+❑√3=5❑√3；
1 √1 √ 5 ❑√5 4
（ ）❑√5-❑ =❑√5-❑ =❑√5- = ❑√5；
5 25 5 5
2
（ ）(√4 )
❑ +❑√3 ×❑√6
3
3 .
4.类比整式的加减法，你发现二次根式之间的加减有上面规律？
答：二次根式的加减，只能在同类二次根式之间进行，且在进行加减时，被开方数及其根指数不变，
只用系数进行相加减
.（设计意图：通过解决以上计算，结合整式的乘法法则，得出同类二次根式的加减.）
（教学建议：引导学生计算二次根式的加减时，类比整式的加减法，并在类比之后进行计算，
总结同类二次根式的加减法则．在这一学习过程中，体会数学中的类比学习思想，提升学生
的归纳能力．）
已知 x=❑√12-❑√27，y=❑√48+❑√75，求下列各式的值：
①x+ y； ②x- y；
x
③2x+3 y； ④ （结果化为最简形式）.
y
解：x=2❑√3-3❑√3=-❑√3
y=4❑√3+5❑√3=9❑√3
①x+ y=-❑√3+9❑√3=8❑√3；
②x- y=-❑√3-9❑√3=-10❑√3；
③2x+3 y=-2❑√3+27❑√3=25❑√3；
x -❑√3 1
④ = =-
y 9❑√3 9
（设计意图：将化简二次根式与同类二次根式的加减结合，不仅加深学生对最简二次根式的
理解，更是加强了学生的计算能力.）
（教学建议：学生分组讨论探究作答，教师汇总后订正．提醒学生：综合性题目．在求解时，
要先化简，再代值，直接代值会加大计算难度，大大提高错误率）
1.化简：
（1）❑√32 （2）❑√72；
√12
（3）❑ ； （4）❑√1.5；
7
1
（5） .
❑√5
解；（1）❑√32=❑√16×2=❑√16×❑√2=4❑√2；
（2）❑√72=❑√36×2=❑√36×❑√2=6❑√2；
（3）√12 ❑√12 ❑√4×3 2❑√3 2❑√3×❑√7 2❑√21；
❑ = = = = =
7 ❑√7 ❑√7 ❑√7 ❑√7×❑√7 7
（4） √3 ❑√3 ❑√3×❑√2 ❑√6；
❑√1.5=❑ = = =
2 ❑√2 ❑√2×❑√2 21 ❑√5 ❑√5
（5） = =
❑√5 ❑√5×❑√5 5
2.下列计算是否正确？
（1）❑√2+❑√3=❑√5；
（2）2+❑√2=2❑√2；
❑√8
（3） =❑√4
2
解：（1）不正确。❑√2与❑√3的被开方数不同，不是同类二次根式，不能直接合并。
（2）不正确。2是有理数，❑√2是无理数，两者不是同类二次根式，不能直接合并。
❑√8 2❑√2
（3）不正确。正确化简： = =❑√2，而❑√4=2，两者不相等。
2 2
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学
生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策
略.
类型一：最简二次根式的识别与判断
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ C ）
A. ❑√12 B. ❑√25
C. ❑√7 D. ❑√0.36
2：下列二次根式化简后，不是最简二次根式的是（ C ）
A. B.
❑√10 ❑√a2+1
❑√6
C. ❑√20 D.
3
类型二：二次根式的化简
√ 5
3.化简：（1）❑√45; （2）❑
12
3
（3）❑√1.2 （4）
❑√6
解：（1）❑√45=❑√9×5=❑√9×❑√5=3❑√5
（2）√ 5 ❑√5 ❑√5 ❑√5×❑√3 ❑√15
❑ = = = =
12 ❑√12 2❑√3 2❑√3×❑√3 6
（3） √6 ❑√6 ❑√6×❑√5 ❑√30
❑√1.2=❑ = = =
5 ❑√5 ❑√5×❑√5 53 3❑√6 3❑√6 ❑√6
（4） = = =
❑√6 ❑√6×❑√6 6 2
类型三：同类二次根式的识别
4.下列二次根式中，与❑√3同类二次根式的是（ B ）
√1
A. ❑√18 B. ❑
3
C. ❑√24 D. ❑√0.3
5.若最简二次根式❑√2m-1与❑√3m-4是同类二次根式，则m的值为（ B ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
类型四：同类二次根式的加减运算
√1
6.计算：（1）❑√9-❑√27+❑√48； （2）❑√8+❑ -❑√2
2
解：（ ）原式 =3-3❑√3+4❑√3=3-(3-4)❑√3=3+❑√3
（ ）原1式 ❑√2 ( 1 ) 3
=2❑√2+ -❑√2= 2+ -1 ❑√2= ❑√2
2 2 2
2
1.（2024·北京）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ C ）
√2
A. ❑√12 B. ❑
3
C. ❑√7 D. ❑√0.5
2. （2024·上海）化简：❑√45=3❑√5.
√ 5 ❑√15
3. （2024·江苏）化简：❑ = .
12 6
4. （2024·广东）计算：❑√27-❑√12+❑√48
解:原式=3❑√3-2❑√3+4❑√3
=(3-2+4)❑√3
=5❑√3
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试
题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.设计意图：运用思维导图将本节课主要知识点清晰呈现，增强学习的主动性与连贯性.
1.必做题：习题2.3第2题
2.探究性作业：习题2.3 第11题.
2.3.2 最简二次根式
1. 最简二次根式的概念：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次
根式，叫作最简二次根式..
2. 同类二次根式的概念：化简后被开方数相同得二次根式叫做同类二次根式.
3. 同类二次根式的加减运算法则：同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数保持不变
